专题01 矩形重难点题型（九大题型）数学浙教版新教材八年级下册

专题01 矩形重难点题型 （九大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【题型4 矩形与折叠问题】 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【题型6 矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【题型8 矩形中最小值问题】 【题型9 矩形中动点问题】 题型6 复合二次根式的化简 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，，交于点O，，则大小是（    ）． A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线，以点B为圆心，长为半径作弧，交于E，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为M，作射线与交点为F，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，对角线，交于点，的角平分线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 7．如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（    ） A．7 B． C． D． 8．如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 9．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 10．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 12．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 13．如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 14．如图，矩形的对角线相交于点O，于点E，且，若，则矩形的面积为（    ）    A．12 B．20 C． D． 15．如图，在中，，平分，点E在上，的两直角边、分别交、于点M、N，且，若，，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4 矩形与折叠问题】 16．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 17．如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 18．如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 19．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 21．班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A．另一组对边相等B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 22．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 23．在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 24．已知在四边形中，，再补充一个条件使四边形为矩形，这个条件可以是（　　） A． B． C．与互相平分 D． 25．如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【题型6 矩形的判定】 26．如图，在中，，点D是边的中点，，．求证：四边形是矩形． 27．如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点．求证：四边形是矩形 28．如图，点A是直线上一点，分别是和的平分线，于点B，于点D，求证：四边形是矩形． 29．如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 30．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 【题型7 矩形的性质与判定综合】 31．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 32．如图，在中，于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，，且于点，若，，求的面积． 33．如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 34．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 35．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【题型8 矩形中最小值问题】 36．如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B、C重合），于E，于F．则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．5.2 D．6 37．如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 38．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 39．如图，点F是矩形内部一个动点，E为上一点且，当，，时，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 40．如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【题型9 矩形中动点问题】 41．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    42．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图1，求边的长度； (2)如图2，从运动开始，当t取何值时，四边形是矩形，请说明理由； (3)如图3，当t取何值时，是等腰三角形，请说明理由． 43．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，一直到达点停止；同时，点从点出发沿向点运动．运动时间设为秒（）．    (1)若点均以的速度运动，则______，______，的面积为______（用含的代数式表示）； (2)若点以的速度运动，点以的速度运动． 当时，求的周长； 当为何值时，是直角三角形？ 44．如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的速度都是每秒1个单位，连接．设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，平分，请说明理由． 45．如图，已知矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以的速度向点B运动，到点B为止；点Q以速度向点D运动，到点D为止；设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形，并说明理由？ (2)连接，当t为何值时，中，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 矩形重难点题型 （九大题型） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【题型4 矩形与折叠问题】 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【题型6 矩形的判定】 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【题型8 矩形中最小值问题】 【题型9 矩形中动点问题】 题型6 复合二次根式的化简 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．如图，在矩形中，，交于点O，，则大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分和等边对等角得到，再结合是的外角，利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 2．如图，矩形的对角线，以点B为圆心，长为半径作弧，交于E，再分别以点A、E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点为M，作射线与交点为F，若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设矩形的对角线交点为O，根据矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，垂线的基本作图，直角三角形的性质求解即可； 【详解】解：设矩形的对角线交点为O， 根据题意，得， ， ， 根据基本作图，得， ， 3．如图，矩形的对角线与交于点，点在的延长线上：，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据矩形的性质得，再结合已知得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，将一张长方形纸条翻折，是折痕．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠可得，且，根据直线得，最后由对顶角的性质求得． 【详解】解：如图所示： ∵是折痕， ， ， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ． 5．如图，在矩形中，对角线，交于点，的角平分线交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．证明是等边三角形，得到，，证明，根据三角形内角和定理和等边对等角即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线，交于点， ∴，， ， ∴ ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴ ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 6．如图，已知矩形，点O是对角线上的中点，其中，，连接．则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用矩形性质得出，，再利用勾股定理求出，再利用直角三角形斜边性质即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点O是对角线上的中点， ∴． 7．如图，在矩形中，，，且与之间的距离为3，则的长是（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，则，根据矩形的性质和平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，从而可得，再由平行线的性质可得，证得，可得，设，则，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， 解得：． 8．如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设交于点，易得为等边三角形，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 9．如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为（　　） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】 本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，先证明是等边三角形，可得，则，利用所对的直角边等于斜边的一半得的长，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】 解：∵四边形是矩形， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ∴， ． 10．如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、，由矩形的性质可得，，，求出，得到，由勾股定理可得，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 11．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，，若，，则图中阴影部分的面积为（   ）    A．10 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】过点作构造矩形，利用矩形对角线平分所在矩形面积的性质，证明两个阴影三角形面积相等，算出单个阴影三角形面积进而求得阴影总面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 则四边形、四边形、四边形、四边形为矩形，， ，，， ， ， ，， ， ． 12．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积的计算，掌握矩形的性质是解题的关键，根据图示可得，根据矩形的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形，四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A ． 13．如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 14．如图，矩形的对角线相交于点O，于点E，且，若，则矩形的面积为（    ）    A．12 B．20 C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得到，，，证明垂直平分，得到，由勾股定理求出，即可得到矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 故选：C 【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 15．如图，在中，，平分，点E在上，的两直角边、分别交、于点M、N，且，若，，则重叠部分四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于H，则四边形为矩形，根据得，根据平分得，利用AAS可证明，得，，根据，平分得，即可得和都是等腰直角三角形，则，根据，，得，即可得，则，根据全等三角形的性质得，即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作于点P，于H， 则四边形为矩形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴，， ∵，平分，， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，适当的添加辅助线． 【题型4 矩形与折叠问题】 16．在矩形中，，，将其沿折叠，点，分别落到点与点处，恰好点在上，且，则线段的长度为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】设，证明，推出，求得，推出． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠的性质知， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，点E在矩形纸片的边上，将纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在线段上．若，，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由折叠的性质得到，从而得出,，，，，利用矩形的性质推出，通过等边对等角得到，进而表示出，最终由勾股定理列方程求得结果． 【详解】解：∵是由沿着对折得到的， ∴， ∴,，，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 18．如图，把一张矩形的纸片沿对角线折叠，若，，则的长为（   ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】由翻折的性质可知：．再根据矩形的性质得，由平行线的性质得出．从而，根据等角对等边得出，根据线段的和差得出结论。 【详解】解：由折叠不变性知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 19．如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先证明，再根据勾股定理求解，即可得答案． 【详解】解：由对折可得：， 矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ． 20．如图，在矩形ABCD中，，．将矩形沿AC折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本题中设，根据直角三角形中运用勾股定理求是解题的关键． 由折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，从而得到，根据等腰三角形的判定定理得到，设，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由折叠可得． ， ， ， ． 设，则，． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， ， ． 故选：A． 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 21．班级展板的边框是一个四边形，已知它的一组对边平行且相等，再添加以下哪个条件可以判定它是矩形？（　　） A．另一组对边相等B．对角线互相平分 C．有一个角是直角 D．对角线互相垂直 【答案】C 【分析】先根据已知条件判定该四边形是平行四边形，再结合矩形的判定定理判断各选项即可． 【详解】解：∵ 四边形的一组对边平行且相等， ∴ 该四边形是平行四边形， 逐一判断选项： A、平行四边形本身对边相等，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； B、平行四边形本身对角线互相平分，该条件无法判定它是矩形，该选项不符合题意； C、根据矩形判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该条件可以判定，该选项符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项不符合题意． 22．在下列条件中，能够判定是矩形的是（   ） A． B． C． D．平行于 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定条件，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得到答案． 【详解】A、在平行四边形中，对角线，则平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），符合题意； B、是平行四边形的对边相等，不能判定矩形，不符合题意； C、不能判定是矩形，不符合题意； D、平行于不能判定是矩形，不符合题意． 故选：A． 23．在中，对角线和相交于点O，则下面条件能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形一一判定即可. 【详解】解：在平行四边形中，矩形的判定条件之一是两条对角线相等． 选项A：对角线垂直时，平行四边形为菱形，而非矩形，故排除． 选项B：若对角线相等，根据矩形判定定理，该平行四边形必为矩形，正确． 选项C：平行四边形对角自然相等，无法判定为矩形，故排除． 选项D：邻边相等时，平行四边形为菱形，故排除． 故选：B． 24．已知在四边形中，，再补充一个条件使四边形为矩形，这个条件可以是（　　） A． B． C．与互相平分 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质与判定，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线互相平分的四边形是平行四边形进行求解即可． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴只要四边形是平行四边形，即可判定四边形是矩形， ∴可添加与互相平分． 故选C． 25．如图，是的中线，四边形是平行四边形，下列条件中，能判定四边形是矩形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】当时，根据等腰三角形的三线合一可得，即可求解． 【详解】解：当时， ∵是的中线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故选：C． 【点睛】本题考查矩形的判定，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解题的关键． 【题型6 矩形的判定】 26．如图，在中，，点D是边的中点，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质得，则，然后由矩形的判定即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 27．如图，在中，，是的中点．过点作，过点作，交于点．求证：四边形是矩形 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，由，可得四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质可得，进而即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 28．如图，点A是直线上一点，分别是和的平分线，于点B，于点D，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，矩形的判定，掌握矩形的判定是解题的关键．由和互为邻补角，且分别是和的平分线，可得，再结合及即可得证． 【详解】证明：∵和互为邻补角， ∴； ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 29．如图，点D为的斜边的延长线上一点，以为边向上作等边，过点E作交的延长线于点F，若，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，先由等边三角形的性质可得，再证明四边形是平行四边形．最后由矩形的判定证明即可． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∵， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是直角三角形，， ∴， ∴四边形是矩形． 30．已知：如图，在中，，是的平分线，是外角的平分线，，垂足为点．求证：四边形为矩形； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查矩形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 根据给出的条件，利用等腰三角形的性质，角平分线的性质定理等可得出三个角是直角，即可证明． 【详解】证明：，是的平分线， ，， ， 为的外角的平分线， ， ， ， ， 四边形为矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 31．如图，在中，点为线段的中点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接．若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明四边形是平行四边形，再根据得到结论即可； （2）过点作于点，由矩形的性质得到，证明为的中位线，求出，再根据勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：为的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 又， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， 为的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 32．如图，在中，于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，，且于点，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明得出，，进而得出，即可证明四边形是平行四边形，结合已知，即可得证； （2）设，勾股定理分别求得，在中，建立方程，解方程，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 中 ，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形 （2）解：， ， ， ， 在中， 设，则，， 在中， 在中， 解得， ． 33．如图，在中，于点E，延长至F点使，连接，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再结合即可得出答案； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【详解】（1）证明：在中，于点，延长至点使， ∴， 即， 在中，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴的面积 ∴． 34．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求AC的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是利用中位线性质和平行关系证明矩形，再通过矩形性质和线段关系构造直角三角形求解． (1)中由分别为中点得，结合证平行四边形，再由得矩形， (2)中由矩形性质得，由中位线性质得，则，在中用勾股定理求，再 由为中点得． 【详解】（1）解：分别为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）解：， ， 由(1)知，是的中位线，四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 为的中点， ． 35．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【题型8 矩形中最小值问题】 36．如图，在中，，，，P为边上一动点（且点P不与点B、C重合），于E，于F．则的最小值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．5.2 D．6 【答案】A 【分析】先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值． 【详解】解：如图，连接． 在中，，，， ， ． 又于点，于点． ， 四边形是矩形． ． 当最小时，也最小， 即当时，最小， ， 即， 线段长的最小值为2.4． 37．如图，P是矩形的对角线上一点，，于点E，于点F，连接，则的最小值为（         ） A． B．5 C． D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，连接，由矩形的性质得到，证明四边形是矩形，得到，则，故当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， 故选：C． 38．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等内容，将转化为是解题的关键．先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可． 【详解】如图，连接，作点关于点的对称点，连接 四边形是矩形 ， ∵ ， 的最小值为 故选：D． 39．如图，点F是矩形内部一个动点，E为上一点且，当，，时，则的最小值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容．在上截取，先证，得到，从而得出，当且仅当C、F、G三点共线时取等，再根据题干条件求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∴，当且仅当C、F、G三点共线时取等号， ∵，且， ∴， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴，， 在中，， 即， ∴的最小值为， 故选：C． 40．如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【题型9 矩形中动点问题】 41．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 42．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)如图1，求边的长度； (2)如图2，从运动开始，当t取何值时，四边形是矩形，请说明理由； (3)如图3，当t取何值时，是等腰三角形，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）作，交于点，证明四边形为矩形，得出，，求出，最后再由勾股定理计算即可得出结果； （2）由题意可得，，则，证明出当时，四边形为矩形，由此得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别结果等腰三角形的性质、矩形的性质、勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 如图，作，交于点， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形，理由如下： 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴当时，四边形为矩形， ∴， 解得：， 故当时，四边形是矩形； （3）解：当或或时，是等腰三角形，理由如下： ∵是等腰三角形， ∴当时，如图，作于点，则， 由（1）可得四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， 此时； 当时，如图： 此时； 当时，如图：作于点， 则四边形为矩形，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得：， ∴， 此时； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】采用分类讨论的思想是解此题的关键． 43．如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点运动，一直到达点停止；同时，点从点出发沿向点运动．运动时间设为秒（）．    (1)若点均以的速度运动，则______，______，的面积为______（用含的代数式表示）； (2)若点以的速度运动，点以的速度运动． 当时，求的周长； 当为何值时，是直角三角形？ 【答案】(1)，，； (2) 周长为；当为或或时，为直角三角形． 【分析】（）由题意得，，则，即可得出答案； （）过点作于点，易证四边形是矩形，得出，由题意得，，则，则，由勾股定理得:，，从而求出的周长； 为直角三角形分两种情况：当时，过点作于点，易证四边形为矩形, 得出，，再由题意得，，则，，然后由勾股定理得出，求出，， 当时，，则，求出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴边上的高为， 由题意得: ，， ∴ ∴， 故答案为：，，； （2）如图，过点作于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 当时，，， ∴，则， ∴由勾股定理得:， 同理：， ∴周长为； ∵点不与点重合， ∴， ∴为直角三角形分两种情况： 当时， 如图，过点作于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意得：，， 则，， ∴， 解得：，； 当时，， ∴， 解得：； 综上可知：当为或或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理及逆定理，三角形面积公式，解方程，分类讨论等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 44．如图，在矩形中，，点从点出发向点运动，运动到停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点的速度都是每秒1个单位，连接．设点运动的时间为秒． (1)当为何值时，四边形是矩形； (2)当为何值时，平分，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等角对等边，熟知矩形的性质是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，由题意得，，则，再根据矩形对边相等可得，据此建立方程求解即可； （2）由矩形对边平行结合平行线的性质和角平分线的定义可证明，则，再在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意得，，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 解得； （2）解：当时，平分，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴当时，平分． 45．如图，已知矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以的速度向点B运动，到点B为止；点Q以速度向点D运动，到点D为止；设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形，并说明理由？ (2)连接，当t为何值时，中，． 【答案】(1)当t为时，四边形是矩形；理由见解析 (2)t为时，中， 【分析】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由题意知，，则，则当时，四边形是矩形，从而求得t的值； （2）过Q作于E，则；再证明四边形是矩形，则；由可得到关于t的方程，解方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：当t为时，四边形是矩形； 理由如下： 由题意知，， 在矩形中，，， ∴； 当时，四边形是矩形， 即， 解得：； 当t为时，四边形是矩形； （2）解：由题意知，， 则； 如图，过Q作于E，则； ∵， ∴； 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， 解得：； ∴t为时，中，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $