8.2 多边形的内角和与外角和（第2课时：多边形的外角和） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册

**基本信息** 本同步练习通过A、B、C三层设计，以多边形外角和为核心，从基础概念应用到综合探究，梯度进阶巩固知识，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|正多边形外角计算、内角与外角关系、简单应用|结合生活情境（如颐和园窗型），通过选择、填空巩固外角和定理| |B能力提升|图形综合（正多边形组合）、外角性质拓展应用|以正六边形与正方形组合、五边形平行线夹角等题，发展空间观念| |C综合与实践|内外角平分线综合、跨情境探究|通过四边形外角与内角关系证明、折叠问题，培养推理与模型意识|

8.2 多边形的内角和与外角和（第2课时：多边形的外角和） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用外角和除以外角个数即可求解． 【详解】解：∵该窗型轮廓是一个正五边形， ∴它的外角和为，且每个外角相等， ． 2．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查多边形外角和和对角线数量公式．先利用正多边形外角和为360°求出边数，再根据n边形从一个顶点出发的对角线数量公式计算结果． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，且每个外角是， ∴该正多边形的边数， ∵从边形的一个顶点出发的对角线数量为， ∴从正六边形一个顶点出发的对角线数量为． 故选：A 3．图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，． 4．若一个正n边形的一个内角的度数是其一个外角度数的倍，则n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】利用正多边形的内角及外角定理求解． 【详解】解：设这个正n边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数是， ， ，即这个正n边形的一个外角为， 正n边形的外角和为，且每个外角相等， n的值为． 5．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】设边数为，利用多边形外角和为定值，以及边形内角和公式，列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． ． 解得 ． ∴这个多边形是十边形． 6．以下说法中，正确的是（    ） A．六边形的内角和是 B．七边形有10条对角线 C．外角和是的多边形是八边形 D．十边形的外角和等于五边形的外角和 【答案】D 【分析】本题考查多边形的基础性质，需运用多边形内角和公式、对角线条数公式、外角和性质逐一判断选项． 【详解】解：选项A、六边形的内角和是，故A错误； 选项B、七边形的对角线条数为，故B错误； 选项C、任意多边形的外角和都是，并非只有八边形外角和为，故C错误； 选项D、十边形外角和为，五边形外角和也为，二者相等，故D正确． 二、填空题 7．某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 【答案】 8 45 【分析】设该正多边形的边数为，根据多边形内角和公式与外角和定理列出关于的一元一次方程，解方程求出边数，再根据正多边形的外角和定理计算每个外角的度数． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 所以该正多边形的边数为， 因为正多边形的每个外角相等，且外角和为， 所以每个外角的度数为． 8．如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：如图． 由题意得， ， ． 三、解答题 9．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为________． (2)小明走出的这n边形的周长为________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 【答案】(1)15 (2)45 (3)8 【分析】本题考查多边形外角和为、正多边形内角和公式；易错点：注意区分外角和（固定）与内角和（随边数变化）． （1）小明每次右转的角度是正 n 边形的外角，任意多边形的外角和为． （2）该正 15 边形的每条边长均为 3 米，周长 = 边长 × 边数． （3）任意多边形外角和恒为；正 m 边形内角和公式：． 【详解】（1）解：； （2）解：周长 (米) （3）解：根据题意，得， 解得， 故这个正m边形的边数为8． 10．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． 若多边形为四边形ABCD． （1）如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； （2）如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由，可推出，由角平分线的性质可得，再由求解即可； （2）连接，由可得，进而可得，，求解即可； 【详解】（1）∵， ∴在四边形ABCD中，， ， ∵多边形的外角和的平分线分别为BM，DN， ∴， ； （2）当时，， 证明：如图，连接， ∵， ， ， 即， ， ， ∴； 【B能力提升】 1．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和外角性质，先求出的度数，即可得出的值，熟练掌握正多边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 则，， ∴， ∵是某正多边形的一个外角， ∴， 故选：D． 2．如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则_____. 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故答案是：． 3．如图，有四条直线两两相交，则的值是________ 【答案】540 【分析】本题考查了三角形的外角和、对顶角相等、利用邻补角互补求角度，由图形可得，，再结合，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案是：540． 4．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和； （2）延长交于点F，再在五边形中计算即可． 【详解】（1）解：∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和， ∴跑步方向改变的角度的和是度； （2）解：如图，延长交于点F，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵在五边形中， ∴． 5．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【详解】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 6．【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题． 如图9.1．9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1．10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明． 【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______． 【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°． 【答案】（教材呈现），证明见解析；（拓展延伸）；（应用提升） 【分析】本题考查三角形与四边形的内角和，三角形的外角，角平分线的定义． （教材呈现）根据三角形的内角和定理与邻补角互补即可解答； （拓展延伸）根据四边形的内角和定理与邻补角互补即可解答； （应用提升）由（教材呈现）可知，由角平分线的定义可得，，又由（拓展延伸）可知，从而，化简即可解答． 【详解】解：（教材呈现） ， 证明：∵，， ∴； （拓展延伸） ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （应用提升） 由（教材呈现）可知 ∵平分，平分 ∴，， 由（拓展延伸）可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【C综合与实践】 1．【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）在中， ，结合角平分线的含义可得，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （2）在中，，求解，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； （3）求解，再进一步利用内角和定理可得答案； （4）证明，可得； （5）延长，交于点，由（4）可得：，证明，，结合外角的性质可得，，可得，进一步求解即可； （6）求解，，可得，由（2）得：． 【详解】解：（1）在中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （2）猜想：，理由如下： 在中，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； （3）∵与分别是的两个外角，且， ∴， ∴； （4），理由如下： ∵与分别是的两个外角， ∴， ∴； （5）延长，交于点， ∵，， 由（4）可得：， ∵为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴； （6）∵，结合折叠， ∴，， ∴， ∵平分，平分， 由（2）得：． 2．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）由四边形内角和得到，然后结合平角的定义即可证明； （2）由角平分线得到，，由得到，然后结合四边形内角和求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）如图所示，过点C作，同（2）得到，然后结合平行线的性质等量代换得到，进而求解即可． 【详解】（1）∵在四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （3）如图所示， ∵四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵优角， ∴优角， ∵优角， ∴， ∴整理得，； （4）如图所示，过点C作， ∵，分别平分四边形的外角和， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了多边形内角和和外角和，角平分线的定义，平行线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 多边形的内角和与外角和（第2课时：多边形的外角和） 同步练习题 2025-2026学年华东师大版数学七年级下册 【A基础达标】 一、单选题 1．中国古典园林里面的窗型，形制丰富，如图是颐和园小长廊五角夹堂窗，其轮廓是一个正五边形，如图是它的示意图，它的一个外角的度数为（　　） A． B． C． D． 2．若一个正多边形的每个外角是60°，则从它的一个顶点出发的对角线有（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．图1是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图2是从左图冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．若一个正n边形的一个内角的度数是其一个外角度数的倍，则n的值为（   ） A．8 B．9 C．10 D．12 5．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（    ） A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形 6．以下说法中，正确的是（    ） A．六边形的内角和是 B．七边形有10条对角线 C．外角和是的多边形是八边形 D．十边形的外角和等于五边形的外角和 二、填空题 7．某2026年亚运场馆的外观采用了正多边形设计，经计算，其内角和比外角和大，则该正多边形的边数为_________，它的每个外角的度数为_________°． 8．如图，将2个正六边形螺母放在地面l上，则的度数为________． 三、解答题 9．如图，小明从点O出发，前进3米后到达点A（米），向右转，再前进3米后到达点B（米），又向右转，……这样小明一直右转了n次刚好回到出发点O处． 根据以上信息，解答下列问题： (1)n的值为________． (2)小明走出的这n边形的周长为________米． (3)若一个正m边形的内角和比外角和多，求这个正m边形的边数． 10．已知：多边形的外角和的平分线分别为BM，DN． 若多边形为四边形ABCD． （1）如图①，，BM与DN交于点P，求的度数； （2）如图②，猜测当和满足什么数量关系时，，并证明你的猜想． 【B能力提升】 1．如图，正六边形与正方形有两个顶点重合，且中心都是点O．若是某正多边形的一个外角，则的值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则_____. 3．如图，有四条直线两两相交，则的值是________. 4．如图1．嘉琪沿一个五边形广场周围的小路按逆时针方向跑步，她每从一条小路转到下一条小路时，跑步的方向改变一定的角度． (1)嘉琪跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是_________度； (2)如图2，珍珍参加活动，从点起跑绕湖周围的小路跑至终点．若，且，求行程中珍珍身体转过的角度的和（即的值）． 5．（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 6．【教材呈现】根据如图所示的华师版七年级下册教材第77页部分内容，解答下列问题． 如图9.1．9，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角． 三角形的外角与内角有什么关系呢？在图9.1．10中，显然有（外角）（相邻的内角） 那么外角与其他两个不相邻的内角又有什么关系呢？ 如图1，请写出与、之间的数量关系，并给出证明． 【拓展延伸】七年级某数学兴趣小组学习了关于三角形外角的性质后，提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的三个内角之间具有怎样的数量关系？如图2，已知是四边形的一个外角，直接写出与的数量关系为：______． 【应用提升】如图3，为四边形的一个外角，平分交的角平分线于点F，若，则______°． 【C综合与实践】 1．【问题探究一】 （1）已知：如图1，在中，，，分别平分和，的度数是_____． （2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？ 结合图1猜想：与的数量关系是______． 【问题探究二】 （3）已知：如图2，与分别是的两个外角，且，则______． （4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？ 结合图2猜想：与的数量关系是______． 【拓展与应用】 （5）如图3，四边形中，为四边形的的平分线及外角的平分线所在的直线构成的锐角，若设，，则_____．（用含，的式子表示） （6）如图4，平分，平分，把折叠，使点与点重合，若，则_____． 2．某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后，受到“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”的启发，探究出了“多边形的两个外角的和等于与它不相邻的内角之和”．下面请同学们完成这个结论的证明并运用这个结论解题． 已知：在四边形中，和是该四边形的两个外角，且，． 【结论证明】（1）如图1，证明：； 【结论应用】（2）如图2，若，分别平分四边形的外角和，与相交于点G，应用（1）的结论探究，α，β三者之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当四边形的外角和角平分线的反向延长线相交于点G时，试探究，α，β之间的数量关系是________． （4）如图4，当时，试判断α，β之间的数量关系是________． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $