精品解析：重庆市永川中学教育集团2024-2025学年九年级下期数学期中质量检测试题

永川中学教育集团2024–2025学年（下）期中质量监测 初2022级 数学试题 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2的相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 2. 如图是几种国产汽车车标，是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图和以点为位似中心位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 6. 估计值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 7. 如图都是由相同大小的按一定规律组成的图形，其中第个图形中一共有2个，第个图形中一共有7个；第个图形中一共有15个，…，按此规律排列下去，第个图形中的个数为（ ） A. 64 B. 80 C. 100 D. 103 8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：， ．， 给出下列说法：存在“全差操作”，使其结果为；至少存在一种“全差操作”，使其结果为；所有的“全差操作”共有种不同的结果．以上说法中正确的是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为______． 12. 某种品牌的手机经过11、12月份连续两次降价，每部售价由5600元降到了4500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出正确的方程为__________． 13. 春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为_____________． 14. 已知关于x不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，弦于点H，连接并延长交于点 F、交于点G，连接．若，，，则________，__________． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，每小题10分，共80分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 19. 家是最小国，国是千万家，维护国家安全，人人有责，人人可为．年月日是第九个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，， 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 八年级 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在分及以上的学生人数共有多少人？ 20. 某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 21. 如图，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着→→运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿→运动，点是线段上一动点，满足设点、运动的时间都为（），的面积为为，点到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当 时x的取值范围． （近似值保留小数点后一位，误差不超过） 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到） 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，在新抛物线上找点，使，直接写出所有符合条件的点的坐标． 24. 如图，中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． （1）如图1，，，平分．若，．求的度数； （2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永川中学教育集团2024–2025学年（下）期中质量监测 初2022级 数学试题 注意事项： 本试卷满分150分，考试时间为120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 2相反数是（ ） A. 2 B. －2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】2的相反数是-2. 故选：B. 2. 如图是几种国产汽车的车标，是轴对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的概念是解题的关键； 根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【详解】解：依据轴对称图形的意义，A、C和D不是轴对称图形，B是轴对称图形， 故选：B； 3. 如图，，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．根据平行线性质得出，再利用邻补角定义求出结论． 【详解】解：， ， ， 故选：D． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的横坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意； 故选：D． 5. 如图和以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积之比是（ ） A. 1:1 B. 1:2 C. 1:3 D. 1:4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识，先由和以点为位似中心的位似图形，得到，结合，进而由和的相似比为，再由相似三角形性质即可得到与的面积之比，熟记相似三角形与位似图形的关系、相似三角形性质等知识是解决问题的关键． 【详解】解：和以点为位似中心的位似图形， ， ， 和的相似比为， 与的面积之比是， 故选：D． 6. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式混合运算、无理数估算及不等式性质，先由二次根式混合运算法则计算得到，再由无理数估算得到，最后由不等式性质即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算、无理数估算方法是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，且， ，即的值应在4和5之间， 故选：B． 7. 如图都是由相同大小的按一定规律组成的图形，其中第个图形中一共有2个，第个图形中一共有7个；第个图形中一共有15个，…，按此规律排列下去，第个图形中的个数为（ ） A. 64 B. 80 C. 100 D. 103 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查图形类规律问题，解题的关键是找出一般规律；第①个图形中一共有个，第个图形中一共有个；第个图形中一共有个，……，通过观察可发现第n个图形中一共有（n个n相加），即，然后问题可求解． 【详解】解：第①个图形中一共有个，第个图形中一共有个；第个图形中一共有个， ……， 通过观察可发现第n个图形中一共有（n个n相加），即， ∴第⑧个图形中有个； 故选C． 8. 如图，与菱形的边相切于点，点在上．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图连接，，，，．证明，推出，推出点在菱形的对角线上，再根据求解即可． 【详解】解：如图连接，，，，． 四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， 点在菱形的对角线上， ， ， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查切线的性质菱形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题． 9. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，满足，连接，点G在边上，连接交于点H，使得，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，先证明得到，进而证明得到，再证明得到，，进一步证明，推出，则． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接，设交于O， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选；A． 10. 对于多项式：，，，，我们用任意两个多项式求差后所得的结果，再与剩余两个多项式的差作差，并算出结果，称之为“全差操作”．例如：， ．， 给出下列说法：存在“全差操作”，使其结果为；至少存在一种“全差操作”，使其结果为；所有的“全差操作”共有种不同的结果．以上说法中正确的是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减；根据题意，写出所有情况，计算结果，即可． 【详解】令，，，，则有以下情况 第1种： 第2种： 第3种： 第4种： 第5种： 第6种： 由上可知，存在一个“全差操作”，使其结果为0；故①说法正确； 存在一种“全差操作”，使其结果为；故②说法正确； 所有的“全差操作”共有5种不同的结果；故③说法正确． 故选：A． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11. 若五边形的内角中有一个角为，则其余四个内角之和为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据多边形内角和定理求出五边形的内角和，再减去即可得到答案． 【详解】解：由题意得，其余四个内角之和为， 故答案为：． 12. 某种品牌的手机经过11、12月份连续两次降价，每部售价由5600元降到了4500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出正确的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该品牌手机经过11、12月份连续两次降价后的售价=原售价平均每月降低的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 13. 春节期间，小巴和小蜀为各自的母亲买一束鲜花，现有三种鲜花可供选择：康乃馨、郁金香和薰衣草，两人恰好选择到同种鲜花的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率． 先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择到同种类型鲜花的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：将康乃馨、郁金香和薰衣草分别记为A、B、C， 画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择到同种类型鲜花的有3种结果， ∴两人恰好选择到同种类型鲜花的概率为=， 故答案为． 14. 已知关于x的不等式组至少有三个整数解，且关于y的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数m的值之和为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和分式方程，掌握一元一次不等式组和分式方程的解法是解决问题的关键，根据关于的一元一次不等式组的解的情况求出的取值范围，根据关于y的方程的解的情况求出的取值范围，然后求出满足条件的的值，即可得出答案． 【详解】解：解关于的一元一次不等式组，得， 根据题意得，， ， 解关于y的分式方程，得， 分式方程的解为整数， 的解为整数为或或或， 的值为7或或或或3或2或0， 满足条件的整数的值为3，7， 所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：10． 15. 如图，以为直径的与相切于点A，弦于点H，连接并延长交于点 F、交于点G，连接．若，，，则________，__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由勾股定理得，，由垂径定理可求；由与相切于点，可得，则，，如图，连接，，由圆周角定理可得，则，，证明四边形是平行四边形，则，，，证明，则，，，如图，过作的延长线于，设，则，证明，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解为，则，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵为直径，， ∴， 由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 如图，过作的延长线于， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质等知识．熟练掌握切线的性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等角对等边，平行四边形的判定与性质是解题的关键． 16. 一个四位正整数，其各个数位上的数字均不为零，如果个位数字等于十位数字与千位数字之和，则称这个四位数为“压轴数”．将“压轴数”的千位数字去掉得到一个三位数，再将这个三位数与原“压轴数”的千位数字的3倍求和，记作．则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为_____．有两个四位正整数，（、、、，）均为“压轴数”，若能被7整除且能被13整除，则满足条件的值的和为_____． 【答案】 ①. 7807 ②. 9507 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式、整除等知识点．根据定义得出最大的“压轴数”与最小的“压轴数”，计算即可；根据定义计算出和，然后根据能被7整除且能被13整除，即可求解． 【详解】解：要想使“压轴数”最大，则千位是最大的一位数， 又∵各个数位上的数字均不为零，个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴千位不能为9，即千位最大是8，最小是1， ∴最大的“压轴数”是8919，最小的“压轴数”是1112， 则最大的“压轴数”与最小的“压轴数”之差为； ，， ∴， ∵个位数字等于十位数字与千位数字之和， ∴，， ∴， ∴， ∵能被7整除且能被13整除， ∴能被7整除，能被13整除， ∵ ∴， ∴， ∴能被7整除， ∵， 当，时，能被7整除，此时； 当，时，能被7整除，此时； 其余取值均不符合， ∴满足条件的值的和为； 故答案为：7807，9507． 三、解答题（本大题共8个小题，每小题10分，共80分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的四则混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用负整数指数幂、乘方、零指数幂、二次根式的性质进行计算即可； （2）先计算括号内的加法，再计算分式的除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 如图，在中，，平分．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出和面积的比值与，两边比值的关系．他的思路是：过点作的垂线，垂足为点，再根据三角形全等来证明和的高相等，进一步得到和的面积之比等于的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）． （2）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴ ① ． 在和中， ∴． ∴． ∵ ∴ ③ 小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 ④ ． 【答案】（1）见解析 （2）；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作垂线、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接，根据平分．得出，根据，公共边，可利用证明，得出，则直线即为的垂线； （2）利用证明，得到，结合三角形的面积公式，进而将面积之比转化为相应边的比，得出答案即可． 小问1详解】 解：如图，直线即为所求作的垂线， ； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 故答案为：；；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比． 19. 家是最小国，国是千万家，维护国家安全，人人有责，人人可为．年月日是第九个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（分制）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：不合格，合格，良好，优秀）．下面给出了部分信息： 七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，， 八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是：，，，，，，， 七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计表 年级 平均数 众数 中位数 满分率 七年级 八年级 七年级抽取学生的竞赛成绩条形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出，，的值； （2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“国安知识”掌握较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人参加此次竞赛活动，估计两个年级参加此次竞赛活动成绩在分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生对“国安知识”掌握更好，理由见解析； （3）估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上同学有人 【解析】 【分析】（）找出七年级成绩处在中间位置的两个数的平均数即为中位数，可求出的值，找出八年级成绩出现次数最多的数为八年级成绩的众数，根据即可求出的值； （）根据中位数和满分率进行判断即可； （）分别求出七、八年级学生竞赛成绩在分及以上的同学再乘以相应人数再相加即可求解； 本题考查了条形统计图、中位数、众数、平均数，样本估计总体，理解中位数、众数的计算方法是解题关键． 【小问1详解】 解：七年级中位数为良好的第和个的平均数：， 八年级的满分的人数（人），八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组人数为人， ∴八年级的众数为， 由，则， ∴，，； 【小问2详解】 解：八年级学生对“国安知识”掌握更好， 理由：八年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数大于七年级学生“国安知识”竞赛成绩中位数，八年级的满分率大于七年级的满分率， ∴八年级学生对“国安知识”掌握更好； 【小问3详解】 解：， 答：估计两个年级此次竞赛成绩在分及以上的同学有人． 20. 某班级为了庆祝“五四青年节”，计划投入一笔资金购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品比1件乙种奖品多15元，用175元购买甲种奖品的数量和用100元购买乙种奖品的数量相同． （1）求购买1件甲种奖品和1件乙种奖品各需多少元？ （2）若该班级计划购买甲、乙两种奖品共60件，且购买的总费用不超过1440元，则甲种奖品最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种奖品需35元，1件乙种奖品需20元 （2）甲种奖品最多能购买16件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法和一元一次不等式，根据题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）根据甲种商品和乙种商品的数量相同列出方程； （2）根据总费用不超过元列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：假设购买一件乙种奖品需元，则由题意得： ， 解得：． 经检验：是原方程的解且符合题意； ∴ ， 即一件甲种奖品需元，一件乙种奖品需元． 答：购买件甲种奖品需元，件乙种奖品需元． 【小问2详解】 解：设甲种奖品最多能购买件， 由题意得： ， 解得：． 答：甲种奖品最多能购买件． 21. 如图，在矩形中，，，对角线、交于点．动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着→→运动，同时动点从点出发，以相同的速度沿→运动，点是线段上一动点，满足设点、运动的时间都为（），的面积为为，点到的距离为． （1）请直接写出，关于x的函数关系式，并并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当 时x的取值范围． （近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】（1）；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、解直角三角形、反比例函数的图象和性质等知识，数形结合正确列出函数解析式是解题的关键． （1）分和两种情况分别求出函数关于x的函数关系式及自变量的取值范围，根据三角形面积公式得到，即可得到关于x的函数关系式及自变量的取值范围即可； （2）根据自变量的取值范围画出函数图象即可，并写出的一条性质即可； （3）根据函数图象的交点横坐标及函数图象即可得到答案. 【小问1详解】 解：在矩形中，，， ∴， ∴， 当时，如图，作，垂足分别为点F，连接， 则， ∴， 即， ∴， ∴当时，， 当时，如图，作，垂足分别为点M，连接， 则， ∴， 即， ∴， ∴当时，， ∴； ∵．点E到的距离为． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：函数图象如图所示： 在时，函数随着x的增大而减小 【小问3详解】 解：如图， 根据图象估计当时，即函数图象在函数图象上方， 此时x的取值范围是． 22. 2025年重庆“新年第一跑”活动在渝北区中央公园中央广场举办，活动方开辟出了两条经典路线．如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点在起点的东北方向．路线从起点出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点 ，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点；路线从起点出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点，再沿正北方向的步道跑米即可到达终点C．（参考数据：） （1）求的长度；（结果精确到米） （2）某班有两位同学小轩和小鹏参加了跑步活动，小轩选择路线，他的平均速度为米分钟，小鹏选择了路线，他的平均速度为米分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到） 【答案】（1）的长度约为米 （2）小鹏会先到达终点 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可； （2）如图，过点A作交的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小轩走路线①需要的时间和小鹏走路线②需要的时间，进而比较求解即可． 【小问1详解】 如图，过点D作于点E， 由题意，得，，米 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为米； 小问2详解】 如图，过点A作交的延长线于点F， 由题意，知， 由（1）知米， 在中，米 在中，米， 米 （米） 在中，（米）， 小轩走路线①需要的时间为：（分钟）． 小鹏走路线②需要的时间为：（分钟）． ，小鹏会先到达终点． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，且点在轴上． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，交轴于点，点是直线上一动点，过点作轴交轴于点，连接，．当取得最大值时，求的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，在新抛物线上找点，使，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1）； （2）的最小值为； （3）点E坐标为或． 【解析】 【分析】（1）先利用点在轴上且在直线上，求出点坐标，再代入求解即可； （2）求出坐标，则设，得，，求得，，则，利用二次函数最值求出最大值，得出，，易得是固定值，利用架桥铺路，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，由平移得，，则，由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小，求解即可； （3）先求出新抛物线解析式，再分点在直线下方和点在的上方两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵点为直线与抛物线的交点，且点在轴上， ∴令， 解得：， ∴， 将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得：或， ∴， ∵点是直线上方抛物线上一点，且点在上， ∴设， ∵轴交直线于点，交轴于点， ∴，， ∴， ， ∴， ∵，且对称轴为直线， ∴当时（满足），取得最大值， 此时，， 即，， ∵轴交轴于点，， ∴四边形是矩形， ∴， 如图，将线段沿着方向平移个单位长度，得到线段，连接， 由平移得，， ∴， 由两点之间线段最短，得当、、依次共线时，最小， 最小值为， 故的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴原二次函数顶点为， 当时，，当时，， ∴原二次函数对称轴函数的交点为，函数交轴于点， ∵抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线的对称轴为轴，以同样的方式平移得， ∴原抛物线沿射线方向平移，向右平移个单位，再向下平移个单位得新函数， ∵原二次函数顶点 ∴新二次函数的顶点为， ∴新二次函数为， 在轴负半轴取点，使，作直线在下方，交二次函数于，则． ∵轴， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， 由设直线为， ∵， ∴， ∴， ∴直线为， ∵ ∴设直线为， ∵ ∴，解得， ∴为， 联立， 解得，（不符合题意舍去）， ∴， 在直线上取一点，使得，作直线在的上方交二次函数于．则， 设， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 设直线为， 把，，代入得 解得， ∴直线为， 联立， 解得（舍去）， ∴， ∴点坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合，涉及二次函数的图象与性质，待定系数法求函数表达式，二次函数图象的平移，一次函数的图象与性质，最值问题，解直角三角形，解一元二次方程，熟练掌握这些性质与判定，并熟练二次函数中的最值问题和角度问题是解题的关键． 24. 如图，中，点D在线段上，点E在线段上，连接、交于点F． （1）如图1，，，平分．若，．求的度数； （2）如图2，是等边三角形．延长至点，连接，连接交于点．若，．猜想、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，，，且，，．点、是平面内直线上方的动点且总有，．若，直接写出当线段取得最小值时的面积． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，求得，则可得； （2）在上取点，使得，连接，在上截取，证明是等边三角形，利用手拉手证明，再证为等边三角形，利用手拉手证明，再证，得，即可证明； （3）先通过计算求出，，，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分，利用，得出点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分，将沿直线翻折，得到，证明，由勾股定理求出是定值，由，且当、、依次共线时，取最小值，此时取最小值，当取最小值时，过点作于点，证明，则，求出即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∵平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：猜想：，证明如下： 在上取点，使得，连接，在上截取， ∵是等边三角形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由，设，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴，， 构造的外接圆， 由， 则所对圆心角为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴点和点重合， ∴的外接圆圆心即为点， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆在上方部分， ∵， ∴如图，点的轨迹为以为圆心，为半径长的圆在上方部分， 设， ∴， ∴， 如图，将沿直线翻折，得到， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，是定值， 由，且当、、依次共线时，取最小值， 由， 则当、、依次共线时，取最小值， 当取最小值时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，连接， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与形状，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $