精品解析：陕西咸阳市高新一中2025-2026学年高二下学期期中阶段性质量检测数学试题

咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（六） 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题： 1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法计数原理可得. 【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有种． 故选：A 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据可以直接求解. 【详解】由，得，解得（舍去） 故选：D． 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据随机变量的概率和为，即可求得的值，再将的概率相加，即可得解. 【详解】， 则. 故选：B． 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 【答案】A 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性有，，即可求概率. 【详解】由对称性质知，且， 又， 所以. 故选：A 5. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得随机变量服从超几何分布，进而根据超几何分布求概率，进而求期望. 【详解】解：由题知8个数对中有，，，共4对孪生素数对， 所以的可能取值为 故，， ，， 所以 故选：C 6. 在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】事件：甲、乙选择的专题不同，甲有3种选法. 乙有2种选法，丙有3种选法，所以. 事件：甲、乙不同且乙、丙相同.先选乙的专题，有3种. 丙的选法和乙相同，甲有2种选法，所以， 因此. 7. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 8. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布概率公式计算，根据已知数据计算频率，再作差求解即可. 【详解】一枚质地均匀的硬币连掷三次,正面朝上的次数的二项分布， 所以，恰出现2次正面朝上的概率， 20组随机数中，出现“恰有2次正面朝上”的有：011、101、101、011、011、101，共6组，故频率， 所以. 故选：B 二、多选题： 9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据概率之和为1求出判断A；然后结合均值和方差的概念计算判断B，C，应用均值性质求解新的离散型随机变量的均值判断D. 【详解】由题意得，解得，A正确； 由，B选项正确； ，故D选项正确； 因为，故C选项错误； 10. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（ ） A. 180个无重复数字的三位数 B. 75个无重复数字且为奇数的三位数 C. 30个无重复数字且能被25整除的四位数 D. 480个无重复数字且比1300大的四位数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据分步乘法原理，由选项中的限制条件，逐项计算，可得答案. 【详解】对于A，无重复数学的三位数的情况数为，故A正确； 对于B，为奇数的三位数的个位可选的数字有，则无重复数学且为奇数的三位数的情况数为，故B正确； 对于C，能被整除的四位数的最后两位有，则无重复数字且能被整除的四位数的情况数有，故C错误； 对于D，当千位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为且百位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为且十位比大的无重复数字的四位数的情况数有； 当千位为、百位为、十位为且个位比大的无重复数字的四位数的情况数有. 综上可得，故D错误. 故选：AB. 11. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（ ） A. 共有256种放法 B. 若每个盒子都有小球，则有24种放法 C. 若恰好有一个空盒，则有144种放法 D. 若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A：每个小球有4种放法，所以共有种放法，故A正确； 对于B：若每个盒子都有小球，则有种放法，故B正确； 对于C：先从4个小球中任选2个放入其中1个盒子中，有种放法， 再在剩下的3个盒子中任选2个放入剩下的2个小球，有种放法，所以共有种放法，故C正确； 对于D：先从4个小球中任选1个，放入编号相同的盒子中，有种放法， 再将剩下的3个小球放入编号不同的盒子中，有2种放法，所以共有种放法，故D错误. 三、填空题： 12. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 【答案】## 【解析】 【详解】由题设可取， 又，， ， 故. 13. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用回归方程求出时的预测值，再求出残差作答. 【详解】关于的回归直线方程为，当时，， 所以表中第2个记录数据的残差. 故答案为： 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 【答案】 ①. 0.1## ②. 0.3## 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解即可. 【详解】记为事件“零件为第台车床加工”， 则，，， B为事件“任取一个零件为次品”，由全概率公式得： ， 由贝叶斯公式得：. 故答案为：0.1；0.3. 四、解答题： 15. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： （1）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （2）可以排出多少个不同的三位数？ 【答案】（1）120 （2）216 【解析】 【分析】根据排列定义及分步乘法的计算原理即可求解结果． 【小问1详解】 解：三位数的每位上数字均为1，2，3，4，5，6之一． 第一步，得首位数字，有6种不同结果； 第二步，得十位数字，有5种不同结果； 第三步，得个位数字，有4种不同结果． 故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)； 【小问2详解】 三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个， 共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)． 16. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题） （1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； （2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过排列的方法求分配方案的种数； （2）用分类法或排除法求排法种数. 【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种. （2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类： ①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法； ②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法. 综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种. 17. 若，且. （1）求的展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的通项公式为，令，结合，即可求出的值，判断出的展开式中二项式系数最大的项，根据通项公式即可求解； （2）根据赋值法，令，可求出；令，得，两式相减可得，即可求解. 【小问1详解】 展开式的通项公式为， 所以令得. 又，所以，化简整理得，解得或（舍）. 故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为； 【小问2详解】 令，可知， 令，得， 所以， 故. 18. 李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表： 年龄/岁 抽取人数 有意向购买熏肉大饼的人数 （1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关? 年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 （2）用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望. 【参考数据及公式】，其中. 【答案】（1）列联表： 年龄低于 岁的人数 年龄不低于 岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 购买熏肉大饼与人的年龄有关 （2）分布列： 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据所给列表，写出列联表，计算，利用独立性检验的基本思想，判断即购买熏肉大饼与人的年龄是否有关； （2）根据二项分布的计算公式，写出它的分布列，计算期望值(可直接用二项分布的期望值公式计算）. 【小问1详解】 列联表如下： 年龄低于 岁的人数 年龄不低于 岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 零假设为购买熏肉大饼与人的年龄无关. 根据表中数据计算得：， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即购买熏肉大饼与人的年龄有关，该推断犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 由已知得，，， ，， ，. 所以随机变量的分布列为: 所以. 19. 某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. （1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； （2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】（1）25241人 （2） 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质可知，从而可求出； （2）首先求出，再根据服从二项分布可得分布列及数学期望. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. 【小问2详解】 因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市高新一中2024级高二年级阶段性质量检测（六） 数学试题 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题： 1. 书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有（ ） A. 9种 B. 45种 C. 种 D. 20种 2. 若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 设随机变量X的概率分布列为 则（ ） A. B. C. D. 4. 设，且，则（ ） A. 0.3 B. 0.35 C. 0.4 D. 0.45 5. 孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个数学问题之一，2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，可以直观的描述为：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数对．从8个数对，，，，，，，中任取3个，设取出的孪生素数对的个数为，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 在数学兴趣小组的活动中，甲、乙、丙三位同学计划从三个专题中各自随机选择一个专题进行深入研究.事件：甲、乙选择的专题不同；事件：乙、丙选择的专题相同，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 将一枚质地均匀的硬币连掷三次，事件“恰出现2次正面朝上”的概率记为，现采用随机模拟的方法估计的值：用计算机产生了20组随机数，其中出现“0”表示反面朝上，出现“1”表示正面朝上，结果如下，，若出现“恰有2次正面朝上”的频率记为，则（ ） A. B. C. D. 0 二、多选题： 9. 若离散型随机变量X的分布列如下表所示，则（ ） X 1 3 5 7 P 0.4 0.3 0.2 m A. B. C. D. 10. 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（ ） A. 180个无重复数字的三位数 B. 75个无重复数字且为奇数的三位数 C. 30个无重复数字且能被25整除的四位数 D. 480个无重复数字且比1300大的四位数 11. 将4个编号分别为1，2，3，4的小球放入4个编号分别为1，2，3，4的盒子中，下列说法正确的是（ ） A. 共有256种放法 B. 若每个盒子都有小球，则有24种放法 C. 若恰好有一个空盒，则有144种放法 D. 若每个盒内放一个小球，且恰好有一个小球的编号与盒子的编号相同，则有24种放法 三、填空题： 12. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的2个白球和4个黑球，现操作如下：从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球，则放进一个白球，黑球不放回（其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异），依此规则操作2次，记袋中的白球个数为，则的数学期望为_______. 13. 已知的取值如下表： 1 2 3 4 32 48 72 88 根据表中的数据求得关于的回归直线方程为，则表中第2个记录数据的残差__________. 14. 甲、乙、丙3台机床加工统一型号的零件，它们加工的零件依次占总数的，，，已知甲机床加工的次品率为0.05，乙机床加工的次品率为0.15，丙机床加工的次品率为0.15，加工出来的零件混放在一起，现从中任取一个零件为次品的概率为_____，该次品来自乙机床的概率为_____． 四、解答题： 15. 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时： （1）各位数字互不相同的三位数有多少个？ （2）可以排出多少个不同的三位数？ 16. 高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题） （1）社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数； （2）活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数. 17. 若，且. （1）求的展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 18. 李连贵熏肉大饼是吉林省四平市极具传统特色的美味小吃，有着悠久的历史，创始于1908年，距今已经有着一百多年的历史了.李连贵熏肉大饼的制作方法十分考究，选用猪肉和面粉为主要原料，将猪肉制作成熏肉，在加上公丁香，肉䓕，沙仁等几十种配料謷煮，最后加入调料抹在饼内，夹肉而食，吃起来外酥里软，美味可口，是一道集美味和药膳于一体的美味佳肴，很多外地游客慕名前往四平品尝.某调查机构从年龄在岁的游客中随机抽取100人，对是否有意向购买熏肉大饼进行调查，结果如下表： 年龄/岁 抽取人数 有意向购买熏肉大饼的人数 （1）若以年龄40岁为分界线，由以上统计数据完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买熏肉大饼与人的年龄有关? 年龄低于岁的人数 年龄不低于岁的人数 总计 有意向购买熏肉大饼的人数 无意向购买熏肉大饼的人数 总计 （2）用样本估计总体，用频率估计概率，从年龄在的所有游客中随机抽取3人，设这3人中打算购买熏肉大饼的人数为，求的分布列和数学期望. 【参考数据及公式】，其中. 19. 某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. （1）若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； （2）从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $