专题06矩形易错必刷题型专项训练(18大题型共计54道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦矩形高频易错点，以18类题型为载体，系统梳理性质应用、判定及综合拓展的解题方法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质应用|题型1-6（6类）|性质辨析（对比平行四边形/菱形）、勾股定理、方程思想|从矩形边/角/对角线性质出发，逐步应用于角度、线段长、面积计算及坐标系问题| |判定定理应用|题型8-10（3类）|判定条件严谨性（先证平行四边形）、添条件策略|结合性质逆向推导判定方法，强化“对角线相等”“直角”等关键条件的应用| |综合拓展|题型7,11-18（9类）|折叠（对应边/角相等）、动点（运动范围分析）、最值（将军饮马模型）、中位线（第三边一半）|整合性质与判定，结合折叠、动点、拼接等复杂情境，提升空间观念与综合解题能力|

专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解题 题型02.利用矩形性质求角度 题型03,利用矩形性质求线段长 题型04.利用矩形性质求面积 题型05.由矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型13,由矩形性质与判定求面积 题型14.矩形与动点问题 题型15.矩形最值问题 题型16.矩形与对角线综合 题型17.矩形与中位线综合 题型18.矩形拼接组合题 易错必刷题型01.矩形性质理解题 题型特征：以选择/填空为主，考查矩形“对边相等、四个直角、对角线相等且平分”这些基础性质的辨析。 易错点：① 把矩形的性质和菱形、平行四边形的性质搞混，误以为矩形对角线互相垂直。② 忽略“对角线相等且平分”的前提是平行四边形，直接认为对角线相等的四边形就是矩形。 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线与相交于点O， ∴， 由矩形的性质不能得到，，． 2．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是__________． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴． 故答案为：10． 3．下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形． ∴矩形一定满足对边平行且相等，四个内角都是直角． ∴，，． 矩形的邻边不一定相等，只有特殊的矩形（正方形）才满足邻边相等，因此选项A不一定成立． 易错必刷题型02.利用矩形性质求角度 题型特征：在矩形里给出一个角、一条边或对角线，求另一个未知角的度数，常结合等腰三角形、直角三角形性质。 易错点：① 忘记矩形对角线平分且相等，导致对角线分割出的等腰三角形关系找错。② 把矩形的直角和题目里的其他角搞混，看错哪个角是90°。 4．如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的性质可得，根据三角形外角的性质可知． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是的外角， ． 5．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据矩形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 6．如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形外角的定义及等边对等角等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及直角三角形斜边中线的性质即可证明； （2）根据等边对等角得出，，再由三角形外角的定义确定，，结合题意求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，， ∴， ∵为的中点， ∴； （2）由（1）得， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． .易错必刷题型03,利用矩形性质求线段长 题型特征：在矩形中，结合边长、对角线、高，求未知线段的长度，主要用勾股定理和矩形边、对角线的关系。 易错点：① 把矩形对角线的一半当成对角线本身来算，导致勾股定理列错式子。 ② 看错矩形的长和宽，把AB和BC搞反，代入数据算错。 7．如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 【答案】 【分析】由矩形的性质可得，，，则，然后证明是等边三角形，再通过等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 8．如图，在矩形中，E是上一点，F是的中点，且．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ． 9．如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)当时,四边形的面积为 (2)时, (3)时, 【分析】（1）根据列方程求解即可； （2）根据勾股定理得，再列方程求解即可； （3）根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，， 由题意，得，，，， ， ， 整理，得， ，（舍去）， 当时，四边形的面积为． （2）解：由勾股定理，得，， 当时，， 所以， 即， 解得，（舍去）， 时，． （3）解：连接， 若， ， ∴， 即， 解得， 时，． .易错必刷题型04.利用矩形性质求面积 题型特征：给出矩形的部分边长、对角线或高，求矩形的面积，或求矩形内三角形的面积。 易错点：① 把矩形面积公式记成“对角线相乘除以2”，和菱形的公式搞混。 ② 算三角形面积时，忘记乘，直接用底×高当成三角形面积。 10．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到，证明，得到，结合题意得到阴影部分的面积为的面积，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 11．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为__________； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为__________． 【答案】 或4 或 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用． （1）由题意知，，当点P和点Q第一次相遇时，，列方程计算即可；当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C，列式计算即可； （2）先求出以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是，再分两种情况讨论：当，即点P，Q相遇前；当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前，分别求出结果即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ①当点P和点Q第一次相遇时，，即， 解得； ②当点P和点Q第二次相遇时，点P运动到点C，点Q也运动到点C， 此时， 即当点P和点Q相遇时，t的值为或4； 故答案为：或4； （2）如图， 矩形的面积为， ∴以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是， 当，即点P，Q相遇前， ， 则， 解得； 当，即点P，Q相遇后，点Q到达点B前， ， 则， 解得． 综上，当或时，以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的． 故答案为：或． 12．如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据平行四边形的性质和条件，证明四边形是平行四边形，再根据垂直得到直角，即可证明出矩形； （2）根据直角三角形斜边中线定理得出，根据勾股定理求出的长，即可求出面积． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，. 为延长线上的点，， ，， 四边形是平行四边形. 又， ， 四边形是矩形. （2）解：由（1）知四边形是矩形，， . 为的中点， . 四边形是平行四边形， . ， ． ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 易错必刷题型05.由矩形的性质证明 题型特征：以解答题为主，用矩形的边、角、对角线性质，证明线段相等、角相等、三角形全等。 易错点：① 证明时不先说明“四边形是平行四边形”，直接用矩形对角线相等的性质，逻辑跳步。② 找全等三角形的条件时，漏掉矩形的直角或对边相等，导致证明条件不完整。 13．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角与内角的关系，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 连接，与交于点，利用矩形的性质里对角线相等且互相平分得和是等边三角形，通过等边对等角得，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和推得的度数，根据三角形的内角和等于即可求解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 四边形是矩形，且， ，，，， ，， ， ， 是等边三角形， ， 是的一个外角， ， ． 故答案为：． 14．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 【答案】C 【分析】①根据得，再根据得，由此可对结论①进行判断： ②根据平行四边形性质得，再根据得，进而得，由此可对结论②进行判断； ③过点作于点，根据，得，进而证明得，同理证明得，由此可对结论③进行判断． 【详解】解：①如图1所示： 在矩形中，，则， 在中，，则， ，故结论①正确； ②∵四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ，故结论②不正确； ③过点作于点，如图2所示： ， ∵，， 又， ， 在矩形中，， ， 在和中， ， ， ， 同理，在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 15．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得； （2）根据矩形的性质及勾股定理得出，进而得出，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴． 易错必刷题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：矩形放在平面直角坐标系中，已知部分顶点坐标，求其他顶点或边上点的坐标。 易错点：① 把矩形的水平边和竖直边搞反，导致点的横纵坐标写反。② 求边上点的坐标时，看错点在边的哪一段，导致坐标计算符号错误。 16．如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由条件可先求得矩形OABC的中心坐标，再由直线分矩形面积相等的两部分可知直线过矩形的中心，代入可求得k的值． 【详解】解：如图，连接OB、AC交于点D， ∵四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)， ∴点D的坐标为（2，1）， ∵直线y=kx−k−1（k是常数）将四边形OABC分成面积相等的两部分， ∴直线过点D， 则2k-k-1=1， 解得：k=2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，掌握过矩形中心的直线平分矩形面积是解题的关键． 17．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 【答案】 【分析】设点B的坐标为，根据长方形的性质求出长，利用求出的长，进而得出点C的坐标，代入即可求解． 【详解】解：设点B的坐标为，其中， 四边形是长方形，点、在x轴上 ， 轴、轴、轴， ， 点C的纵坐标为 ， ， ， 点C的横坐标为， 点C的坐标为， 将点代入得：， 解得． 18．已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）根据长方形的性质以及给出点的坐标求解； （2）求出长方形的周长，确定的长，即可求出时间； （3）根据三角形的面积，分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为； （2）解：∵四边形为长方形，且点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴四边形的周长为， ∵直线将长方形的周长分为两部分， ∴， ∴， ∴点的运动时间为（秒）； （3）解：由得，，由得，， ①当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； ②当点位于轴上时，假设， ∴， 即， 解得或， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； 易错必刷题型07.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿某条线折叠，形成新的图形，求角度、线段长或面积，常结合勾股定理列方程。 易错点：① 忽略折叠前后“对应边相等、对应角相等”的隐含条件，找不到等量关系。② 勾股定理列方程时，设未知数表示线段长，看错哪条边是直角边，哪条是斜边。 19．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方形的性质，图形的翻折，以及平行线的性质，解决本题的关键是翻折前后角度不变． 根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，由此可得，再结合图形翻折可得，由此可求． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴， ∵长方形纸片沿折叠， ∴， 则等于． 故选：B． 20．如图，在矩形中，，，E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，连接． （1）若，则_____； （2）若是以为一腰的等腰三角形，则_____． 【答案】 或 【分析】（1）根据垂直的定义，矩形的性质以及翻折的性质进行求解； （2）分两种情况进行讨论，利用勾股定理以及全等三角形的判定和性质进行求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由翻折的性质可得， ∴； （2）①当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得； ②当时， 如图所示，过点作于点， ∴， 由（1）得，且，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 综上，或． 21．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 【答案】(1)等腰三角形 (2)见解析 (3)① ② 【分析】（1）利用折叠后，再利用矩形对边平行得到，求出答案． （2）由为对应点，可知直线是线段的垂直平分线． （3）①连，利用折叠的对称性得到，再利用勾股定理及等量代换求出答案． ②利用直角三角形的中线等于斜边的一半得出，再利用平行得出，证明，再利用新得的条件证，最后解出答案，最后解出答案． 【详解】（1）解：∵是由折叠所得， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图所示，点为所求点． （3）解：①如图所示，连， ∵矩形沿对折，， ∴， ∵矩形沿折叠，且点与点为对应点， ∴线段是线段的垂直平分线， ∴， 又∵矩形， ∴，，， 设，则， 在和中， ，， ∴， 解得， 即． ②，理由如下： 如图所示，作线段的中点， 连接， ∵矩形，四边形由四边形折叠所得， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形为梯形， ∴， ∴，， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵矩形沿线段对折，矩形沿折叠，且点为对应点， ∴，， 在 和中， ， ∴， ∴， 则， 即． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题与直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，解题的关键点在于理解折叠后的图形与原图形全等，得出新条件，最后利用勾股定理和三角形全等以及方程思想解决问题． 易错必刷题型08.证明四边形是矩形 题型特征：解答题，给一个四边形，通过边、角、对角线的条件，证明它是矩形。 易错点：① 只证明“有三个角是直角”，没先确认是四边形；或误以为“两个角是直角的四边形就是矩形”。② 只证明对角线相等，没先证明是平行四边形，直接判定为矩形。 22．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 【答案】4/四 【分析】此题考查了矩形的判定，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意分情况讨论，然后根据矩形的判定和全等三角形的性质和判定定理逐项求解判断即可． 【详解】解：如图所示， 若选择①②③， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①②④， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择②③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 若选择①③④， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 综上所述，可以判定四边形为矩形的选择共有4种． 故答案为：4． 23．在中，，，的平分线交于点，再分别作其他三个内角的平分线两两相交，构成如图的四边形，则四边形的形状是（） A．任意四边形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 【答案】D 【分析】由四边形是平行四边形，得，，则有，，根据角平分线定义可得，，所以，则，即，同理，证明四边形是平行四边形，然后通过平行线的性质和角平分线定义可得，则有，从而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即， 同理， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 24．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1） 由，得到，再由平行四边形性质推出，则可证明平行四边形是矩形． （2）由题意，证明是等边三角形，则可求． 【详解】（1）证明： ∵四边形为平行四边形 ∴， 平行四边形ABCD是矩形； （2）∵， ∴， ， ， 是等边三角形， ． 易错必刷题型09.矩形的判定定理理解 题型特征：选择/填空题，辨析“哪些条件能判定四边形是矩形”，常给多个说法让学生判断对错。 易错点：① 把“对角线相等的平行四边形是矩形”记成“对角线相等的四边形是矩形”，漏掉“平行四边形”前提。② 误以为“有一个角是直角的四边形就是矩形”，忽略平行四边形的前提。 25．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，为此要测量两组对边是否相等，根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形为矩形，所以还要测量它们的两条对角线是否相等； 【详解】解：如图， ∵两组对边的长度分别相等，，， ∴四边形为平行四边形， 又∵测量它们的两条对角线相等，， ∴平行四边形为矩形． 故选择B． 26．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折痕翻折，使与边上的重合， ∴，， ∴四边形中， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 27．小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，结合各选项中的测量数据进行分析即可． 【详解】解：A．只有两个对角是直角，无法判定四边形是矩形，故本选项错误； B．只有两个邻角是直角，只能说明左右两边平行，该四边形可能是直角梯形，故本选项错误； C．由底边两个角是，对边都等于，得出对边平行且相等， 该四边形是平行四边形． 又有一个角是， 该四边形是矩形，故本选项正确； D．只有左边长、上边长及两个底角，无法确定右边长度，可能是直角梯形，故本选项错误． 易错必刷题型10.添条件使四边形是矩形 题型特征：给出一个四边形（通常是平行四边形），让补充一个条件，使它成为矩形。 易错点：① 补充的条件和矩形判定无关，比如给平行四边形补充“对边相等”，这本来就成立，无法判定矩形。② 补充条件重复，比如给平行四边形补充“有一个角是直角”，但题目已经隐含了直角，导致条件无效。 28．以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．∵， ∴， ∴能判定平行四边形为矩形，不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形，不符合题意； C．由不能判定平行四边形为矩形，符合题意； D．∵ ∴平行四边形为矩形，不符合题意． 29．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 30．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到对角线互相平分，再由中点定义确定四边形的对角线互相平分即可得证； （2）由矩形对角线相等求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 点分别为的中点， ， 则， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形； （2）解：若四边形是矩形，则， 由（1）知，， ， 则当与满足条件时，四边形是矩形． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定一个四边形是矩形，再利用矩形性质求角度，常和等腰三角形、平行线性质结合。 易错点：① 先判定矩形时漏步骤，导致后面用性质时逻辑不严谨。② 判定出矩形后，忘记用“四个角都是直角”的性质，还是按普通四边形算角度。 31．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 32．如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两直线平行可得，再根据平行于同一直线的两直线平行可得，然后求出四边形是平行四边形，再求出，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）根据矩形的对角线互相平分可得，然后求出，根据等边对等角的性质可得，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形； （2）解：．理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，等边对等角的性质，两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 33．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2)1或9 【分析】（1） ①证明四边形是矩形，得到，根据折叠的性质，矩形的性质，得到,，证明即可； ②根据折叠的性质，求解即可． （2）根据矩形的性质，判定不可能是直角，只有，分直角在矩形内部和外部两种情况计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． ②过点G作于点G， ∵矩形纸片对折，使与重合，得到折痕， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得到,， ∴． 根据折叠的性质， ∴，， ∴，，    ∴． （2）根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 根据矩形的性质，故不可能是直角， ∴， ∵矩形纸片， ∴， ∵， ∴三点共线， 根据折叠的性质， ∴，， ∵矩形纸片， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握矩形与折叠，勾股定理是解题的关键． 易错必刷题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定四边形是矩形，再用矩形边、对角线的性质，求未知线段的长度。 易错点：① 判定矩形时出错，导致后面用错性质，线段长计算全部错误。② 判定后用对角线求边长时，把对角线当成直角边代入勾股定理。 34．如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 由，，，根据勾股定理逆定理可得，证明四边形是矩形，再由矩形的对角线相等可求出． 【详解】解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ． 故选：． 35．如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】先根据平行四边形对角线互相平分得出，再根据三角形中位线定理求出的长，由判定四边形为矩形，利用矩形对角线相等求出，进而求出，最后利用勾股定理求出及，即可求得周长； 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点也是的中点，三点共线， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 在中，， 点是的中点， ， 的周长． 36．如图，在四边形中，，，，，，于点，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿的路径向终点运动；动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点返回到点时，点也随之停止运动，设点运动时间为秒． (1)的长为________； (2)用无刻度的直尺和圆规画出的角平分线，当点由的过程中且在的角平分线上时，求出此时的值； (3)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）证明四边形为矩形，勾股定理求出，矩形的性质，得到即可； （2）根据角平分线的作法作图即可，再分点在上和点在上两种情况讨论即可； （3）分，，，，四种情况，结合平行四边形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴； （2）解：如图所示为所求： 由作图得， ∵， ∴， ∴， ∴当点在上时，点与点重合， 此时，； 当点在上时，如图，作于点， 则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 此时，； 综上，当点由的过程中且在的角平分线上时，的值为或； （3）解：点到达点所需时间为（秒），点到达点所需时间为（秒），点到达点所需时间为（秒），点从点到达点所需时间为（秒），点从点到达点所需时间为（秒）， ∴当时，，， ∵， ∴当四边形为平行四边形时，， ∴，解得； 当时，三点共线，、、、四点不能构成四边形； 当时，三点共线，、、、四点不能构成四边形； 当时，，， 则，解得：； 综上，的值为或． 易错必刷题型13,由矩形性质与判定求面积 题型特征：先判定四边形是矩形，再求矩形本身或内部图形的面积。 易错点：① 判定矩形时条件不足，误把普通平行四边形当成矩形，用错面积公式。② 求矩形内三角形面积时，把矩形的对角线当成三角形的高，导致计算错误。 37．一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用矩形面积公式列式后，再化简二次根式即可解答． 【详解】解：由题意得． 38．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】18 【分析】作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N， 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴. 39．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个图形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法． （1）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，构造等量关系，然后化简即可证得； （2）根据四个全等的直角三角形的面积＋中间小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明； （3）作辅助线，构建矩形，根据矩形的面积可得结论． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为， ∴． ∴， ∴， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 故答案为：，，； （2）证明：由图得，大正方形面积=， 整理得，， 即 ； （3）如图，过A作，过E作于F，交的延长线于D，则四边形是矩形，    ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴． 易错必刷题型14.矩形与动点问题 题型特征：矩形边上有一个动点，结合时间、速度，求线段长、角度、面积的变化，或特殊状态（如构成等腰/直角三角形）。 易错点：① 忽略动点的运动范围，比如动点从A到B，却按从B到A算，导致多解/漏解。② 用含t的式子表示线段长时，没考虑动点是否到达端点，式子符号或数值出错。 40．如图，中，，，，点是斜边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值是___________． 【答案】 【分析】连接，先证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵点是斜边上一动点， ∴当时，的值最小， ∵，，， ∴， ∴当时，，即， ∴， 故的最小值是. 41．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②，共2个． 42．综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． (1)特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； (2)深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； (3)拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)不发生变化，理由见解析； (3)的长为或． 【分析】（）由四边形是矩形，则，，然后证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）延长交直线于点，由四边形是矩形，则，，，所以，，再证明，故有，即有，再由直角三角形的性质可得，从而求解； （）分当在延长线上时，当在线段上时两种情况，然后通过中位线定理，勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点为的中点，点与点重合， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：与的数量不会发生变化，理由如下， 如图，延长交直线于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴； （3）解：如图，当在延长线上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当在线段上时，取中点，连接，则， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 易错必刷题型15.矩形最值问题 题型特征：结合矩形的对称性、对角线，求线段和/差的最值、周长或面积的最值，常和“将军饮马”模型结合。 易错点：① 找对称点时选错对称轴，比如用矩形的边当对称轴，而不是对角线，导致后续线段连错。② 把“线段和的最小值”和“线段差的最大值”的模型搞混，用错方法。 43．如图，在中，，，点P为斜边上一动点，过点P作交于点E，作交于点F，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可证明四边形是矩形，得到，则当时，最小，则最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的最小值即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∴ ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， 即当时，最小，此时也最小， ∵， ， ∵当时满足， 的最小值为． 线段的最小值为． 44．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】连接、，在直角中，使用勾股定理求出．容易判断出是的中位线，则，结合，求出的最大值． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， 在直角中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴当点与点重合时，取得最大值， 此时， ∴的最大值为． 45．学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题：“求代数式的最小值”． (1)小刚同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______； (2)已知a，b均为正数，且，求的最小值． 【答案】(1)13 (2)10 【分析】（1）过点B作的延长线于点E，可以推出，，根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （2）过点B作交AC延长线于点F，根据，，，，可推出的值最小，需的值最小，即当，，三点共线时，的值最小，最小值为，先证明四边形为长方形，再运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：过点B作的延长线于点E，如图： 在中，， 在中，， ， 的最小值为的长， 在中，， 的最小值是13； （2）解：过点B作交AC延长线于点F，如图， ∵，，，， ∴在中，； 在中，， ∴， ∴当A，D，B三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵，，， ∴四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为10． 易错必刷题型16.矩形与对角线综合 题型特征：以矩形的对角线为核心，考查对角线的平分、相等性质，求线段长、角度或面积。 易错点：① 忘记矩形对角线平分且相等，把对角线分成的线段当成不等的来算。 ② 算对角线长度时，直接用“长+宽”，而不是用勾股定理计算。 46．如图，在矩形中，对角线、相交于点为的中点，连接，则的长度为______． 【答案】3 【分析】根据矩形的性质得出对角线相等且互相平分，求出的长及为中点，利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理求出的长，最后求和即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 47．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明四边形是矩形，即可判断①；可证明是中位线，，而点E可以在上，也可以在上，据此可判断②；根据，则有最大值时，有最大值，则点E与点D重合时，的最大值为4，则长度的最大值为2，据此可判断③． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴四边形是矩形，故①正确； 当点E在上时， ∵分别是的中点， ∴是中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点是的中点； 当点E在上时，同理可得，但此时点不是的中点，故②错误； 由②可知，， ∵点E沿四边形的边运动至点停止，且， ∴的最大值为4，此时点E与点D重合， ∴的最大值为2，故③正确； 综上，正确的有①③，共2个． 48．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据所选情况证明四边形是矩形； （2）根据勾股定理求出的长，进而求出的面积． 【详解】（1）解：选① 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是矩形； 选② 证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ， 矩形的面积为：． 易错必刷题型17.矩形与中位线综合 题型特征：在矩形中取各边或对角线的中点，连接成线段，利用中位线定理求线段长或证明平行。 易错点：① 中位线定理记混，把“中位线平行且等于第三边的一半”当成“等于第三边”。② 找错中位线对应的第三边，比如在矩形中把对边当成对角线，导致长度算错。 49．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 【答案】14 【分析】利用矩形的性质求出相关线段的长度，再结合三角形中位线定理得到的长度，进而求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，． 在矩形中，，，， 根据勾股定理，可得． ∴． ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线． ∴， ∵是中点，， ∴， ∵是中点，， ∴， 则四边形的周长为． 50．如图所示，点O是矩形的对角线的中点，点为的中点，连接、、．若，，则的周长为（    ） A．40 B． C． D．56 【答案】C 【分析】先求出的长，根据直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后根据三角形的中位线定理可得，由此即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 又∵点是的中点，点为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为． 51．问题背景如图（1），在中，是对角线，，，，其中m是大于3的常数． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点E，F分别是边，的中点，连接，求证：． 拓展创新 (3)如图（2），在四边形中，，，是对角线，点E是边的中点，点F在边上，，连接，探究EF与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）通过计算得到，则，即可得到是矩形； （2）连接交于点O，由四边形是矩形，得到，，由E，F分别为，的中点，得到，即可证明； （3）取的中点Q，连接，，由中位线可得，，即可证明四边形为平行四边形，得到，再根据斜边中线等于斜边一半得到． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 根据勾股定理的逆定理得，， 是矩形； （2）证明：如图1，连接交于点O， 四边形是矩形， ，， ，， ， E，F分别为，的中点， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点Q，连接，， E，Q分别是边，的中点， ，， 又， ，， 四边形为平行四边形， ， ，Q为的中点， ， ． 易错必刷题型18.矩形拼接组合题 题型特征：两个或多个矩形拼在一起，组成新的图形，求边长、周长、面积或角度。 易错点：① 看错拼接后重合的边，比如两个矩形拼在一起，把重合的边算进总周长里。② 算组合图形面积时，直接把两个矩形面积相加，没注意是否有重叠部分。 52．如图，在矩形、中，点在边上，点、分别在边、上，且，连接和，点、分别是、的中点，连接，若，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，交于，延长交于，连接，则四边形是矩形，求出，，由证得，得出，则点与点重合，得出是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于，延长交于，连接，如图所示， 则四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在和中， ， ， ， 点与点重合， 点是的中点， 是的中位线， ． 53．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 【答案】A 【分析】连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，然后用分割法求得四边形的面积，进而可以根据条件得到结果． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ， 四边形、四边形是矩形， 设小矩形的长和宽分别为和，大矩形的长和宽分别为和，，，则，，，， ，，，， ， 矩形和矩形的周长已知， 和为定值， 为定值， 为定值， ， 当已知时，四边形的面积即为定值， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题的关键是学会设矩形的长和宽并用含有未知数的式子表示矩形、矩形和四边形的面积． 54．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形和四边形都是矩形， ∴，． ∵点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点， ∴， 又∵点E恰好在上， ∴． ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06矩形易错必刷题型专项训练 本专题汇总矩形章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.矩形性质理解题 题型02.利用矩形性质求角度 题型03,利用矩形性质求线段长 题型04.利用矩形性质求面积 题型05.由矩形的性质证明 题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型07.矩形与折叠问题 题型08.证明四边形是矩形 题型09.矩形的判定定理理解 题型10.添条件使四边形是矩形 题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型13,由矩形性质与判定求面积 题型14.矩形与动点问题 题型15.矩形最值问题 题型16.矩形与对角线综合 题型17.矩形与中位线综合 题型18.矩形拼接组合题 易错必刷题型01.矩形性质理解题 题型特征：以选择/填空为主，考查矩形“对边相等、四个直角、对角线相等且平分”这些基础性质的辨析。 易错点：① 把矩形的性质和菱形、平行四边形的性质搞混，误以为矩形对角线互相垂直。② 忽略“对角线相等且平分”的前提是平行四边形，直接认为对角线相等的四边形就是矩形。 1．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将矩形纸片按如图所示折叠，已知，，．则蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是__________． 3．下列性质中，矩形不一定具有的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型02.利用矩形性质求角度 题型特征：在矩形里给出一个角、一条边或对角线，求另一个未知角的度数，常结合等腰三角形、直角三角形性质。 易错点：① 忘记矩形对角线平分且相等，导致对角线分割出的等腰三角形关系找错。② 把矩形的直角和题目里的其他角搞混，看错哪个角是90°。 4．如图，在矩形中，对角线和相交于点，若，则是（   ） A． B． C． D． 5．如图，矩形中，的垂直平分线与交于点E，连接．若，则______． 6．如图，四边形是矩形，为边上的一点，作于点，连接为的中点．连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． .易错必刷题型03,利用矩形性质求线段长 题型特征：在矩形中，结合边长、对角线、高，求未知线段的长度，主要用勾股定理和矩形边、对角线的关系。 易错点：① 把矩形对角线的一半当成对角线本身来算，导致勾股定理列错式子。 ② 看错矩形的长和宽，把AB和BC搞反，代入数据算错。 7．如图，矩形的对角线，相交于点，，．则的长为______． 8．如图，在矩形中，E是上一点，F是的中点，且．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． .易错必刷题型04.利用矩形性质求面积 题型特征：给出矩形的部分边长、对角线或高，求矩形的面积，或求矩形内三角形的面积。 易错点：① 把矩形面积公式记成“对角线相乘除以2”，和菱形的公式搞混。 ② 算三角形面积时，忘记乘，直接用底×高当成三角形面积。 10．学校花圃设计成矩形．如图，在矩形中，对角线，相交于点O，过点O的直线交，于点E，F．若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．6 C．4 D．3 11．如图，在矩形中，，，动点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，同时动点Q从点C出发，以的速度沿C-B-C方向运动到点C停止，设点P的运动时间为． （1）当点P和点Q相遇时，t的值为__________； （2）连接，在点P和点Q不重合的情况下，连接．若以A，P，Q，D为顶点的四边形的面积是矩形的面积的，且，则t的值为__________． 12．如图，在平行四边形中，过点B作交的延长线于点E，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若为的中点，连接，且，求平行四边形的面积． 易错必刷题型05.由矩形的性质证明 题型特征：以解答题为主，用矩形的边、角、对角线性质，证明线段相等、角相等、三角形全等。 易错点：① 证明时不先说明“四边形是平行四边形”，直接用矩形对角线相等的性质，逻辑跳步。② 找全等三角形的条件时，漏掉矩形的直角或对边相等，导致证明条件不完整。 13．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则______． 14．如图，是矩形的边上（端点除外）的动点，连接，，作，连接，分别交于点．下列三个结论：①；②；③；其中正确的结论是（   ） A．① B．② C．①③ D．①② 15．如图，在矩形中，点为上一点，连接，，过点作于点，．点是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题型06.求矩形在坐标系中的坐标 题型特征：矩形放在平面直角坐标系中，已知部分顶点坐标，求其他顶点或边上点的坐标。 易错点：① 把矩形的水平边和竖直边搞反，导致点的横纵坐标写反。② 求边上点的坐标时，看错点在边的哪一段，导致坐标计算符号错误。 16．如图，四边形OABC为矩形，点A的坐标为(0，2)，点C的坐标为(4，0)，若直线y=kx−k−1将矩形OABC分成面积相等的两部分，则k的值为（    ） A． B． C．2 D． 17．如图，点B、C分别在两条直线和上，点A、D是x轴上两点，已知四边形是长方形，且，则k的值为______． 18．已知：如图，四边形为长方形，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为 (1)直接写出点的坐标为__________； (2)有一动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向终点运动，当直线将长方形的周长分为两部分时，求点的运动时间； (3)在（2）的条件下，点为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，请直接写出点的坐标． 易错必刷题型07.矩形与折叠问题 题型特征：矩形沿某条线折叠，形成新的图形，求角度、线段长或面积，常结合勾股定理列方程。 易错点：① 忽略折叠前后“对应边相等、对应角相等”的隐含条件，找不到等量关系。② 勾股定理列方程时，设未知数表示线段长，看错哪条边是直角边，哪条是斜边。 19．如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在、的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形中，，，E，F分别是边上的点，且，将沿翻折得到，连接． （1）若，则_____； （2）若是以为一腰的等腰三角形，则_____． 21．小明、小丽、小芳三名同学在课后相约利用矩形纸片进行折纸游戏． (1)小明按如图所示方式沿对角线将矩形纸片折叠，点与点对应，交于点，则的形状为__________．__________． (2)如图，小丽计划将矩形纸片沿折叠（点，分别在边、上），使点与点重合．已知小丽先通过折纸画出了点，请你只用无刻度的直尺帮助小丽画出点：（不写作法，保留作图痕迹） (3)如图，小芳先将矩形纸片沿对折，然后展开；再将此矩形纸片沿折叠．使点与点重合． ①若，，求的长； ②连接、，当四边形为梯形时，直接写出与满足的数量关系； 易错必刷题型08.证明四边形是矩形 题型特征：解答题，给一个四边形，通过边、角、对角线的条件，证明它是矩形。 易错点：① 只证明“有三个角是直角”，没先确认是四边形；或误以为“两个角是直角的四边形就是矩形”。② 只证明对角线相等，没先证明是平行四边形，直接判定为矩形。 22．在四边形中，有以下四个条件：①；②；③；④．若从中选取三个条件，可以判定四边形为矩形，则这样的选择共有_______种． 23．在中，，，的平分线交于点，再分别作其他三个内角的平分线两两相交，构成如图的四边形，则四边形的形状是（） A．任意四边形 B．正方形 C．平行四边形 D．矩形 24．如图所示，已知平行四边形的对角线相交于点O，． (1)求证：平行四边形是矩形． (2)若，且，求的长． 易错必刷题型09.矩形的判定定理理解 题型特征：选择/填空题，辨析“哪些条件能判定四边形是矩形”，常给多个说法让学生判断对错。 易错点：① 把“对角线相等的平行四边形是矩形”记成“对角线相等的四边形是矩形”，漏掉“平行四边形”前提。② 误以为“有一个角是直角的四边形就是矩形”，忽略平行四边形的前提。 25．如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．其中的道理是（    ） A．有三个角是直角的四边形是矩形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 26．如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________． 27．小明手工制作矩形木板，下列测量方法能确定其为矩形的是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型10.添条件使四边形是矩形 题型特征：给出一个四边形（通常是平行四边形），让补充一个条件，使它成为矩形。 易错点：① 补充的条件和矩形判定无关，比如给平行四边形补充“对边相等”，这本来就成立，无法判定矩形。② 补充条件重复，比如给平行四边形补充“有一个角是直角”，但题目已经隐含了直角，导致条件无效。 28．以下条件中不能判定平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 30．如图，在中，对角线与相交于点，点分别为的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当与满足条件_________时，四边形是矩形． 易错必刷题型11.由矩形的性质与判定求角度 题型特征：先判定一个四边形是矩形，再利用矩形性质求角度，常和等腰三角形、平行线性质结合。 易错点：① 先判定矩形时漏步骤，导致后面用性质时逻辑不严谨。② 判定出矩形后，忘记用“四个角都是直角”的性质，还是按普通四边形算角度。 31．如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，为中的一条射线，点P在边上，于H，交于点Q，交于点M，于点D，交于点R，连接交于点S． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，试探究与的数量关系，并说明理由． 33．在一次数学活动中，小辉将一块矩形纸片对折，使与重合，得到折痕．把纸片展开，再一次折叠纸片，使点A落在N上，得到折痕．    (1)若点N刚好落在折痕上时， ①如图1，过N作，求证：； ②如图2，求的度数； (2)如图3，当M为射线上的一个动点时，已知，，若的直角三角形时，求的长． 易错必刷题型12,由矩形的性质与判定求线段长 题型特征：先判定四边形是矩形，再用矩形边、对角线的性质，求未知线段的长度。 易错点：① 判定矩形时出错，导致后面用错性质，线段长计算全部错误。② 判定后用对角线求边长时，把对角线当成直角边代入勾股定理。 34．如图，在平行四边形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 35．如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 36．如图，在四边形中，，，，，，于点，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿的路径向终点运动；动点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点返回到点时，点也随之停止运动，设点运动时间为秒． (1)的长为________； (2)用无刻度的直尺和圆规画出的角平分线，当点由的过程中且在的角平分线上时，求出此时的值； (3)当以、、、为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值． 易错必刷题型13,由矩形性质与判定求面积 题型特征：先判定四边形是矩形，再求矩形本身或内部图形的面积。 易错点：① 判定矩形时条件不足，误把普通平行四边形当成矩形，用错面积公式。② 求矩形内三角形面积时，把矩形的对角线当成三角形的高，导致计算错误。 37．一个矩形的长和宽分别是，，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 38．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是______． 39．（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形(如图1)，这个图形称为赵爽弦图，其验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边 a，b 与斜边c 满足关系式称为勾股定理． 证明：∵大正方形面积表示为，又可表示为S= ， ∴ ∴ ， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； （2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图2)，也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程； （3）如图3所示， ，请你添加适当的辅助线证明结论    易错必刷题型14.矩形与动点问题 题型特征：矩形边上有一个动点，结合时间、速度，求线段长、角度、面积的变化，或特殊状态（如构成等腰/直角三角形）。 易错点：① 忽略动点的运动范围，比如动点从A到B，却按从B到A算，导致多解/漏解。② 用含t的式子表示线段长时，没考虑动点是否到达端点，式子符号或数值出错。 40．如图，中，，，，点是斜边上一动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值是___________． 41．如图，在矩形中，，，点M，N分别是边，上的动点，点M不与A，B重合，且，P是五边形内满足且的点．现给出以下结论： ①； ②点P到边，的距离一定相等； ③点P到边，的距离可能相等； ④点P到边的距离的最大值为1； 其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 42．综合与探究 问题情境： 如图，四边形是矩形，点为直线上一动点，点为的中点，连接，． (1)特例探究：如图，当点与点重合时，求证：； (2)深入探究：如图，当点在线段上时，与的数量关系是否发生变化，请说明理由； (3)拓展运用：点在直线上运动时，若，，，直接写出的长． 易错必刷题型15.矩形最值问题 题型特征：结合矩形的对称性、对角线，求线段和/差的最值、周长或面积的最值，常和“将军饮马”模型结合。 易错点：① 找对称点时选错对称轴，比如用矩形的边当对称轴，而不是对角线，导致后续线段连错。② 把“线段和的最小值”和“线段差的最大值”的模型搞混，用错方法。 43．如图，在中，，，点P为斜边上一动点，过点P作交于点E，作交于点F，连接，则线段的最小值为______． 44．如图，矩形中，，，点E，F分别是，边上的动点，连接，，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．10 45．学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题：“求代数式的最小值”． (1)小刚同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______； (2)已知a，b均为正数，且，求的最小值． 易错必刷题型16.矩形与对角线综合 题型特征：以矩形的对角线为核心，考查对角线的平分、相等性质，求线段长、角度或面积。 易错点：① 忘记矩形对角线平分且相等，把对角线分成的线段当成不等的来算。 ② 算对角线长度时，直接用“长+宽”，而不是用勾股定理计算。 46．如图，在矩形中，对角线、相交于点为的中点，连接，则的长度为______． 47．如图，在四边形中，，相交于点O，且，动点E从点B开始，沿四边形的边运动至点D停止，与相交于点N，点F是线段的中点．连接，下列结论中：①四边形是矩形；②当时，点E是的中点；③当，时，线段长度的最大值为2；其中正确的有（   ）个 A．3 B．2 C．1 D．0 48．如图，在四边形中，，．对角线、相交于点，有下列条件：①，②．    (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 易错必刷题型17.矩形与中位线综合 题型特征：在矩形中取各边或对角线的中点，连接成线段，利用中位线定理求线段长或证明平行。 易错点：① 中位线定理记混，把“中位线平行且等于第三边的一半”当成“等于第三边”。② 找错中位线对应的第三边，比如在矩形中把对边当成对角线，导致长度算错。 49．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接，若，，则四边形的周长是___________． 50．如图所示，点O是矩形的对角线的中点，点为的中点，连接、、．若，，则的周长为（    ） A．40 B． C． D．56 51．问题背景如图（1），在中，是对角线，，，，其中m是大于3的常数． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点E，F分别是边，的中点，连接，求证：． 拓展创新 (3)如图（2），在四边形中，，，是对角线，点E是边的中点，点F在边上，，连接，探究EF与的数量关系，并证明． 易错必刷题型18.矩形拼接组合题 题型特征：两个或多个矩形拼在一起，组成新的图形，求边长、周长、面积或角度。 易错点：① 看错拼接后重合的边，比如两个矩形拼在一起，把重合的边算进总周长里。② 算组合图形面积时，直接把两个矩形面积相加，没注意是否有重叠部分。 52．如图，在矩形、中，点在边上，点、分别在边、上，且，连接和，点、分别是、的中点，连接，若，，，，则的长为______． 53．如图，矩形在矩形的内部，且，点，在对角线的异侧．连结，，，，若矩形矩形，且两个矩形的周长已知．只需要知道下列哪个值就一定可以求得四边形的面积（　　） A．矩形的面积 B．的度数 C．四边形的周长 D．的长度 54．如图，在矩形和矩形中，点B，C，G在一条直线上，且点C是的中点，连接，与恰好交于点E，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $