8.6.3平面与平面垂直（教学设计）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦平面与平面垂直核心内容，涵盖二面角及平面角定义、面面垂直的判定与性质定理。通过生活实例（门与地面、翻开的书本等）导入，结合线线、线面垂直旧知构建学习支架，引导学生从直观感知过渡到抽象概念。 此资料以核心素养为导向，借助长方体模型、立体几何动画演示二面角平面角，通过小组合作折叠纸片探究判定定理，落实直观想象与逻辑推理。采用讲练结合与分层练习，强化线线-线面-面面垂直转化思想，帮助学生规范证明步骤，提升空间想象与推理能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富资源支持。

8.6.3平面与平面垂直（教学设计）高一数学人教A版必修第二册 一、课标分析 新课标要求立体几何教学聚焦直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。本课需引导学生理解二面角、面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定与性质定理；能运用定理进行简单证明与角度计算，体会“线线—线面—面面”的转化思想。通过实例感知空间位置关系，提升空间想象能力与逻辑推理能力，能将现实空间问题抽象为几何模型，培养用数学语言表达、论证的能力，落实数学核心素养。 二、学情分析 高一学生已掌握线线、线面垂直的相关知识，具备基础空间想象与逻辑推理能力，但对二面角、面面垂直等抽象概念理解不足，空间模型建构能力较弱。学生熟悉生活中的面面垂直实例，对直观图形接受度高，但难以将直观感知转化为严谨的数学定义与证明，对“线面垂直→面面垂直”“面面垂直→线面垂直”的转化逻辑理解不透彻，需借助实例、模型、分层探究引导突破难点。 三、教学目标 （一）数学抽象 理解二面角、二面角平面角及面面垂直的定义，能准确用文字、图形、符号语言表述相关概念与定理。 （二）直观想象 通过生活实例、几何模型感知面面垂直的特征，能作出简单二面角的平面角，提升空间图形观察与想象能力。 （三）逻辑推理 掌握面面垂直的判定定理与性质定理，能规范完成面面垂直的证明、线面垂直推导，体会空间垂直关系的转化思想。 （四）数学运算 会用“一作二证三求”法计算简单二面角的大小，能结合几何性质进行相关角度运算。 （五）数学建模 能将生活中的面面垂直实例抽象为几何模型，运用定理解决简单实际问题，培养数学建模意识。 四、教学重难点 教学重点 二面角及平面角的概念；平面与平面垂直的定义、判定定理与性质定理；运用判定定理证明面面垂直，运用性质定理推导线面垂直。 教学难点 二面角平面角的作法与证明；面面垂直判定定理与性质定理的灵活运用；空间垂直关系（线线、线面、面面）的转化逻辑；复杂几何图形中面面垂直相关证明与计算。 五、教学方法 采用直观演示法、启发探究法、小组合作法、讲练结合法。以生活实例导入，借助模型、图形直观感知；通过问题链引导分层探究概念与定理；小组合作突破难点；讲练结合巩固知识，落实转化思想。 六、教学资源准备 1.教具：长方体模型、正方体模型、可折叠书本、墙面与地面实物参考、二面角演示模型； 2.多媒体：课件（含生活实例图、几何图形、定理推导、例题、练习）、立体几何动画演示视频； 3.文本：教材原文、定理推导提纲、例题解题步骤、分层练习题。 七、课时安排 1课时 八、教学过程 （一）新课导入 教师活动 1.展示生活实例图片：门与地面、翻开的书本、屋顶坡面、墙面与地面； 2.提问引导：这些实例中两个平面的位置关系有何特点？相交平面的“张开程度”如何描述？门为何始终与地面垂直？ 3.引出课题：今天学习平面与平面垂直，先认识刻画相交平面张开程度的二面角，再探究面面垂直的判定与性质。 学生活动 1.观察实例，感知两个平面相交且呈“垂直”的直观特征； 2.思考问题，尝试用语言描述平面张开程度，带着疑问进入新课。 （二）新知学习 1. 二面角及平面角 教师活动 1.类比引入：回顾线线角、线面角定义，引导学生类比思考：两个相交平面的角如何定义？ 2.讲授二面角定义：从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫二面角，直线为棱，半平面为面；示范表示方法：α-l-β、P-AB-Q； 3.提问：如何度量二面角大小？展示开门动画，引导学生感知“平面角”； 4.讲授二面角平面角定义：棱上任取一点O，两平面内作棱的垂线OA、OB，∠AOB为平面角；强调要点：顶点在棱上、两边在面内、两边垂直棱；范围[0°,180°]； 5.演示平面角作法：定义法、垂线法、垂面法，结合图形讲解步骤。 学生活动 1.类比旧知，理解二面角定义，规范书写表示方法； 2.跟随动画感知平面角意义，牢记平面角三要点与范围； 3.观察演示，初步掌握三种平面角作法，尝试复述步骤。 2. 平面与平面垂直的定义 教师活动 1.提问：当二面角平面角为90°时，两个平面是什么关系？ 2.讲授定义：两平面相交，所成二面角为直二面角（90°），则两平面垂直，记作α⊥β； 3.结合实例：墙面⊥地面、书本相邻页面垂直，强化直观认知。 学生活动 1.思考得出：平面角为90°时两平面垂直； 2.理解面面垂直定义，结合实例巩固概念。 3. 平面与平面垂直的判定定理 教师活动 1.情境探究：展示砌墙实例，提问：铅锤线紧贴墙面时，墙面为何垂直地面？引导转化为几何问题：若直线a⊥平面β，a⊂平面α，α与β垂直吗？ 2.小组合作：发放长方形纸片，折叠后探究：一个平面过另一个平面的垂线，两平面位置关系； 3.总结定理：文字语言——一个平面过另一个平面的垂线，则两平面垂直；符号语言——a⊂α，a⊥β ⇒ α⊥β；图形语言——示范画图； 4.强调关键：线面垂直是核心，直线需在一个平面内、垂直另一个平面。 学生活动 1.结合砌墙实例思考，初步感知判定逻辑； 2.动手折叠纸片，小组讨论得出结论； 3.牢记定理三种语言表述，明确关键条件。 4. 平面与平面垂直的性质定理 教师活动 1.逆向探究：若α⊥β，α∩β=l，直线a⊂α，a⊥l，a与β是什么关系？ 2.动画演示：展示面面垂直时，面内垂直交线的直线与另一平面的位置关系； 3.总结定理：文字语言——两平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面；符号语言——α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l ⇒ a⊥β；图形语言——示范画图； 4.强调易错点：四个条件缺一不可，直线必须在平面内、垂直交线。 学生活动 1.逆向思考，结合动画直观感知性质； 2.牢记定理表述，明确易错条件，区分判定与性质定理。 5. 典例精讲 教师活动 1.例1（求二面角）：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求截面A₁BD与底面ABCD所成锐二面角正切值；示范“一作二证三求”步骤：找棱BD、作垂线AO⊥BD、A₁O⊥BD、∠A₁OA为平面角、计算； 2.例2（证明面面垂直）：AB为⊙O直径，PA⊥平面ABC，C在圆周上，证平面PAC⊥平面PBC；分步引导：证BC⊥AC、BC⊥PA、BC⊥平面PAC、平面PAC⊥平面PBC； 3.例3（性质应用）：正三棱柱ABC-A′B′C′，D为AC中点，证平面BDC′⊥平面ACC′A′；引导用正三角形性质、线面垂直判定、面面垂直判定证明； 4.巡视指导：关注学生证明步骤规范性，及时纠错。 学生活动 1.跟随教师完成例题，掌握二面角计算步骤与面面垂直证明逻辑； 2.记录解题关键：辅助线作法、定理选用、步骤规范； 3.主动提问，解决疑惑。 6. 巩固练习 教师活动 1.基础题：判断正误、简单面面垂直证明； 2.提升题：正方体、三棱锥、四棱锥相关面面垂直证明与二面角计算； 3.指名板演，点评纠错，强调转化思想：线线垂直→线面垂直→面面垂直、面面垂直→线面垂直→线线垂直。 学生活动 1.独立完成练习，小组核对答案； 2.板演解题，倾听点评，修正错误； 3.体会空间垂直关系转化逻辑，规范书写。 （三）课堂小结 教师活动 1.梳理知识框架：二面角（定义、平面角、范围）→面面垂直（定义、判定定理、性质定理）； 2.总结核心：1个转化思想（线线、线面、面面垂直互化）、2个定理（判定、性质）、1种方法（二面角“一作二证三求”）； 3.强调易错点：平面角条件、定理适用条件、证明步骤规范。 学生活动 1.跟随教师梳理知识，构建体系； 2.回顾重点难点，牢记转化思想与解题方法； 3.总结学习收获，明确后续注意事项。 九、作业设计 1.基础作业：整理本节课定理（文字、图形、符号语言），完成教材课后基础习题，巩固概念与定理； 2.提升作业：完成正方体、三棱锥相关面面垂直证明题2道、简单二面角计算题1道，规范书写证明步骤； 3.拓展作业：观察生活中面面垂直实例，抽象为几何模型并简要说明，培养直观想象能力。 十、板书设计 8.6.3 平面与平面垂直 一、二面角 1.定义：棱+两个半平面 2.平面角：顶点在棱、两边在面、两边⊥棱；范围[0°,180°] 3.作法：定义法、垂线法、垂面法 二、面面垂直 1.定义：直二面角，记作α⊥β 2.判定定理：a⊂α，a⊥β ⇒ α⊥β（线面垂直→面面垂直） 3.性质定理：α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l ⇒ a⊥β（面面垂直→线面垂直） 三、核心思想 线线垂直 ⇄ 线面垂直 ⇄ 面面垂直 二面角求法：一作、二证、三求 十一、教学反思 本节课通过生活实例导入，贴合学生认知，有效激发兴趣；分层探究概念、定理，结合模型、动画、动手操作，突破抽象难点；典例精讲与练习巩固，落实逻辑推理与运算能力。但部分学生对二面角平面角的作法仍不熟练，空间想象能力不足；定理灵活运用能力较弱，证明步骤规范性有待提升。后续教学中，需增加更多模型观察、动手作图训练；设计梯度化练习，强化转化思想；加强步骤示范与纠错，提升学生逻辑表达与规范书写能力。 1 学科网（北京）股份有限公司 $