精品解析：重庆市第十八中学2025-2026学年八年级下学期数学 期中试题

2026年重庆18中 八年级半期数学试题 考试说明：1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：4页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 4. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 一次函数图象过第几象限（ ） A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 7. 如图，用黑白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有块白色地砖，第②个图案有块白色地砖，第③个图案有块白色地砖，…，按此规律，第⑩个图案中的白色地砖的数量是（ ）． A. B. C. D. 8. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 12. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 13. 如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 14. 若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 15. 如图，在边长为5的正方形中，，连接交于点，则__________，连接交于点，连接交于点，则__________． 16. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，为m的各个数位上的数字之和．例如：，∵，；，，∴6397不是“天平数”．求出 ______；已知M，N均为“天平数”，其中，(，，，x，b，y是整数)，，(，，，，a，b，c，d是整数)，若，求出满足条件的N的最大值______． 三、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 化简． （1）； （2） 四、解答题（本大题共7个小题，每题10分，共70分） 19. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 平分， ______． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ______， ， ， ______． ， ______， 点E是的中点， ， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ， 四边形是矩形．（______） 20. 学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是： A. B. C. D. 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八年级选手成绩扇形统计图 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； （3）若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 21. 某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． （1）A，两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 22. 如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y． （1）直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 23. 如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． （1）求直线的解析式： （2）若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 25. 已知中，对角线、相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年重庆18中 八年级半期数学试题 考试说明：1．考试时间：120分钟 2．试题总分：150分 3．试卷页数：4页 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵选项A中同时满足上述两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数是小数即分数，含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式． 2. 在，三边长分别记为、、，则满足下列条件的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理与三角形内角和定理逐一判断选项即可． 【详解】A、，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意； B、设， 三角形内角和为, ， 解得, 最大角， 不是直角三角形，该选项符合题意； C、 又 。即， 是直角三角形，该选项不符合题意； D、设 ，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，该选项不符合题意． 3. 为了解某校七年级800名学生的期中数学测试成绩，调查小组随机抽取了200名学生的期中数学测试成绩进行调查，以下说法正确的是（ ） A. 七年级800名学生是总体 B. 每名学生是个体 C. 从中抽取的200名学生是样本 D. 样本容量是200 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断即可． 【详解】A、七年级800名学生的期中数学测试成绩是总体，原说法错误； B、 每名学生的期中数学测试成绩是个体，原说法错误； C、从中抽取的200名学生的期中数学测试成绩是样本，原说法错误； D、 样本容量是200，原说法正确； 故选：D． 4. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算并化简二次根式，再估算的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值应在2和3之间， 故选：B． 5. 一次函数图象过第几象限（ ） A. 一、二、三 B. 一、三、四 C. 一、二、四 D. 二、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据一次函数解析式判断其经过的象限，由的，得出一次函数图象过第一、二、四象限，即可作答． 【详解】解：∵的， ∴一次函数图象过第一、二、四象限， 故选：C． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是平行四边形，只有对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故A是假命题，不符合题意； B．根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故B是真命题，符合题意； C．对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故C是假命题，不符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故D是假命题，不符合题意； 7. 如图，用黑白两种颜色的正五边形地砖按照一定规律拼成若干个蝴蝶图案，其中第①个图案有块白色地砖，第②个图案有块白色地砖，第③个图案有块白色地砖，…，按此规律，第⑩个图案中的白色地砖的数量是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可知，后一个图案会比前一个图案多块白色地砖， ∴第个图案有块白色地砖， 当时，， ∴第⑩个图案有块白色地砖． 8. 甲、乙两人在一条长米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发秒，在跑步过程中甲、乙两人之间的距离（米）与乙出发的时间（秒）之间的函数关系如图所示，正确的个数为（    ） ①乙的速度为米/秒； ②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； ③甲、乙两人之间的距离超过米的时间范围是； ④乙到达终点时，甲距离终点还有米． A. ①③ B. ①③④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，方程思想是解答的关键． 根据速度等于路程除以时间求解． 先求出甲的速度，再根据相遇时间路程相等，列方程求解． 根据甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒，列出不等式求出的取值，再求当乙到达终点停止运动后的取值，即可求解． 用总路程减去甲走过的路程即可． 【详解】解：①∵乙用秒跑完米 ∴乙的速度为米/秒； 故①正确； ②∵乙出发时，甲先走米，用秒钟， ∴甲的速度为米/秒， ∴乙追上甲所用时间为秒， ， 秒， ∴米， ∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点米； 故②不正确； ③甲乙两人之间的距离超过米设时间为秒， ， ， 当乙到达终点停止运动后， ， ， 甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是； 故③正确； ④乙到达终点时， 甲距终点距离为：米， 即甲距离终点还有米． 故④正确； 正确的个数为①③④． 故选：B． 9. 如图，在菱形中，的中垂线交对角线于点F，点E为垂足，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．设，由外角的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，可得，由可证，可得，列出方程可求解． 【详解】解：如图，连接，设， ， ， 四边形是菱形，的中垂线交对角线于点F， ，，． ， 垂直平分， ． ， . ，，， ． ． ． ． 故选：D． 10. 已知整式：，其中为自然数，n，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过时列出所有的二次三项式，得出非负数的整式的个数，即可求解． 【详解】解：①∵为自然数，n，，，…，为正整数， ∴当时，则有，即， ∴当，时，整式A为，当时，整式A不可能为单项式， 当时， ∵，，，为正整数， ∴整式A不可能为单项式， ∴满足条件的所有整式A有且仅有1个单项式，故①正确； ②当时，，即， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵，，均为正整数， ∴， 而当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， ∴满足条件的所有整式A的和为，故②正确； ③∵多项式为二次三项式， ∴， ∴且， 当时，， ∴的解为，，， ∴对应的整式A为，，， ∵， ，不一定是非负数， ， ∴，两种都满足条件， 当时，， ∴的解为，， ∴对应的整式A为，， ∵，， ∴，都满足条件， 当时，， ∴的解为， ∴对应的整式A为， ∵， ∴满足条件， 当时，不存在符合条件的整式， 综上，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共有5个，故③正确， ∴正确的个数是3个． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 12. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程（组），熟练掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标是解题关键．根据点的纵坐标为，代入得出的值，即可得到点的坐标，即可得答案． 【详解】解∵一次函数与的图象交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴二元一次方程组的解为， 故答案为： 13. 如图，矩形中，、交于点，平分交于点，，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，可证明是等边三角形，得到，证明是等腰直角三角形，推出，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 若关于的不等式组有解且至多个偶数解，且关于的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数的和为____ ． 【答案】 【解析】 【分析】先将每个不等式的解计算出来，根据有解且至多4个偶数解求得，则．解出分式方程的解为，由为整数，且，确定整数的所有可能取值，并求和即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∵不等式有解，且至多个偶数解， ∴， 解得， 分式方程， 两边同乘以，得， 解得， ∵为整数，且， 又∵， ∴符合条件的所有整数为，，，，和为． 15. 如图，在边长为5的正方形中，，连接交于点，则__________，连接交于点，连接交于点，则__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先在中利用勾股定理求出的长；然后证明 ，推出 ，利用等面积法求出的长；延长至，使得，连接，过点作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，，进而证明，求出的长，最后根据 求解即可 【详解】解：四边形是正方形，边长为5， ∴， ， 在中，， 由勾股定理得：； ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵ ， ∴， 设 如图，延长至，使得，连接，过点作交的延长线于点， ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形，为对角线， ∴ ∵是正方形对角线上一点，则 ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴ 16. 对于任意一个四位数m，若它的千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个四位数m为“天平数”，为m的各个数位上的数字之和．例如：，∵，；，，∴6397不是“天平数”．求出 ______；已知M，N均为“天平数”，其中，(，，，x，b，y是整数)，，(，，，，a，b，c，d是整数)，若，求出满足条件的N的最大值______． 【答案】 ①. 14 ②. 8190 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，各个位数上字母的取值范围是解答本题的关键．根据天平数的定义计算即可，利用天平数和题意列出，根据取值范围确定最大值即可． 【详解】解：根据题意天平数5234各数字之和为：； ∵M是“天平数”，，(，，，x，b，y是整数)， ， ， ∵N是“天平数”，，(，，，，a，b，c，d是整数) ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 根据和， 只存在这一情况， ①或者②， 对于方程组①，，要使得越大需要使得越大， ∵，， ∴，此时， 由得， ∴(符合题意)， ，， ∵，， ∴当， ，时，． 对于方程组②，由得即， ∴此时不能取得比更大得数， 综上所述：． 故答案为：14；8190． 三、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 化简． （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将除法转化为乘法，再计算分式的乘法即可得； （2）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 四、解答题（本大题共7个小题，每题10分，共70分） 19. 如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，是的一个外角． （1）用尺规完成以下基本作图：作的角平分线，交的延长线于点G，连接．（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若，证明：四边形是矩形．（请完成下面的填空） 平分， ______． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线， ______， ， ， ______． ， ______， 点E是的中点， ， 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ， 四边形是矩形．（______） 【答案】（1）见解析 （2），，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，矩形的判定等知识．掌握矩形的判定是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先利用角平分线的定义得到，再利用三角形中位线性质得到．则．所以，于是得到，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形是矩形． 【小问1详解】 解∶如图，、为所作∶ 【小问2详解】 证明：平分， ． 点E，F分别是，的中点， 是的中位线． ． ． ． ． ， ． 点E是的中点， ． 四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形） ，， ． 四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）． 故答案为∶ ，，，，对角线相等的平行四边形是矩形． 20. 学校科技节中，“编程挑战赛”引来众多编程爱好者参与，比赛分初赛和决赛，初赛成绩优秀（高于或等于90分）的选手进入决赛．统计小组从八年级和九年级参与“编程挑战赛”初赛的选手中各随机选出20名选手的比赛成绩进行分析，并将选手成绩分为A、B、C、D四个等级（单位：分），分别是： A. B. C. D. 下面给出了部分信息： 其中，八年级C等级的成绩为：81，82，83，86，87，88，89 九年级选手的成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96 八年级选手成绩扇形统计图 八、九年级选手成绩平均数、中位数、众数、方差： 学生 平均数 中位数 众数 方差 八年级 85.2 a 91 91.76 九年级 85.2 86 b 59.66 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）根据以上数据，你认为在此次初赛中，哪个年级选手的成绩更好？说明理由（一条理由即可）； （3）若初赛时八年级有80名选手参赛，九年级有100名选手参赛，请估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有多少人？ 【答案】（1）；88；40 （2）八年级的成绩更好，理由见解析 （3）62人 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义可得和的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出的值； （2）依据表格中平均数、中位数、众数作出判断即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数； 九年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数； 由题意可得，故， 故答案为：；88；40； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由：两个年级的平均数相同，而八年级的成绩的中位数和众数均大于九年级； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级初赛选手中进入决赛的选手共有62人． 21. 某书店在世界读书日这天举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的活动，掀起了一股读书热潮．在活动中书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本．已知种图书每本的进价比种图书贵6元，用2400元购进种图书和用2880元购进种图书的本数相同． （1）A，两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共200本，已知每本种图书的利润为3元，每本种图书的利润为9元，若销售完后所获利润不少于1500元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】（1）种图书每本30元，种图书每本36元 （2）至多购进A种图书50本 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． （1）先设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元，再根据题意列方程求解即可； （2）先设购进A种图书m本，则购进B种图书本，再根据“销售完后所获利润不少于1500元”列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A种图书每本进价为x元，则B种图书每本进价为元， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴． 答：A种图书每本的进价为30元，B种图书每本的进价为36元． 【小问2详解】 解：设购进A种图书m本，则购进B种图书本， 由题意得，， 解得，． 答：至多购进A种图书50本． 22. 如图1，在Rt中，，，，点P以每秒1个单位的速度从点A出发，沿运动到点C后停止．连接PC，设点P的运动时间为，的面积为y． （1）直接写出y关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识． （1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可； （2）用两点法画出函数图象，写出性质即可； （3）根据图象进行解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， ∴ 【小问2详解】 如图即为为所求， 当时，随着x的增大而增大，当时，随着x的增大而减小， 【小问3详解】 如图，当，直线与（2）中的函数图象有两个交点 23. 如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） （1）求的长度；（结果保留根号） （2）已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 【答案】（1）米 （2）小华先到 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分）， ∵， ∴小华先到达展区． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，点在轴正半轴上，且．点是直线与线段的交点． （1）求直线的解析式： （2）若为直线上一动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）如图2，连接，并将直线沿轴向下平移7个单位长度得直线，在直线上是否存在动点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在．请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据直线的表达式得到点的坐标，进而得出点、点的坐标，即可求解； （2）根据题意得出点的坐标，，，设，根据点在直线下方和在直线上方时分情况讨论，列出关于的表达式，根据的取值范围分情况讨论，即可求解； （3）过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接，通过证明四边形是平行四边形，得到点即为所求，再通过证明直线垂直平分，得到，继而得到点的两种情况下的坐标. 【小问1详解】 解：直线与轴交于点，与轴交点， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴，则， ∵点是直线与线段的交点， ∴当时，， ∴， 设直线的表达式为：， ∴代入点，，得，解得：， ∴直线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由（1）可知直线的表达式为：， ∴当时，，则， 又∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为直线上一动点，且直线的表达式为， ∴设， 当点在直线下方时，此时，如图所示，连接，，， ∴， ， ， ， 当时，，此时，解得，， ∴， 当时，此时，解得，（不合题意，舍去）， 当点在直线上时，点与点重合，不存在，不符合题意， 当点（）在直线上方时，如图所示，连接，，， ， ， 当时，，，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，，解得：， ， 综上所述，点的坐标或； 【小问3详解】 解：存在， 设直线的表达式为：， 代入点、得，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴直线沿轴向下平移个单位后，直线的表达式为， 如图，过点作交轴于点，过点作交的延长线于点，直线和直线交于点，直线和直线分别交直线于点和，在直线上截取，连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求， ∵， ∴设直线的表达式为：， 代入点到直线的表达式，得：，解得：， ∴直线的表达式为：， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵,， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴直线垂直平分， ∴， ∴， ∴联立直线和直线的表达式，得：，解得：， ∴点， ∵，， ∴点的横坐标为：， ∴点的纵坐标为：， ∴点， 综上所述，满足条件的点的坐标为或. 25. 已知中，对角线、相交于点O，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，，过点C作于点，连接，过点A作交于点E，求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，点P是直线上的一个动点，且，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）当的值最小时，的面积是 【解析】 【分析】（1）先证明是菱形，可得，可根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）过点C作，交于点G，先证明，得到，再证明，即可证明结论； （3）连接，，先证明，可得，所以点在的平分线上，因此可根据轴对称的性质推得，所以当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长，再求出此时对应的的长，即可求得答案． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 是菱形， ，，， ， ； 【小问2详解】 证明：过点C作，交于点G， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，， 由（1）知，是菱形，， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点在的平分线上， 与关于直线轴对称， ， ， 当点在线段上时，的值最小，最小值为线段的长， 此时，， ， ， ， ， 解得， ， 的面积为． 【点睛】通过添加辅助线构造全等三角形来转化线段是常用的解题方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $