重庆市永川区2025-2026学年九年级下学期质量监测数学试卷

**基本信息** 2026年初三数学质量监测卷以重庆旅游、渝超联赛等时代热点和祖冲之等数学家文化传承为情境，通过基础概念（倒数、中心对称）到创新应用（动态几何、函数综合）的梯度设计，考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|倒数、中心对称、反比例函数、位似图形、规律探究（苯结构式小木棒）|第7题以苯衍生物结构式为背景考查规律探究，体现数学眼光| |填空题|6/24|科学记数法、多边形外角、概率（数学家选取）、增长率、圆综合、“十美数”新定义|第16题创设“十美数”新定义，考查数学思维与符号意识| |解答题|9/86|不等式组、几何证明、统计分析、快递机器人应用题、菱形动态几何、渝超行程问题、抛物线综合、旋转几何综合|第23题结合渝超联赛设计行程问题，第25题旋转综合考查推理能力与空间观念|

null ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( （10分） （1）填空： a ＝ 　 　 ， b ＝ 　 　 ， n ＝ 　 　 ； ) ( 18. （ 8 分） （1）尺规作图： （2） ① 　　　　　　　　 ； ② 　　　　　　　　 ； ③ 　　　　　　　　 ； ④ 　　　　　　　　 .　　 ) ( 2026年春期初三质量监测 九年级数学 答题卡 ) ( 学校： 姓名： 考号： ) ( 贴条形码区 ) ( 缺考标记，考生禁填！由监考老师填涂。 ) ( 填涂样例 注意事项 1 ．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号。 2 ．客观题部分必须使用 2B 铅笔填涂；主观题部分必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3 ．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．考试结束，由监考人员将答题卡收回。 ) ( 19.（10分） 先化简，再求值： ， 其中 ) ( 21. （10分） ) 客观题（请用2B铅笔将题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）（共40分） ( 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] ) 主观题（请用0.5毫米黑色签字笔书写）（11—16小题共24分） ( 1 1 . 1 2 . 1 3 . 1 4 . 1 5 . 1 6 . ) ( 17.（ 8 分） 解不等式组： ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（10分） ) ( 24 ．（10分） ) ( 22. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23. （10分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届2026年春期检测 数学参考答案及评分意见 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B A A D C D 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 11．7.2×107； 12．12； 13．； 14．； 15．； ； 16．4736；9362 三、解答题（本大题9个小题，共86分。每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。) 17．解：解不等式①，得：x＞2，………………………………2分 解不等式②，得：x≤6，………………………………4分 把不等式①②解集表示在数轴上为： …………………………6分 所以不等式组的解集为：．…………………8分 18．（1）如图所示，直线EF为所求作. ……4分 （2）①∠BAC=∠ACD……………………………………………5分 ②AO=CO……………………………………………………6分 ③AE=CF……………………………………………………7分 ④平行四边形………………………………………………8分 19.解：原式………………………4分 ……………………………………5分 ……………………………………………………………6分 ………………………………………………………………7分 又∵x=0………………………………………………………………………9分 ∴原式……………………………………………………………10分 20.（1），，；………………………………………3分 （2）答：我认为八年级成绩更好，理由如下：………………………………4分 因为七、八年级的 平均数均为83，并且八年级学生成绩的中位数85大于七年级学生成绩的中位数84，说明八年级处于中间水平的人数更多，中等生水平更强。 或者，因为七、八年级的 平均数均为83，并且八年级学生成绩的众数85大于七年级学生成绩的众数84，说明八年级多数学生成绩处于更高水平。………………7分 （3）解：………………………………………9分 答：七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数大约有1080人.…………10分 21.（1）解：设乙机器人每小时分拣x件包裹，则甲机器人每小时分拣(x+50)件包裹.…1分 根据题意可列得方程：……………2分 解得：x=220 ∴甲：220+50=270（件）……………3分 答：甲机器人每小时分拣270件包裹，乙机器人每小时分拣220件包裹.……4分 （2）解：设调整后乙机器人每小时分拣y件包裹，则甲机器人每小时分拣1.2y件包裹.…5分 根据题意可列得方程：……7分 解得：y=400……8分 经检验：y=400是原分式方程的解，且符合题意 .……9分 ∴乙机器人400-220=180 答：调整后乙机器人每小时多分拣180件包裹……10分 22. 解：（1） ( x y 1 2 3 4 5 6 7 3 4 6 7 5 8 9 10 12 11 10 9 8 0 2 2 题图 1 2 )……2分 ……4分 （2）函数图象如图……6分 当0＜x＜5时，随x的增大而减小； 当5＜x＜10时，随x的增大而增大……8分 （3）……10分 23. 解：（1）由图可得：∠CAD=45°，∠CDA=60°，如图所示,作CH⊥AD交AD于点H.…………………1分 在中，……………2分 在中，米，……………3分 答：CD的长度为米.………………………………………………………4分 （2）由（1）可知：， ∴………………5分 在中，， ，………………6分 ∴，………………7分 ；………………8分 ∵10.9＜11.4………………9分 ∴小陈先到达体育场D处.………………………………………………10分 24. （1）解：把点A(-1,0)和点B(3,0),代入抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)， 得：，解得： …………1分 抛物线的解析式为:y=x2-2x-3; …………2分 （2）令x=0,得y=-3， ∴C(0,-3) 设直线BC的解析式为y=kx+b'，将B(3,0)，C(0,-3)代入，得: 解得： ∴直线BC的解析式为：y=x-3, …………4分 设点P(m,m2-2m-3)，过P点作x轴垂线交BC于点E，则E(m,m-3), ∴PE=(m-3)-(m2-2m-3)=-m2+3m, ∴ . ∴当时，取得最大值. 此时. 故，P点的坐标为. ∴ P点的坐标为. 故，△PBC面积的最大值为，此时P点的坐标为. …………6分 （3）解：∵原抛物线 ∴向左平移2个单位后得： ∴顶点 设，， 已知. ∴分三种情况讨论： ①当PQ为边时： 若 ∴ 解得： ∴. 若 ∴ 解得： ∴. ②当PQ为对角线时： 若 ∴ 解得： ∴. 综上所述，符合条件的N的坐标为：、、 …………10分 25.（1）∵BC绕点C顺时针旋转角度得到DC ∴∠BCD==30°，CB=CD=CA ∴∠CAD=∠CDA，∠ACD=90°+30°=120° ∴∠CAE=∠D=∠BCD=30° ∴DE=EC，AE=2EC 在Rt△AEC中，利用勾股定理得： ∴ ∴EC=（负值已舍去） ∴DE=CE= .…………3分 （2）证明：如图2，连接BD，AD与CG交于点O ，理由如下： ∵BC绕点C顺时针旋转角度得到DC ∴∠BCD=，CB=CD=CA， ∴∠CBD=∠CDB=，∠ACD= ∵CF平分∠BCD ∴∠BCF=∠DCF= 在△BCF与△DCF中 ∴△BCF△DCF(SAS) ∴BF=DF ∴∠FDB=∠FBD ∵CG⊥AD ∴∠GOD=∠FOC=90°，∠ACG=∠DCG= ∴∠OCF=∠DCG-∠FCD= ∴∠OCF=∠OFC=45° ∴△OCF时等腰直角三角形 由勾股定理得： 整理得：OC=OF= ∵∠FDC=∠OFC－∠FCD= ∴∠FDB=∠CDB－∠FDC= ∴∠FDB=∠FBD=45° ∵∠BGC=45°，∠GOD=90°，∠FDB=45° ∴G、B、D三点共线，且△OGD是等腰三角形 ∴OG=OD ∴CG=OG+OC=OD+OC=OF+FD=OC= ∴ …………8分 （3）△ABM的面积为8. …………10分 九年级数学答案 第3页 共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期初三质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应的方框涂黑． 1．5的倒数是（ ） A. ﹣5 B. C. D. 5 2．下面四个手机应用图标中，属于中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 4．估计的值在（　　） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 5．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（　　） A．对我市中学生每周课外阅读时间情况的调查 B．对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 C．对我市中学生观看电影《疯狂动物城2》情况的调查 D．对我市市民知晓“礼让行人”交通新规情况的调查 6．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若△ABC与△DEF的周长比为3:4，则的值是（　　） A．3:1 B．2:1 ( 第6 题图 )C．3:4 D．9:16 7．苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，……，按此规律，第⑩个图形需要小木棒的根数是（ ） ( 第7 题图 ) A．81 B．85 C．71 D．75 8．如图，在△ABC中，，点是边上一点，以点为圆心，以为半径作圆，⊙恰好与相切于点，连接．若平分，，则线段的长是（　　） ( D C E A B F 第 9题图 )A． B． C． D．3 ( 第 8题图 ) 9． 如图，在正方形中，E为边AD上一点，连接BE，在BE右侧作△BEF，满足，BF=EF，连接DF．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 10．已知整式，且，，，，均为正整数，其中、、是三个连续增大的偶数，、是两个连续增大的奇数．若，则下列说法： ①若，时，则整式的值为6； ②若是的倍数，则最高次项的系数被6整除余1； ③若，则满足条件的整式共有6个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应横线上． 11．2026年春节假期，重庆旅游热度位居全国第一，2月10日至2月16日期间，全市共接待游客72000000人次，数据72000000用科学记数法可表示为 ． 12．如果一个多边形的每一个外角都是30°，那么这个多边形的边数为 ． 13．在“溯源经典，致敬先贤”数学文化节中，小红从我国3位著名数学家：祖冲之、杨辉、赵爽之中，随机选取两位介绍其生平事迹，小红选中赵爽的概率是______． 14．某市2026年1月5G手机用户数量为30万，同年3月5G用户数量增长至36.3万，设2、3月份用户数量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为 ． ( 第15题图 )15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，BD、AC交于点E，BD平分∠ADC，∠CAD的平分线交BD于F，DG切⊙O于D，交CA延长线于G，若，点O到DC的距离为，则BF＝　 ，AG＝　 　 ． 16．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“十美数”．例如：四位数7923，∵79+23=92+10，∴7923是“十美数”；又如：四位数3418，∵34+18≠41+10，∴3418不是“十美数”．若一个“十美数”为，则这个数为　 　；若一个“十美数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和被9除余1，则所有满足条件的“十美数”之和是　 　． 三、解答题：（本大题9个小题，17题8分，18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．解不等式组： 18．在学习了矩形、菱形和正方形的相关知识后，某数学小组进行了更深入的研究．他们发现，过平行四边形一条对角线的中点作一边的垂线，与平行四边形两边相交的两点和另一条对角线的两个端点构成的四边形是平行四边形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： （1）如图，平行四边形ABCD，点O是对角线AC的中点，用尺规作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接DE、BF（不写作法，指明结果，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∴①　　，∠AEO=∠CFO ∵点O是对角线AC的中点， ∴②　　． ∴△CFO≌△． ∴③　　． ( 第 18 题图 )∴BE=DF 又∵， ∴四边形BEDF是④　　． 19．先化简，再求值：，其中. 20．为了深入学习贯彻党的二十大精神，某校团委组织开展了“永远跟党走，奋进新征程”党史知识竞赛，为了了解参赛学生的成绩情况，学校从七年级和八年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩得分用x表示，共分为4组：A组90≤x≤100，B组80≤x＜90，C组70≤x＜80，D组60≤x＜70）．下面给出了部分信息： 抽取的10名七年级学生的成绩是：82，78，84，77，84，65，94，95，84，87 抽取的八年级学生的成绩在B组80≤x＜90包含的所有数据：80，85，85，85，88 ( 第 20 题图 )抽取的七、八年级学生竞赛成绩统计表 抽取的八年级学生竞赛成绩扇形统计图 年级 平均数 中位数 众数 七年级 83 84 b 八年级 83 a 85 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　，b＝　 　，n＝　 　； （2）根据以上数据分析，你认为我校七，八年级中哪个年级的学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校有七年级学生1200名，请估计七年级竞赛成绩达到70分及以上的学生人数． 21．列方程解应用题：某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． （1）求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ （2）为应对快递高峰，站点对甲、乙机器人进行技术调整．调整后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若调整后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求调整后，乙机器人较调整前每小时多分拣多少件包裹？ 22．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BD＝12，AC＝16，点E是AB的中点，连接OE，动点P从点A出发，沿A→D运动，同时动点Q从点B出发，沿B→E→O运动，动点P，Q的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点D时，P，Q两点同时停止运动，连接OP，OE，OQ．设运动的时间为x秒，记△BOQ的面积为y1，△POE的面积与动点P运动时间之比为y2． （1）请直接写出y1，y2，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象；请写出函数y1的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） ( 第22题图1 ) ( 第22题图2 ) ( 第23题图 )23．2026年重庆城市足球超级联赛（简称“渝超”）赛事正酣，小陈与爸爸作为忠实球迷，计划从社区球迷广场A出发，前往体育场D观看一场关键比赛．已知社区球迷广场A在体育场D的南偏东60°方向．出发前两人商定分头行动：爸爸需先前往社区球迷广场A正西方向的球迷用品店B购买助威充气棒，随后从B向正北方向前往D，小陈则先从A沿北偏西15°方向步行600米到达取球票点C，再从C沿南偏西60°方向步行至D．（参考数据：，，） （1）求CD的长度．（结果保留根号） （2）若小陈步行的平均速度为100米/分，小陈爸爸步行的平均速度为80米/分，不考虑购买充气棒和取票的时间，请通过计算说明谁先到达体育场D处．（结果精确到0.1） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3（a≠0）与x轴交于 A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P的坐标； ( 第24题图 第24题 备用 图 )（3）在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 25．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC绕点C顺时针旋转角度a（0°＜a＜360°）得到DC． （1）如图1，若a＝30°，连接AD交BC于点E，若AC＝12，求DE的长； （2）如图2，若0°＜a＜90°，CF平分∠BCD交AD于点F，连接BF，过点C作CG⊥AD，在射线CG上取点G使得∠BGC＝45°，连接BG，请用等式表示线段CG、CF、BF之间的数量关系并证明； （3）如图3，若BC＝8，点P是线段AB上一动点，将CP绕点P逆时针旋转90°得到Q，连接AQ，M为AQ的中点，当2CM+CQ取得最小值时，请直接写出△ABM的面积． ( 第25题图 3 ) ( 第25题图 2 ) ( 第25题图 1 ) ( 九年级数学 试题 第 4 页 共 6 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull