第八章 立体几何中的点面距、线面距、面面距 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学讲义通过表格系统梳理立体几何中点面距、线面距、面面距的题型分类，以“方法提炼”为核心构建知识框架，清晰呈现直接法、转化法、等体积法等解题思路，突出三种距离间的转化关系与内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计与转化思想渗透，如点面距中通过三棱锥等体积法求高，线面距转化为点面距求解，培养空间观念与推理能力。基础题巩固方法，综合题（如圆柱、球相关距离问题）提升建模能力，助力学生自主复习，教师可据此实施精准教学。

第八章 立体几何中的点面距、线面距、面面距 目录 题型1：点面距 2 题型2：线面距 8 题型3：面面距 13 题型1：点面距 方法提炼 求点面距的常用方法： (1) 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． (2) 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． (3) 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 【例1.1.】 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求点面距离 【分析】运用等体积法变换三棱锥的顶点和底面解决问题。 【详解】因为四边形是边长为2的正方形，且， 所以，， 设点A到平面的距离为， 因为，所以， 所以，所以点A到平面的距离为。 故答案为：. 【例1.2.】 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【分析】取的中点，过点作直线的垂线，垂足为，证明平面，求出即可． 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面， 在中，由余弦定理得， 所以， 过点作直线的垂线，垂足为，则， 又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 【例1.3.】 如图，在长方体中，是棱的中点，，求M到平面距离. 【详解】设点到平面的距离为， ，， 则， 则， 则， 由，故，解出， 则点到平面的距离为，又为的中点， 则点到平面的距离为点到平面的距离的一半， 所以点到平面的距离为. 【例1.4.】 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求点面距离 【分析】取的中点，分析出球心O是的中点，且，求出，利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，进而得到平面，即可求出点到底面的距离. 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 【例1.5.】 在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类、求点面距离、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据已知将棱锥补全为长方体，分析得到该长方体的外接球即为棱锥的外接球，结合长方体与其外接球的特征及等面积法求点面距离. 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 【例1.6.】 如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】空间垂直的转化、锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】过点E作AD的垂线， 垂足为F，求证平面，接着过点F作BC的垂线，垂足为G，连接EG，求证， 设，，结合 求出点A到平面的距离即可分析求解. 【详解】如图，过点E作AD的垂线， 垂足为F，连接AE， 由题意知平面平面，平面，故平面， 过点F作BC的垂线，垂足为G，则，连接EG， 又，平面， 所以平面，所以由得平面， 又平面，所以即， 连接 OE， 设，其中，则由题， 又平面，平面，所以， 所以， 连接 AO，设点A到平面的距离为d， 则由 得即， 所以，所以， 显然当即时点A到平面的距离d取得最大值为. 【例1.7.】 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.38 【知识点】判断线面是否垂直、求点面距离、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 题型2：线面距 方法提炼 要区分直线与平面的位置关系，当直线与平面相交或在平面内时，距离为0；只有当直线与平面平行时，线面距才有意义.因为直线平行于平面，其上所有点到平面的距离相等,因此线面距可以转化为点面距求解. 【例2.1.】 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点面距离、证明线面平行、求直线与平面的距离、证明线面垂直 【分析】先证明线面平行，得到直线到平面的距离等于点到平面的距离，证明线面垂直，得到即为点到平面的距离，求出答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面， 直线到平面的距离等于点到平面的距离， 连接，与相交于点，则⊥， 又⊥平面，平面， 所以⊥， 又，平面， 所以⊥平面， 故即为点到平面的距离， 因为正方体的棱长为2， 所以， 故直线到平面的距离. 故答案为： 【例2.2.】 如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    【答案】 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、求直线与平面的距离、求点面距离 【分析】先把到平面的距离转化为点到平面的距离,再利用等体积法求解即可. 【详解】因为平面，不在平面内，所以平面， 则到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，， 平面,，四边形为菱形， 所以，解得， 即到平面的距离为. 【例2.3.】 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求直线与平面的距离、证明线面平行 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 【例2.4.】 如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，．求BC到平面的距离. 【详解】过作，垂足为，过作，垂足为，连、、， 则，， 设BC到平面的距离为，由平面，得 ， 在中，，则，在中， ， 在中，，则，所以. 题型3：面面距 方法提炼 面面距仅在两平面平行时有定义（否则相交，距离为0）.其求解的核心思路是转化为点到平面的距离. 【例3.1.】 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】求面面距离、证明面面平行 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    【例3.2.】 如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、求面面距离、证明线面垂直 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【例3.3.】 鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据体积计算几何体的量、求面面距离 【分析】该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，由等体积转化得出截去的三棱锥的高，由体对角线减去该高，计算即可. 【详解】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，如图所示，由题意可知：，所以. 故该正方体的棱长为，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为， 则该小三棱锥几何体的体积为，    所以该三棱锥的顶点D到面ABC的距离. 易知鲁班锁两个相对的三角形面平行，且正方体的体对角线MD垂直于该两面，故该两面的距离. 故选：C 【例3.4.】 已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】求面面距离、球的截面的性质及计算 【分析】根据给定条件，利用球的截面性质求出球心到截面距离即可得结果. 【详解】依题意，截面圆面积为的圆半径为5，此截面过球心， 截面圆面积为的圆半径为3，球心到此截面距离， 所以这两个平行平面之间的距离即为球心到半径为3的截面圆所在平面距离4. 故答案为：4 【例3.5.】 如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、求面面距离、证明线面垂直 【分析】作于点，作于点，取的中点，连接，，作于点，利用边角关系以及线面位置关系结合余弦定理求出的值，证明面，即可得点到面的距离，从而得平面到平面的距离，进而可得的值. 【详解】 如图：作于点，作于点， 因为，则， ， 又因为，所以为等边三角形，则， 取的中点，连接，，则，， ， 因为，所以面， 则， ， 由余弦定理可得：， 所以， 作于点，因为面，面， 所以，因为，所以面， 所以点到面的距离为， 故平面到平面的距离为， 由题意可知：所盛水的体积为平行六面体容器的一半， 所以， 故选：B. 【例3.6.】 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】组合体截面的形状、求面面距离 【分析】分别取的中点，作出截面，结合几何体的性质，确定梯形的高即为平面与平面之间的距离，由此即可求得答案. 【详解】分别取的中点，连接，    根据半正多面体的性质可知，四边形为等腰梯形； 根据题意可知， 而平面， 故平面，又平面， 故平面平面，则平面平面， 作，垂足为S，平面平面， 平面，故平面， 则梯形的高即为平面与平面之间的距离； ， 故， 即平面与平面之间的距离为， 故选：B ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何中的点面距、线面距、面面距 目录 题型1：点面距 2 题型2：线面距 3 题型3：面面距 4 题型1：点面距 方法提炼 求点面距的常用方法： (1) 直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解． (2) 如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离． (3) 等体积法：将点面距转化成求几何体的高 【例1.1.】 如图，，是圆柱上、下底面圆的直径，四边形是边长为2的正方形，是底面圆周上的一点，．则点A到平面的距离为________． 【例1.2.】 在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【例1.3.】 如图，在长方体中，是棱的中点，，求M到平面距离. 【例1.4.】 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 如图，圆柱（，O分别为上、下底面的圆心）的轴截面是边长为2的正方形，E是下底面圆周上不同于A，D的动点，则点A到平面的最大距离是（   ） A． B． C． D． 【例1.7.】 如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 题型2：线面距 方法提炼 要区分直线与平面的位置关系，当直线与平面相交或在平面内时，距离为0；只有当直线与平面平行时，线面距才有意义.因为直线平行于平面，其上所有点到平面的距离相等,因此线面距可以转化为点面距求解. 【例2.1.】 在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为____________. 【例2.2.】 如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    【例2.3.】 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【例2.4.】 如图，已知直角三角形ABC的斜边平面，A在平面上，AB，AC分别与平面成和的角，．求BC到平面的距离. 题型3：面面距 方法提炼 面面距仅在两平面平行时有定义（否则相交，距离为0）.其求解的核心思路是转化为点到平面的距离. 【例3.1.】 如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【例3.2.】 如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【例3.3.】 鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的两个相对三角形面间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【例3.4.】 已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 【例3.5.】 如图（1）平行六面体容器盛有高度为的水，，.固定容器底面一边于地面上，将容器倾斜到图（2）时，水面恰好过，，，四点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 半正多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，如图所示的多面体就是一个半正多面体，其中四边形和四边形均为正方形，其余八个面为等边三角形，已知该多面体的所有棱长均为2，则平面与平面之间的距离为（   ）    A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $