专题02 反比例函数与一次函数综合及实际应用4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

专题02 反比例函数与一次函数综合及实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 2 题型三、实际问题与反比例函数 4 题型四、反比例函数与几何综合 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级下·上海·月考）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 7．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 题型三、实际问题与反比例函数 9．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 10．（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 11．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 12．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 题型四、反比例函数与几何综合 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)填空：如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是______； (2)已知点在双曲线上，联结，如果，求点的坐标． 14．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 15．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 16．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·月考）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（   ） A．   B．   C．   D．   5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 6．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 二、填空题 7．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 8．（24-25八年级下·上海金山·月考）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 9．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 三、解答题 10．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 11．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 12．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 15．（24-25八年级下·上海徐汇·期末） 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． (1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； (2)求直线上的“倒数点”坐标； (3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 16．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． (1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． (2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； (3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数与一次函数综合及实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 3 题型三、实际问题与反比例函数 8 题型四、反比例函数与几何综合 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一次函数与反比例函数图象综合判断 1．（25-26八年级下·上海·月考）函数与在同一坐标平面内的大致图象是（    ） A．（1）和（2） B．（1）和（3） C．（2）和（3） D．（2）和（4） 【答案】D 【详解】解：当时，函数经过第一，三象限，函数位于第一，三象限，则（2）符合题意； 当时，函数经过第二，四象限，函数位于第二，四象限，则（4）符合题意， 所以函数与在同一坐标平面的大致图象是（2）和（4）． 2．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知关于的函数和，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是下列图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数在二、四象限，一次函数经过一、三、四象限， ∴选项B符合题意； 当时， ∵反比例函数的系数，一次函数，其中， ∴反比例函数经过一、三象限，一次函数经过一、二、四象限， ∴选项中没有图象符合． 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系中的大致图像是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限．故各选项的图像均不符合； 当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限．故选项C的图像符合． 故选：C 4．（24-25八年级下·上海·月考）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 题型二、一次函数与反比例函数的交点问题 5．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与双曲线交于点，根据图像求出不等式的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把代入，解得：， ∴， 观察函数图象得到当时，， 由题意可得：， ∴不等式的解集为； 故选：D； 6．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）已知：如图，点A坐标为，点B在双曲线的图象上． (1)当面积为12时，求点B的坐标； (2)点C在y轴负半轴，点D在线段的延长线上，当四边形为矩形时，求直线解析式． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：设点B的横坐标为m，根据题意得：， 解得， 当时，， ∴； （2）解：如图所示，四边形为矩形， 由矩形性质可知：， 设，则， 由勾股定理可得， 解得（已舍去负值）， ∴， 设直线的解析式为 ， 则， 解得． ∴直线的解析式为． 7．（24-25八年级下·上海金山·月考）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点． (1)求出两函数解析式； (2)根据图像回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值？ 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； (2)当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 【详解】（1）解：∵、在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为， ∵在反比例函数的图像上， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为， 答：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：由图像可知，一次函数图像在反比例函数图像上方对应的的取值范围是或， ∴当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值， 答：当或时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值． 8．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图像相交于点． (1)求该反比例函数的解析式； (2)将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图像相交于点C，且的面积为18，求平移后的直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点D是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【详解】（1）把代入得：， 解得：， 所以， 把点坐标代入得：， 所以反比例函数关系式是； （2）过点作轴，交线段于点， 设平移后的直线的解析式是， ∵点在直线上，在直线上， ∴可设，则，则 ， ， ， 解得：， ∴平移后的直线的函数关系式是； （3）如图：当时， 直线的解析式是，与反比例函数交于点C， 联立解得：（舍去）， 当时， 点C点的坐标为：， 设， ， 解得或， 或； 当时， ∵，， ∴直线的解析式是， ∵， ∴直线的解析式是， 设点， ∵， ∴， 解得：，（舍去，此时四边形是平行四边形）， ∴； 综上，的坐标为或或． 题型三、实际问题与反比例函数 9．（25-26八年级下·上海浦东新·月考）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图），有一横杆固定于桔槔上的点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，他记录了拉力的大小与的变化情况如图所示，下列说法错误的是（   ） A．拉力的大小与符合反比例函数关系 B．当的长增大时，拉力在减小 C．的长每增大，所施加的拉力就减小 D．当的长从增加到时，所施加的拉力减小了 【答案】C 【详解】解：由图象中数据发现： ， 拉力与距离的乘积不变， 拉力的大小与之间满足反比例函数关系，故A正确，不符合题意； 由图象可得，当的长增大时，拉力在减小，故B正确，不符合题意； 由图象知，当时，，当时，，当时，， ， 的长每增大，所施加的拉力不一定减小，故C错误，符合题意； 当的长从增加到时，所施加的拉力减小了，故D正确，不符合题意． 10．（25-26八年级下·上海·月考）生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 11．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 12．（25-26八年级上·上海·期中）双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 题型四、反比例函数与几何综合 13．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点． (1)填空：如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是______； (2)已知点在双曲线上，联结，如果，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令时，；令时，， ，． 点在轴上，是以为腰的等腰三角形， 存在种情况： ①如图，当时， ， ； ②如图，当时， 设， ，， ，解得：， ； 综上所述，如果点在轴上，是以为腰的等腰三角形，那么点的坐标是或． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴于点， ，， ，， ，， 在中，， ， 轴， ， 在和中， ， ， 由（1）得：，， ，， ， ． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组， 解得：或， 点的坐标为或． 14．（24-25八年级下·上海长宁·期末）如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． (1)填空：线段的长分别是__________，__________，__________； (2)折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ①求点D的坐标； ②若经过点D的双曲线与线段交于点F，那么在坐标平面内是否存在点P，使得四边形是以为底的等腰梯形？如存在，请直接写出符合条件的点P坐标；如不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点D的坐标为②存在， 【详解】（1）解：∵与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴令时，则，解得，即， 令时，则，即， ∵过点A作轴，垂足为A，过点B作轴，垂足为B，两条垂线交于点C． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 则， 故答案为：； （2）解：由（1）得，， ∵折叠，使点A与点B重合，折痕交于点D，交于点E． ∴， 设， 则，， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在，过程如下： 经过点D的双曲线与线段交于点F，且点D的坐标为． ∴， ∴， ∴， 点F的纵坐标等于点B的纵坐标，即， 把代入， 得， ∴， ∴点F的坐标为， ∵四边形是以为底的等腰梯形， ∴， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， ∵，且点在x轴的正半轴上， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得 ， ∴， ∴直线的解析式为， 即直线与直线重合， 设， ∵，且点D的坐标为． ∴， ∵点F的坐标为，， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴或， 当时，则， ∵， 此时四边形为平行四边形，不符合题意，故舍去， 当时，则不平行， 即， 此时四边形为等腰梯形，符合题意， ∴， ∴． 15．（24-25八年级下·上海·月考）已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、． (1)求的面积及点到直线的距离； (2)若第三象限存在一点，如图2所示，使得，且，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，双曲线图像上有一点，满足，直接写出所有满足条件的点坐标． 【答案】(1)6， (2) (3)或或或 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到直线的距离为， 则：， ∴； ∴点到直线的距离为． （2）过点作轴的平行线，作， 则：，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； （3）①过点作的平行线，设解析式为， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； ②将直线向上平移个单位，得到直线， 则：当点在直线上时，， 联立，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 16．（24-25八年级下·上海·月考）如图，直线 分别交轴、轴于两点，交双曲线于点，过点 分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，连接． (1)求证：平分； (2)对于任意非零的实数，求证：为定值，并求出该定值； (3)是否存在直线，使得点为线段的中点？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）证明：把代入，得；把代入，得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即， ∴平分； （2）证明：设点的坐标为， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 又由（）可知，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为； （3）解：存在，理由如下： 当点为线段的中点时，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， 解得或（不合，舍去）， ∴直线的解析式为， 即存在直线,使得点为线段的中点，直线的解析式为． 一、单选题 1．（25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 2．（24-25八年级上·上海青浦·期中）如图，等腰直角位于第一象限，，直角顶点A在直线上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边平行于x轴、y轴，若双曲线与有交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点在直线上，其中点的横坐标为1， 则把代入，解得：， 则的坐标是， ∵， ∴点的坐标是，点的坐标是， ∴的中点坐标为， 当双曲线经过点时，， 当双曲线经过点时，， 因而． 故选：D． 3．（24-25八年级上·上海·月考）为了预防“流感”，某学校对教室采取“药熏”消毒内每立方米的含药量（毫克）与时间（分）成正比例；药物燃烧结束后，与成反比例．这两个变量之间的关系如图所示．说法错误的是（   ） A．第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小 B．第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米 C．第50分钟时，教室内含药量为0毫克 D．教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为12分钟 【答案】C 【详解】解：根据图像可知，第8分钟后，教室内的含药量逐渐减小， 故选项A正确，不符合题意； 当时，设直线解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 当时，设此阶段关于的函数解析式为， 将点代入，可得，解得， 所以此阶段关于的函数解析式为， 故当时，可有（毫克/立方米）， 即第12分钟时，教室内的含药量为4毫克/立方米，故选项B正确，不符合题意； 当时，可有（毫克/立方米）， 即第50分钟时，教室内含药量为毫克/立方米，故选项C错误，符合题意； 当时，若，可得，解得（分钟）， 当时，若，可得，解得（分钟）， 则教室内含药量不低于3毫克/立方米的持续时间为分钟，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：，其中， 则关于的函数图象是C． 故选：C． 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得，， 当函数值，即函数图象在函数图象下方时，所对应的横坐标的取值范围， ∴由图象可得：或， 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海静安·期末）双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点，与直线在一、三象限分别相交于B、D两点，那么四边形的形状一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．非矩形和菱形的任意平行四边形 【答案】A 【详解】∵双曲线与直线（且）在一、三象限分别相交于A、C两点， ∴联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∵双曲线与直线在一、三象限分别相交于B、D两点， 联立得， 解得或 ∴（第一象限），（第三象限）． ∴； ； ∴，即 ∴； ； ∴，即 ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴ ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级上·上海·期中）若正比例函数的图像与双曲线交于两点，则___________． 【答案】256 【详解】解：设正比例函数的解析式为，将其与双曲线联立，可得，整理得， 由于正比例函数与双曲线的交点关于原点对称，所以， 又因为点在双曲线上，所以， 将代入，可得 原式 ， 把代入上式，可得， 故答案为：256． 8．（24-25八年级下·上海金山·月考）反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点，当时，请写出自变量x的取值范围_________． 【答案】或 【详解】解：将代入得， ， ∴反比例函数的解析式为； ∴将代入得， ， 解得， ∴， 将，代入得， 解得， ∴； 根据函数解析式画出图象得， 当时，或， 故答案为：或． 9．（25-26八年级上·上海·月考）观察反比例函数的图像可以发现直线是它的一条对称轴，于是小明希望在用描点法绘制函数的图像时在每个象限都取5个点，使得除了双曲线与直线的交点以外的点的横纵坐标都是整数，考虑到正比例函数和反比例函数的对称性，他认为只需要再取四条经过原点的直线与双曲线的交点就能高效地找出余下八个点，这四条直线的斜率的和是________． 【答案】13 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象上横纵坐标都为整数的点有，， 设经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴经过点的正比例函数解析式为， 同理可得经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 经过点的正比例函数解析式为， 由正比例函数和反比例函数的对称性可知，横纵坐标互为相反数的两个点所在的直线一定经过原点，则这8个点分别在经过原点的四条直线上， ∴这四条直线的斜率的和是， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)当时，求机器温度与时间的函数关系式； (2)求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 【答案】(1)当时，机器温度与时间的函数关系式为 (2)三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟 【详解】（1）解：设机器温度与时间的函数关系式为， 将代入得， 解得， ∴当时，机器温度与时间的函数关系式为； （2）解：当时，得，解得， 设断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 将代入，得，     解得， ∴断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 经检验是原方程的解， 则（分钟）． 答：三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟． 11．（24-25八年级下·上海徐汇·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，已知点在反比例函数（）的图像上．过作轴，垂足为点．在的右侧，以为斜边作等腰直角三角形，再过点作交反比例函数（）的图像于点． (1)当点的横坐标为时，求点的坐标和直线的表达式； (2)当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，直线： (2) 【详解】（1）如图所示，过点C作于点D ∵当点的横坐标为时， ∴ ∴， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∴点C的横坐标为 ∴点的坐标为； 设所占直线表达式为 ∵， ∴ 解得 ∴ ∵ ∴设直线的表达式为 将代入得， 解得 ∴直线的表达式为； （2）如图所示，当四边形是正方形时， 设 ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴ ∵四边形是正方形 ∴是等腰直角三角形 ∵轴 ∴点P和点C关于对称 ∴ ∵点在反比例函数（）的图像上 ∴ 解得或（舍去） ∴． 12．（24-25八年级下·上海宝山·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 13．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）在平面直角坐标系中，直线过点且与y轴平行，直线过点且与x轴平行，直线，与直线相交于点P，点E为直线上一点，反比例函数的图象过点E且与直线相交于点F． (1)若点E是中点，求反比例函数的表达式； (2)连接、、，若的面积为的面积的2倍，求点E的坐标； (3)当E在P点左边时，G是y轴上一点，直接写出所有使得是等腰直角三角形的点G的坐标，并写出求其中一个点G的坐标的过程． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【详解】（1）解：由题意， ∵点E是中点， ∴， ∴把代入得到， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①如图2中，当E在P右边时，作轴于M． 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵E在P右边， ∴， ∴此时； ②如图3中，当E在P左边时，作轴于M． 设，则， 同理可得， 解得：或， ∵E在P左边， ∴， ∴此时； 综上所述，当或时，的面积为面积的2倍． （3）解：设，则， ∵当E在P点左边， ∴； ①如图，当，时，作于S点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，当，时，作轴于T点， 则同①可证得， ∴， ∴， ∴； ③如图，当，时， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴此时 综上，或或． 14．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义：我们把形如与的两个函数，叫作互为倒数函数，其中，k称为这两个函数的特征数．比如：与互为倒数函数，2为这两个函数的特征数．如图，互为倒数函数的两个函数的图象在第一象限内交于点P，点P的坐标为， (1)如果， ①求这两个函数的特征数； ②如果点是线段上一点（不与点、重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，若的面积为1，求点的坐标； (2)如果点O绕点P顺时针旋转后，恰好落在该反比例函数图象上，请直接写出m的值： （无需写出过程）． 【答案】(1)①这两个函数的特征数为4；② (2) 【详解】（1）解：①， ， ， 则， 解得：（负值舍去），， 这两个函数的特征数为4； ②由①可知反比例函数解析式为，正比例函数解析式为， 设，则， ， ， 整理得， （负值舍去）， ； （2）解：如图，设落点为，过作轴，交轴于点，过作于点，则， ， ，， 点绕点顺时针旋转落在处， ，， ， ， ，， ， 点在上， ， ， 点和点均在上， ，， 将代入得，（负值舍去）， ，即， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·上海徐汇·期末） 定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”． (1)如果直线上有且只有一个“倒数点”，记作点，求直线的解析式以及点的坐标； (2)求直线上的“倒数点”坐标； (3)如果直线上有两个“倒数点”，记作点、，点为坐标原点，当为锐角时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）解：依题设点，代入，得，即， ∴， 直线上有且只有一个倒数点， ，解得， ， ． 直线的解析式是：， 由，得， ； （2）解：依题可知，“倒数点”的坐标满足反比例函数， 联立 ， 解得：或， ∴直线上的“倒数点”坐标为或； （3）解：依题意，直线上有两个“倒数点”， 为锐角， ∴在第一象限， 此时， 当直线和有两个交点时， 联立得，， ∴， 解得：， ∴的取值范围为． 16．（24-25八年级上·上海黄浦·期末）平面内到一个定点和一条定直线（不经过定点）的距离相等的点的轨迹，称为拋物线，其中，这个定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．如图，直角坐标平面中，曲线是一条抛物线，点是这条抛物线的焦点，直线是拋物线的准线．如果点为抛物线上任意一点，连接，并作，垂足为D，交轴于点，那么由抛物线的定义可知．已知抛物线的准线的表达式为． (1)①如图可知抛物线经过原点，那么点坐标为______； ②如图，如果，作轴，那么______，______． (2)直线与抛物线在第一象限交于点，求点坐标； (3)反比例函数图像与抛物线交于点（位于第一象限），过点作轴，垂足为，如果，直接写出这个反比例函数的函数解析式． 【答案】(1)①；②2， (2) (3) 【详解】（1）解：①点到的距离等于点到点距离， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 轴， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1， 作于，交轴于，连接，作于， 设， ， ，， 在中，， ， 或（舍去）， ； （3）解：如图2， 作，交轴于，作轴于， ， ， ，， ， 在中，， ， 设反比例函数的解析式为， ， ， 这个反比例函数的解析式为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $