重难点 反比例函数与几何综合【8大题型】（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦反比例函数与几何综合8大题型，以题载法构建从基础计算到存在性探究的递进式方法体系，逻辑覆盖中考核心考法 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数综合|2题型+7变式|面积问题用坐标割补法，线段问题用对称转化|一次函数与反比例函数交点为起点，衔接面积、线段计算| |k的几何意义|2题型+6变式|单反函数用S=|k|/2，双函数用面积差|从单点坐标到双函数图像关联，深化k值几何本质| |存在性问题|2题型+9变式|特殊三角形用分类讨论，四边形用性质判定|以函数图像为载体，融合几何图形存在性的方程思想| |几何变换|1题型+2变式|对称、旋转结合图像性质|通过图形变换拓展函数图像应用场景| |点参法应用|1题型+4变式|参数表示坐标→线段→面积方程|提炼通用解题模型，强化代数表达几何关系的能力|

重难点 反比例函数与几何综合【8大题型】 目 录（按住CTRL并单击鼠标可直接跳转） 题型一、反比例函数与一次函数（三角形面积问题） 1 题型二、反比例函数与一次函数（线段问题） 9 题型三、k的几何意义（单反比例函数） 18 题型四、k的几何意义（双反比例函数） 23 题型五、反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 27 题型六、反比例函数与几何综合（四边形存在性问题） 32 题型七、反比例函数与几何变换 45 题型八、反比例函数中的点参法与面积 50 题型一、反比例函数与一次函数（三角形面积问题） 例1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合； （1）把代入得；设直线的解析式为把代入即可求解； （2）设，则，，推出，即可求解； （3）由题意得；，设点到直线的距离为h，根据，即可求解； 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 设直线的解析式为 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为： （2）解：∵点P在上，点Q在线段上，轴， ∴设，则， ∴， ∴ 即：， 解得：或（舍去） ∴； （3）解：∵ ∴； ∴， 设点P到直线的距离为 ∴， ∴； ∴点P到直线的距离为 【变式1-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N． (1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标； (2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集； (3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识； （1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标，点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标，点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解； （2）结合函数图象求解即可； （3）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ， 将代入得：， 解得：， ， 将代入得：， ． 把的坐标代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式是． （2）解：根据图象可得，当时，的解集为或． （3）解：由题意可得：， ∵的面积是四边形面积的倍， ， 即，解得：， ． 【变式1-2】（上海浦东新区·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【答案】(1)8 (2) (3)6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）点的坐标为，则，由即可建立函数解析式； （3）根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）解：如图，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 点的坐标为， ， ， （3）解：由题意得，， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了反比例函数与正比函数的综合： （1）把，代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入求出k，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，再设点C的坐标为．点D的坐标为，根据求解，即可． 【详解】（1）解：直线经过点， 把，代入，解得． 所以点A的坐标为． 把，代入，得∶ ，解得， ∴双曲线的表达式为； （2）解：点B在第一象限且到y轴距离为12， 点B的横坐标为12． 又点B在双曲线上， 点B的坐标为． 直线与直线交于点C，与双曲线交于点D， 可设点C的坐标为．点D的坐标为， ∵， ∴ 解得：（负舍）． ∵， 的值为4． 【变式1-4】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． (1)求k的值； (2)若，求点C坐标； (3)连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）首先求出，得到，然后得到点C的纵坐标为6，然后代入求解即可； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）∵ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∵轴 ∴点C的纵坐标为6 ∴将代入得， 解得 ∴； （3）如图，连接，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． 题型二、反比例函数与一次函数（线段问题） 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值，解题的关键是正确做出辅助线． 把点代入一次函数，即可得出，再把点坐标代入反比例函数，即可得出，两个函数解析式联立求得点坐标；作点作关于y轴的对称点，连接，交y轴于点，此时的值最小，然后求出的解析式，即可求得． 【详解】解：把点代入一次函数， 得， 解得， ， 点代入反比例函数，得， ∴反比例函数的表达式， 两个函数解析式联立列方程组得， 解得：， ， 作点作关于y轴的对称点，交y轴于点，连接，交y轴于点， 此时的值最小， ， ， 设直线的解析式为， 把和代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴取得最小值时，． 故选：D． 【变式2-1】如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C． (1)求n，k的值； (2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标； (3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围． 【答案】(1)2，2 (2)D的坐标为)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案； （2）过点D作轴，交直线于E，设，则，根据，建立方程求解即可得出答案； （3）作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大，可得直线的解析式为，，设，则，可得，求得，，再利用不等式性质即可求得答案． 【详解】（1）解：把代入，得， ∵双曲线经过点， ∴； （2）如图1，过点D作轴，交直线于E，    设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为)或； （3）联立方程组得， 解得：，， ∴， 如图2中，作点A关于y轴的对称点，连接，延长交y轴于点E，此时的值最大．    ∵，， ∴直线的解析式为， ∴， ∵点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，且M为线段的中点， ∴，且， 设，则， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象和性质，三角形面积，解方程组，不等式性质等．注意点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式． 【变式2-2】[培优选做]如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）联立方程组即可得出点的坐标，利用待定系数法先求出直线的解析式，再求出的解析式即可； （2）设，先表示出，再求出，结合，求出，从而得出，将点向上平移4个单位长度，得到点，设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点，即可得解； 【详解】（1）解：联立方程组， 解得：或， ∵点在点左边， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为：， 将代入解析式得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：∵点、关于原点对称，， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴设， 令直线交轴于， ， 在中，当时，，即， ∴， ∴， 联立， 解得：或， ∴， ∴， 作于，连接、，则，， 设，， 由勾股定理得：，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，则， 如图，将点向上平移4个单位长度，得到点，则，则为平行四边形， ∴， 设点、关于轴对称，则，连接并延长交轴于点， ， ∴的最大值为； 题型三、k的几何意义（单反比例函数） 例3．如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 【答案】2 【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义求出及的值，进而可得出的值． 【详解】解：∵点A，B是双曲线上的点，， ∴， ∴, 解得． 【变式3-1】如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于点，先根据和均为正三角形可知，故可得出，可得，由反比例函数系数的几何意义即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，如下图所示： ∵和均为正三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据反比例函数的几何性质，可得，又，可得到，，，按此规律，可得． 【详解】解：连接，如图所示， ，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于x轴， ，根据反比例函数的几何性质可得， ， ， ，，，依此规律，可得． 【变式3-3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，过点A作轴于点，，连接，已知：的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积； (3)根据图像直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)32 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，轴对称的性质以及待定系数法的运用； （1）依据，可得，将代入，得，即可得到反比例函数解析式为，进而求出的坐标，将点，的坐标代入，可得一次函数解析式为； （2）由已知求得，可得，根据即可求出结论； （3）根据图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）轴于点， 轴， ， ， ， ， ， 连接， 轴， ， ， ， 将代入，得， 反比例函数解析式为； 点在比例函数解析式为的图象上， ， ， ， 将点，点代入，可得 ， 解得， 一次函数解析式为， 故答案为：，； （2）令，得， ， 点是点关于轴的对称点， ， ， ； （3）根据图象得：不等式，即的解集为或． 题型四、k的几何意义（双反比例函数） 例4．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义，连接，，设与轴交于点，由平行线间的距离可得，然后由，，，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 故选：． 【变式4-2】已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【答案】 【分析】设，则，，可求出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，轴， ∴，点M的横坐标为m，点N的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接，的图象经过上的动点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接，，．则的最大值为 _____．[参考公式：] 【答案】 【分析】设，则的中点B为，即可求得，进而表示出C、E、D的坐标，即可利用三角形面积公式求出、、及的值，从而求出的值． 【详解】解：动点A在反比例函数的图象上， 设， 的中点B为， 函数的图象经过点B， ， ， 经过点B的函数表达式为， 过点B作轴交函数的图象于点C， 点的纵坐标为， 把代入得，， 、， 把代入得，， ， 、， 、， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 题型五、反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 例5．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，等角对等边，勾股定理，等腰三角形的定义等等： （1）先求出点P的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）设点G为x轴坐标轴上一点，先求出点B的纵坐标，进而求出点B的坐标，则可求出的长，再证明，得到，据此可得答案； （3）设出点C坐标，利用勾股定理求出，再分， 三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时， ， ∴， 设直线的表达式为， 把代入中得，解得， ∴直线的表达式为； （2）解；设点G为x轴坐标轴上一点， ∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为4，， 在中，当时，， ∴， ∵； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点A的横坐标为， ∴点A的坐标为； （3）解：∵点是的中点，点的坐标为， ∴点P的纵坐标为2， 在中，当时，， ∴； 设， ∴，， 当时，则， ∴， ∴点的坐标为或； 当时，则 解得， ∴点C的坐标为； 当时，则， 解得（舍去）或， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或或． 题型六、反比例函数与几何综合（四边形存在性问题） 例6．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】A 【分析】通过联立方程求出双曲线与直线的交点坐标，确定四边形各顶点的位置．利用勾股定理确定对边相等且证明出四边形为矩形． 【详解】∵双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点， ∴联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∵双曲线与直线在一、三象限分别相交于B、D两点， 联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∴； ； ∴，即 ∴； ； ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题，矩形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，用待定系数法求出反比例函数的解析式和函数图象上点的坐标特征等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键． （1）先求出点的坐标，即可求出答案； （2）先设出、的坐标，求出，再根据三角形面积公式求出值，即可求出答案； （3）分两种情况：当时，先求点C点的坐标为：，再设，再根据，求出值，即可求出答案；当时，同理求解即可． 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 所以， 把点坐标代入得：， 所以反比例函数关系式是； （2）过点作轴，交线段于点， 设平移后的直线的解析式是， ∵点在直线上，在直线上， ∴可设，则，则 ， ， ， 解得：， ∴平移后的直线的函数关系式是； （3）如图：当时， 直线的解析式是，与反比例函数交于点C， 联立解得：（舍去）， 当时， 点C点的坐标为：， 设， ， 解得或， 或； 当时， ∵，， ∴直线的解析式是， ∵， ∴直线的解析式是， 设点， ∵， ∴， 解得：，（舍去，此时四边形是平行四边形）， ∴； 综上，的坐标为或或． 【变式6-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合问题． （1）设点B的横坐标为m，根据面积为12可得的值，根据点在反比例函数的图象上即可求解． （2）由矩形性质可知，设，则，根据勾股定理可得的值和点的坐标，设直线的解析式为 ，代入点的坐标即可求解． 【详解】（1）解：设点B的横坐标为m，根据题意得：， 解得， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，四边形为矩形， 由矩形性质可知：， 设，则， 由勾股定理可得， 解得（已舍去负值）， ∴， 设直线的解析式为 ， 则， 解得． ∴直线的解析式为． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，直线： (2) 【分析】（1）如图所示，过点C作于点D，首先求出，得到，，然后根据等腰直角三角形的性质得到，即可求出点的坐标为；然后利用待定系数法求解即可； （2）首先画出图形，设，根据题意得到是等腰直角三角形，点P和点C关于对称，表示出，然后代入求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； （2）如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数和一次函数交点问题、等腰直角三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数上的点符合反比例函数的关系式是关键． 【变式6-4】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为②存在， 【分析】（1）理解题意，令时，则，即，令时，则，即，再证明四边形是矩形，则，运用勾股定理得，即可作答． （2）①理解题意，设，则，，根据勾股定理得，代入数值进行计算，即可得点D的坐标； ②把点D的坐标代入反比例函数，求出，再求出点F的坐标为，因为四边形是以为底的等腰梯形，得，设直线的解析式为，把，分别代入，，因为设直线的解析式为，计算化简得直线的解析式为，设，结合点F的坐标为，得，运用公式法进行解方程， 进行下一步分析，当时，则不平行，此时四边形为等腰梯形，再求出．即可作答． 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，一次函数的解析式，反比例函数与一次函数的综合，等腰梯形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，折叠性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式6-5】（上海虹口·期中）已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点．    (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和，求a的值． 【答案】(1)y=x-7 (2)-4或2 【分析】（1）根据点P在函数的图象上，求出P点坐标，代入一次函数，从而求出一次函数图象； （2）由题意和图象知等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，求出A，B，C，D点的坐标，根据等腰梯形性质得到AB=CD，根据两点的距离公式得到关于a的方程，解方程即可求出a值． 【详解】（1）∵点P（m，2）在函数的图象上， ∴m=6， ∵一次函数y=kx-7的图象经过点P（6，2）， 得6k-7=2， ∴k=， ∴所求的一次函数解析式是y=x-7； （2）过B作BF⊥AD，过C作CE⊥AD，    ∵点A、B的横坐标分别是a和a+2， ∴可得，，， ∵AB=CD， 在Rt△CDE与Rt△ABF中， 由勾股定理得：， AB2=AF2+BF2=22+32， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD，即， 即， ①由，化简得a2+2a+8=0，方程无实数根， ②由，化简得a2+2a-8=0， ∴a1=-4，a2=2． 经检验，a1=-4，a2=2均为所求的值． 所以，a的值是-4或2 【点睛】此题看似比较复杂，其实并不难，主要考查一次函数和反比例函数的性质和图象，学会联立方程求出交点坐标，应用等腰梯形的基本性质求出a值． 题型七、反比例函数与几何变换 例7．如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对称性可得函数l2的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，由根与系数的关系可得出m＋n＝2，mn＝，再结合点A是OB的中点，可得出m和n的值，由此可得出结论． 【详解】解：由对称性可得函数l2的解析式为：， 令，整理得，k2x2−2k2x＋k1＝0， 设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n， 则m和n是k2x2−2k2x＋k1＝0的两根， 由根与系数的关系可得出m＋n＝2①，mn＝， ∵点A是OB的中点， ∴2m＝n②， 由①②可知，m＝，n＝， ∴mn＝，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数l2的解析式是解题关键． 【变式7-1】如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为________．    【答案】// 【分析】反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于，得出，作轴于，设，并且是由绕点顺时针旋转得到的，则，从而，可证出是等腰直角三角形，得的坐标，代入从而得出的值，进而求得的长度，利用三角形面积公式解决问题． 【详解】解：设反比例函数的图象上点绕点顺时针方向旋转得点，过点作轴于， 设， ， ， ， ， ， ， 作轴于，是由绕点顺时针旋转得到的， ∴点K在原反比例函数图象上． 设， ， ∴， 过点作轴于，轴，   是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 解得或（舍， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得点的坐标是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形轴，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）； (2)如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据题意得到，则，再由垂直得到，根据直线经过点求出，即可得到，即可得解； （2）由题意可知垂直平分，根据三线合一可得，根据平行线的性质得到，根据等角对等边得到，求出，，延长与轴交于点，则，，根据勾股定理列式计算即可． 【详解】（1）轴， ． 反比例函数图像经过点 ． 矩形， ， 轴． ． 直线经过点 ． ． ∵直线经过点 ． ； （2）如图，连接，， 点关于直线的对称点恰好落在轴上， 垂直平分． ， ． 轴． 轴． ， ， ． ． 延长与轴交于点，则， ． 在中， （舍），． 的值是． 题型八、反比例函数中的点参法与面积 点参法，即用参数表示函数图象上点的坐标，进而能够表示相关的线段长，最后利用面积关系得到方程求解. 例8．矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图像分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数中的面积问题，割补法表示面积；由三角形面积得，割补法表示面积得，即可求解；能通过两种方法表示面积是解题的关键. 【详解】解：∵矩形中，，， ，，， ∵双曲线()的图象分别交，于点E，F， ，， ， 根据图示： , 又， , 整理得：， 解得：，（不合题意舍去）， ； 故选：A． 【变式8-1】已知点是反比例函数图象上的两点，点在内，且轴，轴，的面积为4，则的面积为______． 【答案】8 【分析】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式．设、，根据找到、之间的关系，最后表述出，整体代入求值即可． 【详解】解：设、， ∴， ∴，， ∴，整理得， ∴， 故答案为：8． 【变式8-2】如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为______ ． 【答案】 【分析】设点的坐标为，利用面积将线段和用含有、的代数式表示出来，进而将线段和也用的代数式表示出，利用面积公式即可求出． 本题考查了反比例函数中值的几何意义，，图象上点的坐标之积等于． 【详解】解：设点的坐标为，则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-3】如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义以及全等三角形的判定与性质，过点作轴于，过点作轴于，先求出，再由结合勾股定理得到，则，，最后根据反比例函数的系数的几何意义可得：，根据图中面积的关系可知：，列方程可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作于， 点，在反比例函数图象上，点的横坐标为1， ，， ， 设，则 ， ， ， 整理得，即， ∵， ∴， ， （负值舍）， ∴， ，， ∵，， ∴， ， ， ， ∵由图可知：， ∴， 故答案为：． 【变式8-4】如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何图形面积的综合问题，即利用图形面积求值，以及矩形的性质等知识，连接，利用双曲线，设点E的坐标，利用矩形的性质及，用含m的代数式表示出点B的坐标，由点B和F的纵坐标相等，可得出点F的坐标，然后根据四边形的面积矩形的面积减去的面积减去的面积，建立关于k的方程，解方程求出k的值，再根据函数图象的位置，可得出符合题意的k的值． 【详解】解：如图，连接，设， ∵， ∴ ， ∵矩形，点在上，且在反比例函数图象上， 当 时，， ∴， ∴， 解得：． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 反比例函数与几何综合【8大题型】 目 录（按住CTRL并单击鼠标可直接跳转） 题型一、反比例函数与一次函数（三角形面积问题） 1 题型二、反比例函数与一次函数（线段问题） 9 题型三、k的几何意义（单反比例函数） 18 题型四、k的几何意义（双反比例函数） 23 题型五、反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 27 题型六、反比例函数与几何综合（四边形存在性问题） 32 题型七、反比例函数与几何变换 45 题型八、反比例函数中的点参法与面积 50 题型一、反比例函数与一次函数（三角形面积问题） 例1．（24-25八年级上·上海崇明·期末）如图，在第一象限内，已知反比例函数的图像经过横坐标为4的点M (1)求M点的坐标及直线的解析式； (2)反比例函数图像上有一点P，线段上有一点Q，轴，且的面积为3，求点P坐标； (3)在第（2）小题的前提下，求点P到直线的距离． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海徐汇·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在坐标轴上，点B的坐标为，直线分别交于点M、N，反比例函数的图像经过点M、N． (1)求反比例函数的表达式及点M，N的坐标； (2)观察图像，当时，写出关于x的不等式的解集； (3)若点P在第一象限内的反比例函数图像上，且的面积是四边形面积的倍，求点P的坐标． 【变式1-2】（上海浦东新区·期末）如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标为4，曲线上有一动，过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D，连接． (1)求k的值． (2)设与的重合部分的面积为S，求S关于m的函数解析式． (3)连接，当第（2）问中S的值为1时，求的面积． 【变式1-3】（24-25八年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点． (1)求双曲线的表达式； (2)已知是双曲线上一点，且到轴的距离是12，直线与直线交于点，与双曲线交于点．如果，求的值． 【变式1-4】如图，直线与双曲线交于A点，且点A的横坐标是4．双曲线上有一动点．过点A作x轴垂线，垂足为B，过点C作x轴垂线，垂足为D． (1)求k的值； (2)若，求点C坐标； (3)连接、，当与的重合部分的面积值为1时，求的面积． 题型二、反比例函数与一次函数（线段问题） 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．在轴上有一点，使的值最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，B两点，与y轴相交于点C． (1)求n，k的值； (2)连接，在位于直线下方的双曲线上找一点D，使得的面积为的面积的3倍，求点D的坐标； (3)点E是y轴上使得的值最大的点，点P在线段上运动，过点P的直线与双曲线相交于M，N两点，其中M为线段的中点，求a的取值范围． 【变式2-2】[培优选做]如图1，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点（点在点左边），过两点作直线，与双曲线的另一交点为，过作直线的平行线交双曲线于点． (1)则点坐标为 ，点坐标为 ，并求直线的解析式； (2)如图2，点在轴负半轴上，连接，交直线于点，连接，且，将线段在轴上移动，得到线段（如图3），请求出的最大值； 题型三、k的几何意义（单反比例函数） 例3．如图，点A，B是双曲线上的点，分别经过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，若，则___． 【变式3-1】如图，和均为正三角形，且点，均在反比例函数上，连结交于点，连结，则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在轴的正半轴上依次截取，过点分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与x轴交于点F，与y轴交于点C，过点A作轴于点，，连接，已知：的面积等于6，点的坐标为，点的坐标为． (1)请分别求出一次函数和反比例函数的关系式； (2)若点E是点C关于x轴的对称点，求的面积； (3)根据图像直接写出关于x的不等式的解集． 题型四、k的几何意义（双反比例函数） 例4．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，点D为x轴负半轴上的一点，连接，则的面积为______． 【变式4-1】如图，在同一平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与反比例函数，的图象分别交于点，点在轴上，且横坐标为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，则的面积为________． 【变式4-3】如图，在反比例函数的图象上有动点A，连接，的图象经过上的动点B，过点B作轴交函数的图象于点C，过点C作轴交函数的图象于点D，交x轴点E，连接，，．则的最大值为 _____．[参考公式：] 题型五、反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题） 例5．（24-25八年级上·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【变式5-1】（24-25八年级上·上海松江·期末）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为（其中），射线与反比例函数的图像交于点，点在函数的图像上，且轴． (1)当点横坐标为4时，求直线的表达式； (2)连接，当平分与轴正半轴的夹角时，求点的坐标； (3)当点是的中点时，在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标． 题型六、反比例函数与几何综合（四边形存在性问题） 例6．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【变式6-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 【变式6-2】（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【变式6-3】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【变式6-4】（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【变式6-5】（上海虹口·期中）已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点．    (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和，求a的值． 题型七、反比例函数与几何变换 例7．如图，反比例函数图象的表达式为（），图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，将反比例函数的图象绕坐标原点顺时针旋转，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线与旋转后的图象相交于B，则的面积为________．    【变式7-2】（24-25八年级下·上海杨浦·期末）已知在平面直角坐标系中，直线经过第一象限内的点和点，以线段为对角线作矩形轴，反比例函数的图像经过点． (1)求点的坐标（用含的代数式表示）； (2)如果点关于直线的对称点恰好落在轴上，求的值． 题型八、反比例函数中的点参法与面积 点参法，即用参数表示函数图象上点的坐标，进而能够表示相关的线段长，最后利用面积关系得到方程求解. 例8．矩形中，，，以O为原点，分别以，所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的直角坐标系，双曲线的图像分别交，于点E，F，连接，，，，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式8-1】已知点是反比例函数图象上的两点，点在内，且轴，轴，的面积为4，则的面积为______． 【变式8-2】如图，点是反比例函数图象上的一点，作轴于点，轴于点，点、分别是、上的点，且的面积为，的面积为，则的面积为______ ． 【变式8-3】如图，点A，B在反比例函数图象上，点A的横坐标为1，连接，，，若，的面积为4，则k的值为_____． 【变式8-4】如图双曲线 与矩形的边 、分别交于 E 、 F 点， OA 、 OC 在坐标轴上，且，求 k ． 试卷第1页，共3页 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $