精品解析：陕西榆林市神木市第四中学2025-2026学年高三下学期适应性演练数学试卷

高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 4. 设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 5. 已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量在向量方向的投影向量为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某短视频平台视频投放数量（单位：条）与用户总点赞数（单位：万次）之间的关系，运营部收集了12个月的数据，计算得出线性回归方程为．已知月平均投放数量，月平均点赞数，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投放数量为30条时，当月点赞数一定为170万次 10. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 曲线与曲线有且仅有个交点 11. 已知在矩形中，，将沿折叠至，设球为三棱锥的外接球，则（ ） A. 若平面平面，则三棱锥的体积为 B. 球的半径为1 C. 若与所成的角的正切值为，则二面角的大小为 D. 直线被球所截得的线段长度的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线互相垂直，则______． 13. 已知，则的最小值为__________． 14. 已知的面积为1，、分别为边、的中点，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在四棱台中，四边形是正方形，平面，，设，平面． （1）求； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 16. 一个暗箱中装有6个大小、形状相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中无放回地依次取出3个球． （1）求黄球全部被取出的概率； （2）取出的球中黄球的个数记为，求的分布列及数学期望． 17. 设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． （1）求抛物线的标准方程； （2）斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知，若对任意，存在两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 19. 已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． （1）求； （2）若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； （3）设集合中任选一个元素，求满足的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解集合的具体范围，再利用集合交集的定义得出结果. 【详解】集合， 由，解得，故； 因此. 2. 已知函数的最小正周期为，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】函数的最小正周期为，，， ，令，解得， 令，得，故的一个对称中心的坐标可以是. 3. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，表示出和，根据复数的求模公式，得到方程，解方程求出即可. 【详解】设，则，， ，， 因为，所以， 所以，整理得，解得. 所以复数的虚部为. 4. 设等差数列的前项和为，公差为（），若为，的等比中项，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项可得，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为为，的等比中项，则， 可得，整理可得， 且，可得，所以. 5. 已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，逐步将自变量转化到已知解析式的区间上，再代入相应的解析式进行计算. 【详解】当时，， 则 当时，，则 当时，，所以，即 6. 已知向量在向量方向的投影向量为，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题目可知，即， 因为，， 所以，解得. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件结合关系及利用两角和正弦公式化简可求，再根据二倍角正切公式及齐次化方法求结论. 【详解】， 又 ， ，即， 当 时， ，矛盾， ，， . 8. 已知椭圆的右焦点为，左顶点为，点在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点的坐标，代入椭圆方程，化简求值. 【详解】过点作于点，因为，所以为的中点， 由题可知，所以 ， 又，所以 ，， 所以，， 设，则， 所以， 因为点在椭圆上，所以， 用替换，化简得：， 即，因为， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 为了研究某短视频平台视频投放数量（单位：条）与用户总点赞数（单位：万次）之间的关系，运营部收集了12个月的数据，计算得出线性回归方程为．已知月平均投放数量，月平均点赞数，则（ ） A. 线性回归方程过点 B. C. 与呈正相关 D. 当投放数量为30条时，当月点赞数一定为170万次 【答案】ABC 【解析】 【详解】由回归直线的性质可知A正确， 把点代入到，得，故B正确， ，与呈正相关，故C正确， 当投放数量为30条时，，当月点赞数估计为170万次，故D错误. 10. 设函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是增函数 C. D. 曲线与曲线有且仅有个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】先确定函数的定义域，再用函数的奇偶性的定义可得A对错；由函数的性质可判断B，根据函数的奇偶性及单调性可判断C；对D构造函数，用导数判断函数的零点可得. 【详解】由函数的定义域：由，，得， 即函数的定义域为. 对于A：，满足奇函数定义，A正确； 对于B ：化简，因为函数在上单调递增， 函数在上单调递减，由函数的性质得函数在单调递增，故B正确； 对于C，由奇函数性质，， 所以不等式可化为：  ， ，，所以, 又因为在上单调递增，得，故原不等式错误，故C错误； 对于D，设，因为均为奇函数， 所以是奇函数，只需分析： 当时，，即是一个交点； 当时，求导得， 因为，所以，，所以， 所以在上单调递减，，因此在无零点； 因为是奇函数，所以在无零点， 因此函数在有且仅有零点，故D正确. 11. 已知在矩形中，，将沿折叠至，设球为三棱锥的外接球，则（ ） A. 若平面平面，则三棱锥的体积为 B. 球的半径为1 C. 若与所成的角的正切值为，则二面角的大小为 D. 直线被球所截得的线段长度的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，根据面面垂直的性质求出三棱锥的高，进而求出体积；对于选项B，利用矩形的性质确定外接球的半径；对于选项C，通过线面角找到二面角的平面角利用余弦定理计算；对于选项D，根据球的性质求出直线被球所截得的线段长度的取值范围. 【详解】选项A，在矩形中，，， 则 . 作垂直于点垂直于点， 在中，， 同时 ，可得. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为， 所以三棱锥的体积，故A错误； 选项B，在矩形中，为对角线，的中点到 的距离均为 . 折叠后，是直角三角形，的中点到的距离也为 ， 所以的中点就是三棱锥的外接球的球心，球的半径，故B正确； 选项C，因为，所以，则， 取 ，且 ，连接， 则 与所成的角即为 ， 即为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以，故C正确. 选项D，、均在球上，故直线被球截得的线段即为本身， 当在点时，，当在点时， . 因为不能落在平面上，所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的渐近线互相垂直，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据双曲线方程求出渐近线方程，再利用渐近线互相垂直这一条件建立关于的方程. 【详解】因为双曲线方程为 ， 所以且，即，（无解）， 所以渐近线方程为 ，又因为两条渐近线互相垂直， 所以  ，化简得 ，即， 解得. 13. 已知，则的最小值为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】对进行变形，然后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】因为，则，. 所以 . 当且仅当时，即等号成立. 因此，的最小值为9. 14. 已知的面积为1，、分别为边、的中点，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由，通过平方得到 ，同理得到，再通过余弦定理和面积公式求得，再由同角三角函数平方关系、基本不等式即可求解. 【详解】设中，，，，面积，  分别是中点， 由，平方可得： 即， 同理， 由条件，得， 代入整理得： ， 对用余弦定理：，代入， 整理得： ​， 由面积得：， 由 ，代入得：  ， 整理得：， 由基本不等式： ，当且仅当​即​时取等号， 因此​，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在四棱台中，四边形是正方形，平面，，设，平面． （1）求； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明四点共面，再证明四边形是平行四边形，从而确定实数的值； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 连接， ，四点共面， 平面，平面，平面平面， ，又 ， 故四边形是平行四边形， ，. 【小问2详解】 以A为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，，故， , 故直线与平面所成的角的正弦值为. 16. 一个暗箱中装有6个大小、形状相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，从中无放回地依次取出3个球． （1）求黄球全部被取出的概率； （2）取出的球中黄球的个数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2） 0 1 2 ​ 数学期望：  【解析】 【分析】（1）先算出从6个球取3个球的总取法，再算黄球全取出的取法，得黄球全取出概率. （2）确定取值，分别求取不同值时的概率，列出分布列，根据分布列用公式求数学期望. 【小问1详解】 从6个球中无放回取出3个球，总的取法为组合数： ，  若黄球全部取出（即2个黄球都被取出），还需从剩余4个非黄球中取1个， 符合条件的取法为：  ， 因此黄球全部被取出的概率：， 【小问2详解】 由题意可知，表示取出黄球的个数，的所有可能取值为，则 ， ， ， 因此的分布列为： 0 1 2 ​ 数学期望： . 17. 设抛物线的焦点为，为坐标原点，点是抛物线上位于第一象限的一个动点，当时，的面积为． （1）求抛物线的标准方程； （2）斜率为负的直线交直线于点，判断是否存在点，使得平分，若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在： 【解析】 【分析】（1）设，根据抛物线的定义，结合已知条件确定，再利用三角形面积确定关于的方程，解出即可； （2）设，利用点斜式设出直线方程，确定，根据，结合，求解方程即可. 【小问1详解】 因为抛物线，所以， 设，由抛物线的定义可知， 已知，，则，解得， 将代入抛物线方程，得，因为，所以， 所以，已知的面积为，因为， 又因为，解得，所以抛物线方程为：. 【小问2详解】 设，，，设直线斜率为， 又因为直线过点，所以直线方程为：， 因为为直线交直线的交点， 令，则，所以， 因为平分，所以有：， ，，，代入上式有：， 因为在抛物线上，所以，又因为， 将，代入，有：， 整理有：，解得：. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知，若对任意，存在两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，对函数求导，利用导数的几何意义，求切线斜率，点斜式求方程即可； （2）（i）对函数求导，结合已知条件确定有两个不同实根，构造函数利用导数判断函数单调性求得最值由此确定的取值范围；（ii）令，，将证明转化为证明，构造函数，利用导数求函数的最值即可求解. 【小问1详解】 当时，有，， 切线斜率，又因为，所以切点为， 切线方程为，整理得：. 【小问2详解】 （i）因为 ，所以 ， 根据已知存在两个极值点， 则有有两个不同的根，即有两个不同实根， 令，则，令，解得， 当时， ，单调递增； 当时， ，单调递减， 所以在处取得最大值， 当时，；当时，， 要使有两个不同实根，则， 令，则， 当时，，单调递减； 当时， ，单调递增， 所以， 又因为对任意的恒成立，所以. （ii）由（i）知，，是的两个根， 即，， 两式相除可得：，即， 令，， 则要证：，即证， 令，因为，且，即， 所以 ，所以， 所以要证，即证：，， 令，，则 ， 令 ，，则 ， 所以即在上单调递减，所以， 所以时，，单调递增，有， 即 ，所以成立， 所以得证. 19. 已知数列，…，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推．设的前项和为． （1）求； （2）若存在正整数使得且能被3整除，求的最小值； （3）设集合中任选一个元素，求满足的概率． 【答案】（1） （2）24 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用等差数列的求和公式确定所在的组，再计算即可得出结果； （2）利用错位相减法求得，确定 的大致范围，结合“被3整除”的条件筛选计算求出对应的最小值； （3）依题意有，化简可得 ，分类依次计算即可得出结果. 【小问1详解】 将数列进行分组，第组有个，则前组有个数， 由于，所以前11组有66个数， 恰好就是第11组的最后一个数，即 ； 【小问2详解】 设前组数之和为， 则， ， 两式相减得： ， 所以； 前6组数之和 ，共有21个数，第7组为7个， 所以使得 的最小正整数为23； 假设存在 使得能被3整除，则 ， 因为321能被3整除，所以 也能被3整除，而64不能被3整除， 所以 能被3整除，所以最小为24； 【小问3详解】 设前组与第组的前个数之和为，其中 ， 依题意，有， 即 ，等价于 ，即 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则 ， 取，则， 所以满足条件的的取值个数为 ， 所以满足的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $