10．1 随机事件与概率（思维导图+1大知识点+8大题型）讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦“随机事件与概率”核心知识点，系统梳理从随机试验、样本空间到事件关系与运算，再到古典概型及概率基本性质的逻辑脉络，搭建从概念理解到性质应用的学习支架。 资料含思维导图助力知识结构化，题型分层设计从基础样本空间确定到进阶复杂古典概型计算，典例与变式结合培养抽象能力和推理意识。课中辅助教师高效授课，课后通过方法总结与练习帮助学生查漏补缺，提升用数学语言解决实际问题的能力。

10．1 随机事件与概率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：随机事件与概率 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：确定试验样本空间 7 题型二：区分必然、不可能与随机事件 8 题型三：判定事件间逻辑关系 10 题型四：进行各类事件综合运算 12 题型五：基础古典概型概率求解 13 题型六：进阶复杂古典概型计算 15 题型七：梳理概率核心基本性质 19 题型八：活用概率性质解题应用 21 知识点一：随机事件与概率 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 2、随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 3、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 4、随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 5、必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 6、事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 7、概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 8、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 9、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 题型一：确定试验样本空间 【典例1-1】甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【解析】（1）样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳）． （2）“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布）三个样本点． （3）“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）三个样本点． （4）“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布）三个样本点． 【典例1-2】袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 【解析】（1）红，白，黄，黑，样本点的总数为4． （2）一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红球、白球各一个， 则样本空间（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），样本点的总数为6． （3）先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 第一次第二次 红 白 黄 黑 红 （白，红） （黄，红） （黑，红） 白 （红，白） （黄，白） （黑，白） 黄 （红，黄） （白，黄） （黑，黄） 黑 （红，黑） （白，黑） （黄，黑） 则样本空间为（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑，黄），（黄，白），（白，黄），（白，黑），（黑，白），样本点的总数为12． 【方法技巧与总结】（写样本空间的注意事项） 在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏． 【变式1-1】写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【解析】（1）如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ，． （2）设正品为，次品为，样本空间． 【变式1-2】根据例3中的样本空间，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件的含义． 【解析】事件“出现的点数之和大于8”的所有样本点为 （3，6），（4，5），（4，6），（5，4），（5，5），（5，6），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）； 事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同． 【变式1-3】先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 【解析】（1）一共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种不同的结果， 其样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） （2）因为“一枚正面，一枚反面”，包括（正，反），（反，正）． 所以出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种. 题型二：区分必然、不可能与随机事件 【典例2-1】（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 【典例2-2】（2026·高一·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】B 【解析】因为非空集合满足, 所以，对于A，根据子集的定义，任意必然有，这是必然事件，A选项正确； 对于B，当时，仍有可能，例，，取满足但，故B选项错误； 对于C，任取，则或都有可能，是随机事件，故C选项正确； 对于D，任取，则一定成立，是必然事件，故D选项正确. 故选：B 【方法技巧与总结】：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【变式2-1】（2026·高二·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【答案】C 【解析】在掷骰子试验中， 朝上面的点数为3点，可能发生也可能不发生， 所以事件：朝上面的点数为3点，为随机事件. 故选：C 【变式2-2】（2026·高一·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【答案】C 【解析】A.摸出的是3个白球是不可能事件，不符合题意； B.摸出的是3个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意； C.摸出的球中至少有1个是黑球是必然事件，符合题意； D.摸出的是2个白球、1个黑球有可能发生也有可能不发生，不符合题意. 故选：C. 【变式2-3】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【解析】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 题型三：判定事件间逻辑关系 【典例3-1】（2026·高一·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【解析】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 【典例3-2】（2026·高二·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【答案】C 【解析】某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，， 则表示共中靶0次，表示共中靶1次， 所以表示共中靶0次或1次，所以其对立事件表示共中靶至少2次. 故选：C. 【方法技巧与总结】（事件关系的判断方法） （1）两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【变式3-1】（2026·高二·湖北十堰·月考）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【答案】D 【解析】由题设，样本空间，事件，事件，事件，事件， 所以是互斥事件，也是对立事件，、均不是互斥事件，是互斥事件，但不是对立事件. 故选：D 【变式3-2】（2026·高一·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 【变式3-3】（2026·高二·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【解析】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 题型四：进行各类事件综合运算 【典例4-1】（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 【典例4-2】（2026·高二·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【解析】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 【方法技巧与总结】：（事件运算的规律） （1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． （2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算． 【变式4-1】掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，所以有；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，所以事件A与事件B之间不存在包含关系． 【变式4-2】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【解析】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C 【变式4-3】（2026·高二·广东佛山·月考）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 题型五：基础古典概型概率求解 【典例5-1】现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意数学、物理、化学共3本书为理科书，故所求概率为． 故选：C. 【典例5-2】（2026·高一·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，可能出现的情况为：， ，， ，， 共种， 其中至少出现一次1点的情况有：，共种， 故至少出现一次1点的概率是. 故选：B 【方法技巧与总结】（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【变式5-1】（2026·高二·山东济宁·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连续抛两次骰子样本总量为， 由点数均为正整数，可得 当时，， 当时，， 当时，， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 当时，，不符合题意舍去， 所以满足题设条件的样本点有， 即的概率， 故选：C. 【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是. 故选：A. 【变式5-3】（2026·高一·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】经统计得共有18个结果，其中共有7个1，可得频率为， 由频率估计概率，得. 故选：B. 题型六：进阶复杂古典概型计算 【典例6-1】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【解析】（1）由题意，． （2）九年级人数为， 现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，应在九年级抽取的人数为（名）． （3）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数，男生数记为， 由（2）知，，． 满足题意的所有样本点是 ，共11个， 其中事件包含的样本点是共5个， ． 【典例6-2】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【解析】（1），． （2）设九年级女生比男生少为事件，九年级女生数、男生数记为， 由（1）知，，，． 满足题意得所有样本点是，共11个， 事件A包含的样本点是，共5个． 因此． （3）设“抽到女生”，“抽到九年级学生”，由（2）知， 又，， 全校女生共有（名）， 则有，，． 该学生是女生或九年级学生的概率为． 【方法技巧与总结】（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1． 这两种情况下基本事件总数是不同的． 【变式6-1】（2026·高一·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . （2）记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 【变式6-2】（2026·高二·上海·期中）某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 【解析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得. 竞赛的平均成绩为分. （2）用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人， 其中竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、， 竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、， 样本空间为 ，则， 记事件从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内， 则，则， 故. 【变式6-3】（2026·高一·贵州遵义·期末）近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【解析】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 题型七：梳理概率核心基本性质 【典例7-1】（2026·广东广州·一模）事件，，且，则______． 【答案】/ 【解析】因为事件，， 所以， 因为， 所以，. 故答案为： 【典例7-2】（2026·高三·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【答案】0.2/ 【解析】因为为互斥事件，则， 所以. 【方法技巧与总结】（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【变式7-1】（2026·高二·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【答案】0.4/ 【解析】因为，，， ， 解得. 故答案为：0.4. 【变式7-2】（2026·高一·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【解析】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 【变式7-3】（2026·高二·贵州贵阳·月考）若事件与事件互斥，且，，则______. 【答案】/ 【解析】因为事件与事件互斥，则， 又因为，所以. 故答案为：. 题型八：活用概率性质解题应用 【典例8-1】一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【解析】从袋中任取1球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为，，，， 则有，， ． 解得，，． 因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，． 故答案为：. 【典例8-2】某公司面临一个决策问题，有两种策略可选：策略A和策略B． 选择策略有的概率获得100万元收益，的概率获得50万元收益． 选择策略先进行市场调研，花费10万元．调研结果有两种可能：结果1（概率）：此时有的概率获得150万元收益，的概率获得30万元收益．结果2（概率）：此时有的概率获得120万元收益，的概率获得20万元收益． 公司希望最大化期望净收益（总收益减去成本）．请问公司应选择哪种策略？期望净收益是多少？ 【解析】问题中，策略A的期望净收益：万元， 策略B的期望收益：调研结果1（概率）： 期望收益为万元， 调研结果2（概率）：期望收益为万元， 因此，策略B的总期望收益（不含调研成本）： 万元 扣除调研成本10万元，策略B的期望净收益为：万元， 比较万元和万元，策略B的期望净收益更高． 因此，公司应选择策略B，期望净收益为96.2万元． 【方法技巧与总结】（概率性质的应用） 1、对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式． 2、运用事件的概率加法公式解题的步骤：（1）确定题中哪些事件彼此互斥；（2）将待求事件拆分为几个互斥事件之和；（3）先求各互斥事件分别发生的概率，再求和． 【变式8-1】（2026·高一·全国·单元测试）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【解析】（1）由所给数据可知，一等品零件共有5个，非一等品有3个，直径分别为1.48，1.47，1.53，编号分别为，，， 则从中随机有放回地依次抽取2个，样本空间，共9个样本点， 其中不包含的有4个样本点，故至少包含一个直径为1.48的零件的概率为． （2）一等品零件的编号为，，，，，从这5个一等品零件中不放回地依次随机抽取2个，样本空间 ，共20个样本点． 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件B，则，共8个样本点． 所以． 【变式8-2】从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【解析】（1）给两个红球编号为，给两个白球编号为， 从口袋中任取两个球，用表示取出的两个球， 则试验的样本空间为， 设“至少有1个白球”，则． 设“都是白球”，，所以， （2）设“至少有一个红球”，则．， 因为，所以A和C不互斥． （3）设“都是红球”，则． 因为，，所以A和D为对立事件． 【变式8-3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率． 【解析】将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来； 如图，样本点的总数为24， 解法一：设事件为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”， 事件为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件只包含1个样本点，所以， 事件为“这四人中有2人坐在自己的席位上”，则事件包含6个样本点， 则，且事件与为互斥事件， 所以． 解法二：设事件为“这四人恰好都没有坐在自己的席位上”，则事件包含9个样本点， 所以，设事件为“这四人中恰好有1人坐在自己的席位上”， 则事件包含8个样本点，所以，且事件与为互斥事件， 设事件为“这四人中至少有2人坐在自己的席位上”，则， 所以． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．1 随机事件与概率 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：随机事件与概率 4 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：确定试验样本空间 7 题型二：区分必然、不可能与随机事件 8 题型三：判定事件间逻辑关系 9 题型四：进行各类事件综合运算 9 题型五：基础古典概型概率求解 10 题型六：进阶复杂古典概型计算 11 题型七：梳理概率核心基本性质 13 题型八：活用概率性质解题应用 14 知识点一：随机事件与概率 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 2、随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 3、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 4、随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 5、必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 6、事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 7、概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 8、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 9、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 题型一：确定试验样本空间 【典例1-1】甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【典例1-2】袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 【方法技巧与总结】（写样本空间的注意事项） 在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏． 【变式1-1】写出下列试验的样本空间： (1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况； (2)从一批产品（次品和正品的个数均大于3件）中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况. 【变式1-2】根据例3中的样本空间，写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件的含义． 【变式1-3】先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 题型二：区分必然、不可能与随机事件 【典例2-1】（2026·高一·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2-2】（2026·高一·江西南昌·期末）给出关于满足的非空集合的四个命题，其中错误的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【方法技巧与总结】：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【变式2-1】（2026·高二·四川巴中·期末）在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（   ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．以上答案都不对 【变式2-2】（2026·高一·河北邯郸·开学考试）在一个不透明的袋子中装有形状、大小 、质地完全相同的5个球，其中3个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是（    ） A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球 C．摸出的球中至少有1个是黑球 D．摸出的是2个白球、1个黑球 【变式2-3】下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 题型三：判定事件间逻辑关系 【典例3-1】（2026·高一·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【典例3-2】（2026·高二·广东江门·期末）某人打靶连续射击3次，设“共中靶次”，，则的对立事件是（   ） A．“全部中靶” B．“至少中靶1次” C．“至少中靶2次” D．“至多中靶1次” 【方法技巧与总结】（事件关系的判断方法） （1）两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【变式3-1】（2026·高二·湖北十堰·月考）抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”， 事件D为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（    ） A．A与B B．A与C C．B与C D．A与D 【变式3-2】（2026·高一·贵州遵义·期末）一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式3-3】（2026·高二·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 题型四：进行各类事件综合运算 【典例4-1】（2026·高二·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高二·福建宁德·阶段检测）打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【方法技巧与总结】：（事件运算的规律） （1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． （2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算． 【变式4-1】掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【变式4-3】（2026·高二·广东佛山·月考）向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 题型五：基础古典概型概率求解 【典例5-1】现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，其中数学、物理、化学为理科书，从中任取1本，取出的是理科书的概率（   ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·江西南昌·期末）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，则至少有1次掷出1点的概率是（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 【变式5-1】（2026·高二·山东济宁·期末）将一颗质地均匀的正方体骰子，先后抛掷两次，将落地时面朝上的点数分别记为，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·高二·广东江门·期末）已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·高一·河南焦作·期末）现某人随机进行二进制码0，1的输入，输入结果如下：0，0，1，0，1，0，1，0，0，1，1，0，0，0，0，1，0，1，用频率估计概率，记其输入1的概率为，则（   ） A． B． C． D． 题型六：进阶复杂古典概型计算 【典例6-1】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为． (1)求x的值； (2)现用分层随机抽样的方法在全校抽取48名学生，问：应在九年级中抽取多少名？ (3)已知，求九年级中女生比男生少的概率． 【典例6-2】某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表： 七年级 八年级 九年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到八年级女生的概率为0.19． (1)求x的值； (2)已知，，求九年级中女生比男生少的概率； (3)已知，在全校学生中随机抽取一名学生，则该学生是女生或是九年级学生的概率是多少？ 【方法技巧与总结】（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少1． 这两种情况下基本事件总数是不同的． 【变式6-1】（2026·高一·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) (2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【变式6-2】（2026·高二·上海·期中）某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； (2)若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 【变式6-3】（2026·高一·贵州遵义·期末）近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 题型七：梳理概率核心基本性质 【典例7-1】（2026·广东广州·一模）事件，，且，则______． 【典例7-2】（2026·高三·上海·月考）已知A、B为互斥事件，且，则______． 【方法技巧与总结】（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【变式7-1】（2026·高二·广东江门·期末）已知，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_____. 【变式7-2】（2026·高一·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【变式7-3】（2026·高二·贵州贵阳·月考）若事件与事件互斥，且，，则______. 题型八：活用概率性质解题应用 【典例8-1】一个袋中有12个小球，它们共有4种颜色，分别是红、黑、黄、绿．从中任取1球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是．试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 【典例8-2】某公司面临一个决策问题，有两种策略可选：策略A和策略B． 选择策略有的概率获得100万元收益，的概率获得50万元收益． 选择策略先进行市场调研，花费10万元．调研结果有两种可能：结果1（概率）：此时有的概率获得150万元收益，的概率获得30万元收益．结果2（概率）：此时有的概率获得120万元收益，的概率获得20万元收益． 公司希望最大化期望净收益（总收益减去成本）．请问公司应选择哪种策略？期望净收益是多少？ 【方法技巧与总结】（概率性质的应用） 1、对于一个较复杂的事件，一般将其分解为几个简单的事件．当这些事件彼此互斥时，即可用概率加法公式． 2、运用事件的概率加法公式解题的步骤：（1）确定题中哪些事件彼此互斥；（2）将待求事件拆分为几个互斥事件之和；（3）先求各互斥事件分别发生的概率，再求和． 【变式8-1】（2026·高一·全国·单元测试）抽取某车床生产的8个零件，编号为，，…，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品． (1)从上述非一等品的零件中，有放回地依次随机抽取2个，求至少包含一个直径为1.48的零件的概率； (2)从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率． 【变式8-2】从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件的关系： (1)至少有1个白球，都是白球； (2)至少有1个白球，至少有一个红球； (3)至少有一个白球，都是红球． 【变式8-3】有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时，求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $