第11章 因式分解 单元检测 2025—2026学年青岛版数学七年级下册

第11章 因式分解 单元检测 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解； ②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解； ③整式的乘法，故③不是因式分解； ④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解； 2.多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是， ∴公因式为． 3. 将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 【答案】C 【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1）， 4若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 【答案】A 【解答】解：∵x2+ax+b＝a（x﹣2）（x+3）， ∴a＝1，b＝﹣2×3＝﹣6， 5.用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 6. 已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 7.如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 【答案】B 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为16，面积为12， ∴，， 则 ． 8. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【答案】B 【解答】解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2； 剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b）， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 9.已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 【答案】B 【详解】解：根据题意可得 ， 故的最小值是5， 10.我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 【答案】B 【详解】解： ，其中、、、为常数， 除以的余数为， 今天是星期三，再过天还是星期三， 再过天是星期四， 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是______ ． 【答案】m﹣2． 【解答】解：m（m﹣3）+2（3﹣m）＝m（m﹣3）﹣2（m﹣3）＝（m﹣3）（m﹣2）； m2﹣4m+4＝（m﹣2）2； m4﹣16＝m4﹣24＝（m2+4）（m2﹣4）＝（m2+4）（m+2）（m﹣2）． 各项都含有m﹣2， 因此它们的公因式是m﹣2． 12.因式分解：a3－16a=______． 【答案】a（a－4）（a + 4） 【详解】解：a3-16a =a（a2-16） =a（a+4）（a-4） 13.因式分解= 【答案】 【详解】解： ． 14.计算：已知，，且，则 【答案】：． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 15.分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ ． 【答案】（y﹣1）2（x﹣1）2 【解答】解：令x+y＝a，xy＝b， 则（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y） ＝（b﹣1）2﹣（a﹣2b）（2﹣a） ＝b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b ＝（a2﹣2ab+b2）+2b﹣2a+1 ＝（b﹣a）2+2（b﹣a）+1 ＝（b﹣a+1）2； 即原式＝（xy﹣x﹣y+1）2＝[x（y﹣1）﹣（y﹣1）]2＝[（y﹣1）（x﹣1）]2＝（y﹣1）2（x﹣1）2． 故答案为：（y﹣1）2（x﹣1）2． 16. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律， 即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 【答案】64 【详解】解：展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1 展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是； 展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是； …… ∴展开式的系数和是． 三、解答题：本题共7小题，其中17-20题每题9分，21-23每题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）﹣12xy+x2+36y2． （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （3） 【答案】（1）（x﹣6y）2；（2）m（m﹣n）（n+1）；（3）． 【解答】解：（1）﹣12xy+x2+36y2 ＝36y2﹣12xy+x2 ＝（x﹣6y）2； （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． ＝mn（m﹣n）+m（m﹣n） ＝m（m﹣n）（n+1）； （3） 原式 18.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1) 观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______ (2) 若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 【答案】(1) (2)49 【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积， 大长方形的边长分别为：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：，， ∴， ∴． 19.已知，，求整式的值。 【答案】 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 20.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 21.仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 【答案】（1）1 （2）另一个因式为（x﹣1），k的值为5 【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a） 则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a， ∴，解得a＝2，p＝1． 故答案为：1． （2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n） 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n ∴， 解得n＝﹣1，k＝5， ∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5． 22.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①3；②；③2 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 23.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析； （2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11章 因式分解 单元检测 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.下列从左到右的变形中是因式分解的有（　　） ①x2﹣y2﹣1＝（x+y）（x﹣y）﹣1； ②x3+x＝x（x2+1）； ③（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2； ④x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 3. 将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（　　） A．a（a2b﹣b） B．ab（a﹣1）2 C．ab（a+1）（a﹣1） D．ab（a2﹣1） 4若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（　　） A．a＝1，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝5，b＝﹣6 5.用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 6. 已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7.如图，长宽分别为、的长方形周长为16．面积为12，则的值为（   ） A．193 B． C．384 D． 8. 如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 9.已知，，则的最小值是（   ） A．14 B．5 C．9 D．不存在 10.我国南宋时期杰出的数学家杨辉（钱塘（今杭州）人），下面的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期几（    ） A．星期三 B．星期四 C．星期二 D．星期五 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.多项式m（m﹣3）+2（3﹣m），m2﹣4m+4，m4﹣16中，它们的公因式是______ ． 12.因式分解：a3－16a=______． 13.因式分解= 14.计算：已知，，且，则 15.分解因式（xy﹣1）2﹣（x+y﹣2xy）（2﹣x﹣y）＝ ． 16.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律， 即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是 三、解答题：本题共7小题，其中17-20题每题9分，21-23每题12分，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.因式分解： （1）﹣12xy+x2+36y2． （2）mn（m﹣n）﹣m（n﹣m）． （3） 18.如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：） (1) 观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______ (2) 若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求的值． 19.已知，，求整式的值。 20.【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 21.仔细阅读下面的例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值． 解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n， ∴解得n＝﹣7，m＝﹣21． ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） ∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0 即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21 ∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7） ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 问题：仿照以上一种方法解答下面问题． （1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　　 ． （2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值． 22.从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算：； ③计算：． 23.配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $