2.4.1一元二次方程的应用 课件 2025--2026学年浙教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖利润问题和平均增长（降低）率问题。通过“轮船航线与台风影响区”实际情境导入，衔接方程解法知识，以问题链搭建学习支架，引导学生从现实中抽象数量关系。 其亮点在于用真实情境培养数学眼光，如台风问题激发探究兴趣，引导发现数量关系；通过“审设列解验答”步骤和口诀强化数学思维，如利润问题两种设元方法训练逻辑推理；总结公式与分层练习提升数学语言表达，助力学生建立模型意识，教师可高效开展应用教学。

第一章 二次根式 2.4.1一元二次方程的应用 01 教学目标 01 02 经历一元二次方程的实际应用，体验一元二次方程的应用价值； 会列一元二次方程解应用题. 导入新课 轮船航线与台风影响区 一艘轮船以30km/h的速度向东航行， 在航行中收到台风预警。台风中心在轮船东南方向500km处，已知台风中心移动的速度为20 km/h，方向正北。 如图，BC＝500 km，BA＝300 km。 距台风中心 200 km 的区域（包括边界）为受台风影响区。如果轮船不改变航速和航向，会进入台风影响区吗？ 这个问题看似复杂，但其实可以通过建立一元二次方程模型来解决。这就是我们今天要学习的内容 —— 一元二次方程在实际生活中的应用。 03 新知讲解 例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入4株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元,则每盆应植花苗多少株? 1.审：分析题意，找出题中的数量及其基本关系. 数量： 每盆花的盈利， 每盆花的株数， 平均单株盈利， 关系： 4＋每盆增加的株数； 每盆花的株数＝ 平均单株盈利＝ 3 － 0.2 × 每盆增加的株数； 每盆增加的株数. ① ② ＝每盆花的盈利. ×平均单株盈利 每盆花的株数 ③ 03 新知讲解 例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.当每盆植入4株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元,则每盆应植花苗多少株? 2.设：选择一个适当的量用未知数表示. 设每盆植x株， 平均单株盈利＝______________元. 则每盆增加的株数＝_______株， (x－4) [3－0.2(x－4)] 3.列：根据等量关系列出方程. 设每盆增加x株， 则每盆花的株数＝_______株， (x＋4) x[3－0.2(x－4)]＝18 平均单株盈利＝____________元. (3－0.2x) (x＋4)(3－0.2x)＝18 每盆花的株数×平均单株盈利＝每盆花的盈利 （3）某商品每件成本 80 元，按 30% 的利润率定价，则每件售价为_____元。 （4）一件商品进价 150 元，卖出后亏损 10%，则售价为______元。 （5）商店购进 50 件文具，每件成本 12 元，全部卖出后总利润 300 元，则每件售价为________元。 （1）某商品进价 200 元，利润率为 15%，则售价为______元。 （2）一件衣服标价 300 元，打八五折出售，实际售价为______元 新知探究 知识点1 利润问题 议一议 你知道商场里商品价格是如何制定的吗？与物品的哪几个价格有关？ 1.完成下列填空 230 255 104 135 18 能整理出与销售有关的数量关系吗? 新知探究 知识点1 利润问题 （1）利润=售价-进价； （2）利润率= ×100％= × 100％； （3）售价=进价×（1+利润率）； （4）总利润=总售价-总成本=单件利润×销售总量. (5)折扣价 = 标价 × 折扣（如八折即 ×0.8） 议一议 2.销售问题中常见的几个等量关系： 新课探究 解：设每盆花苗增加x株,则每盆花苗有(4+x)株，平均单株盈利为(3-0.2x)元.由题意,得(x+4)(3-0.2x)=18. 化简、整理,得x2−11x+30=0. 解这个方程,得x1 =5, x2 =6. 经检验, x1 =5, x2 =6都是方程的解,且符合题意. 答:要使每盆的盈利为18元，则每盆应植入5株或6株. 你还有其它方法吗？ 例1：某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现,每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系.每盆植入4株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元，则每盆应植多少株? 03 新知讲解 提炼概念 思考：列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗?列一元二次方程解应用题时,你认为有哪些地方更需引起注意? 1.审：理解题意，明确已知量和未知量。 2.设：设未知数 3.找：理解题目中已知量、未知量及所求问题之间的相互关系，找出等量关系 4.列：列出方程 5.解：解方程，求出未知数的值 6.验：注意检验方程的两个根是否都能保证实际问题有意义 7.答：写出答语 基本相同 03 新知探究 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ 列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意. 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同。 想一想 03 新知探究 归纳总结 列一元二次方程解应用题的基本步骤 审 设 列 解 检 答 (1)审题：理解题意，分清有哪些已知量、未知量    (2)设元（未知数）    (3)寻找相等关系，列方程 (4)解方程 (5)检验根的准确性及是否符合实际意义。  (6)作答  （1）想一想，列一元二次方程解应用题的基本步骤，与列一元一次方程解应用题相同吗？ 新知探究 知识点2 列一元二次方程解应用题的基本步骤 议一议 审：认真审题，找出已知量、未知量及等量关系。 设：根据题意，设出合适的未知数（直接设或间接设）。 列：根据找到的等量关系，列出一元二次方程。 解：运用合适的方法（公式法、因式分解法等）解方程。 验：检验解是否符合实际意义，最后写出答案。 基本相同 审设列解双检验， 实际意义要把关， 负根小数全舍完， 单位统一别忘算。 （2）列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ ٭一元二次方程通常会出现两个实数根，而实际问题中长度、人数、时间、面积等不能为负、不能为小数、不能超过限制，因此比一元一次方程更要谨慎：解出两个根后，必须逐一检验是否符合实际意义 新知探究 知识点2 列一元二次方程解应用题的基本步骤 议一议 ٭列方程解应用题整体思路完全相同，都是 “审、设、列、解、验、答” 六步走， ٭列一元二次方程解应用题在 “列方程” 和解出结果后，一元二次方程多了一步 “取舍根” 的关键环节 记住口诀哦！ 新课探究 平均增长(降低)率问题： 设a为起始量，x为增长率，一次增长后，终止量为a(1+x) 设a为起始量，x为降低率，一次降低后，终止量为a(1-x) 二次增长后，终止量为 依此类推，n次增长后，终止量为 a(1+x)2 a(1+x)n 二次降低后，终止量为 依此类推，n次降低后，终止量为 a(1-x)2 a(1-x)n 新课探究 例2 根据统计图,求从2020年到2022年,我国风电装机容量的平均年增长率（精确到 0.1%）. 解：设从 2020 年到 2022 年我国风电装机容量的平均年增长率为 x, 由题意可以列出方程2.8(1+x)2= 3.7. 解这个方程,得. x1 =%, x2 =(不合题意,舍去). 答:从 2020 年到 2022 年我国风电装机容量的平均年增长率为15.0%. 03 新知探究 合作学习 思考回答下列几个问题。 （1）增长率与什么有关系？ （2）年平均增长率怎么算？ （3）x的正负性有什么意义？ 增长率与时间相关. 弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长率. a(1+x)n =b（等量关系） 当x>0时表增长，当x<0时表示下降. a为变化前的量 b为变化后的量 n为变化的期数 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 做一做 根据统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率（精确到0.1%）。 2019～2022年我国风电装机容量统计图 学习任务单 合作学习 (1)2020年我国风电装机容量为 2.8亿千瓦 (2)2022年我国风电装机容量为 3.7亿千瓦 (3)平均增长率是指： (4)从20年到22两年中间连续增长 次 每次增长的百分比相同 两 (5) 设平均年增长率为x, 21年装机容量为 ； 22年装机容量为 ； 2.8(1+x) 2.8(1+x) •(1+x) （6）可列方程为 ； 典例分析 知识点2 平均增长率（降低率）问题 做一做 根据统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率（精确到0.1%）。 2019～2022年我国风电装机容量统计图 解：设从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为，由题意，可以列出方程： 解这个方程，得： 答：从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率约为15.0%。 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.某种智能手表原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元．求平均每次降价的百分率． 解：设平均每次降价的百分率为x， 由题意，得400(1－x)2＝256， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为20%. 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 2.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润120元。为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价。据测算，若每箱降价1元，每天可多售出2箱。如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 解：设每箱应降价x元，得________________________. (120-x)(100+2x)=14000 解得：x1=20，x2=50. 经检验x1=20和x2=50都是原方程的解，且都符合实际情况. 答：每箱应降价20或50元. 03 新知探究 归纳总结 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为 其中增长取“+”,降低取“－” 注意： （1）1与x的位置不要调换 （2）解这类问题列出的方程一般用直接开平方法 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 归一归 初始量 × (1 + 增长率)2= 最终量 设为初始量，为增长率，增长次数2，为最终量 a(1+x)2=b​ （1）增长率计算公式 （2）连续两次增长平均增长率问题基本公式 增长率= 初始量 × (1 + 增长率) = 最终量 新知探究 知识点2 平均增长率（降低率）问题 增长率（降低率）问题核心公式： 初始量乘以（1加增长率）的n次方等于最终量，其中n是增长的次数。 平均增长率 设基础量为 a，平均增长率为 x，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为 a(1+x)2……依此类推，n次增长后的量为 a(1+x)n 平均降低率 设基础量为a，平均降低率为x，则一次降低后的量为a(1-x)，两次降低后的量为 a(1-x)2……依此类推，n次降低后的量为 a(1-x)n 增长率可以大于100% 降低率不能大于100% 归一归 设为初始量，为增长率，为增长次数，为最终量 增长： 降低：。 05 课堂小结 感谢聆听! $