精品解析：福建厦门市同安实验中学2024～2025学年第二学期高一年级期中考试数学试题

厦门市同安实验中学2024~2025学年第二学期高一年级期中考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数z = 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】复数z = ，所以虚部是. 2. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理得到. 【详解】因为，所以， 故. 故选：A 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图特征，作出其平面图形直角梯形，求出相关边长再求长即可. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以. 4. 已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则可能平行，可能相交，可能异面，故A错误； 若，，则，故B错误； 若，，则可能平行，可能相交，故C错误； 若，，由线面垂直的性质定理可得，故D正确； 故选：D 5. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图与本身圆锥的关系进行求解即可． 【详解】圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为， 由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得， 则圆锥的高 故选：C 6. 据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径，由长方体性质求得球半径后可得表面积． 【详解】把四棱锥补成一个长方体，如图，长方体的对角线就是其外接球也是四棱锥的外接球直径， 设球半径为，则， 球表面积为． 故选：C． 7. 已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，找到或其补角为与所成的角，并求出各边长，得到⊥，又，故，故， 【详解】连接，过点作交底面圆于点，连接， 因为是弧的中点，所以四边形为正方形，， 故或其补角为与所成的角， 设，则， 由勾股定理得， ， 又，故⊥， 又，故， 故， 与所成的角为. 故选：C 8. 平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，则，设，，，根据均值不等式计算最值，再利用同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图所示：设，，则，设，，， ， 当，即时等号成立，故， 当最小时，最大， 故与夹角的正弦值的最大值为. 故选：B 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量的模为1 D. 存在实数，使得与共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得：，根据向量的坐标运算逐项分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为，所以，不垂直，故A错误； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：因为， 所以在方向上的投影向量的模为，故C正确； 对于选项D：因为， 若与共线，则，解得， 所以当时，与共线，故D正确； 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（    ） A. ， B. C. 若 ， ，则 的最小值为2 D. 设 （i为虚数单位）是关于x的方程 的根，则． 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则和几何意义，逐项分析即可求解. 【详解】设，则，故A正确； ，故B错误； 若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 则圆心与点的距离， 表示圆上的点与点的距离，则距离的最小值为，故C正确； 由题意可知，即，所以，故D正确. 11. 如图，圆台中，母线与下底面所成的角为，为上底面直径， ，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的侧面积为 C. 由点出发沿侧面到达的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长最大值是 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，根据轴截面分析即可；对B，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C，将圆台侧面展开，再计算即可；对D，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可 【详解】对A，连接，过点作的垂线，垂足为 ，在直角三角形中，，则圆台的母线长为，故A错误； 对B，由A母线长为10，则圆台的侧面积 ，故B正确； 对C，该圆台可以看成由底面半径为的圆锥截去一个底面半径为的圆锥得到， 设截去底面半径为的圆锥的母线长为，由相似关系可知解得， 故大圆锥的母线长，由已知得圆台底面圆的周长为， 由弧长公式可知大圆锥侧面展开扇形的圆心角为, 所以圆台的侧面展开图如下图所示: 由，此时线段AC与小圆相交， 故点A出发沿侧面到达点C的最短距离大于，故C错误； 对D，该圆台的轴截面可以补成一个边长为的正三角形， 由于，则圆台中能放下的最大球的半径为， 所以求圆台内放置一个可以任意转动的正方体即可以求最大球的内接正方体， 设正方体的棱长为，则，解得，故D正确. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量与共线，则实数______. 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 若与共线，则， 所以，解得. 13. 如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在中， 根据余弦定理得：， ，由于，在中，根据正弦定理得：. 【点睛】本题为利用正弦定理和余弦定理解应用题，利用正弦定理和余弦定理进行边转角或角转边是常用的方法，已知两边及其夹角求第三边或已知三边求任意角使用余弦定理，已知两角及任意边或已知两边及一边所对的角借三角形用正弦定理. 14. 在棱长为 的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形是________（四边形、五边形、六边形），其面积为__________ 【答案】 ①. 正六边形 ②. 【解析】 【分析】由题意可得 平面 ， 平面 ，确定过点的截面与正方体各棱的交点，可知截面图形是边长为的正六边形，进而可求得结果. 【详解】如图所示：连接 ， 由正方形，得， 由 平面，又平面，所以， 又 ， 平面，所以 平面， 又 平面，所以，同理可得， 因为 ， 平面 ，所以 平面 ， 同理可得 平面 ， 设过点且垂直于的平面为平面， 则平面与平面 、平面 都平行，设平面与的交点为N， 因为平面平面 ，平面平面 ， 平面平面 ，所以 ， 因为为的中点，则为的中点， 同理可知，平面分别与棱交于中点， 可得六边形 为正六边形， 因为正方体的棱长为2，所以正六边形的边长为， 所以正六边形的面积为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 【答案】（1）由AD⊥平面PAB，面，则， 又PB⊥PA，，则PB⊥平面APD； （2）由（1）及面，则面面APD， 又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面，而面， 所以AG⊥BD． 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定证结论. （2）由（1）及面面垂直的判定可得面面APD，再由面面垂直的性质有面，根据线面垂直的性质即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，，，，点为线段上任意一点. （1）求； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）找出与和的关系，即可求出结果. （2）设出的表达式，得到的表达式，即可得出的最小值 【小问1详解】 由题意，在中，，， ∴为的中点， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得， 在等腰直角三角形中，， 由（1）知，. 设， 则， ∴ ∴当时，最小，最小值为. 17. 在中，的对边分别为，已知向量，，且. （1）求的大小； （2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积的运算公式，求得，再结合正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，即可求解； (2)由，求得，两边平方化简得，再由余弦定理，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，因为，， 可得， 在中，由正弦定理得， 化简得， 又因为，可得， 所以，因为，所以. (2)由，可得，所以， 两边平方得 ① 又因为， 所以. ② 由①②得， 所以. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及正弦定理和余弦定理的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及合理利用正弦定理的边角互化和三角的面积公式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 18. 在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）由题目可知，四边形是菱形，，故为等腰三角形， 是的中点，根据等腰三角形三线合一性质，有， 又平面平面，交线为，且平面， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 又因为平面，则. （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由菱形性质及 ，得，故 . 在中，， ，由勾股定理得：， 在 中， ， ，由勾股定理得：. 根据线面垂直的判定定理：若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则称该直线与平面垂直. 因 平面，在平面上，故 ， 且，交于点，故 平面. 因此， 即为直线与平面所成的角， 在直角三角形 中：， 即直线与平面所成角的正切值为. 19. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明如下： 因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， ∴平面平面ABC. （2）. （3）存在，，证明如下： 如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 【解析】 【分析】（1）易证平面ABC，平面ABC，再利用面面平行的判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门市同安实验中学2024~2025学年第二学期高一年级期中考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 复数z = 的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，，点是的中点.设，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图， ， ，则平面图形中对角线的长度为（   ） A. B. C. D. 4. 已知，，为三个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知圆锥的侧面展开图为一个半径是2的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个“阳马”，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，则这个“阳马”的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知轴截面为正方形的圆柱，为下底面直径，是弧的中点，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 平面向量，满足，且，则与夹角的正弦值的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，向量，如图所示，则（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量的模为1 D. 存在实数，使得与共线 10. 下列说法正确的是（    ） A. ， B. C. 若 ， ，则 的最小值为2 D. 设 （i为虚数单位）是关于x的方程 的根，则． 11. 如图，圆台中，母线与下底面所成的角为，为上底面直径， ，则（ ） A. 圆台的母线长为 B. 圆台的侧面积为 C. 由点出发沿侧面到达的最短距离是 D. 在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体的棱长最大值是 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知向量与共线，则实数______. 13. 如图，要计算西湖岸边两景点与的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取和两点，现测得，则两景点与的距离为__________． 14. 在棱长为 的正方体中，为的中点，为正方体内部及其表面上的一动点，且，则满足条件的所有点构成的平面图形是________（四边形、五边形、六边形），其面积为__________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15. 如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 16. 如图，在中，，，，点为线段上任意一点. （1）求； （2）求的最小值. 17. 在中，的对边分别为，已知向量，，且. （1）求的大小； （2）若点D为边AB上一点，且满足，求的面积. 18. 在三棱柱中，四边形是菱形，，是的中点，平面平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正切值． 19. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $