第3章 一元一次不等式（组）（单元自测卷）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦一元一次不等式（组），以电梯超重、运输方案等生活情境为载体，覆盖基础求解与综合探究，适配七年级下册单元复习，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式解的判断、解集表示（如第5题数轴表示）|结合生活情境（第2题电梯超重），考查抽象能力| |填空题|8/32|不等式列写（第11-12题）、整数解（第14题）|运输问题（第15题）体现模型意识| |解答题|7/58|解不等式（组）（第19-20题）、方案设计（第23题）、迁移探究（第25题）|新定义运算（第24题）与跨知识整合（第25题），发展创新意识与推理能力|

2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第三章 一元一次不等式（组）（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C A A C C B A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11． 12． 13． 14． 15． 16． 17．或 18．或 三、解答题（共6小题，共58分） 19．（6分） 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：，（3分） 移项合并得：， 解得：， 把解集在数轴上表示出来为： （6分） 20．（8分） 【详解】解： 由①得，； 由②得，，（3分） ∴原不等式组的解集为：，（5分） 数轴表示为： （8分） 21．（8分） 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第二步是去括号，依据是乘法分配律（运算律）进行变形的； 故答案为：乘法分配律（2分） ②由题目中的解答过程可知：第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：五，不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变；（4分） 任务二：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得．（8分） 22．（8分） 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得；（4分） （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是．（8分） 23．（8分） 【详解】（1）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意，得， 解得：， 满足轿车最少要购买3辆， 则， 故购买轿车3辆，购买面包车7辆；（4分） （2）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意得， 解得：， 则、、， 当时，； 当时，； 当时，； 故符合公司要求的购买方案有种，分别为购买轿车3辆，购买面包车7辆；购买轿车4辆，购买面包车6辆；购买轿车5辆，购买面包车5辆．（8分） 24．（10分） 【详解】（1）根据新定义运算可得：，（4分） （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴．（10分） 25．（10分） 【详解】解：（1）∵，设 ∴ ∴（4分） （2）如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例， 设 ∴， 即 ∴不一定大于．（7分） （3）∵ ∴即 （4）∵ ∴， ∴即（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第三章 一元一次不等式（组） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．x＝－1不是下列哪一个不等式的解（ ） A．2x＋1≤－3 B．2x－1≥－3 C．－2x＋1≥3 D．－2x－1≤3 2．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如果，那么下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   6．方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 8．若 使得关于 的不等式组 有且只有 4 个整数解， 且使得关于 的一元一次方程 的解为整数， 则满足条件的所有整数 之和为（ ） A． B． C． D． 9．已知实数a，b满足，且，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知x与5的差小于3，用不等式表示为___________． 12．“的6倍减去3是负数”用不等式表示为___________． 13．不等式的解集是___________． 14．不等式组的整数解有___________个． 15．某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排辆A型货车参与运货，可得不等式为___________． 16．关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是____________． 17．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是___________． 18．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 19．（6分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 20．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21．（8分）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：.………………第一步 .……………………第二步 ，……………………第三步 .……………………第四步 ．……………………第五步 任务一：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 22．（8分）关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 23．（8分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元， (1)若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？ (2)若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． 24．（10分）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 25．（10分）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第三章 一元一次不等式（组） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．x＝－1不是下列哪一个不等式的解（ ） A．2x＋1≤－3 B．2x－1≥－3 C．－2x＋1≥3 D．－2x－1≤3 2．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．如果，那么下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 5．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   6．方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 8．若 使得关于 的不等式组 有且只有 4 个整数解， 且使得关于 的一元一次方程 的解为整数， 则满足条件的所有整数 之和为（ ） A． B． C． D． 9．已知实数a，b满足，且，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知x与5的差小于3，用不等式表示为___________． 12．“的6倍减去3是负数”用不等式表示为___________． 13．不等式的解集是___________． 14．不等式组的整数解有___________个． 15．某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排辆A型货车参与运货，可得不等式为___________． 16．关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是____________． 17．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是___________． 18．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为___________． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 19．（6分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 20．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21．（8分）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：.………………第一步 .……………………第二步 ，……………………第三步 .……………………第四步 ．……………………第五步 任务一：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 22．（8分）关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 23．（8分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元， (1)若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？ (2)若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． 24．（10分）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 25．（10分）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元检测卷 第三章 一元一次不等式（组） 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．x＝－1不是下列哪一个不等式的解（ ） A．2x＋1≤－3 B．2x－1≥－3 C．－2x＋1≥3 D．－2x－1≤3 【答案】A 【分析】解出各个不等式，然后检验-1是否在解集内，就可以进行判断． 【详解】解：A：2x＋1≤－3，解得x≤－2，-1不在解集内，故符合题意． B：2x－1≥－3，解得x≥-1，-1在解集内，故不符合题意． C：－2x＋1≥3中，解得x≤-1，-1在解集内，故不符合题意． D：－2x－1≤3中，解得x≥－2，-1在解集内，故不符合题意． 故选：A． 2．一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过公斤时警示音响起，则x的取值范围可用下列哪一个不等式表示（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． 【详解】解：∵．公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起 ∴ ∵公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起 ∴ 解得： 故选：C 3．不等式组的解集是，那么m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组的解集是，得出的范围即可． 【详解】解：解不等式得，， ∵不等式组的解集是， ∴， 故选：C． 4．如果，那么下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，，正确，本选项符合题意； B、，，错误，本选项不符合题意； C、，，错误，本选项不符合题意； D、，，错误，本选项不符合题意； 故选：A． 5．将不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为：   ， 故选：A． 6．方程组的解满足，则k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】理解清楚题意，运用二元一次方程组的知识，解出k的取值范围即可． 【详解】解：∵， 观察方程组可知，上下两个方程相加可得：， 两边都除以3得，， 所以， 解得； ， 解得． 所以． 故选C． 7．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】根据题意可得c>a>d>b，利用不等式的性质即可得出结果． 【详解】解：根据把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则 c>a>d>b，c−a>0>b−d， 得c+d>a+b， 得：>． 即 故选：B． 8．若 使得关于 的不等式组 有且只有 4 个整数解， 且使得关于 的一元一次方程 的解为整数， 则满足条件的所有整数 之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“该不等式组有且仅有4个整数解”，得到关于a的不等式，解此不等式，解一元一次方程2y+2 = a，根据解为整数，得到a的取值，取所有符合题意的整数a，即可得到答案． 【详解】解： 解得；解得； ∴不等式组的解集为 ， ∵该不等式组有且仅有4个整数解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵关于 的一元一次方程 的解为整数， ∴a= -10或-8或- 6， ∴-10+(-8)+(-6)= -24． 故选∶ D． 9．已知实数a，b满足，且，则t的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，先利用完全平方公式求出的取值范围，再把代入即可求解，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10．如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出的取值范围． 根据不等式组有且只有5个整数解可以是，即可得到，解得，由关于的方程的解为非负整数，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】由，得， 由，得， ∵关于的不等式组有且只有5个整数解， ∴这5个整数解是， ∴， 解得， 由方程，可得， ∵方程的解为非负整数， ∴且为整数， 解得且为整数， ∴且为整数， ∴满足条件的整数的值为， ∴符合条件的所有整数的和为3， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．已知x与5的差小于3，用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，能够把文字转化成数学语言是解题的关键． 表示出x与5的差，再根据小于3列出不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．“的6倍减去3是负数”用不等式表示为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，能根据题意正确表示出“的6倍减去3”是解题的关键． 根据题意建立关于的不等式即可． 【详解】解：由题知， “的6倍减去3”可表示为：． 因为“的6倍减去3是负数”， 所以． 故答案为：． 13．不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】先进行移项，合并同类项，然后再将系数化为1，得出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 移项，合并同类项得：， 不等式两边同除以-2得：． 故答案为：． 14．不等式组的整数解有___________个． 【答案】5 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握确定不等式组解集的方法是解题的关键． 先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大，中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解即可求解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴， ∴不等式组的整数解有：0，1，2，3，4，共5个． 故答案为：5． 15．某运输公司要将200吨的货物运往某地，准备用A，B两种型号的汽车共12辆参与运货．已知A型汽车每辆可装货物20吨，B型汽车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这200吨货物一次性装运完成，至少要安排几辆A型汽车？设安排辆A型货车参与运货，可得不等式为___________． 【答案】 【分析】设安排辆A型货车参与运货，根据把这200吨货物一次性装运完成，可列出不等式． 【详解】解：设安排辆A型货车参与运货， 由题意可得：， 故答案为：． 16．关于的不等式组，若其整数解只有2个，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先求出不等式的解集，再根据求出不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的整数解得出答案即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得 ∴不等式组的解集为：， 整数解只有2个，所以整数解是1，2 ， ． 故答案为：． 17．关于的不等式组有解，那么实数的取值范围是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查其它不等式的解法，由题意分类讨论的范围，先判断时满足条件，当时，再根据，求出的范围即可． 【详解】 解：∵关于的不等式组 的解集有解， ， 当时，满足不等式组 的解集有解； 当时，不等式组 即 ， ∵它有解集， ， 解得， 综上可得，的范围为或， 故答案为：或． 18．若x为有理数，则表示不大于x的最大整数，表示大于x的最小整数．例如：，，．对任意的有理数x，都有，则的所有解为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义、解一元一次不等式组等知识点，明确题意、正确列出一元一次不等式是解答本题的关键．根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵表示不大于x的最大整数， ∴为整数， ∴或， ∴或； 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 19．（6分）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【分析】本题主要考查解不等式和在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项合并同类性，化系数为1的步骤，解不等式，再把解集在数轴上表示出来． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 把解集在数轴上表示出来为： 20．（8分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， 数轴表示为： 21．（8分）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：.………………第一步 .……………………第二步 ，……………………第三步 .……………………第四步 ．……………………第五步 任务一：①以上解题过程中，第二步是依据________（运算律）进行变形的； ②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】任务一：①乘法分配律；②五，不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变；任务二： 【分析】本题考查解一元一次不等式； 任务一：①第二步是去括号，依据是乘法分配律（运算律）进行变形； ②根据题目中的解答过程可知：第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 任务二：写出正确的解答过程，即可得到不等式的解集． 【详解】解：任务一：①以上解题过程中，第二步是去括号，依据是乘法分配律（运算律）进行变形的； 故答案为：乘法分配律 ②由题目中的解答过程可知：第五步出现错误，这一步错误的原因是不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 故答案为：五，不等式两边同时除以，不等号的方向没有改变； 任务二：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 22．（8分）关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 23．（8分）某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共10辆，其中轿车最少要购买3辆，已知轿车每辆7万元，面包车每辆4万元， (1)若公司投入购车资金49万元，则购买轿车和面包车各多少辆？ (2)若公司可投入的购车资金不超过55万元．请用有关一元一次不等式的知识找出符合公司要求的购买方案有几种？请说明理由． 【答案】(1)购买轿车3辆，购买面包车7辆 (2)符合公司要求的购买方案有种，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，熟练根据题意正确列出等式或不等式是解题的关键． （1）设购买轿车辆，则购买面包车辆，利用“轿车每辆7万元，面包车每辆4万元，公司投入购车资金49万元”列等式，求解即可； （2）设购买轿车辆，则购买面包车辆，分别利用“轿车最少要购买3辆”和“公司可投入的购车资金不超过55万元”列不等式，求解取整数值即可． 【详解】（1）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意，得， 解得：， 满足轿车最少要购买3辆， 则， 故购买轿车3辆，购买面包车7辆； （2）解：设购买轿车辆，则购买面包车辆， 由题意得， 解得：， 则、、， 当时，； 当时，； 当时，； 故符合公司要求的购买方案有种，分别为购买轿车3辆，购买面包车7辆；购买轿车4辆，购买面包车6辆；购买轿车5辆，购买面包车5辆． 24．（10分）定义一种新运算（其中），例如，依据上面的公式解决下列问题： (1)求的结果； (2)若，求k的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据新定义运算计算即可； （2）根据新定义运算即可列方程，进而可求出值． 【详解】（1）根据新定义运算可得：， （2）由题意可得：， ． ∵ ∴ ∴． 25．（10分）【教材方法】在学习“用加减消元法解二元一次方程组”时，我们知道，可以用两个方程的左边与左边相加（减）、右边与右边相加减，从而消去某个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 【迁移探究】某校数学兴趣小组基于教材的方法，开展了迁移探究的讨论，讨论问题为“对于不等号方向相同的不等式组，若也将左右两边分别相加减会怎样”． （1）经过对“相加”的探究，得到结论：如果那么一定成立．请你证明上述结论． （2）经过对“相减”的探究，得到结论：如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例，说明不一定大于． 【结论应用】 （3）应用1：已知求的取值范围． （4）应用2：已知直接写出的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； （1）设，根据不等式的性质可得，即可得证； （2）设，得出，即可求解； （3）根据结论1，两式相加，即可求解； （4）根据不等式的性质可得，，两式相加，即可求解． 【详解】解：（1）∵，设 ∴ ∴ （2）如果那么不一定成立．例如：对于请你举出一组反例， 设 ∴， 即 ∴不一定大于． （3）∵ ∴即 （4）∵ ∴， ∴即 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $