2026年广东省广州市天河区华南师范大学附属中学数学学业水平仿真模拟卷

**基本信息** 以神舟二十号、健康饮食等时代热点为情境，覆盖数与式、函数、几何等核心知识，梯度设计合理，适配二模综合能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、三视图、众数、中心对称等|以科技创新企业图标考中心对称，体现数学眼光| |填空题|6/18|二次根式、因式分解、反比例函数等|气球压强问题考查反比例函数应用，联系实际| |解答题|9/72|方程、统计、规律探究、几何证明、函数与圆综合等|20题结合神舟二十号考统计概率，21题规律探究培养抽象能力，23题健康饮食考方程与不等式应用，24-25题综合函数与几何考查推理能力|

初中数学学业水平仿真模拟卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列四个选项中，是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是大竹 “东汉醪糟” 包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） 3. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班 20 名男生在 1 min 内 “引体向上” 的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这 20 名男生在 1 min 内 “引体向上” 的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 4. 如果 ，那么下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展。以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） 6. 如图，将 沿折痕 折叠，使点 落在边 上的点 处，若 ，，，则 的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 7. 如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 设 ， 分别为一元二次方程 的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间。下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④若，为方程的两个根，则。 其中正确的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 10. 如图，点 是直线 在第一象限图象上一动点，以 为边向左边作正方形 ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11. 若 在实数范围内有意义，则 的值可以是______。(写一个即可) 12. 单项式的次数是______。 13. 因式分解：______。 14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 （单位：Pa）是气球体积（单位：）的反比例函数。当 时，，则当 时，______。 15. 如图，在中，，，。以点 为圆心，以 长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为______。 16. 如图，以矩形 的点 为圆心， 的长为半径作 ，交 于点 ，点 为 上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，点 落在 上，且点 为 中点。若 ，，则 的长为______。 三、解答题 (本大题共 9 小题，其中第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，第 24、25 题各 12 分，共 72 分) 17. 解方程： 18. 先化简，再求值：，其中 。 19. 如图，数轴上的两点 ， 所对应的数分别为，，点 在数轴上，且点 对应的数为 。 (1) 若 ，求 ，， 三点对应数的和； (2) 若点 在点 的左侧，且 ，求 的值。 20. 2025 年 4 月 24 日，神舟二十号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从 A. “北斗导航”；B. “5G 时代”；C. “东风快递”；D. “人工智能” 四个主题中任选一个自己喜欢的主题。统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： (1) 该班共有______名学生； (2) 补全折线统计图； (3) 小明和小丽从 A，B，C，D 四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率。 21. “字母表示数” 被后人称为从 “算术” 到 “代数” 的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律。请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； 第 3 个等式：； 第 4 个等式：； (1) 请用此方法拆分______； (2) 请你用上面的方法归纳一般结论，用含 （ 为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3) 嘉嘉尝试借助图形的面积验证 (2) 中的结论。思路是将边长为 的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度。 22. 如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ，且 。 (1) 求证：四边形 是矩形； (2) 若 ，，求 的长。 23. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱。现有 A，B 两种食品，每份食品的质量为 50 g，其核心营养素如下： 食品类别 能量 /kcal 蛋白质 /g 脂肪 /g 碳水化合物 /g A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1) 若要从这两种食品中摄入 1280 kcal 能量和 62 g 蛋白质，应选用 A，B 两种食品各多少份？ (2) 若每份午餐选用这两种食品共 300 g，从 A，B 两种食品中摄入的蛋白质总量不低于 76 g，且能量最低，应选用 A，B 两种食品各多少份？ 24. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点 为线段 的中点，将直线 向右平移 个单位，点 ， 的对应点分别为 ，，且 ， 均在反比例函数 的图象上。 (1) 如图 1，求 的值和反比例函数的关系式； (2) 如图 2，连接 ，，求 的面积； (3) 如图 3，若点 是直线 下方反比例函数 图象上的点，点 在 轴上，连接 ，，，是否存在点 ， 使 ？若存在，求出符合要求的点 的坐标，若不存在，请说明理由。 25. 如图 1，四边形 内接于 ，， 为 延长线上一点，连接 ，。 (1) 求证：； (2) 如图 2，连接 并延长至点 ，连接 ，若 平分 ，求证：； (3) 如图 3，在 (2) 的条件下，若，，，延长 交 于点 ，求 的长。 解析卷 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分) 1. 下列四个选项中，是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 答案：A 解析：无理数是无限不循环小数，负无理数需同时满足负数和无理数两个条件。 A. 是无限不循环小数，且为负数，是负无理数； B. 是负整数，属于有理数； C. 是有理数； D. 是正整数，属于有理数。 故选 A。 2. 如图是大竹 “东汉醪糟” 包装盒组成的立体图形，其主视图为（ ） 答案：B 解析：主视图是从立体图形正面观察得到的视图，结合包装盒组合特征，对应选项 B。 3. 一次体质健康检测中，某班体育委员对该班 20 名男生在 1 min 内 “引体向上” 的个数进行了统计，并制作如下统计表： 个数 6 9 11 12 15 人数 2 5 8 3 2 则这 20 名男生在 1 min 内 “引体向上” 的个数的众数是（ ） A. 6 B. 9 C. 11 D. 15 答案：C 解析：众数是一组数据中出现次数最多的数据。表格中个数为 11 的人数有 8 人，是出现次数最多的，故众数为 11，选 C。 4. 如果 ，那么下列各式中错误的是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：根据不等式的性质： 不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变，故 A 正确； 不等式两边同时乘（除以）同一个正数，不等号方向不变，故 B、D 正确； 不等式两边同时乘（除以）同一个负数，不等号方向改变， 两边乘，应为，故 C 错误。故选 C。 5. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展。以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） 答案：D 解析：中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身重合的图形，选项 D 符合该特征。 6. 如图，将 沿折痕 折叠，使点 落在边 上的点 处，若 ，，，则 的周长为（ ） A. 5 B. 6 C. 6.5 D. 7 答案：D 解析：由折叠性质可知，，。 的周长。 代入数据：，故选 D。 7. 如图是一个盛有水的倾斜水杯的截面图（矩形），杯中水面与桌面平行，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：由，矩形内角为，可得。，故选 B。 8. 设 ， 分别为一元二次方程 的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析： 因为是方程的根，所以，即； 由韦达定理，一元二次方程的两根之和； 原式，故选 B。 9. 如图，在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间。下列结论： ① ； ② ； ③ ； ④若，为方程的两个根，则。 其中正确的个数有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 答案：C 解析： ① 抛物线与轴有两个交点，故，①错误； ② 对称轴，得；抛物线开口向下，，则；抛物线与轴交于正半轴，，故，②正确； ③ 对称轴，与轴一个交点在和之间，另一交点在和之间，当时，，代入，得，即，③正确； ④ 由韦达定理，，④正确。 综上，②③④正确，共 3 个，选 C。 10. 如图，点 是直线 在第一象限图象上一动点，以 为边向左边作正方形 ，若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：设（，满足），过作轴于，过作轴于。 由正方形性质，，得，。 结合在第二象限，，即，，故（取绝对值为，结合选项特征），最终得，选 C。 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分) 11. 若 在实数范围内有意义，则 的值可以是______。(写一个即可) 答案：0（答案不唯一，即可） 解析：二次根式有意义的条件是被开方数非负，即，解得，任取一个符合条件的数即可。 12. 单项式的次数是______。 答案：4 解析：单项式的次数是所有字母指数之和，。 13. 因式分解：______。 答案： 解析：先提取公因式，得，再利用平方差公式分解，最终结果为。 14. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强 （单位：Pa）是气球体积（单位：）的反比例函数。当 时，，则当 时，______。 答案：16000 解析：设反比例函数为，代入，，得，故。 当时，。 15. 如图，在中，，，。以点 为圆心，以 长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为______。 答案： 解析：建立平面直角坐标系，，，。由题意，，设，列方程：，解得。 由两点间距离公式，。 16. 如图，以矩形 的点 为圆心， 的长为半径作 ，交 于点 ，点 为 上一点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转至 ，点 落在 上，且点 为 中点。若 ，，则 的长为______。 答案：6 解析：设，则，。 为中点，，故。 由旋转性质及矩形、勾股定理，列方程求解得，即。 三、解答题 (本大题共 9 小题，其中第 17、18 题各 4 分，第 19、20 题各 6 分，第 21 题 8 分，第 22、23 题各 10 分，第 24、25 题各 12 分，共 72 分) 17. 解方程： 答案： 解析： 去括号： 移项： 合并同类项： 系数化为 1：。 18. 先化简，再求值：，其中 。 答案：2 解析： 化简：原式。 代入：原式。 19. 如图，数轴上的两点 ， 所对应的数分别为，，点 在数轴上，且点 对应的数为 。 (1) 若 ，求 ，， 三点对应数的和； (2) 若点 在点 的左侧，且 ，求 的值。 答案： (1) ； (2) 或。 解析：(1) 三点对应数的和：。 (2) 由点在点左侧，得。 ① 当点在点右侧时，。 由，得，解得。 ② 当点在点左侧时，。 由，得，解得。 综上，的值为或。 20. 2025 年 4 月 24 日，神舟二十号载人飞行任务取得圆满成功，为了让同学们进一步了解中国科技的快速发展，某班组织了一次手抄报比赛，该班每位同学从 A. “北斗导航”；B. “5G 时代”；C. “东风快递”；D. “人工智能” 四个主题中任选一个自己喜欢的主题。统计同学们所选主题的频数，绘制成不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： (1) 该班共有______名学生； (2) 补全折线统计图； (3) 小明和小丽从 A，B，C，D 四个主题中任选一个主题，请用列表或画树状图的方法求出他们选择相同主题的概率。 答案： (1) ； (2) (3) 。 解析： (1) 由 C 主题占，人数为，得总人数：。 (2) D 主题人数：，据此补全折线统计图（横轴：A、B、C、D；纵轴对应人数：10、20、5、15）。 (3) 画树状图： 小明有 4 种选择（A、B、C、D），小丽对应每种选择也有 4 种，共种等可能结果。 其中选择相同主题的结果有 4 种（AA、BB、CC、DD）。概率。 21. “字母表示数” 被后人称为从 “算术” 到 “代数” 的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律。请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第 1 个等式：； 第 2 个等式：； 第 3 个等式：； 第 4 个等式：； (1) 请用此方法拆分______； (2) 请你用上面的方法归纳一般结论，用含 （ 为正整数）的等式表示，并借助运算证明这个结论是正确的； (3) 嘉嘉尝试借助图形的面积验证 (2) 中的结论。思路是将边长为 的正方形（如图）进行适当分割，请你帮助他完成画图，并在图中标出相应线段的长度。 答案： (1) ； (2) ，证明见解析； (3) 解析： (1) 观察规律：，故。 (2) 归纳结论：（为正整数）。 证明： 右边， 左边， 左边右边，故结论成立。 (3) 画图：边长为的正方形，分割为：1 个边长为的正方形、1 个长宽的矩形、1 个长宽的矩形，标注线段长度、、即可。 22. 如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 ，且 。 (1) 求证：四边形 是矩形； (2) 若 ，，求 的长。 答案： (1) 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴。 ∵是中点，∴。 在和中：，∴，∴，∴。 ∵，∴，即。 又∵四边形是平行四边形，∴四边形是矩形。 (2) 由 (1) 得，。 ∵四边形是矩形，∴。，∴。 在中，。 23. 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱。现有 A，B 两种食品，每份食品的质量为 50 g，其核心营养素如下： 食品类别 能量 /kcal 蛋白质 /g 脂肪 /g 碳水化合物 /g A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 (1) 若要从这两种食品中摄入 1280 kcal 能量和 62 g 蛋白质，应选用 A，B 两种食品各多少份？ (2) 若每份午餐选用这两种食品共 300 g，从 A，B 两种食品中摄入的蛋白质总量不低于 76 g，且能量最低，应选用 A，B 两种食品各多少份？ 答案： (1) A 种 3 份，B 种 2 份； (2) A 种 2 份，B 种 4 份。 解析： (1) 设选用 A 种食品份，B 种食品份， 列方程组：，化简第一个方程：，解得：。 答：应选用 A 种 3 份，B 种 2 份。 (2) 每份 50g，共 300g，总份数：份。 设选用 A 种份，则 B 种份。 由蛋白质不低于 76g，得： ， 解得。 设总能量为， 。 ∵，∴随增大而减小， ∴时，最小，此时。 答：应选用 A 种 2 份，B 种 4 份。 24. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点，点 为线段 的中点，将直线 向右平移 个单位，点 ， 的对应点分别为 ，，且 ， 均在反比例函数 的图象上。 (1) 如图 1，求 的值和反比例函数的关系式； (2) 如图 2，连接 ，，求 的面积； (3) 如图 3，若点 是直线 下方反比例函数 图象上的点，点 在 轴上，连接 ，，，是否存在点 ， 使 ？若存在，求出符合要求的点 的坐标，若不存在，请说明理由。 答案： (1) ，； (2) ； (3) 存在，。 解析： (1) 求、坐标： 令，，，得； 令，，得。 是中点，故。 平移后：，。 ∵、在上， ∴， 解得，， 故反比例函数关系式为。 (2) 由 (1) 得，。 作轴于，轴于， ，， 。 (3) 存在。 中，，，， ，故，。 设，作轴于，于， 证，得， 即，解得（舍去），故。 25. 如图 1，四边形 内接于 ，， 为 延长线上一点，连接 ，。 (1) 求证：； (2) 如图 2，连接 并延长至点 ，连接 ，若 平分 ，求证：； (3) 如图 3，在 (2) 的条件下，若，，，延长 交 于点 ，求 的长。 答案： (1) 证明：连接， ∵，∴。 ∵，∴。 ∵，∴， ∴，即， ∴。 又∵， ∴。 (2) 证明： ∵，∴， ∴。 ∵四边形内接于， ∴。 ∵， ∴。 ∵平分，∴。 在和中：，∴， ∴。 ∵，∴， ∴。 (3) 过作于，于。 证，得，。 ，得。 ∵，∴，， 即，设，则，。 ，故， 。 ，即， 解得（舍去）， ∴，，，故。 过作交延长线于， 证，得。 设，则，。 在中，， 即， 解得（舍去）， ∴。 学科网（北京）股份有限公司 $