精品解析：陕西榆林市靖边县靖边中学2024-2025学年高二第二学期期中考试数学试卷

靖边中学2026届高二第二学期期中考试题 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，一轮复习至函数的对称性及应用前． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题的否定为“ ”． 2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用残差的定义求解. 【详解】解：因为时的预测值为， 所以残差为． 故选：B． 3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为X服从两点分布，所以， 又，所以． 4. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布的对称法求解. 【详解】解：因为，且，， 所以， 故选：D 5. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】元素相邻的排列问题，利用捆绑法解决即可. 【详解】先将甲、乙排为一列，有种方法， 再将其视为一个整体与其余5个视频排成一列，有种方法， 根据分步乘法计数原理可得，甲、乙在相邻两天发布的不同的发布种数为． 故选：D． 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】证明等价于，证明等价于或或，根据特例证明充分性不成立和必要性不成立即可求解. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 所以等价于， 因为幂函数在和上单调递减且时，，时， 所以等价于或或， 当，时， 但不能推出或或， 所以充分性不成立， 当，时，但不能推出， 所以必要性不成立． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 7. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 解得，所以， 则． 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择. 综上所述，不同的涂色方案有种. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项展开式及性质可知A错误，B正确.利用二项展开式的通项公式求常数项和第6项可知C错误，D正确. 【详解】由题意可知，展开式共有11项，故A错误； 展开式的二项式系数之和为，故B正确； 展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为，故C错误； 当时，二项式系数最大，所以展开式的第6项的二项式系数最大，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则（ ） A. 是周期为的周期函数 B. C. 当时， D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项；由可得的值，可计算出的值，可判断B选项；利用函数的周期性和对称性求出函数在上的解析式，可判断C选项；利用函数周期性的定义可求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为定义在上的函数满足， 则，故是周期为的周期函数，A对； 对于B选项，因为函数为奇函数，则， 在等式中，令可得， 又因为当时，， 则，解得， 故当时，， 所以，，B对； 对于C选项，当时，，， 因为，则函数的图象关于点对称， 所以当时， ，C错； 对于D选项，由C选项，可知，，则， 且，所以，， 因为，故，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知偶函数满足：当时，，则_______． 【答案】18 【解析】 【详解】因为为偶函数，所以． 13. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的肉制品与乳制品进行抽检．现从10件肉制品与5件乳制品中不放回地抽取2次，每次抽取1件，则在第一次抽出乳制品的情况下，第二次也抽出乳制品的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式求解即可得解. 【详解】设第一次抽出乳制品为事件，第二次也抽出乳制品为事件， 则 所以 故答案为： 14. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则，由当时，都有，得， 任意的，都有， 则，因此函数在上单调递增， 当时，. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算出集合及集合后，结合集合交集定义与补集定义即可得； （2）由可得，分与计算即可得解. 【小问1详解】 若，则， ， 则，； 【小问2详解】 由，则， 当时，即恒成立，即； 当时，即时，， 由， 则有或，分别解得，无解，故； 综上所述：. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次不等式与二次方程的关系可求； （2）利用乘1法，结合基本不等式可求． 【小问1详解】 不等式的解集为， 和是方程的两个实数根，且， ，解得； 【小问2详解】 （2）由（1）知， 于是有，，， 所以 当且仅当且，即时等号成立， 故的最小值为 17. 下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 （1）由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； （2）求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系，理由见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的数据，利用相关系数公式求出相关系数，即可判断. （2）根据给定的数据，利用最小二乘法公式求出回归直线方程. 【小问1详解】 依题意，，， 则相关系数 ，与的线性相关程度高， 所以可用线性回归模型拟合与之间的关系. 【小问2详解】 依题意，， 由（1）得，， 所以关于的线性回归方程为. 18. 某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 （1）补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联； （2）在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 附： α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100 认为客户购买次数与客户年龄有关联 （2）的分布列为 1 2 3 【解析】 【分析】（1）先根据已知数据补全列联表，再计算卡方统计量，将其与对应的临界值进行比较，判断是否拒绝原假设，从而确定购买次数与年龄是否有关联； （2）先根据分层抽样的比例确定抽取的6人中两个年龄段的人数，再确定的所有可能取值，计算对应的概率，从而得到分布列，进而求期望. 【小问1详解】 补全的2×2列联表如下： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 30 40 70 购买过3次以上（含3次） 20 10 30 合计 50 50 100 零假设为：客户购买次数与客户年龄无关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为客户购买次数与客户年龄有关联，此推断犯错误的概率不超过0.05． 【小问2详解】 从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人， 年龄在的人数为，年龄在的人数为， 依题意，的所有可能取值分别为1，2，3， 所以， 所以X的分布列为 1 2 3 所以． 19. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 【答案】（1） （2）方案一略好 【解析】 【分析】（1）记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件，利用全概率公式求出，再由独立重复试验的概率公式计算可得； （2）记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，，求出相应的概率，计算出期望，即可判断. 【小问1详解】 记选择实验为事件，选择实验为事件，实验成功为事件， 则 所以. 所以两次实验恰好成功一次的概率. 【小问2详解】 记和分别是方案一与方案二中实验成功的次数，则、的取值均为，，， 所以， ， ， 所以. ， ， ， 所以. 因为，所以方案一略好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 靖边中学2026届高二第二学期期中考试题 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，一轮复习至函数的对称性及应用前． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 设某制造公司进行技术升级后的第x个月（）的利润为y（单位：百万元），根据统计数据，求得y关于x的经验回归方程为，若时的观测值，则时的残差为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 6 3. 已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某市高二年级期中联考的数学成绩，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 李白的一句“烟花三月下扬州”让很多人对扬州充满向往．据统计，唐朝约有120名诗人写下了400多首与扬州有关的诗篇，某扬州短视频博主从中选取了7首，制作了分别赏析这7首诗的7个短视频（含甲、乙），准备在某周的周一到周日发布，每天只发布1个，每个短视频只在其中1天发布，若甲、乙相邻两天发布，则这7个短视频不同的发布种数为（ ） A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知随机变量，则（ ） A. 24 B. 21 C. D. 8. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（，，，，）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有（ ） A. 2520种 B. 3360种 C. 3570种 D. 4410种 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于的二项展开式，说法正确的是（ ） A. 展开式共有10项 B. 展开式的二项式系数之和为1024 C. 展开式的常数项为8064 D. 展开式的第6项的二项式系数最大 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知定义在上的函数满足，且为奇函数，当时，，则（ ） A. 是周期为的周期函数 B. C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知偶函数满足：当时，，则_______． 13. 每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的肉制品与乳制品进行抽检．现从10件肉制品与5件乳制品中不放回地抽取2次，每次抽取1件，则在第一次抽出乳制品的情况下，第二次也抽出乳制品的概率为______． 14. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知全集，集合，. （1）若，求和； （2）若，求的取值范围. 16. 已知关于的不等式的解集为. （1）求，的值； （2）若，，且，求的最小值. 17. 下表为2018年~2024年某公司年利润（单位：亿元）的统计表，其中2018年~2024年对应的年份代码依次为1~7. 年份代码 1 2 3 4 5 6 7 年利润 2.2 2.5 2.9 3.6 4.1 4.6 5.3 （1）由上表数据，是否可用线性回归模型拟合与之间的关系？请用相关系数加以说明； （2）求关于的线性回归方程. 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数，若，则与的线性相关程度高； 对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18. 某公司为了了解产品的需求情况，随机抽取了100名客户作为样本，统计了样本中客户购买次数与客户年龄情况，得到如下的列联表： 客户年龄（岁） 客户购买次数 合计 购买过1次或2次 40 购买过3次以上（含3次） 20 10 合计 （1）补全列联表并根据小概率值的独立性检验判断客户购买次数与客户年龄是否有关联； （2）在样本中，从购买过3次以上（含3次）的客户中按年龄段比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中年龄在的人数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：． 附： α 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 为了迎接即将到来的生物实验操作考试，小李同学每天都要去实验室做两次实验.某天，他来到实验室，决定做实验或实验，已知小李同学做实验成功的概率为，做实验成功的概率为，假设每次做实验是否成功相互独立. （1）小李每次都随机等可能的从实验与实验中选择一个实验进行操作，求他两次实验恰好成功一次的概率； （2）小李同学决定进行2次实验操作，有以下两种方案， 方案一:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，若第一次实验成功，则第二次继续做第一次的实验，若第一次实验不成功，则第二次做另一个实验； 方案二:第一次实验，小李随机等可能的选择实验或实验中的一种，无论第一次实验是否成功，第二次都继续做第一次的实验. 若方案选择以及实验操作互不影响，以实验成功次数的期望值作为决策依据，你认为哪个方案更好? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $