福建莆田一中学2025-2026学年高一年级数学下学期学期周练试卷（3.9-3.15）

2025-2026学年莆田一中高一数学周练(3.9-3.15) 一、单选题 1.已知i为虚数单位，则复数z=2-3√3i的虚部为() A.2 B.-3V3i C.-3√3 D.i 2.已知向量a=(1n2,V3),万=(n8,m),若a∥6，则m=（ A.-35 B,-V5 C.3 D.3V5 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,若a=4,b=5,c=7,则△ABC的面积为 () A.46 B.2√6 C.4 D.8 4.如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，g,e2分别是与x轴，y轴正方向同向 的单位向量，若向量OP=x+y2,则有序实数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的 坐标若在该坐标系xOy中，OA=(2,1),OB=(-4,5),则OAOB=() A.-3 B.-2 C.-1 D.0 AB AC AB AC 1 5.已知非零向量AB与AC满足 AB BC=0,且 2,则向量CA在 向量CB上的投影向量为() A.3CB B.CB c.-3c D.-1c8 2 2 2 6.如图，公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.一人在公路上向东行 走，在点A处测得楼顶的仰角为45°，行走80米到点B处，测得仰角为30°，再行走80米到点C 处，测得仰角为0，则tan0=() 樱 公路一 3 A. B. c.3W77 D. √2 7 77 试卷第1页，共4页 7.已知△ABC满足3CA.CB+4BA·BC=5AB.AC,则cosA的最小值为() B.5 4 c.6 3 D.3 3 8,在△ABC中，AB=3,D是边AB上一点且AD=2DB,∠ACD=T,则BC的最大值为 6 () A.4 B.V7+2 C.V5+2 D.√5+√万 二、多选题 9.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若a:b:c=4:5:6,则△ABC是钝角三角形 C.若sinA=sinB,则△ABC为等腰三角形 D.若A=30°，b=4,a=3,则△ABC有两解 10.已知向量ā=（-2,1)，b=(-1,),其中1∈R,则下列说法正确的是() A.若a⊥b,则t的值为-2 B.若a15,则t的值为2 C.若t>-2,则ā与b的夹角为锐角 D.若(a+)1(a-),则la+=la- 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,记△ABC的面积为S,若 (b-a2)sinB=2S,则以下说法正确的有() A.a2+ac=b2 B.B=2A c算<A<受 2 n.e+l5+2 三、填空题 12.已知复数z=x2-3x+2+(x2-4)i（xER)为纯虚数，则x= 13.在△ABC中，AB=AC,D为AC中点，BD=√3，则△ABC面积的最大值为 14.已知O为边长为√3的等边三角形的重心，动点P满足OP=xOA+yOB+zOC(其中 x,y,z∈[0，])，则动点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为一·PA.PB的最大值为 四、解答题 15.设九∈R,已知，已2是平面内两个不共线的向量， 试卷第2页，共4页 AB=+,BE=3元+C2,EC=-2a+2E2,且A,E,C三点共线. (1)求的值： (2)若ξ=(（1,1)，2=(0,1)， ①求向量AB与BC的夹角的余弦值： ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形.求点A的坐标： 16.佛山电视塔位于文华公园内，是佛山地标性建筑.某位高中生想运用所学知识测量验证 一下高度，通过查阅资料获取了两种测量方案， 方案一（两次测角法）：如图一，在电视塔附近广场上的C点测得电视塔顶部的仰角为，正 对电视塔前进S米后，到达D点，在D点测得电视塔顶部的仰角为B,然后计算出电视塔AB 的高度、 方案二（镜面反射法）： 镜面反射镜面反射 如图二，在电视塔附近广 场上，进行两个操作步骤： ①将平面镜（大小合适， 厚度忽略不计)置于地面 M上，人后退至从镜子中 C D E 恰能看到电视塔的顶部 位置，测量出人与镜子的 图 图 距离为m米：②正对电 视塔，将镜子后移m米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为m2米，然后计算出电视塔 AB的高度， 实际操作中，方案一测量数据为s=106.4米，=39°，B=51°，测得电视塔高度为H1：方案 二测量数据为m1=1.4米，m2=1.5米，m=16米，测得电视塔高度为H2:假设测量者的“眼高 h”都用1.6米 (1)用s,a,B,h表示H1: ②)计算H,H,的实际测量值（参考数据：tan39°≈0.8，tan51°=】 ,结果保留整数) tan390 17.记△ABC是内角A,B,C的对边分别为4，b,C,已知b2=ac,点D在边AC上， BDsin∠ABC=asin C. (1)证明：BD=b: (2)若AD=2DC,求cOS∠ABC. 18.记△ABC是内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b-2cos4_2c0sC a (1)求c: (2)若BA.BC=2CA.CB.求△ABC面积的最大值. 19.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c(sinA+cosA)=b,a=2,c=V2,M 为线段BC上一点，N为射线CA上一点， (1)求角A的大小： (2)若BM=MC,且MN=V5,求∠BNC; (3)D为线段AB上一点，MD⊥DN且MD=DN,求aMDN面积的最小值， 试卷第4页，共4页 910111213 璃片估小▣ (答案)2025-2026学年莆田一中高一数学周练(3.9-3.15) 1 2 4 6 6 7 8 9 10 11 D A D B D B ACD AB ABD 12.1 13.2 14. 3W5.3 22 15.（0)由已知得征=而+死=行+2，因为三点共线，所以号异，即2=-1： (2)由已知得B=(1,2,BC=B亚+EC=日=(1,1)， cos(AB,BC)= B.BC3310 @Ba5210 ②由平行四边形得D=BC,又D=(3-x,4-y), 所以 1=3-4解得 x4=2 1=4-y4 =3即A2,3). I6.(1)在Rt△AEC中，ana=A CE,所以CE AE tana 在RIAAED中，amB=AE, DE,所以DE=E tanB' 所以8=CE-DE=AE、AE tand tanB,于是AB=stanatanp tanB-tana 所以H=AE+h= stanctam形+h. tanB-tana 06.4×tan51°×tan39 (2)代入数据，可得以= 9°+1.6=106.4+1.6=1064+1.6=238 tan51°-tan39o 080.8 1 0.45 在RtABM中，由镜面反射可知ItanLAMB=1.6_8, 五牙=二斤以总一号，是∠—之 8 1575,所以16 在Rt△ABN中，由镜面反射可知an∠W8=1.6_16, BN5,于是BN=15AB 16 因为m=MW=BN-BM=15MB_74B=4B,于是H,=AB=16m=16x16=256. 16816 17.（1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理， 得mc=录血C=京 b 因为D加∠hc=amC,所以D品-a员，即8Db=ae. 又因为b2=aC,所以BD=b. (2)法一：因为AD=2DC, / 如图，在△ABC中，co9C=+b-cO 2ab 2b 3 a2+2-62 0 在△BCD中，cosC= b·.② 3 2a 3 @②得d2+62-2=3公+月-8]，整理得2a2-号62+c2=0. 又因为b2=ac,所以6a2-11ac+3c'=0,解得a=号或a=3c 2 当a-导6=c-号时，a+b号+e<e(合去. 3 33 当a=39,62=ac=3e时，co8∠ABC= +c3 2=7 2 2 2.3 7所以cosA8c=7 2 法二：由(1)知8D=b=AC,再由D=2DC得AD=2b,CD=6. 3 在△ADB中，由正弦定理得 AD BD sin∠ABD sin A 为 又∠ABD=∠C,所以3 。b,化简得sinC=2sin4. sinC sinA 3 在△MBC中，由正弦定理知c=号a,又由6=ac,所以82-子a. 2 3 在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC=a+c2-b2a2+4a?2 a? =9 。3 2ac 2 2×二a2 12 7 故coS∠ABC= 12 18. 解：（1)解法1： -2c2csC-2ccosA-2gc0C …2分 由正弦定理得：csin B=2 sin AcosC+2 sin Cco3A=2n(A+C), 又因为A+B+C=π，sin(A+C)=sinB,…4分 所以csin B=2sinB,又因为sinB≠0，… …5分 所以C=2.… …6分 解法2： 由余弦定理可得0-6+c-a心公+6-c h=h…2分 a 化简可得bc- 6+c2-o_区+6-c,即bo=2b, …5分 b b 所以C=2.… …6分 2)解法日 B☑-gC=2☑.C丽台c00gB=2bco8C,…7分 coosB=2bc08C白sin Coos B=2 sin Bcos9C,…8分 所以3 sinCco8R=2 sin Bco8C+2 sin CcosB=2sin(B+C)=2sinA,…10分 由正弦定现可得3c008B=2a,… 所以口白300sB,…l2分 m…统难子=&宗≥4g80o四 2 解法2： BA,BC=2CAC丽白ccosB=2 bcosC,… …7分 cc0sB=2bc0sC,余弦定理可每03+c2-b2E+2b3-2c 2a a 即+3b3=302=2… …9分 由余弦定理可得a2=b°+c2-2bcco8A=b+4-46co5A, 则有12=a3+3b°=4b°+4-4 bcosA, 化简可得b3-bcosA=2, 即c0sA=-2 6 …2分 所以S=bcin=bsin=b 63-2 b+5b-4, 当6=时，及= 3 …15分 2 解法3： BA.BC=2A-CB白ccosB=2bc0sC,… …7分 cc0sB=2b00sC,余弦定理可得4+c-=20+26:-2c 2a a 即+3b=3c2=12, 由众弦定理可得b=a+c3-2 aacasB=d+4-4 acosB, 则有12=G2+3b2=4d+12-12a0sB, 化商可狲么=3c0s月， ……12分 gT卿i嘲元=日辰'云>元Ts=日g0的gsc=灯msD=s0二=gl 19. 【答秦)受：（②哥：8）号 【详解】(1)因为c(snA+cosA)=b,所以sinC(sinA+cosA)=sinB 所以sinC(sinA十cosA)=sin(A+C)=sin AcosO+cosAsinC… …1分 in Cgin A=sin AcosO, 又因为sinA≠0，所以sinC=cosC, …2分 即anO=1,又Ce0,x,所以C=齐 …3分 由正弦定理品=。A=C=1,又AE(@x),所以A=受 …4分 c 2)△MC中，MN=V2,M0=1,O=于 由余弦定a理W=C十MG-2·NO,MO008O…5分 5=NC+1-√2Ng,即NG-√2NO-4=0 解得NC=2√2，或NC=-√2（舍去）…6分 △BC中，C=2V2,BC=2,C=年 由余弦定理NB2=BC十CN-2·BO,NC.cos=4+8一8=4…7分 解得NB=2=BC,…8分 所以∠BNO=∠C= …9分 试卷笛？而共A而 (3)法一： D M 设BM=2,∠BDM=0,0∈(0，F）则∠BD=平-，2ND=x-0.…10分 4 BD 在ABMD中，Bn臣=sin/证-0 444444…11分 esin(旺-0） DM=器B0= …12分 sino 在△ADN中，sin4AND=sim(x-0)=sin0= DN 六DN=42=②-8D=DM,m …13分 sin0 sind ∴tan0=2是2z即红=20+-2n0牛0o0 2tan0 2sin0 …14分 :DM=高=品+可，G优中a如=安) …15分 当sin(0+)=1时，DMnb= 5 …1G分 :△DN面积的最小值为合×（严=言 …17分 另一种设法： 设BD=g,∠BMD=0,0∈(0，经)》则AD=2-0 …10分 因为LMNC+LC=LBMD+∠DMN,且LC=LDMW=于 所以∠MNO=∠BMD=0,…1l分 在AB0中，2品=2gDM= DEsin √2x …l2分 i咖7 sin0 2sin0 在Rt△DNA中，DN=DA √2(2-) …13分 sin(牙+)）sin0+oos0 购pM=DNm以盟-品 …14分 Asin0 化简得z=3sin0+cos0' DM=2e」 2w2 2n7=3ih0+cas0-70sin0+可·(t中an=号 2√2 …l5分 当in(0+)=1时，DM= …16分 △MDN面积的最小值为立×（西厂=号 …17分 试卷第4页，共4页