8．2 立体图形的直观图（思维导图+3大知识点+3大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8．2 立体图形的直观图 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 4 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 4 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：水平放置平面图形直观图的绘制 5 题型二：空间几何体直观图的画法 8 题型三：直观图还原平面图形的相关计算 10 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型一：水平放置平面图形直观图的绘制 【典例1-1】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【解析】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使, 第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接, 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图. 【典例1-2】（2026·高一·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【解析】（1）由斜二测画法：纵向减半，横向不变； 即可知、的对应点为、， 而、对应点位置不变，即、， 则四边形的直观图如下图示： （2）原图的面积， 直观图的面积. 【方法技巧与总结】（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项） 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段． 【变式1-1】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【解析】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示). 【变式1-2】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【解析】（1）在已知正方形中，，取所在直线为轴， 如图所示， 画出对应的轴，使，，，如图所示， 即四边形即为正方形的直观图. （2）取等腰梯形底边的中点，连接，以为原点，以所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得等腰梯形的直观图为， 以为原点，以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 画出对应的轴，使，结合斜二测画法的画法，如图所示， 可得平行四边形的直观图为. 【变式1-3】（2026·高二·上海宝山·月考）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形的直观图， 如图所示，则的面积为. 题型二：空间几何体直观图的画法 【典例2-1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【解析】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【典例2-2】画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 【解析】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使，． （2）画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段，使，在y轴上取线段，使． 连接，，则为三棱台的下底面的直观图． （3）画上底面在z轴上取，使，过点作，， 建立平面直角坐标系．在中，类似步骤（2）的画法得上底面的直观图． （4）连线成图．连接，，，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线， 则三棱台即为要画的三棱台的直观图（如图②所示）． 【方法技巧与总结】（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【变式2-1】画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【解析】(1)作水平放置的正方形的直观图，使，. (2)过点A作z′轴，使，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取. (3)连接如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图． 【变式2-2】泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【解析】先按照斜二测画法画出直四棱柱的直观图； 以直四棱柱的上底面为三棱柱的侧面画出三棱柱的直观图． 直观图如图所示． 【变式2-3】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 【解析】（1）画轴．画轴、轴、轴，使，． （2）画底面．根据轴、轴，画正六边形的直观图ABCDEF． （3）画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作轴的平行线， 在这些平行线上分别截取、、、、、都等于1.5 cm. （4）成图．顺次连接，，，，，，去掉辅助线， 将被遮挡的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图． 题型三：直观图还原平面图形的相关计算 【典例3-1】（2026·高一·福建·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知直观图为等腰梯形，，，， 则； 将直观图复原为原图，如图所示： 则，，， 作于F，则， 所以， 故四边形的周长为. 【典例3-2】（2026·高一·福建·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（    ）． A．4 B． C． D．8 【答案】A 【解析】因为，， 所以， 如图所示，还原直观图得原图： 所以， 则原平面图形的面积为． 【方法技巧与总结】（直观图还原注意事项） 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【变式3-1】（2026·高一·福建·期中）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用斜二测画法规则作出原图形，再求出三角形各条边长即可． 在直观图中，，所以， 如图对应的原图形为，则，， 所以，故的周长为， 【变式3-2】（2026·高一·全国·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】D 【解析】对于A、B，由题设易得，原平面图如下，， ，故A、B错误； 对于C，四边形的面积为：，即C错误． 对于D，在原图形中，过作交于点，则， 由勾股定理得， 故四边形的周长为：，即D正确； 【变式3-3】（2026·高一·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解析】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8．2 立体图形的直观图 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 4 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 4 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：水平放置平面图形直观图的绘制 5 题型二：空间几何体直观图的画法 6 题型三：直观图还原平面图形的相关计算 7 知识点一：用斜二测画法画平面图形的直观图的步骤 （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来地一半． 知识点二：用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 （1）画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可． （2）画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线（与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可），连线成图． （3）擦去辅助线，被遮线用虚线表示． 知识点三：斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 题型一：水平放置平面图形直观图的绘制 【典例1-1】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【典例1-2】（2026·高一·安徽芜湖·期中）（1）画出图中水平放置的四边形的直观图； （2）求出原图和直观图的面积．    【方法技巧与总结】（画水平放置的平面图形的直观图的注意事项） 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段． 【变式1-1】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【变式1-2】用斜二测画法画出下列图形： (1)水平放置的边长为的正方形； (2)水平放置的梯形和平行四边形； 【变式1-3】（2026·高二·上海宝山·月考）画出图中水平放置的四边形的直观图，并求出直观图中三角形的面积.    题型二：空间几何体直观图的画法 【典例2-1】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【典例2-2】画出一个三棱台，其上、下底面分别是边长为1，2的正三角形，高为2． 【方法技巧与总结】（画空间几何体的直观图的注意事项） （1）首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°（或135°），它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直． （2）作空间图形的直观图时平行于x轴的线段画成平行于x′轴的线段并且长度不变． （3）平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半． （4）平行于z轴的线段画成平行于z′轴的线段并且长度不变． 【变式2-1】画出棱长为3cm的正方体的直观图． 【变式2-2】泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续该市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个直四棱柱和一个三棱柱的组合体，请画出其直观图（尺寸自定）． 【变式2-3】画正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图．（底面边长尺寸不作要求，侧棱长为1.5 cm） 题型三：直观图还原平面图形的相关计算 【典例3-1】（2026·高一·福建·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·高一·福建·期中）如图，为水平放置的的直观图，其中，，则原平面图形的面积为（    ）． A．4 B． C． D．8 【方法技巧与总结】（直观图还原注意事项） 由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【变式3-1】（2026·高一·福建·期中）如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则这个平面图形的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·高一·全国·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式3-3】（2026·高一·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $