数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项公式讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦数列通项公式两大核心考点，即利用an与Sn的关系及构造法求通项，按“知识点解析-解题原理-解题思路”逻辑梳理知识体系，通过考点梳理明确核心公式与注意事项，方法指导提炼递推转化步骤，真题训练（例题+变式）强化应用，帮助学生系统突破难点。 资料以数学思维培养为核心，如构造法中引导学生观察递推式结构，通过配凑常数、取倒数等变形构造新等差或等比数列，发展推理能力与创新意识。设置分层训练（基础例题到综合变式），配合解题思路分步指导，确保高效复习，助力学生提升转化与建模能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项公式复习讲义 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项公式 构造法求数列通项公式 知识点解析 考点一利用an与Sn关系求通项 知识点 1.核心公式：a1=S1,n≥2时，an=SnSn1 2.注意：必须验证n=1是否满足n≥2所得式子，分写或合并通项 3.常见形式：已知SnSn与an混合式 解题原理 借助前n项和与通项的固有递推关系，消去S,转化为相邻项递推式求通项。 解题思路 1.令n=1,求出首项a1: 2.写出n≥2时Sn与S1两式； 3.两式作差消和，得到an递推关系； 4.整理化简求通项； 5.检验首项，统一或分段写通项。 考点二构造法求数列通项 知识点 1.适用：递推式非等差、非等比数列 2.常见模型： ·a计1=pan十q构造等比 ·a#1=pan十fn配凑构造 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 ·分式递推、倒数构造、对数构造 3.核心：凑出等差/等比标准形式 解题原理 对原式变形、配凑、取倒数、取对数等，构造出新等差等比数列，先求新数列通项，再反推原数列通项。 解题思路 1.观察递推式子结构，确定构造类型： 2.等式变形配常数、配式子，造出等差/等比； 3.求出构造新数列的首项与公差/公比： 4. 写出新数列通项，回代求出an。 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项公式 【例题分析】 例1.（2026河南安阳模拟预测)记数列{an}的前项和为Sn,已知S。=2a,-1(n∈N). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设m为正整数，从集合{a1,a2,·,am}中随机抽取一个数，若抽到4，则记随机变量X=k,假设抽到a%的概率与 a,的值成正比，求E(X).(用m表示) 2 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例2.(25-26高二下·江西鹰潭期中)设数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3an-3,neN,· (I)求数列{an}的通项公式： (②)若数列{bn}满足bn=loga2a-1,求数列a,b.}的前n项和Tn; (3)令Cn=2”log,4n,记数列 Cn+2 C.Cn) 的前n项和为2，求证：≤Q<2. 例3.(2026贵州安顺模拟预测)已知数列{an}的前项和为Sn,且3Sn+n与2的等差中项是2(a,+1. (I)求证：数列{an+1是等比数列： ②记无.-立d,试判断工与5a+ 2(3an+2) 的大小关系，并给出证明. a 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026贵州贵阳·二模)已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且an1=2Sn+3. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=an+log,an,求{bn}的前n项和Tn. 变式2.(2026山东烟台二模)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a=1，,且(S+1+1)a。=(Sn+1)a1· (I)求数列{an}的通项公式； (2)求数列 an 的前n项和T. Sn·Sn+1 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2026山东济宁二模)记S,为数列a,的前项和，已知a=2,S.-n+2。 (I)求数列{an}的通项公式： (2)记n为数列(-1)an}的前项和，求T0 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 构造法求数列通项公式 【例题分析】 例1.(25-26高三下河南阶段检测)记Sn为数列(an}的前n项和，S,=2an-2++2. (1)求数列{a1-2an}的前n项和； (2)求Sn. 例2.(24-25高三下山东济宁·开学考试)设首项为2的数列an}的前n项和为Sn,前n项积为T,且满足 71=n+2 T n (1)求数列{an}的通项公式： (2)求证：数列 n+1 的前n项和M,< （多考公式：下+2++4-a=圳2+4) 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(25-26高三上河北月考)数列an}中，a1=3,满足a1-4a,=3×4” (I)求{an}的通项公式： (2)记数列{an}的前项和为Sn,求Sn 【变式训练】 变式1.(2026广西河池模拟预测)在数列an}中a=1,a1=2an+n-1,neN°. (1)证明：数列a,+n是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式a,; (3)求数列{an}的前n项和公式Sn 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式2.(2026福建福州模拟预测)己知数列an}的前n项和Sn=2an-n. (I)求{an}的通项公式： 2证明：1++l++l+…++1< az as a6 变式3.(2026-陕西西安~模拟预测)已知数列a,的前项和为S，a=1,且满足(n+S。=mS12n+. (1)求数列an}的通项公式： (2)设bn=a+3cosnπ，求数列{bn}的前n项和Tn2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：利用an与Sn的关系求数列通项公式、构造法求数列通项公式复习讲义 考点目录 利用an与Sn的关系求数列通项公式 构造法求数列通项公式 知识点解析 考点一 利用 与 关系求通项 知识点 1. 核心公式：， 时， 1. 注意：必须验证 是否满足 所得式子，分写或合并通项 1. 常见形式：已知 、 与 混合式 解题原理 借助前 项和与通项的固有递推关系，消去 ，转化为相邻项递推式求通项。 解题思路 1. 令 ，求出首项 ； 1. 写出 时 与 两式； 1. 两式作差消和，得到 递推关系； 1. 整理化简求通项； 1. 检验首项，统一或分段写通项。 考点二 构造法求数列通项 知识点 1. 适用：递推式非等差、非等比数列 1. 常见模型： · 构造等比 · 配凑构造 · 分式递推、倒数构造、对数构造 1. 核心：凑出等差/等比标准形式 解题原理 对原式变形、配凑、取倒数、取对数等，构造出新等差/等比数列，先求新数列通项，再反推原数列通项。 解题思路 1. 观察递推式子结构，确定构造类型； 1. 等式变形配常数、配式子，造出等差/等比； 1. 求出构造新数列的首项与公差/公比； 1. 写出新数列通项，回代求出 。 考点一 利用an与Sn的关系求数列通项公式 【例题分析】 例1．（2026·河南安阳·模拟预测）记数列的前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设为正整数，从集合中随机抽取一个数，若抽到，则记随机变量，假设抽到的概率与的值成正比，求.（用表示） 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，求解即可； （2）由及，求得，从而得，，利用错位相减求出的值，即可得答案. 【详解】（1）当时，则有， 解得； 当时，由， 可得， 所以， 即， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以； （2）由题意可得，为常数， 因为， 即， 所以， 所以， 所以， 设， 即， 所以， 两式相减，得 ， 所以， 所以， 例2．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【详解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 例3．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知数列的前项和为，且与2的等差中项是． (1)求证：数列是等比数列； (2)记，试判断与的大小关系，并给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，；当时，，证明见解析 【分析】（1）降标作差，利用即可得出，再构造数列，利用等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出化简，分、两种情况讨论，利用放缩得出，利用等比数列求和即可得出，. 【详解】（1）由题意得，，所以， 当时，，解得． 当时，， 得，即， 所以， 所以，所以， 又，于是数列是以2为首项，4为公比的等比数列． （2）由（1）得，，故． 所以. 当时，，则； 当时，，故， 所以， 即，所以， 所以. 因此，当时，；当时，． 【变式训练】 变式1．（2026·贵州贵阳·二模）已知数列的首项，前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系消去，得递推式，判断是等比数列，即可求得其通项； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法与等差、等比数列求和公式求解即得. 【详解】（1）由①，当时，②， ①-②得，即， 又∵，满足， ∴是以3为首项，3为公比的等比数列，即 （2）∵， ∴ ． 变式2．（2026·山东烟台·二模）已知正项数列的前项和为，，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件式变形得，构造常数列求得，再利用时推导出，确定为等比数列，进而得到通项公式； （2）先由（1）求得，将裂项为，再通过裂项相消法求和，化简得到的表达式． 【详解】（1）由，得． 所以，即． 当时，，整理得， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以． （2）由（1）得， 所以， 所以， ， 整理得． 变式3．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 考点二 构造法求数列通项公式 【例题分析】 例1．（25-26高三下·河南·阶段检测）记为数列的前项和，． (1)求数列的前项和； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位相减法可得，结合等比数列的定义，得到为等比数列，进而求得其前项和； （2）由（1）化简得到，得到数列为等差数列，求得，利用乘公比错位相减法求和，即可求解. 【详解】（1）解：由为数列的前项和，，可得， 两式相减，可得，即， 所以， 令，可得，即，解得， 再令，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 则数列的前项和为． （2）解：由（1）知：，可得，且， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得， 所以数列的通项公式为， 则， 可得 两式相减，可得 ，所以． 例2．（24-25高三下·山东济宁·开学考试）设首项为2的数列的前n项和为，前n项积为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列的前n项和. （参考公式：） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造常数列求通项； （2）利用参考公式以及分组求和求出，再利用裂项相消求出即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 所以，所以数列为常数列， 又，所以，即. （2）由（1）知：， 结合参考公式可得 ， 所以， 所以 ， 因为，所以，即. 例3．（25-26高三上·河北·月考）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 【变式训练】 变式1．（2026·广西河池·模拟预测）在数列中，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据递推关系式和等比数列定义直接证明即可； （2）根据等比数列通项公式可求得，进而得到； （3）采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】（1），又， 数列是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得：，. （3）由（2）得：. 变式2．（2026·福建福州·模拟预测）已知数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用和的关系，然后构造一个等比数列求解即可； （2）利用进行放缩，然后用等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）因为①． 令得，解得． 当时，②， 由①②得， 即 又， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以． （2）因为， 当时，， 当时， ． 综上，． 变式3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得，结合即可求解； （2）由（1）知，利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意，，所以， 由于，则是以首项为1，公差为的等差数列， 所以，所以， 当时，. 验证时满足通项公式，故数列的通项公式为. （2）由（1）知. 设的前项和为，则当为偶数时， . 当为奇数时，， 设的前项和为，则. 因为，所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $