10.2 事件的相互独立性（思维导图+2大知识点+4大题型） 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“事件的相互独立性”核心知识点，系统梳理相互独立事件的概念（若P(AB)=P(A)P(B)则事件独立）和性质（对立事件也独立、同时发生概率公式），衔接事件的互斥与对立等基础概念，构建从定义到应用的学习支架。 该资料以题型归纳为亮点，设判断事件独立、求解概率、综合解题、方程思想四类题型，结合骰子问题、乒乓球比赛等典例及变式练习，培养数学眼光观察事件关系、数学思维推理运算，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固应用、查漏补缺。

10．2 事件的相互独立性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：相互独立事件的概念 4 知识点二：相互独立事件的性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：判断事件是否相互独立 5 题型二：求解相互独立事件概率 7 题型三：相互独立事件概率综合解题 9 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 14 知识点一：相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 知识点二：相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 题型一：判断事件是否相互独立 【典例1-1】（2026·高一·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【解析】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 【典例1-2】（2026·高一·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【解析】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 【方法技巧与总结】 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【变式1-1】（2026·高一·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【答案】D 【解析】用每次取球的结果，分别表示甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球的标号， 由题意可知：样本空间； 事件；事件，； 对于选项A：因为，所以事件A和不相等，故A错误； 对于选项BD：因为事件， 所以事件A和互斥，事件A和不互相对立，故B错误，D正确； 对于选项C：因为， 则， 显然，所以事件A和不相互独立，故C错误； 故选：D. 【变式1-2】（2026·高一·河南安阳·月考）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【答案】C 【解析】袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 从中随机取出两个球的试验样本空间包含的样本点为：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个， 其中事件A包含的样本点为：（1,3），（1,5），（3,5）共3个，故， 事件B包含的样本点为：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7个，故； 事件C包含的样本点为：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4个，故， 事件D包含的样本为：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个，故， 因为事件，，故事件A与B互斥且对立，故A，B正确； 因为,所以C与D不相互独立，故C错误. 因为,所以C与D不互斥，故D正确. 故选:C. 【变式1-3】（2026·高一·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【解析】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 题型二：求解相互独立事件概率 【典例2-1】（2026·高二·湖南衡阳·期末）现有一项“过关游戏”规则如下：在第关要抛掷一枚骰子次，若这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关，每个人过每个关卡都是相互独立的，则小王在前两关中至少有一关过关的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知第1关过关的概率为，第2关过关的概率为， 所以小王在前两关中至少有一关过关的概率为. 故选：D 【典例2-2】（2026·高一·北京顺义·期末）一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（    ） A．0.985 B．0.765 C．0.220 D．0.015 【答案】A 【解析】设模块一正确识别命令为事件，模块二正确识别命令为事件， 则，. 因为两个模块是独立的，所以至少有一个正确识别的概率为. 故选：A. 【方法技巧与总结】 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式2-1】（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以， 展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 【变式2-2】（2026·高一·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 【变式2-3】（2026·高一·北京房山·期末）甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.46 D．0.58 【答案】D 【解析】方法一： 设“甲成功破译密码”为事件A，“乙成功破译密码”为事件B. 则. 所以，，. 所以密码被成功破译的概率为. 方法二： 密码不能被成功破译的概率为， 所以密码被成功破译的概率为. 故选：D. 题型三：相互独立事件概率综合解题 【典例3-1】（2026·高二·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【解析】（1）打完两局比赛结束说明甲连胜两局或乙连胜两局， 记甲第局胜为事件，乙第局胜为事件， 所以，打完两局比赛结束的概率为： （2）打满局结束，当且仅当比赛在前局和前局均未结束， 即前局比分为且前局比分为， 所以，所求概率为： （3）甲获胜包括：前两局甲获胜，或前4局中甲胜3局乙胜1局，或前4局甲乙各胜两局且第5、6局甲获胜. 所以，甲获胜的概率： 【典例3-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【解析】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 【方法技巧与总结】 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【变式3-1】（2026·高二·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【解析】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为. 若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为. 故所求概率为. （2）分三种情况. 第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜， 其概率为. 第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了. 因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负， 其概率为. 第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了. 其概率为. 故所求概率为. （3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜. 此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜. 此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打. 其概率为. 故所求概率为 【变式3-2】（2026·高一·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【解析】（1）记三个红球分别为，，，两个白球分别为，，蓝球为， 则6个球中一次摸出两球的样本空间为： ， 则，且每个样本点出现的可能性相等，所以这是一个古典概型.     记事件“甲获得一等奖”，则，，     所以，所以甲获得一等奖的概率为. （2）记事件“乙第次摸得两个红球”，事件“乙第次摸得一红一蓝两个球”， 事件“乙第次摸得一白一蓝两个球”，事件“乙第次未摸到蓝球”，其中，2. 由（1）知； ，；     ，；     ，.     则，，与相互独立. 所以.     因为，且事件，，两两互斥，两次抽奖相互独立， 所以 .     因为，且，互斥，两次抽奖相互独立， 所以.     所以，所以事件与事件不相互独立. 【变式3-3】（2026·高一·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 【解析】（1）设“甲乙两人至少有一人全部答对”， 则两两互斥，与相互独立， 且，所以． 所以 ． （2）由题知，， 设“甲乙两人一共答对三道题”， 则 ． 因为，所以， 设，则在单调递增，单调递减， 所以当时，；当时，，所以， 所以，即，当且仅当时等号成立， 故甲乙两人一共答对三道题的概率最小值为． 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 【典例4-1】（2026·高一·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【解析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 【典例4-2】（2026·高一·广东深圳·月考）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【解析】（1）由于甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是, 记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，，， 则，，， 即，， 所以，． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和． （2）有0个家庭回答正确的概率为： ， 有1个家庭回答正确的概率为： ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【方法技巧与总结】 对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【变式4-1】（2026·高一·河南安阳·期末）与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率： (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率 【解析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件A，B，C， 则，，， 即，， 所以，， 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为，． （2）有3个家庭回答正确的概率为 ， 有2个家庭回答正确的概率为 ， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【变式4-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 【解析】（1）依题意，样本空间，共包含6个样本点， 记事件C=“恰好一个小球上面标注大写英文字母、另一个小球上面标注小写英文字母”， 则，共包含4个样本点， 所以事件C的概率为. （2）依题意，事件，事件，， 由事件与事件独立，得，即，解得， 所以的值为6. （3）由（2）知，丙箱中有10个小球，所抽小球上面标注英文字母的事件为，则， 记事件=“这3个小球中至少有2个标注英文字母”，则， 所以. 【变式4-3】（2026·高一·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【解析】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 10．2 事件的相互独立性 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 知识点梳理 4 知识点一：相互独立事件的概念 4 知识点二：相互独立事件的性质 4 04 题型归纳，举一反三 5 题型一：判断事件是否相互独立 5 题型二：求解相互独立事件概率 5 题型三：相互独立事件概率综合解题 7 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 8 知识点一：相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 知识点二：相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 题型一：判断事件是否相互独立 【典例1-1】（2026·高一·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【典例1-2】（2026·高一·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【方法技巧与总结】 两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【变式1-1】（2026·高一·云南·期末）已知甲盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，乙盒中有3个大小和质地相同的小球，标号为，现从甲､乙两盒中分别随机摸出1个小球，记事件“摸到的两个小球标号相同”，事件“摸到的两个小球标号之和为奇数”，则（    ） A．事件A和相等 B．事件A和互相对立 C．事件A和相互独立 D．事件A和互斥 【变式1-2】（2026·高一·河南安阳·月考）袋子中有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中随机取出两个球，设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”，事件B=“取出的球的数字之积为偶数”，事件C=“取出的球的数字之和为偶数”，事件D=“取出的球的数字之和大于5”，则下列说法错误的是（    ） A．事件A与B是互斥事件 B．事件A与B是对立事件 C．事件C与D相互独立 D．事件C与D不是互斥事件 【变式1-3】（2026·高一·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 题型二：求解相互独立事件概率 【典例2-1】（2026·高二·湖南衡阳·期末）现有一项“过关游戏”规则如下：在第关要抛掷一枚骰子次，若这次抛掷所出现的点数的和大于，则算过关，每个人过每个关卡都是相互独立的，则小王在前两关中至少有一关过关的概率为（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2026·高一·北京顺义·期末）一个人工智能语音识别系统有两个独立的模块用于识别命令．模块一正确识别命令的概率为0.9，模块二正确识别命令的概率为0.85．若两个模块同时识别某个命令，则至少有一个正确识别的概率为（    ） A．0.985 B．0.765 C．0.220 D．0.015 【方法技巧与总结】 （1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 【变式2-1】（2026·高一·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026·高一·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·高一·北京房山·期末）甲､乙两人独立破译同一密码，甲破译密码成功的概率为0.3，乙破译密码成功的概率为0.4.则密码被成功破译的概率为（    ） A．0.7 B．0.42 C．0.46 D．0.58 题型三：相互独立事件概率综合解题 【典例3-1】（2026·高二·湖北·期中）在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． (1)求打完两局比赛结束的概率． (2)求比赛打满6局结束的概率． (3)若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 【典例3-2】（2026·高二·新疆乌鲁木齐·阶段检测）甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【方法技巧与总结】 求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【变式3-1】（2026·高二·广东·阶段检测）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立. (1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率； (2)求前4局中甲参与了3局的概率； (3)求第4局是甲、乙对打的概率. 【变式3-2】（2026·高一·福建厦门·期末）某商场开展促销活动，每消费调500元可获得一次抽奖机会.抽奖箱装有3个红球、2个白球、1个蓝球，这些球除颜色外完全相同.抽奖规则如下：一次性随机摸出2个球，若摸出2个红球，可获得一等奖；若摸出1个红球和1个蓝球，可获得二等奖. (1)已知甲在该商场消费了500元，求甲获得一等奖的概率； (2)为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满1000元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖.已知乙在该商场消费了1000元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件.判断事件与是否相互独立，并说明理由. 【变式3-3】（2026·高一·福建龙岩·期末）甲乙两位同学参加数学知识挑战赛，比赛共设置两道不同的题目，甲乙两人需要在规定时间内独自对这两道不同的题目进行解答，每道题只有一次解答机会．已知甲答对每道题的概率都为，乙答对每道题的概率都为，每次是否答对互不影响．设“甲只答对一道题”，“甲答对两道题”，“乙只答对一道题”，“乙答对两道题”. (1)若，求甲乙两人至少有一人全部答对的概率； (2)若，求甲乙两人一共答对三道题的概率的最小值． 题型四：利用方程思想解独立事件概率问题 【典例4-1】（2026·高一·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【典例4-2】（2026·高一·广东深圳·月考）某场知识竞赛比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响． (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率． 【方法技巧与总结】 对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【变式4-1】（2026·高一·河南安阳·期末）与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是．乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响， (1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率： (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率 【变式4-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期末）已知甲箱中有4个大小、形状完全相同的小球，上面分别标有大写英文字母、和小写英文字母、；乙箱中有个与甲箱大小、形状完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，…， (1)现从甲箱中任意抽取2个小球，求恰好一个小球上面标有大写英文字母、另一个小球上面标有小写英文字母的概率； (2)现从乙箱中任意抽取1个小球，设=“所抽小球上面标注的数字”，记事件=“”，事件=“”，若事件与事件独立，求的值； (3)在（2）的条件下，现将甲、乙两箱的小球都放入丙箱，充分摇匀，然后有放回地抽取3次，每次取1个小球，求这3个小球中至少有2个小球上面标有英文字母的概率． 【变式4-3】（2026·高一·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $