精品解析：四川省江油中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题B

江油中学2024级高一下期3月月考（B卷） 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的差角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B. 3. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是 【答案】C 【解析】 【分析】化简函数，结合正弦型函数的图象与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数， 可得函数的最小正周期为，所以A错误； 对于B中，令，可得， 所以不是函数的对称轴，所以B错误； 对于C中，令，解得， 函数的递减区间为，所以C正确； 对于D中，函数的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是，所以D错误. 故选：C. 4. 在中，已知，那么是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差正弦公式化简已知等式可求得，由此可得结果. 【详解】，， ， ， ，，，即，为等腰三角形. 故选：D. 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性运算直接计算. 【详解】 由已知对角线与交于点，， 则， 所以， 故选：A. 6 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，结合角的范围，即可得出，.然后根据两角差余弦公式，即可得出答案. 【详解】因为，，所以， 所以，. 又，所以. 所以，. 故选：C. 7. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点为，连接，由题意得，即点为的重心，所以，即即可求解. 【详解】取的中点为，连接，则， 由有， 即，所以点为的重心， 即， 所以， 故选：A. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变， 可得的图象，因为，周期， 函数在上没有零点，则， 所以，因为，所以， 又在上没有零点，所以， 解得，， 又因为，所以当，，，， 所以或. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过举反例可判断A，B，C项；根据向量的加减法的几何意义易得D项正确. 【详解】对于A，当且都不为零向量时，满足且，但，故A错误； 对于B，当时，满足，但得不到与的关系，故B错误； 对于C，当且时，满足，但不满足，故C错误； 对于D，由向量加减法的几何意义，结合图形可知， 当且仅当与共线同向时，与成立， 当且仅当与共线反向时，与成立，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式将化简，然后对应的性质来判断各个选项即可． 【详解】因为 ， 所以的最小正周期，故A正确； 因为，所以不是的对称轴，故B错误， 由于，则， 所以在上单调递减，C正确； 将的图象向左平移个单位后得到， 因为偶函数，其图象不关于原点对称，故D错误． 故选：AC． 11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论. 【详解】函数的周期为， 由图象可得，令，可得：， 所以，即，又， 所以，， 又因为，所以，所以， ，为定值. 故选：B 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，b是不共线两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据向量共线的判定定理，列出关系式，求出结果. 【详解】P，Q，R三点共线， ,可得，化简得，解得. 故答案为：. 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】化简函数，根据在区间上是增函数得到的范围，再根据的范围即可求出结论. 【详解】， 当时，， 因为在区间上是增函数， 所以，则， 所以， 则的最大值是， 故答案为：. 14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】研究函数的单调性，确定的关系及范围． 【详解】 由题意函数上递减，上递增，上递减，作出图像，如图． 设，则，不妨设， ，由，得，所以，所以. 故答案为：． 【点睛】本题考查方程根的分布与函数零点问题．解题方法是数形结合思想．作出函数图象，得出函数性质，看作是直线与函数的交点横坐标，性质易得． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，与的夹角是60°， （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，， . 【小问2详解】 因， 设和的夹角为， 则. 16. 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由值求值，即可求出； （2）先由求出的值，再凑角，求出，就可求的值. 【小问1详解】 由，可得， . 【小问2详解】 由 ，可得， 又， ， ， 由，可得. 17. 一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米. 【解析】 【分析】（1）设，根据题意求得、的值，以及函数的最小正周期，可求得的值，根据的大小可得出的值，由此可得出关于的函数解析式； （2）由得出，令，求得的取值范围，进而可解不等式，可得出的取值范围，进而得解. 【详解】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示： 设，由，，可得，所以. ，，， 由题意可知，函数的最小正周期为，， 所以点距离水面的高度关于时间的函数为； （2）由，得， 令，则， 由，解得，又， 所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米. 【点睛】本题考查三角函数模型的简单应用，根据题意建立函数解析式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）易得，再利用正弦函数的性质求解； （2）由得到，根据，得到，则由求解. 【小问1详解】 ， ， 令，，则，， 故该函数的单调递增区间，； 【小问2详解】 对任意，都有可得， 所以， 又，所以， 要满足对任意，都有，则有， 解得：， 所以实数的取值范围为. 19. 已知函数的图象关于直线对称．其相邻两个对称轴之间距离为． （1）求的对称中心， （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用周期性和对称轴求和，即可求函数的解析式； （2）的最小值应为首尾均应是零点，根据，结合三角函数的图象，即可求解； （3）先求函数的解析式，分区间，，，讨论函数的单调性，以及函数值的正负，证明函数的零点个数，并判断零点的区间，，结合函数的单调性，即可判断不等式. 【小问1详解】 由题意知函数周期，所以由题，所以， 又由图象关于直线对称，所以，即，所以， 所以，令，， 所以的对称中心为. 【小问2详解】 当时，令，解得， 则或，, 得，或，， 若函数在上恰有8个零点，首尾均应是零点， 若第一个零点是，则第8个零点是，则的最小值为，· 若第一个零点是，则第8个零点是，则的最小值为，· ， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（1）可得，定义域为， ①当时，函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在定理，使得， 故在上有且只有一个零点. ②当时，因为单调递增，单调递减， ，，所以， 所以在上不存在零点； ③当时， 因为单调递增，，因为             所以，所以在上不存在零点； 综上：有且只有一个零点，且. · 因为，所以， 所以， 在上单调递减， ，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江油中学2024级高一下期3月月考（B卷） 数学试题 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，仅将答题卡交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把答案填涂在答题卡上. 1. （ ） A. B. C. D. 2 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点之间的最小距离是 4. 在中，已知，那么是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 5. 在平行四边形中，对角线与交于点，，则（ ）． A. B. C. D. 6. 若，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是边长为4的正三角形，D是△ABC内的一点，且满足，则△ABD的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡上. 9. 下列命题中错误的有（ ） A. 的充要条件是且 B. 若，则 C. 若，则存在实数，使得 D. 10. 已知函数，则下列结论正确是（　　） A. 的最小正周期为 B. 是图象的一条对称轴 C. 在上单调 D. 将的图象向左平移个单位后，得到的图象关于原点对称 11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设a，b是不共线的两个平面向量，已知，．若P，Q，R三点共线，则实数k的值为________． 13. 若在区间上是增函数，则的最大值是__________. 14. 已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知，与的夹角是60°， （1）计算，； （2）求和的夹角的余弦值. 16 已知. （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 一半径为米水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间. （1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数； （2）在水轮转动任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？ 18. 已知函数. （1）求该函数的单调递增区间； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 19. 已知函数的图象关于直线对称．其相邻两个对称轴之间距离为． （1）求的对称中心， （2）若函数在上恰有8个零点，求的最小值； （3）设函数，证明：有且只有一个零点，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $