7．1 复数的概念（思维导图+3大知识点+8大题型）（讲义）-2025-2026学年高一下学期数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版必修第二册）

7．1 复数的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的基本概念 4 知识点二：复数相等的充要条件 5 知识点三：复数的几何意义 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：复数的基本概念 7 题型二：复数的类型划分 8 题型三：复数相等的充分必要条件 9 题型四：复数与复平面内点的对应关系 10 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 11 题型六：复数的模及其综合应用 13 题型七：复数模的几何意义解析 15 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 16 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一：复数的基本概念 【例题1】以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【答案】 【解析】复数的虚部为2，的实部为，故新复数为． 故答案为： 【例题2】（2026·高一·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 【答案】（4） 【解析】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1】（2026·高三·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______. 【答案】 【解析】由复数，可得复数的虚部为. 故答案为： 【变式2】（2026·高一·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【答案】-1 【解析】由题可知：的虚部是-1. 故答案为：-1 【变式3】（2026·高一·北京·月考）给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________． 【答案】1 【解析】对于①，实数集是复数集的子集，故①错误，对于②，虚数都不是实数，②正确，对于③，复数为纯虚数的充要条件是，故③错误，对于④，的平方根为，故④错误，真命题只有1个 故答案为：1 题型二：复数的类型划分 【例题3】（2026·高一·河南省直辖县级单位·月考）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：__________. 【答案】 【解析】由，解得，故. 故答案为： 【例题4】已知复数为纯虚数，则实数_____． 【答案】0 【解析】根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解． 复数为纯虚数，所以，解得． 故答案为：0 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式4】已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【答案】 【解析】复数是纯虚数， 故，解得，故. 【变式5】复数是实数，则实数的值为________． 【答案】 【解析】由题意得，解得或， 且，即，故的值为， 故答案为：． 【变式6】（2026·高三·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】由题意可得，解得. 故答案为：. 题型三：复数相等的充分必要条件 【例题5】若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】. 故选：D 【例题6】（2026·高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】由，所以，，则. 故选：A 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式7】（2026·高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为， 所以，. 故选：B. 【变式8】（2026·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【解析】由题意得，，解得，所以. 故选：C 【变式9】（2026·高一·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以，，故，故C正确. 故选：C. 题型四：复数与复平面内点的对应关系 【例题7】（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】根据复数的几何意义，复数在复平面内对应的点为， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【例题8】（2026·高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】，复数在复平面内对应的点为， 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式10】（2026·高三·全国·月考）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数的共轭复数为，在复平面内所对应的点的坐标为，故位于第三象限. 故选：C 【变式11】（2026·高三·四川·开学考试）设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】不妨设，，，则， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选:C. 【变式12】设复数，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由有： ， 又，所以对应的点在第三象限， 故选：C. 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 【例题9】（2026·高一·福建漳州·期中）在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，则. 故选：B. 【例题10】（2026·浙江·一模）已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【解析】复数，则， 所以， 故. 故选：B 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式13】（2026·高一·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，则点， 所以向量对应的复数为. 故选：D 【变式14】（2026·高一·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 利用数形结合，可知：将绕点O按顺时针方向旋转， 得到对应的复数是, 故选：A. 【变式15】（2026·高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【解析】依题意得，， 则， 得向量所对应的复数在复平面上所对应的点为：， 则点位于第一象限， 故选：A 题型六：复数的模及其综合应用 【例题11】（2026·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【解析】由得，，所以，， 解得，，所以. 故选：C. 【例题12】（2026·高三·福建福州·月考）已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【解析】因为为实数，则，即， 所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式16】（2026·高三·河南·月考）已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】因为为实数， 所以，解得，则， 故选：B 【变式17】（2026·高三·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【答案】B 【解析】因为，所以，解得． 因为在复平面内对应的点在第一象限，所以． 【变式18】（2026·高二·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 题型七：复数模的几何意义解析 【例题13】（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【例题14】（2026·高三·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆， 故的范围为. 故选：D. 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式19】（2026·高一·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【答案】D 【解析】在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为， 得到对应的以原点为始点的向量依次为， 则， 可得，同理可得， 因为复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上， 所以这些点都在以原点为圆心、半径为的圆上， 所以，解得. 故选：D. 【变式20】（2026·高一·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，复数，代入得，故A不符合题意； 对于B，复数，代入得，故B符合题意； 对于C，复数，代入得，故C不符合题意； 对于D，复数，代入得，故D不符合题意. 故选：B 【变式21】（2026·高一·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，满足的点的集合组成的图形是以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环， 则其面积为. 故选：B. 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 【例题15】（2026·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【答案】C 【解析】设，由， 则，所以， 解得，所以，当且仅当时取等号， 所以有最小值，无最大值． 故选：C 【例题16】（2026·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】表示以为圆心，为半径的圆， 则圆心C到点的距离， 则的最大值为. 故选：A 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式22】（2026·高一·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由，得， 所以复数在复平面内对应的点到点的距离恒等于1， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径， 即. 故选：B. 【变式23】（2026·高一·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以的最大值为. 故选：A. 【变式24】（2026·高二·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】表示对应的点是圆心为，半径为的圆上的点，   的几何意义表示该圆上的点和点之间的距离， 而圆心到点的距离为， 所以的最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故选：D. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 7．1 复数的概念 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：复数的基本概念 4 知识点二：复数相等的充要条件 5 知识点三：复数的几何意义 5 04 题型归纳，举一反三 7 题型一：复数的基本概念 7 题型二：复数的类型划分 7 题型三：复数相等的充分必要条件 8 题型四：复数与复平面内点的对应关系 8 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 9 题型六：复数的模及其综合应用 9 题型七：复数模的几何意义解析 10 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 11 知识点一：复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点二：复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点三：复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一：复数的基本概念 【例题1】以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是____________． 【例题2】（2026·高一·云南怒江·期末）给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是________. 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1】（2026·高三·福建厦门·期中）若复数，则的虚部为______. 【变式2】（2026·高一·上海松江·期末）复数（其中为虚数单位）的虚部是______． 【变式3】（2026·高一·北京·月考）给出下列几个命题：①若是实数，则可能不是复数；②若是虚数，则不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④没有平方根．其中真命题的个数为__________． 题型二：复数的类型划分 【例题3】（2026·高一·河南省直辖县级单位·月考）已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论：__________. 【例题4】已知复数为纯虚数，则实数_____． 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式4】已知，i是虚数单位，复数．若z是纯虚数，m的值为________ 【变式5】复数是实数，则实数的值为________． 【变式6】（2026·高三·上海杨浦·开学考试）设为虚数单位，若为纯虚数，则实数__________. 题型三：复数相等的充分必要条件 【例题5】若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【例题6】（2026·高一·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式7】（2026·高一·湖南郴州·期末）已知，为实数，（为虚数单位），则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8】（2026·河北邢台·三模）若，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式9】（2026·高一·河南郑州·期中）若实数x，y满足，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 题型四：复数与复平面内点的对应关系 【例题7】（2026·河北·模拟预测）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题8】（2026·高二·云南·学业考试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式10】（2026·高三·全国·月考）设，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式11】（2026·高三·四川·开学考试）设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式12】设复数，则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型五：复数与复平面内向量的对应关系 【例题9】（2026·高一·福建漳州·期中）在复平面内，复数z对应的向量，则（    ）． A． B． C． D． 【例题10】（2026·浙江·一模）已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式13】（2026·高一·河北邯郸·期中）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为，若点A关于实轴的对称点为B，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式14】（2026·高一·广东广州·期末）已知向量对应的复数为，将绕点O按顺时针方向旋转，得到，则向量对应的复数是（    ）． A． B． C． D． 【变式15】（2026·高一·上海·期末）设复数和在复平面上所对应的点分别为和，其中为虚数单位，则向量所对应的复数在复平面上所对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 题型六：复数的模及其综合应用 【例题11】（2026·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设，其中，是实数，则（    ） A．4 B． C． D．2 【例题12】（2026·高三·福建福州·月考）已知为实数，则（   ） A． B．2 C． D．5 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式16】（2026·高三·河南·月考）已知为实数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【变式17】（2026·高三·陕西西安·开学考试）已知复数在复平面内对应的点在第一象限，且，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．-4 【变式18】（2026·高二·浙江温州·月考）已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 题型七：复数模的几何意义解析 【例题13】（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例题14】（2026·高三·江西吉安·月考）已知复数满足，则不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式19】（2026·高一·山东青岛·期末）在复平面内，复数，，，对应的点，，，在同一个圆周上，则实数（    ）． A． B． C．或2 D．或2 【变式20】（2026·高一·江苏南京·期末）复数在复平面内对应的点满足，则以下选项中的点在复数所构成图形上的是（    ） A． B． C． D． 【变式21】（2026·高一·广东湛江·期中）已知复数z在复平面内对应的点为Z，则满足的点的集合组成的图形的面积是（   ） A． B． C． D． 题型八：复数相关轨迹与最值求解问题 【例题15】（2026·安徽·三模）已知复数满足，则（   ） A．有最小值2 B．有最大值2 C．有最小值 D．有最大值 【例题16】（2026·湖北黄冈·一模）已知，且，为虚数单位，则的最大值是（　　） A． B． C．2 D． 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式22】（2026·高一·甘肃白银·期末）已知复数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式23】（2026·高一·上海黄浦·期末）已知，且，则（为虚数单位）的最大值为（   ）． A． B． C． D． 【变式24】（2026·高二·北京怀柔·期中）已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $