函数恒成立问题题型讲义-2026届高三数学三轮冲刺

函数恒成立问题专题 能直接参变分离 优先考虑参变分离 参变分离后结合洛必达法则 分类讨论后参变分离 恒成立求参问题思维导图 指对同构（式子中指对都有） 换元构造 数形结合（半分离） 不能实现参变分离 凹凸反转 直接含参分析 必要性探路+参数放缩 变换主元 【题型一：直接参变分离】 【典型一】(2026南阳模拟)已知f(x)=(2-a)(x-1)-2Inx,若x∈(0，)都有 f(x)>0恒成立，求a的范围 【解标】自已知可知：x∈(0，，(2-a(x-)-21nx>0恒成立： 即2-a< 2In ,x∈0,3恒成立 x- 令g(x)= 2Inx -re(0.只需2-a<g(8m 1x-D)-Inx 1-1-Inx g'(x)=2. =2X (x-1)2 (x-1)2 令)=1--nx,x∈0,2 h)=-1-1,1 x =二(-1)>0 xxx h(y在xe(0,上单调递增： Mx)<h分=1-2-1n)1h2-1<0.即：g<0 3 g(在(0，片上单调递减：故：g(x)m>g宁= 2=41n2 1 .2-a≤4ln2,∴.a≥2-4ln2 【易错提醒】注意端点值能否取得，避免参数范围不准确。 【典型二】(2026平顶山模拟)己知f(x)=e-sinx-1,当x>0时，f(x)>ax2恒成立， 求a的范围。 【解析】由已知可得：a<e-sinx-l 令g(x)=e-sinx- ,x>0,只需g(x)min>a g(x)=e'x-xcos x-2e'+2+2simn x x>0 h(x)=e*x-x cos x-2e*+2+2sin x,x >0 h'(x)=(x-1)e*+cos x+xsin x (x)=(x-1)e*+cos x+x sin x,x>0 ..'(x)=(e*+cos x)x>0 .p(x)在x∈(0，+oo)上单调递增；∴.p(x)>p(0)=0 ∴.h'(x)>0,h(x)在x∈(0，+oo)上单调递增；∴.h(x)>h(0)=0 .g'(x)>0,∴.g(x)在x∈(0，+oo)上单调递增： e*-1-sin x=lim e*-cos x lim x2 lim e*+sin x 1 X一0 x→0 2x x→0 2 1 8(m>2a≤2故ae(0,习 【易错提醒】使用洛必达法则必须满足：1.必须是“0/0”型或“∞/∞”型未定式；2.在 极限点（或趋向无穷大的过程中）的某去心邻域内，分子函数f(x)和分母函数g(x)都可导 :3.分母导数不为零； 【典型三】(2025天津模拟)已知函数f(x)=e-a(x-1),若在区间[0,2]上f(x)≥0恒成 立，求实数的取值范围。 【解析】Vx∈[0,2]，e≥a(x-1)恒成立： 1.当x=1时，上式恒成立： 2当r>1时.号≥a.令g=e x-1 ,1<x≤2，只需g(x)min≥a x-11 &()-e(x-D-e-e'@-2<0 (x-1)2(x-1)2 ·g(x)在(1,2]上单调递减；·g(x)mm=g(2)=e2,∴.e2≥a 0<x时，≤a,令g田=0<<，只衔g四5D x-1 g()-e(x-D-e-eGx-2<0 (x-1)2(x-1)2 ∴.g(x)在(0,1)上单调递减；g(x)max=g(0)=-1,·-1≤a 综上知：a∈[-1，e2] 【题型二：无法参变分离】 【典型四】(2026平顶山模拟)已知f(x)=(x+a-1)e',g(x) =x2+a,a为常数若对任 意的x∈[0，+oo)不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】法一：（直接含参分析单调） 令)=-8)=6+a-le--mx≥0，只n≥0 h'(x)=(x+a)(e-1) 当a≥0时，由x≥0，则h'(x)≥0；h(x)在[0，+o)上单调递增； .h(x)≥h(0)=a-1≥0，.a21 当a<0时，xe[0,-a]上时，h'(x)≤0 x∈(-a,+oo]上时，h'(x)>0 故h(x)mm=h(-a)<h(0)=a-1<0,不符合题意 综上知：a≥1 法二：（必要性探路） 令h)=fx)-g)=(x+a-1e'- 5x2-ax,x≥0 由已知必有：h(0)=a-1≥0，∴.a≥1 【证充分性】当a21时，x+a-120且e≥x+1,则 h0=x+a-le*-72-a2(x+a-1x+)-7-m 2 =x2+(a-1)-号x2=x+(a-1)≥0恒成立，符合题意 2 2 综上知：a21 【典型五】（改编）已知er≥nx+对x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围： 【解析一】（数形结合）原式等价于：e_1≥1nx 根据左右两边函数特征可知，两者图像相切是临界情况同时两者有公切线，则： lnx。=e,1_1 a 1 =aeaxo-1 Xo 从而有：alnx,=ae--1,.aln xo= xo .xo=1 故公切线方程为：y=x-1 ea_1≥m-2x-a :(a-1x+a-1a+D≥0.(a-1x+a+马≥0x>0恒成立 a a≥1 【解析二局部同构】由已知知a>0 原不等式等价于：e--lnx-二≥0 a ∴e1-(ar-)-l+ax-lnx-l+na-1+1≥0 .er-1-(ax-1)-1≥0，ar-lnax-1≥0（☐ax=1时同时取等） :只需1na-1+1≥0，易知h()=1na-1+1在a∈(0，+o)上单调递增， a a .a21 【解析三必要性探路】x=l时，e≥二，∴a≥1 a 当a≥1时，有：e≥e≥x≥nx+1≥1nx+1显然成立 综上知：a≥1 【典型六】(2026江南十校)己知f(x)=e+1-aln ax+a(a>0)对x∈(0，+o)都有 f(x)>0,求实数a的取值范围. 【解析】（指对同构）由已知：e+1>aln ax-ax∈(0，+oo)恒成立； .xe>ax In ax-ax ∴xe>elax In ax-ena .xex+l>el a (In ax -1) ..xe*el a-(In ax-1) 显然当nax-1≤0时，上式恒成立； 当nax-1>0时： 令F(x)=xe',易知F(x)在(0，+oo)上单调递增： 故由F()>F0har-》知r>lnar-l:a< 令=x>0,A-e-》 x2 x∈(0,1)时，h'(x)<0,h(x)单调递减 x∈(1，+o)时，h'(x)>0,h(x)单调递增； .h(x)min=h(1)=e2,..a<e2 综上知：ae(-o,e2] 【总结归纳】指数找朋友，对数单身狗指对两边走，同构走一走；紧扣内层，构造同形 【典型七】(2026改编)已知f(x)=2ax-asinx+cosx在x∈R上单调递减，求实数a的 取值范围. 【解析】（数形结合）由已知f'(x)=2a-acos x-sinx≤OVx∈R上恒成立； sinx 0-(-sinx) ∴.a≤ 2-cosx2-cosx 不等式右边表示点(2,0)与点(cosx,-sinx)两点斜率 m-5,5. 2-cosx 33 】a3故a%,2 【典型八】(2026山东模拟)已知f(x)=x2+4x+2,g(x)=e(2x+2),若x≥-2时， f(x)≤kg(x)恒成立，求实数k的取值范围. 【解析】（必要性探路）由已知2ke(x+1)-(x2+4x+2)≥0，x≥-2恒成立； 令F(x)=2k(x+1)-(x2+4x+2) F(-2)≥0 则必有： F0)≥0k∈l,e] 当1≤k≤e2时， F'(x)=2(x+2ke-1),令F'(x)=0,则x=-2,x2=ln∈[-2,0] 1.当k=e2时，x1=x2,F'(x)≥0，.F(x)在[-2，+0)上单调递增； .F(x)mn=F(-2)=2-2k2=0,符合题意 2.当k=[1,e2),∴.F(x)在[-2，ln)上单调递减； 1 F(x)在(ln三，+oo)上单调递增； k :Fm=r02)=20+-m+4ng+21=-2-2加220 k k 符合题意 综上知：k∈[1，e2] 【典型九】(2026河南模拟)已知g(x)=a2e-2ax+√2sin(x+元)-2，当x≥0时， g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】 (法一：必要性探路+参数放缩)g(x)=a2e-2ax+sinx+cosx-2,(x≥0) 由g(0)=a2-1≥0，∴.a≥1或a≤-1 I.当a≤-1时，-a≥1，-2a≥0，.g(x)≥e*+sinx+cosx-2 令k(x)=e+sinx+cosx-2≥x+1-sinx+cosx≥0 ∴.k(x)≥h(O)=0,故此时符合题意。 Ⅱ.当a≥1时，a2e-2ax-(e*-2x)=(a-1)[(a+1)e-2x] 令m(x)=(a+1)e*-2x,(x≥0)，m'(x)=(a+1)e"-2≥2e-2≥0 .m(x)>m(0)=a+1>0,a2e-2ax≥(e*-2x) ..g(x)2 e*-2x+sin x cos x-2, 令h(x)=e*-2x+sinx+cosx-2,(x≥0)，h(0)=0 h'(x)=e*-2+cos x-sin x 令0(x)=e*-2+cosx-sinx,(x≥0) p'(x)=e'-sinx-cosx≥x+1-cosx-sinx≥0 ∴.p(x)在x∈[0，+oo)上单调递增；∴.p(x)≥p(0)=0 h'(x)≥0，∴.h(x)在x∈[0，+o)上单调递增：∴.h(x)≥h(0)=0 .g(x)>h(x)≥0，故a21符合题意 综上知：a21或a≤-1 法二：（变换主元）由题意g(0)=a2-1≥0，.a≥1或a≤-1 设m(@)=g),则m(@为开口向上，对称轴为X的二次函数： 由x≥0，易知-1<0≤s1<1 e .m(a)的最小值为m(),故只需证m()≥0即可 即证：m(1)=h(x)=e'-2x+sinx+cosx-2≥0即可. 令h(x)=e-2x+sinx+cosx-2,(x≥0)，h(0)=0 h'(x)=e*-2+cos x-sin x 令p(x)=e-2+cosx-sinx,(x≥0) p'(x)=e'-sinx-cosx≥x+1-cosx-sinx≥0 ∴.p(x)在x∈[0，+o)上单调递增；.p(x)≥p(0)=0 h'(x)≥0，∴.h(x)在x∈[0，+o)上单调递增：∴.h(x)≥h(0)=0,即证. 【总结归纳】必要性探路思路是先找到参数范围，然后证明参数在己知范围内符合趣意，从而 确定参数范围 【典型十】(2025山东模拟)设函数f(x)=e-n(r+a,a∈R,若xeR,恒有 f(x)≥a,求实数a的取值范围. 【解析】法一（隐零点）依题意可得：e-ln(x+a)≥a在(-a,+o∞)上恒成立， 设g()=e-1n(x+a)-,xe(a,o)则g=c-1在(-a,+o）上单调递增； x+a 且当x→-a时，g'(x)→-0；当x→+0时，g'(x)→+o 所以3x,∈（←a,+0,使得g')=0,即e=1 1 xo+a e-七 则当x∈(-a,xo)时g'(x)<0,即g(x)单调递减； 则当x∈(xo,+o0)时g'(x)>0,即g(x)单调递增 e-)-(1 ÷8(nm=g)=e-ln(,+a）-a=e-ln(k+ -x)=e-+2,20 mx)=e-+2x. 则m'(w)=e+e+2>0且m0)=0, ∴.m(x)在(-a,+oo)上为增函数；由m(x。)≥0=m(0),.x。≥0 六-x在∈0，+0)上单调递减；“，≥0时，aS1 1 又y= 综上知：a∈(-0，] 法二：（指对同构）由e*-ln(x+a)≥a可得： e*+xzIn(x+a)+(x+a) e+x≥ln(x+a)+er+a),令g(x)=e+x,易知g(x)在x∈R上单调递增： .g(x)≥g(n(x+a)知：x≥ln(x+a) .a≤e'-x 令：h(x)=e*-x,h'(x)=e-1,易知h(x)≥h(O)=1 .a≤1 综上知：a∈(-0,1] 【典型十一】(226江苏模拟)已知函数f(x)=lnx-x+1满足 ≥)0m<0何发立，求实致m的取值范阻 【解析】由已知可得：m 1-2ex+1 e≥nr e 即：m≥lnx+l1-2e er e 令g闭-则g-m 故：g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+oo)上单调递增； ·g(x)mn=g0=四 令)-nx+,1-2eh=-a e x2 故h(x)在(0,1)上单调递增，在(L,+oo)上单调递减； .h(x)m h(1)=1-e e 故只需g)m≥h(),÷m≥1二e,1-e5m<0 e e 【归纳总结】凹凸反转一股用来证明不等式恒成立，若要用来求参数范围必须确保凹凸函数极 值点相同；同时注意明确常见凹凸函数. 【变式】设函数f)=lnx-e,g()=a(x2-)-1若f()<g()在1，+o)恒成立， 求实数a的取值范围. 【解析】由题可得：lnx- e<a6r2-)-1 :ax2-1)-1nx>1-e在，+o)恒成立 x e 令k)=1-e-e-r>0在1，+0)恒成立 x ex xex 若a≤0，由x>1,则a(x2-1)-lnx<0,不符合题意，故必有a>0 令h()=a(x2-)-ln,h=2ar2-1 1 @诺>，0<u<时 2 当x∈(L,。),h()单调递减：当x∈( ,+oo),h(x)单调递增； 2a 2a 故h(人)<h)=0,不符合题意 √2a 鸟老1，即a2呼 设S)=aex2-1)-1nx-1+e s=2ar-+号.自于2m2由e>ax号<故-2> 11e ex x ex S0)>x-1+↓-1-2-2x+12-2x+1x- ->0, x x2 x x2 x2 ∴.S(x)在(1，+0)上递增，故：S(x)>S(I)=0 即：a≥。时，f(x)<g(x)在(1，+o)恒成立. 【典型十二】已知f(x)=xe-√-lnx,若f(x)≥5m-9恒成立，则实数m的取值范用 为： 【解析】法一（同构换元）：f(x)=xe-V-nx=er+-(√+n) 设Vx+nx=t,则f(t)=e'-t,f'(t)=e'-1, .t∈(-0,0)时，∫'(t)<0,f(t)单调递减： .t∈(0，+o)时，f'(t)>0,f(t)单调递增； .f(t)mm=f(0)=1,1≥5m-9,∴.m≤2 法二：令Vx=t≥0，则y=t2e-t-2lnt≥5m-9恒成立， g0=1e-t-2n1,g'0=(2+21)e-1-2_+2e-0 t t 令h(t)=t2e'-1(t>0),则h'(t)=(t2+2t)e'>0 h在0，+)上单调运期，h0=e-1>0,白=E-1<0 4 3弘，∈(，使得，)=0，即，2eb-1=0 .当t∈(0，to)时，h(t)<0,g'(t)<0,g()单调递减： .当t∈(to,+o)时，h(t)>0,g'(t)>0,g(t)单调递增 ..g(t)min =g(to)=to e-to-2Into 6eel2=2h4- ∴.g(t)mim=g(to)=t2eo-t-2lnt。=1 .1≥5m-9,.m≤2函数恒成立问题专题 能直接参变分离 优先考虑参变分离 参变分离后结合洛必达法则 分类讨论后参变分离 恒成立求参问题思维导图 指对同构（式子中指对都有） 换元构造 数形结合（半分离） 不能实现参变分离 凹凸反转 直接含参分析 必要性探路+参数放缩 变换主元 【题型一：直接参变分离】 【典型-】(2026南阳模拟)已知f)=(2-a(Gx-)-2lnx,若 x∈(0， 2都有 f(x)>0恒成立，求a的范围。 【易错提醒】注意端点值能否取得，避免参数范围不准确。 【典型二】(2o26平顶山模拟)已知f)=e-sinx-l,当x>0时，f()>ax恒成立， 求a的范围. 【易错提醒】使用洛必达法则必须满足：1.必须是"0/0”型或“∞∞”型未定式；2.在 极限点（或趋向无穷大的过程中）的某去心邻域内，分子函数x)和分母函数g)都可导； 3.分母导数不为零； 【典型三】(2025天津模拟)己知函数f()=e-a(x-),若在区间[0,2]上f(x)≥0恒 成立，求实数的取值范围。 【题型二：无法参变分离】 【典型四】(2026平顶山模树已知f)=(K+a-e,&()= -x2+ax,a 为常数若对任 意的x∈[0，+o0)不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围. e-1≥lnx+二对Vx∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围： 【典型五】（改编）已 a 【典型六】2o26江南十校)已知f)=e-alnax+-a(a>0)对x∈(0，+o)都有 f(x)>0,求实数a的取值范围. 【总结归纳】指数找朋友，对数单身狗指对两边走，同构走一走；紧扣内层，构造同形. 【典型七】(2026改编)已知f()=2ar-asinx+cosr在x∈R上单调递减，求实数a的 取值范围. 【典型八】(2026山东模拟)已知f)=x+4x+2,8(x)=e(2x+2),若x之-2时， f(x)≤kg(x)恒成立，求实数k的取值范围. g(x)=a'e'-2ax+2sin(x+")-2 【典型九】(2026河南模拟)已知 4 ,当x≥0时， g(x)≥0恒成立，求实数0的取值范围. 【总结归纳】必要性探路思路是先找到参数范围，然后证明参数在已知范围内符合题意，从而 确定参数范围 【典型十】(2025山东模拟)设函数f()=e-ln(x+a),a∈R,若x∈R,恒有 f(x)≥a,求实数a的取值范围. 【典型十一】（2026江苏模拟)已知函数f()=血x-x+l满足 ≥f+上eme0 e 恒成立，求实数的取值范围 【归纳总结】凹凸反转一般用来证明不等式恒成立，若要用来求参数范围必须确保凹凸函数极 值点相同；同时注意明确常见凹凸函数 f)=nx-e5,g()=ax2-)- 【变式】设函数 x若f(x)<g(x)在I,+oo)恒成立， 求实数a的取值范围. 【典型十二】已知f()=xe-V下-lnx,若f()≥5m-9恒成立，则实数m的取值范围 为：