专题02 勾股定理（期末真题汇编，山西专用）八年级数学下学期

**基本信息** 勾股定理专题期末试题汇编，覆盖7大高频考点，精选山西多地期末真题，注重情境应用与分层设计，适配八年级下册期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|22题|求线段长（智能物流机器人路线）、勾股数判断（7,24,25）|结合科技情境、文化素材（赵爽弦图）| |填空题|11题|格点问题（网格三角形高）、面积计算（勾股树正方形）|开放探究（构造勾股数组）、生活实际（摄像头支架）| |解答题|7题|逆定理应用（四边形直角判断）、动态几何计算|思维分层（基础到综合）、对接期末高频考点|

专题02 勾股定理 7大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求线段长 考点02 勾股数问题 考点03 勾股定理与格点问题 考点04 利用勾股定理求面积 考点05 勾股定理的应用 考点06 判断三边是否能构成三角形 考点07 勾股定理的逆定理 ( 地 城 考点01 利用勾股定理求线段长 )一、选择题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点F作于点H， 则， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， 设，则，， 在中， ， ∵， ∴， 解得， ∴， 则， 故选D． 2．（24-25八年级下·山西忻州·期末）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶6米到达点，再向正北方向行驶8米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段的长为（   ） A．7米 B．10米 C．17米 D．20米 【答案】B 【详解】解：由题意得，， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解：由题可知米，米，， ∴（米）， 故选：B． 4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可知，，，，， ∴， ∴ 在中，， ∴． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山西大同·期末）“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则______． 【答案】 【详解】解：∵风车的外围周长（虚线部分）为76， ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 _________ ． 【答案】 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，于点，，，则___． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为． 8．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，是的角平分线，若，则边的长度为___________． 【答案】 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵为的平分线，且，即， ， 又 ∵， ∴为等腰直角三角形， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． 【答案】1 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作的垂线，交的延长线于点． ∵，， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分．， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：1． ( 地 城 考点02 勾股数问题 ) 一、选择题 10．（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 【答案】C 【详解】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】勾股数要求三个正整数满足（其中为最大数）． A：三个数为6、6、10，最大数为10．，不符合条件． B：三个数为6、8、10，最大数为10．，符合条件． C：三个数为6、10、10，最大数为10．，不符合条件． D：三个数为6、10、12，最大数为12．，不符合条件． 综上，只有选项B满足勾股数的条件， 故选B． 12．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，12，13 C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意； B、，是勾股数，符合题意； C、，，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； D、，，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意； 故选：B． 13．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 【答案】C 【详解】解：当第三个数为最大数，第三数为 ，与6，8能构成勾股数． 当8为最大数，第三数为 ，不是勾股数． 故选：C． 14．（24-25八年级下·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 【答案】D 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 15．（24-25八年级下·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34 【答案】D 【详解】解： A、，，，∴6，7，10不是勾股数．故此选项不符合题意； B、∵0.3， 0.4，0.5 非整数，∴0.3， 0.4，0.5不是勾股数．故此选项不符合题意； C、非整数，∴1，1，不是勾股数．故此选项不符合题意； D、，，，∴16，30，34是勾股数．故此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 16．（24-25八年级下·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 【答案】84、85 【详解】解：由勾股数组：，，…中， ，，， ，，，… 可得当勾为13时，股为，弦为； 故答案为：，． 17．（24-25八年级下·山西忻州·期末）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． 【答案】 【详解】解：由，，，…第四个为， 第4组勾股数中间的数为，即勾股数组为， 故答案为：． ( 地 城 考点0 3 勾股定理与格点问题 ) 一、选择题 18．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 19．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选C． 20．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 21．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】C 【详解】解：由网格可知， ， ， ， ∴边长为无理数的边数有条， 故选：C． 22．（24-25八年级下·山西长治·期末）如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】解：由题意得，“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：C． 二、填空题 23．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是__________． 【答案】 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为， 故答案为：． 三、解答题 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．） (1)实践与操作： 以为一边作矩形，使；（点，画在格点上） (2)推理与计算： 线段的长为______，矩形的面积为______． 【答案】(1)详见解析 (2)，10 【详解】（1）如图，矩形为所求图形； （2）根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，10． 25．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． 【答案】作图见解析， 【详解】解：如图，即为所求， ， 先作出， 再根据，取格点，作线段，取格点，使得， 以点为圆心，长为半径画弧交于点，则， 由勾股定理可得． ( 地 城 考点0 4 利用勾股定理求面积 ) 一、选择题 26．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ）    A．169 B．144 C．30 D．25 【答案】D 【详解】解：如图所示：    在中，根据勾股定理得出：， 由题意得，， ， 在中，根据勾股定理得出：， 阴影部分面积． 故选：D． 27．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，，以的三边为边分别向外作三个等边三角形，这三个等边三角形分别为，和，若的面积是8，则图中阴影部分的面积和是（  ）    A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【详解】解：设的高为，如图，    ∵是等边三角形， ∴ 由题意得：， 同理可得：，， ∵在中，， ∴， ∴ ∴阴影部分的面积和是， 故选：A． 28．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S=9+4=13，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S=9－4=5，故选项B符合题意； C、由勾股定理得：S=4+3=7，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S=4－3=1，故选项D不符合题意， 故选：B． 29．（24-25八年级下·山西临汾·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 【答案】D 【详解】解：设Rt△ABC的斜边为：a，两直角边为：b、c，斜边的正方形面积为： ；直角边的正方形面积为：和 故，， 由勾股定理可知 ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故选D. 二、填空题 30．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是______． 【答案】 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理可知，，，， ∴ 又正方形，，的面积之和为， ∴正方形的面积为. 故答案为：． 31．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 【答案】86 【详解】解：如图，连接． 由题意，得，，，． 在中，由勾股定理得． 在中，由勾股定理得． ． ， 故答案为：． 32．（24-25八年级下·山西太原·期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为______． 【答案】7 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∵正方形A的面积为3，正方形B的面积为4， ∴， ∵， ∴正方形C的面积为7． 故答案为：7． 33．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______． 【答案】19 【详解】设正方形A，B，C，D，E，F，G的边长分别为， 正方形A，B，C，D的面积分别为， 根据正方形的面积公式得：， 正方形A，B的边长正好是直角三角形的两条直角边， 由勾股定理可得：， 正方形E的面积为：， 同理可得正方形F的面积为：， 同理可得正方形G的面积为：， 故答案为：19． ( 地 城 考点0 5 勾股定理的应用 ) 一、选择题 34．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 35．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 设米，则米， 在中，， ∴， 解得：， 故选：． 36．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：A． 37．（24-25八年级下·山西晋中·期末）人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星人”联系的信号．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形．这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是（   ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 【答案】A 【详解】解：由图形可知，利用大正方形的面积等于另外两个小正方形的面积的和，以及大正方形的面积等于边长的平方可推导出勾股定理， ∴利用这个图形证明的重要数学定理是勾股定理， 故选：A． 38．（24-25八年级下·山西晋中·期末）年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 故选：D． 39．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：分三种情况讨论： ①如图， 此时； ②如图， 此时， ③如图， 此时， 又∵， ∴需要爬行的最短路程为． 故选：A． 二、填空题 40．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是___________． 【答案】 【详解】解：连接，如图， ∵点、、分别是、、的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵的面积为24， ∴； 故答案为：． 41．（24-25八年级下·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为_________． 【答案】 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为， 故答案为：． ( 地 城 考点0 6 判断三边是否能构成三角形 ) 一、选择题 42．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意； B．，，满足，是直角三角形，故本选项符合题意；   C．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   D．，，，不是直角三角形，故本选项不符合题意；   故选：B． 43．（24-25八年级下·山西忻州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积是， 故选：． 44．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，且， ，故①正确； ，，都是等边三角形， ，，，， ，， 即，， 在与中， ， ， ， ， ， 同理可证：， ， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ，故②正确； 过作于，则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的有个， 故选：C． 45．（24-25八年级下·山西大同·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能组成直角三角形，故此选项符合题意； 、∵， ∴不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 二、填空题 46．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【详解】∵，D是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 47．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 【答案】 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得：， ，，， ， 是直角三角形，且， ， 答：这块四边形空地的面积为． 三、解答题 48．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 【答案】(1)直角三角形，见解析 (2) 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：如图，连接． ，， ． 垂直平分， ． 在中，，，， ，． ． ． 是直角三角形． （2）解：在中，，，， ． 垂直平分AB， ，． 在中，， ． 49．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： 在中，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， （2）当两点运动4秒时，，， ∴， 在中，根据勾股定理， ， （3）当是一个等腰直角三角形时，， 设两点运动时间为t秒时，，则， 当点Q从点C向点B运动时，， ∴， 解得， 当点Q从点B向点C运动时，， ∴ 解得， 即当是一个等腰直角三角形时，t的值是或． ( 地 城 考点0 7 勾股定理的逆定理 ) 一、选择题 50．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 二、填空题 51．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 【答案】/105度 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 52．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 【答案】 【详解】解：在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 在中，， ，则， 由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形，且； 四边形的面积为， 故答案为：． 53．（24-25八年级下·山西长治·期末）如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为__________．    【答案】 【详解】解：连接，    ∵四边形是平行四边形，对角线相交于点O， ∴，又， ∴垂直平分线， ∴，又， ∴，则， ∴，则， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 54．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，矩形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点E为公园的小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪．测得米，米，米，米． (1)求的长； (2)求草坪的面积． 【答案】(1)的长为20米 (2)草坪的面积为600米2 【详解】（1）∵四边形是矩形 ∴米， ∴米 ∴的长为20米； （2）如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴米 ∵米 ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ = 米2 答：草坪的面积为600米2． 55．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】符合安全标准，理由见解析 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 56．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 【答案】 【详解】解： ， ， 在 中， ， ， ． 57．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 【答案】（1）24；（2）船向岸边移动了米 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴△ADB是直角三角形， ∴， ∴阴影部分的面积 （2）在中， ∵米，米 ∴米 ∵米 ∴米 米 ∴船向岸边移动了米 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 7大高频考点概览 考点01 利用勾股定理求线段长 考点02 勾股数问题 考点03 勾股定理与格点问题 考点04 利用勾股定理求面积 考点05 勾股定理的应用 考点06 判断三边是否能构成三角形 考点07 勾股定理的逆定理 ( 地 城 考点01 利用勾股定理求线段长 )一、选择题 1．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，在的延长线上取一点E，连接并延长，交边于点F．若，则的长为（    ）． A．1 B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西忻州·期末）智能物流机器人可进行自动化作业，显著提升物流效率并大幅降低人力成本．某智能物流机器人在仓库中需从货架点出发，先向正东方向行驶6米到达点，再向正北方向行驶8米到达点．为优化路线，若机器人从点沿直线方向直接行驶到点，则线段的长为（   ） A．7米 B．10米 C．17米 D．20米 3．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是爱心超市局部位置的平面示意图，测得起点A到第一个拐角处点B的距离为10米，点B到终点C的距离是10米，且，则A，C两点之间的距离是（    ） A．10米 B．米 C．米 D．米 4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）钟摆实验中，钟摆摆锤可看作一个点．如图，当摆锤静止时，它在点处，当摆锤摆动到最高位置点时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置的水平距离，若，则钟摆的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·山西大同·期末）“赵爽弦图”中，，将四个直角三角形（）中的较长直角边（）向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，这个风车的外围周长（虚线部分）为76，则______． 6．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的，两段构成．若，，则段的长为 _________ ． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，于点，，，则___． 8．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，中，，，是的角平分线，若，则边的长度为___________． 9．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在四边形中，，，，过点作交的延长线于点．若，，则的长为______． ( 地 城 考点02 勾股数问题 ) 一、选择题 10．（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 11．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，能与6，10构成一组勾股数的是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 12．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（　　） A．3，4，4 B．5，12，13 C．，， D．，， 13．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）下列各数中，与6，8能构成勾股数的是（   ） A．6 B．8 C．10 D．14 14．（24-25八年级下·山西太原·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 15．（24-25八年级下·山西晋中·期末）勾股数，又称毕氏三元数，下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A．6，7，10 B．0.3，0.4，0.5 C．1，1， D．16，30，34 二、填空题 16．（24-25八年级下·山西晋中·期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，．．．，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为__________． 17．（24-25八年级下·山西忻州·期末）勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：，，，…．分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第4个勾股数组为______． ( 地 城 考点0 3 勾股定理与格点问题 ) 一、选择题 18．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A．3 B． C．5 D． 19．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．长为（    ）    A．4.5 B． C． D． 20．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格中的中，边长为无理数的边数是（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 22．（24-25八年级下·山西长治·期末）如图是某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“车”、“炮”两棋子所在格点之间的距离为（   ） A． B．3 C． D．4 二、填空题 23．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是__________． 三、解答题 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在边长均为1的小正方形网格中，线段的端点都在格点上．（小正方形的顶点叫格点．） (1)实践与操作： 以为一边作矩形，使；（点，画在格点上） (2)推理与计算： 线段的长为______，矩形的面积为______． 25．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的边长都是1，借助网格图画，使点A，C在格点上，，，，请简要说明作法，保留作图痕迹，并求出的长． ( 地 城 考点0 4 利用勾股定理求面积 ) 一、选择题 26．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，这是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（    ）    A．169 B．144 C．30 D．25 27．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，，以的三边为边分别向外作三个等边三角形，这三个等边三角形分别为，和，若的面积是8，则图中阴影部分的面积和是（  ）    A．16 B．12 C．10 D．8 28．（24-25八年级下·山西长治·期末）下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级下·山西临汾·期末）勾股定理是人类最伟大的科学发明之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1＝2，S2＝5，S3＝8，则两个较小正方形纸片的重叠部分（四边形DEFG）的面积为（　　） A．7 B．10 C．13 D．15 二、填空题 30．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形，，的面积之和为，则正方形的面积是______． 31．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，．若，，则______． 32．（24-25八年级下·山西太原·期末）如图，已知正方形A的面积为3，正方形B的面积为4，则正方形C的面积为______． 33．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是5，4，4，6，则最大的正方形的面积是______． ( 地 城 考点0 5 勾 股定理的应用 ) 一、选择题 34．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，是“亚洲第一悬崖秋千”，建在距离河面将近七百米高的悬崖边缘上，该秋千的荡出距离可达百米，提升高度可至米．如图，是秋千摆动过程示意图，其中为秋千的绳索固定点，为部分地面平台，绳索，，米，米，秋千的绳索始终保持拉直，则绳索的长度为（   ） A．米 B． 米 C．米 D．米 36．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，一架的云梯AB斜靠在一竖直的墙上，这时为．如果梯子的底端向墙一侧移动了，那么梯子的顶端向上滑动的距离是（　　） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·山西晋中·期末）人类一直在探索“外星人”的奥秘，数学家曾建议用如图1所示的图形作为与“外星人”联系的信号．为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了一枚纪念邮票（如图2），也用到了这个图形．这个图形之所以被如此重视，是因为它蕴含了一个重要的数学定理，这个定理是（   ） A．勾股定理 B．平行线的判定定理 C．平行线的性质定理 D．三角形内角和定理 38．（24-25八年级下·山西晋中·期末）年月日是第七个中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕圈到达柱顶正上方（从点到点，为的中点），则装饰带的长度最短为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中长，宽，高，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点A爬行到点B，它需要爬行的最短路程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 40．（24-25八年级下·山西晋中·期末）赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2，为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为24，则的面积是___________． 41．（24-25八年级下·山西晋城·期末）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为_________． ( 地 城 考点0 6 判断三边是否能构成三角形 ) 一、选择题 42．（24-25八年级下·山西阳泉·期末）依据所标数据，下列三角形中，是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·山西忻州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④． 正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（24-25八年级下·山西大同·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、填空题 46．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在中，，，，已知D是的中点，连接，则的长为______． 47．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，小区有一块四边形空地，连接，测得，，，，，求这块四边形空地的面积． 三、解答题 48．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点D，E．已知，，． (1)试判断的形状，并说明理由． (2)求的长． 49．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图所示，在中，，，，在顶点处有一点，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，在顶点处有一点，以每秒3个单位长度的速度从点出发沿的路线匀速运动，两点同时出发，当点停止运动时，点也随之停止运动．    (1)判断的形状，并说明理由； (2)若两点运动4秒时，求此时的长； (3)设两点运动时间为秒，当是一个等腰直角三角形时，求的值． ( 地 城 考点0 7 勾股定理的逆定理 ) 一、选择题 50．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 二、填空题 51．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 52．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，为四边形的对角广线，且，则四边形的面积为__________． 53．（24-25八年级下·山西长治·期末）如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于点E．若，则的长为__________．    三、解答题 54．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，矩形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点E为公园的小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪．测得米，米，米，米． (1)求的长； (2)求草坪的面积． 55．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．如图1是某平台出售的一种品牌婴儿车，图2为其结构示意图，经过测量得到，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请判断该婴儿车是否符合安全标准，并说明理由． 56．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在中，，，，点是外一点，连接，且．求的度数． 57．（24-25八年级下·山西临汾·期末）（1）如图1，，，，，，求图中阴影部分的面积． （2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为10米，此人以0.5米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $