数列：证明数列不等式问题、数列不等式恒成立求参数问题 讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦数列不等式证明与恒成立求参数两大核心考点，按“知识点解析-解题原理-解题思路”逻辑架构梳理裂项放缩、分离参数等方法，通过考点梳理、方法指导、真题例题与变式训练，帮助学生构建系统解题框架，突破数列不等式难点。 讲义采用分层训练与方法归纳策略，如证明不等式时引导学生用裂项放缩转化求和，培养数学思维与推理能力，恒成立问题通过分离参数转化数列最值，强化模型观念。设置例题精讲与变式巩固，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指引。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：证明数列不等式问题、数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 考点目录 证明数列不等式问题 数列不等式恒成立求参数问题 知识点解析 考点一 证明数列不等式 知识点 1. 常用放缩：裂项放缩、分式放缩、糖水不等式、单调性放缩 1. 常用方法：放缩法、数学归纳法、作差作商、求和比较 1. 常见结构：通项不等式、前n项和不等式 解题原理 通过适度放缩，将复杂数列转化为可求和、可比较的简单数列，缩小/放大范围完成证明。 解题思路 1. 观察通项结构，选定放缩方向； 1. 对通项合理放缩，统一形式； 1. 求和化简，对比目标不等式； 1. 验证边界，完成证明。 考点二 数列不等式恒成立求参数 知识点 1. 核心思想：分离参数、最值转化 1. 常用结论：恒成立→大于最大值，小于最小值 1. 辅助手段：作差判单调性、邻项作差找最值 解题原理 把参数与数列项分离，将恒成立问题转化为数列最值问题，求出最值即可确定参数范围。 解题思路 1. 变形不等式，分离参数； 1. 构造新数列，判断单调性； 1. 求出数列最大/最小值； 1. 结合不等关系，写出参数取值范围。 考点一 证明数列不等式问题 【例题分析】 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式， （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【详解】（1）因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. （2）因为，故，故， 故. 综上. （3）因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 例2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算可得其等于，即可得证； （2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解； （3）利用分组求和可得，则；构造函数，利用导数计算可得对任意恒成立，则可得，计算可得，结合可证得，利用不等式性质可得当时，有，计算可得，则可得，即可得证. 【详解】（1） ， 又，，故； （2）由（1）可得， 故 ； （3） ， 又， 故， 故，故； 令，则， 故在上单调递减，故， 即对任意恒成立，则， 则， 又，故； 当时， ， 则，即有， 则， 则， 又，则， 综上所述：可得. 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出首项，即可得到的通项；利用等比数列通项公式，代入得到关于的方程，结合解出，进而得到的通项； （2）（i）：求出的表达式，再分别计算的表达式，然后计算，若该比值为非零常数，则可证明数列是等比数列； （ii）根据（1），（2）（i）的结果化简的表达式，结合放缩法，将其放缩为可求和的数列形式，再对放缩后的数列求和. 【详解】（1）设数列的前项和为，则， 又，. （2）（i）， 又， ， ∵对任意，有，且， ∴数列是以为首项，4为公比的等比数列． （ii）由，， 则， 由于， 又． 从而，证毕． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【详解】（1）当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. （2）的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 变式2．（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）由，得， 两式相减，得，所以， 则. 变式3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）分、、讨论，利用以及最值可得，再检验即可； （2）结合（1）分、讨论，将问题转化为在上恒成立，令，分、两种情况讨论即可； （3）由（2）得恒成立，利用其可得，再利用累加法可证. 【详解】（1）由题意知，， 若，则，不符合题意； 若，则的定义域为， 因为的最大值为0，且，则，即， 此时的定义域为，，， 当时；时， 则在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为，符合题意； 若，的定义域为，显然， 其余同，得出，舍去； 综上，； （2）由（1）知，， 则当时，在上恒成立； 当时，若对任意的，有恒成立， 则在上恒成立， 令， 则， 若，即，则在上恒成立， 所以在上单调递增，则，符合题意； 若，即，则当时，， 则在上单调递减，所以，不符合题意； 综上所述，实数的取值范围为； （3）由（2）可知，当时，恒成立， 即恒成立， 令， 则， 则， 即， 则， 即. 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 【例题分析】 例1．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 例2．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)98 (2) 【分析】（1）直接利用通项公式与递推关系计算即可； （2）根据等差数列求和公式及裂项相消法先计算和，再解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，，， 所以. （2）因为， 所以 则， 所以， 因为，所以，即. 由恒成立，可得， 则，得， 则，即t的取值范围为. 例3．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系，求出的通项公式；利用等比数列通项公式求出的通项公式，再结合错位相减法求； （2）将、的通项代入不等式，整理得到关于的恒成立问题，所以构造新数列，通过研究新数列的单调性求出其最大值，进而确定的取值范围. 【详解】（1）已知：时，； 时，， 验证也满足，故. 是首项为1、公比为2的等比数列，故，. ，则：① 两边同乘得：②. ①-②得： 中间等比数列求和得， 代入整理得：. （2）不等式，对恒成立， 代入得：. 设，作差得： 时，； 时，； 时，， 故的最大值为，因此，即. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 【答案】(1)，. (2)， 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和前项求和公式以及等差中项化简计算，即可求解； （2）由（1）可得，结合裂项相消求和法可得，判断为递增数列，则，进而求解. 【详解】（1）设数列的公比为，由，，成等差数列可得， 故，解得， 由，得，解得， 故，即数列的通项公式为，. （2）由（1）可得， 故， 易知单调递减，故单调递增， 即为递增数列，则， 又当时，且，所以， 故，所以. 变式2．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 变式3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明为常数即可证明为等比数列，根据等比数列通项公式即可求通项公式，从而得证； （2）先求出，根据通项公式的特征，采用错位相减法求其前n项和，题设化简为，通过讨论为奇数或偶数，即可求λ的范围. 【详解】（1）由已知，， ，，， 又， ， 数列中任意一项不为0， ， 数列是首项为2， 公比为2的等比数列. （2）由第（1）问知， ， 则，所以①， ②， 所以①-②可得： ， 所以. 由，得， 化简得. 当 为奇数时，有，即， 而，所以； 当为偶数时，有， 而，所以. 综上，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：证明数列不等式问题、数列不等式恒成立求参数问题复习讲义 考点目录 证明数列不等式问题 数列不等式恒成立求参数问题 知识点解析 考点一 证明数列不等式 知识点 1. 常用放缩：裂项放缩、分式放缩、糖水不等式、单调性放缩 1. 常用方法：放缩法、数学归纳法、作差作商、求和比较 1. 常见结构：通项不等式、前n项和不等式 解题原理 通过适度放缩，将复杂数列转化为可求和、可比较的简单数列，缩小/放大范围完成证明。 解题思路 1. 观察通项结构，选定放缩方向； 1. 对通项合理放缩，统一形式； 1. 求和化简，对比目标不等式； 1. 验证边界，完成证明。 考点二 数列不等式恒成立求参数 知识点 1. 核心思想：分离参数、最值转化 1. 常用结论：恒成立→大于最大值，小于最小值 1. 辅助手段：作差判单调性、邻项作差找最值 解题原理 把参数与数列项分离，将恒成立问题转化为数列最值问题，求出最值即可确定参数范围。 解题思路 1. 变形不等式，分离参数； 1. 构造新数列，判断单调性； 1. 求出数列最大/最小值； 1. 结合不等关系，写出参数取值范围。 考点一 证明数列不等式问题 【例题分析】 例1．（2026·河南开封·模拟预测）已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. (1)分别求，，的值； (2)求的表达式，其中；（用含k的式子表示） (3)若数列满足，记的前n项和为，证明：. 例2．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 变式2．（2026·吉林·二模）已知正项等比数列满足，且，，成等差数列，正项数列的前项和为，． (1)求的通项公式； (2)证明：． 变式3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数的最大值为0． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，证明：． 考点二 数列不等式恒成立求参数问题 【例题分析】 例1．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 例2．（2026·辽宁抚顺·二模）已知数列和满足. (1)若，求的值； (2)若，且恒成立，求t的取值范围. 例3．（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列的前n项和为，满足，为等比数列，首项为1，且公比为2. (1)若，求数列的前n项和； (2)若不等式对恒成立，求实数k的取值范围. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）已知为等比数列的前项和，若是和的等差中项，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，且数列的前项和为，若恒成立，求的表达式以及的取值范围. 变式2．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 变式3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列满足，（），记． (1)求证：是等比数列； (2)设，数列的前n项和为．若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $