2.4一元二次方程的应用（第2课时） 课件 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，核心内容为用其解决图形面积与动点问题。课堂导入先回顾三角形、矩形等图形面积公式，通过矩形面积“试一试”复习列方程步骤，为后续折纸盒、台风等复杂问题搭建递进式学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以折纸盒求高、台风影响轮船等实例，引导学生用数学眼光抽象几何与运动中的数量关系，通过规范的设元、列方程、检验步骤培养数学思维，以方程建模和符号表达发展数学语言。学生能提升应用能力，教师可高效落实教学目标。

第2章 一元二次方程 2.4一元二次方程的应用（第2课时） （浙教版）八年级 下 1.继续探索一元二次方程的实际应用,进一步体验列一元二次方程解应用 题的应用价值. 2.进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. 学习目标 a h a b a a a b b a h a b a h r 导入新课 还记得 这些图象的面积计算公式吗？ 导入新课 📝 试一试 一个矩形的长比宽多2米，面积是8平方米，求这个矩形的长和宽？ 解题五步法 1. 设未知数：宽为 x 米，则长为 (x+2) 米 2. 找关系：长 × 宽 = 面积 (8m²) 3. 列方程：x(x+2) = 8 ➔ x² + 2x - 8 = 0 4. 解方程：因式分解得 x₁=2, x₂=-4 5. 验答案：舍去-4，得宽2m，长4m 我们已经学习了一元二次方程的解法，今天我们将运用这些知识来解决生活中与图形相关的实际问题。 相信你能行 ——“数学源于生活，又服务于生活” 图2 例1 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折 成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少? 思考：题中的已知量是什么？未知量是什么？ 已知量：长方形硬纸片长 40cm,宽25cm. 纸盒的底面积是450cm2. 未知量：纸盒的高. 图1 新知探究 思考： 1.若设纸盒的高为x,那么裁去的四个小正方形的边长 为多少？ 2.你能用含x的代数式表示无盖纸盒的长、宽、高吗？ 3.你能找出题中的主要数量关系吗？ x2 长：40-2x 宽：25-2x 高：x 新知探究 例1 如图1,有一张长 40cm,宽25cm的长方形硬纸片,裁去角上四个小正方形之后,折 成如图2的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450cm2,则纸盒的高是多少? 图2 图1 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （1）纸盒的高度与剪去小正方形的边长由什么关系 纸盒的高度 = 剪去小正方形的边长 （2）设纸盒的高度为 cm，如何表示盒底的边长？ 40-2x 25-2x 底面长：(40 - 2x) cm 底面宽：(25 - 2x) cm 设元 · 定变量 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （3）等量关系是什么？ 40-2x 25-2x 纸盒的长×纸盒的宽= （4）根据等量关系能列出方程吗？ 方程：(40-2x)(25-2x)=450 列式 · 建模型 核心思路： 通过设未知数，用含未知数的代数式表示图形的长、宽、高等关键量，再根据面积公式列出方程。 03 新知讲解 例3 如图甲，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图乙的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？ 40 25 单位：cm 乙 甲 x 03 新知讲解 例3 分析：设纸盒的高为x（cm），那么裁去的四个小正方形的边长也为x（cm），这样就可以用关于x的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm2，就可以列出方程。 解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm. 由题意得（40－2x)(25 -2x)=450，化简、整理，得2x²-65x+275=0 解这个方程，得x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去) 答：纸盒的高为5cm. 利用一元二次方程解决几何图形问题的方法: 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系，规则的几何图形直接 利用面积(或体积)公式列方程即可，不规则图形一般先分割或组合成规则图形， 再运用规则图形的面积(或体积)公式列方程. 新知探究 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm （3）等量关系是什么？ 40-2x 25-2x 纸盒的长×纸盒的宽= （4）根据等量关系能列出方程吗？ 方程：(40-2x)(25-2x)=450 列式 · 建模型 核心思路： 通过设未知数，用含未知数的代数式表示图形的长、宽、高等关键量，再根据面积公式列出方程。 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x （5）解方程：(40-2x)(25-2x)=450 解答 · 找答案 ٭整理方程： ٭计算Δ ： Δ = (-65)² - 4×2×275 = 4225 - 2200 =2025 (45²) ٭ 代入求解： 解得： x₁ = 27.5，x₂ = 5 03 新知探究 合作学习 一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km. 北 东 C B 200km 500km A （1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ 特殊位置：点A . 对A产生影响：5 （1）=5 （h),就开始对A产生影响： （2）轮船不改变航向，抵达A需要 =（h) h<25h,轮船会进入台风影响区. 03 新知探究 合作学习 一轮船（C）以30km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km. 北 东 C B 200km 500km A （2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？ 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x 解答 · 找答案 ٭ 检验： x₁ = 27.5（舍去） 底面宽：25 - 2×27.5 =-30 cm 长度不能为负数，此解无实际意义，需舍去。 （6）两个数学解都符合实际问题的几何意义吗？为什么？ x₁ = 27.5，x₂ = 5 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 有一张长40 cm，宽25 cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图所示无盖纸盒。若纸盒的底面积是，求纸盒的高 40cm 25cm cm 40-2x 25-2x 解：设纸盒的高为 cm，由题意得： 整理： 解得：， 检验：当时，， 不符合实际，舍去。 答：纸盒的高为5 cm。 规范书写 03 新知探究 合作学习 北 东 C B 200km 500km A 【思考】②运用数形结合的方法寻找等量关系，并列出方程。 C1 B1 根据△AB1C1是直角三角形得：B1C12=AC12+AB12 当船与台风影响区接触时B1C1符合什么条件？ B1C1=200 km 所以列出等量关系： (400-30t)2+(300-20t)2=2002 03 新知探究 合作学习 解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002 整理方程得:13t2-360×t+2100=0 ∴方程有解，故轮船会进入台风影响区。 利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0 ∵轮船从点C运动到点A的时间为 ∴t=19.34h不符合题意，∴t=8.35h 答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区。 利用一元二次方程解决动点问题： 在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图形和临界图形， 然后 设出未知数,并用含未知数的式子表示出相关的线段的长度，再根据题目中的等 量关系列方程求解. 新知探究 03 新知探究 合作学习 如果把船速改为10 km/h,结果将怎样? 北 东 C B 200km 500km A 解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则令： (400-10t)2+(300-20t)2=2002 化简，得：t2-40t+420=0 由于此方程无实数根 ∴轮船继续航行不会受到台风的影响。 b2－4ac=402-4×1×420=-80<0 新知探究 知识点1 图形面积问题 议一议 几何图形实际问题列方程通用解题过程 01 审题设未知数 找出问题核心，用字母清晰表示未知量。 02 分析表示关系 用含未知数的代数式，准确表示相关量。 03 寻找等量列方程 依据面积、体积等关键信息列出方程。 04 解方程求根 运用公式法或因式分解法解一元二次方程。 05 检验回归实际 检验解的合理性，舍去不符合实际的根。 06 规范写出答案 用完整、规范的语言，写出最终答案。 典例分析 80cm x x x x 50cm 例1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条绿色纸边，制成一幅矩形挂图。如果要使整个挂图的面积是5400cm²，求绿色纸边的宽是多少cm？ 知识点1 图形面积问题 解：设绿色纸边的宽为x cm，由题意可得 (80 + 2x) × (50 + 2x) = 5400 4000 + 160x + 100x + 4x²= 5400 x² + 65x - 350 = 0 解得：， 检验：，舍去。 答：绿色纸边的宽是5cm 03 新知探究 归纳总结 利用一元二次方程解决几何问题的一般步骤： （1） 审清题意，依据几何图形的性质找到 　等量　关系； （2） 设合适的未知数，并根据 　等量关系　列出方程； （3） 正确地求解方程并检验解的合理性. 等量　 等量关系　 利用一元二次方 程解决几何图形 问题的方法 几何图形问题，一般是从面积(或体积)等方面找相等关系， 规则的几何图形直接利用面积(或体积)公式列方程即可，不 规则图形一般先分割或组合成规则图形，再运用规则图形的 面积(或体积)公式列方程 课堂小结 利用一元二次方程解决动点问题 在解决动点问题时，应先分析点的运动过程、画出代表图 形和临界图形， 然后设出未知数,并用含未知数的式子表示 出相关的线段的长度，再根据题目中的等量关系列方程求解 感谢聆听! $