专题02 实数（期末真题汇编，山西专用）七年级数学下学期

**基本信息** 实数专题期末试题汇编，覆盖平方根、立方根、无理数、实数运算四大高频考点，精选山西多地期末真题，情境贴近生活与地方特色，梯度设计兼顾基础与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|16|平方根（1-5）、立方根（9,12-13）、无理数（17-20）、实数性质（25-28）|结合快递包装（1）、魔方表面积（13）等生活情境，考查概念辨析与计算| |填空题|7|立方根计算（10-11,15）、无理数比较（21）、算术平方根与立方根关联（14）|注重基础公式应用，如“算术平方根是√5的数的立方根”（14）| |解答题|11|平方根应用（6-8）、立方根综合（16）、无理数阅读探究（23-24）、实数混合运算（29-33）|设置小球下落时间对比（6）、陶瓷卡片装封皮（7）等探究题，融合阅读理解与实际应用，如华罗庚立方根速算（23）|

专题02 实数 4大高频考点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数及其相关计算 考点04 实数的性质、实数与数轴、及实数的混合运算 ( 地 城 考点01 平方根 )一、选择题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 【答案】B 【详解】（1）解：面积为的正方形书画作品的边长是． 包装袋的长、宽之比为， 设长方形包装袋的长为，宽为， 由题意得，即， （负值舍去）， 长方形包装袋的长为，宽为； ， 不能，包装袋的长够，宽不够． 故选B． 2．（24-25七年级下·山西朔州·期末）若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】D 【详解】解：已知，根据算术平方根的非负性，表示的算术平方根，即，故选：D 3．（24-25七年级下·山西大同·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】解：∵， ∴或． ∵，得， ∴或． ∵ ∴当时， ， ∴． 当时，， ∴． 综上，值为或，即， 故选：B． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）表示的意义是（    ） A．的立方根 B．的平方根 C．的算术平方根 D．4的算术平方根 【答案】C 【详解】解：由题意知，表示的意义是的算术平方根， 故选：C． 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）81的平方根是（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【详解】解： ∴81的平方根是， 故答案为：A 二、解答题 6．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)小涵说得对． 【详解】（1）解：当米时， ， 答：小悦从80米高处释放小球，小球下落时间； （2）解：小涵说得对．理由：由（1）得， 当0米时，， 即小涵从20米高处释放小球，小球下落时间， ∵， ∴， 所以小涵说得对． 7．（24-25七年级下·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 【答案】(1) (2)不能 【详解】（1）解：∵该卡片的面积为， ∴该卡片的边长为； （2）解：设长方形封皮的长为，则宽为， ∵面积为， ∴， 即， 解得（负值舍去）， ∴长方形封皮的长为，则宽为， ∵长方形封皮的宽， ∴卡片不能直接装进长方形封皮中． 8．（24-25七年级下·山西太原·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 【答案】(1) ，这个正数是100 (2) 【详解】（1）解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得． 则这个正数的平方根为与， ∴这个正数为． 答：的值为，这个正数为． （2）解：当时，， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 答：的平方根为． ( 地 城 考点02 立方根 ) 一、选择题 9．（24-25七年级下·山西大同·期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是 D．的算术平方根是3 【答案】B 【详解】解：选项A：平方根符号表示算术平方根，结果非负，故，而非．选项A错误． 选项B：的平方根是，平方根的定义为若，则x是a的平方根．，因此的平方根是．选项B正确． 选项C：1的立方根是，立方根的定义为若，则x是a的立方根．因，而，故1的立方根仅为1．选项C错误． 选项D：的算术平方根是3，运算顺序中指数优先于负号，故．算术平方根仅针对非负数，而为负数，无算术平方根．选项D错误． 故选：B 10．（24-25七年级下·山西大同·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 11．（24-25七年级下·山西运城·期末）计算的结果是______． 【答案】 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·山西长治·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 二、填空题 14．（24-25七年级下·山西太原·期末）若一个数的算术平方根是，则这个数的立方根是_____． 【答案】 【详解】解：设这个数为x， 则， ∴， 则． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）计算：的结果等于 _____． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：﹣3． 三、解答题 16．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． ( 地 城 考点0 3 无理数及其相关计算 ) 1、 选择题 17．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：，0，是有理数，是无理数． 故选：C． 18．（24-25七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、是分数，可表示为整数比，是有理数，不符合题意； B、是无限循环小数，可化为分数，是有理数，不符合题意； C、中是无限不循环小数，故是无理数，符合题意； D、中，，故是整数，是有理数，不符合题意； 故选：C． 19．（24-25七年级下·山西大同·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，， 由无理数的定义可知，四个数中只有是无理数， 故选：D． 20．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，这是二阶魔方的正方体结构，其本身只有8个小正方体．若该二阶魔方的表面积为，则该二阶魔方的边长在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．11到12之间 D．12到13之间 【答案】B 【详解】解：由题意可得该二阶魔方一个面的面积为， ∴其边长为， ∵， ∴， ∴二阶魔方的边长在4到5之间． 故选：B． 二、填空题 21．（24-25七年级下·山西大同·期末）比较大小：___________4（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 22．（24-25七年级下·山西运城·期末）若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】∵12，∴符合条件的m可以是，故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 23．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 【答案】48 【详解】解：∵， ∴． ∴是两位数． ∵只有个位数是8的立方数的个位数是2， ∴的个数是8． ∵， ∴． ∴的十位数是4． 所以，的值是48． 24．（24-25七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． ( 地 城 考点0 4 实数的性质、实数与数轴、及实数的混合运算 ) 一、选择题 25．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故此选项不合题意； B．，故此选项不合题意； C． ，故此选项不符合题意； D． ．，故此选项合题意． 故选：D． 26．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 【答案】B 【详解】解：设A表示的数是a， ∵点C是的中点， ∴ 解得：， 故选：B． 27．（24-25七年级下·山西忻州·期末）π的绝对值是（   ） A．π B． C． D． 【答案】A 【详解】解：π的绝对值是π， 故选：A． 28．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 二、解答题 29．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）； （2） 得：， ， 把代入①得：， ， 原方程组的解为． 30．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）（1）计算：； （2）解方程组：； （3）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（）；（）；（），见解析． 【详解】解：（）； （） 由得：  ， 把代入得：，    解得：， 把代入中得： ， ∴； （） ， 该不等式的解集表示在数轴上如下 ． 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)解方程组：； (2)计算：； (3)求x的值：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 由②得③， 把③代入①得， 解得， ． 原方程组的解为； （2）． （3）， ， ， ． 32．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为． (1)的值为 ．（结果保留） (2)求的平方根． (3)“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合． ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， ∴原式， ∴4的平方根是； （3）解：①如图所示，因为数到点A的距离等于点B到点A的距离， 所以， 则， 所以数的点与表示的数的点重合； 故答案为：； ②， ∴点B表示的数是． 故答案为：． 33．（24-25七年级下·山西忻州·期末）请你根据白老师所给的内容，解答相关问题． 定义一个关于非零常数的新运算，规定：．例如：．已知，，求，的值． 【答案】， 【详解】解：根据新运算法则可知， 和可转化为：， ①式可得，代入②式中有， 则有，解得， 则有， 所以，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 4大高频考点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数及其相关计算 考点04 实数的性质、实数与数轴、及实数的混合运算 ( 地 城 考点01 平方根 )一、选择题 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小明同学亲手绘制了一副面积为625的正方形书画作品，准备通过快递邮寄给“红色精神代代传”革命题材书画作品组委会．已知快递站的一种包装袋是长方形，其长、宽之比为3：2，面积为600．请你通过计算帮助小明判断能否在不折叠书画作品的前提下，使用该包装袋进行邮寄？（   ） A．能 B．不能，包装袋的长够，宽不够 C．不能，包装袋的长、宽都不够 D．无法判断 2．（24-25七年级下·山西朔州·期末）若，则的值为（　　） A．3 B． C． D．9 3．（24-25七年级下·山西大同·期末）若，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）表示的意义是（    ） A．的立方根 B．的平方根 C．的算术平方根 D．4的算术平方根 5．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）81的平方根是（    ） A． B．9 C． D． 二、解答题 6．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）小悦和小涵利用当地一座高楼探究小球的下落时间和下落高度之间的关系． 实验一：小悦从80米高处释放小球，记录小球下落时间； 实验二：小涵从20米高处释放小球，记录小球下落时间． 已知一个物体从高处自由下落时，下落高度h（米）和下落时间t（秒）可以用公式来表示． (1)请利用公式，求的值． (2)实验后，小涵对小悦说：“我记录的时间刚好是你记录的时间的一半．”小悦说：“你一定是记录错了．”两位同学谁的说法正确？请通过计算说明理由． 7．（24-25七年级下·山西大同·期末）怀仁市的自然资源以煤炭和高岭岩闻名，就此形成一个行业——陶瓷业．有一种被当地人称作“黑砂石”的矿物质，实际上是重要的陶瓷制作原料．某中学课外活动小组为了宣传当地陶瓷，A小组成员制作如图①所示正方形陶瓷卡片，该卡片的面积为；小组成员制作如图②所示的长方形封皮，长方形封皮的长和宽的比为，面积为． (1)求正方形卡片的边长； (2)通过计算，判断卡片能否直接装进长方形封皮中． 8．（24-25七年级下·山西太原·期末）已知一个正数的平方根是与， (1)求a的值和这个正数 (2)求的平方根 ( 地 城 考点02 立方根 ) 一、选择题 9．（24-25七年级下·山西大同·期末）下列说法中，正确的是（　　） A． B．的平方根是 C．1的立方根是 D．的算术平方根是3 10．（24-25七年级下·山西大同·期末）计算：． 11．（24-25七年级下·山西运城·期末）计算的结果是______． 12．（24-25七年级下·山西长治·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 13．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 14．（24-25七年级下·山西太原·期末）若一个数的算术平方根是，则这个数的立方根是_____． 15．（24-25七年级下·山西忻州·期末）计算：的结果等于 _____． 三、解答题 16．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． ( 地 城 考点0 3 无理数及其相关计算 ) 1、 选择题 17．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）下列各数中，是无理数的是（   ） A． B．0 C． D． 18．（24-25七年级下·山西朔州·期末）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·山西大同·期末）下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·山西忻州·期末）如图，这是二阶魔方的正方体结构，其本身只有8个小正方体．若该二阶魔方的表面积为，则该二阶魔方的边长在（   ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．11到12之间 D．12到13之间 二、填空题 21．（24-25七年级下·山西大同·期末）比较大小：___________4（用“”，“”或“”填空） 22．（24-25七年级下·山西运城·期末）若m是无理数，且1＜m＜2，请写出一个符合条件的m：________． 三、解答题 23．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）阅读理解下面内容，并解决问题： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根，华罗庚脱口而出地报出答案，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗？请阅读下面的问题和解答： （1）由，，你能确定是几位数吗？ ∵，∴． ∴是两位数． （2）由59319的个位上的数是9，你能确定的个位上的数是几吗？ ∵只有个位数是9的立方数的个位数依然是9，∴的个位数是9． （3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位上的数是几吗？ ∵，∴．∴的十位数是3． 所以，59319的立方根是39． 问题：已知整数110592是整数的立方，求的值． 24．（24-25七年级下·山西朔州·期末）阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． ( 地 城 考点0 4 实数的性质、实数与数轴、及实数的混合运算 ) 一、选择题 25．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·山西大同·期末）如图所示，数轴上表示3、的对应点分别为C、B，点C是的中点，则点A表示的数是（    ） A．－ B．6－ C．－3 D．＋3 27．（24-25七年级下·山西忻州·期末）π的绝对值是（   ） A．π B． C． D． 28．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）在实数中，最大的数是（   ） A． B． C． D．3 二、解答题 29．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 30．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）（1）计算：； （2）解方程组：； （3）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 31．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）计算： (1)解方程组：； (2)计算：； (3)求x的值：． 32．（24-25七年级下·山西忻州·期末）综合与实践 问题情境：如图1，有一条长为8个单位长度的纸条（宽度忽略不计），半径为1的圆上的一点与纸条上表示数字0的点重合，将圆沿着纸条向右滚动一周，重合点变为点，点表示的数为． (1)的值为 ．（结果保留） (2)求的平方根． (3)“善思小组”将纸条进行如下操作． ①操作一：如图2，将纸条沿表示4的数的点对折，则表示数的点与表示数 的点重合． ②操作二：如图3，在操作一的条件下，将对折的纸条沿着点剪开，如图4，展开后的长为，则点表示的数为 ． 33．（24-25七年级下·山西忻州·期末）请你根据白老师所给的内容，解答相关问题． 定义一个关于非零常数的新运算，规定：．例如：．已知，，求，的值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $