2.4 一元二次方程的应用课件 2025-2026学年 浙教版数学八年级下册

第二章 一元二次方程 2.4 一元二次方程的应用 第二章 一元二次方程 2.4.1 第1课时 一元二次方程的应用（1） 课堂小结 例题精讲 情境导入 随堂演练 情境导入 一元二次方程在生活和实际中有着广泛的应用 列方程解应用题的一般步骤？ 审、设、列、解、验、答 本节课我们来学习利用一元二次方程解决实际问题. 例题精讲 例1 某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现，每盆花的盈利与每盆的株数存在一定的关系.每盆植入4株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,每盆每增加1株,平均单株盈利就减少0.2元.要使每盆的盈利为18元,每盆应植花苗多少株? 从题目中你能发现什么信息？ 从题目中你能得到什么数量关系？ 分析: 本题涉及的主要数量有每盆的花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利。主要数量关系有： 平均单株盈利×株数=每盆花苗盈利; 平均单株盈利=3-0.2×每盆增加的株数. 根据题意填空。 （1）若每盆增加1株，此时每盆花苗有（4+____）株， 平均单株盈利为（3－0.2×____）元 （2）若每盆增加2株，此时每盆花苗有（4+____）株， 平均单株盈利为（3－0.2×____）元 （3）若每盆增加x株，此时每盆花苗有（4+____）株， 平均单株盈利为（3－0.2×____）元 （4）每盆盈利=____________×________________ 1 1 2 2 x x (x+4) (3-0.2x) 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有（x+4）株,平均单株盈利为（3-0.2x）元.由题意得 (x+4)(3-0.2x)=18 化简，整理，得 x2-11x+30=0 解这个方程，得:x1=5，x2=6 经检验，x1=5,x2=6都是方程的解，且符合题意. 答:要使每盆的盈利为18元,每盆应植入9株或10株. 所以每盆花苗数为5+4=9（株）或6+4=10（株） Administrator (A) - 在例题的讲解中，应关注列方程解应用题的三个重要环节：①整体地，系统地弄懂题意；②寻找等量关系；③正确求解方程并检验解的合理性。 【想一想】列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同吗？列一元二次方程解应用题时，你认为有哪些地方更需引起注意？ 列一元二次方程解应用题时，应该注意求出来的根是否满足题意. 列一元二次方程解应用题的基本步骤与列一元一次方程解应用题相同。 例2 根据图中的统计图，求从2020年到2022年，我国风电装机容量的平均年增长率(精确到0.1 % ). 思考回答下列几个问题。 （1）增长率与什么有关系？ （2）年平均增长率怎么算？ （3）x的正负性有什么意义？ 增长率与时间相关. 弄清楚从何年到何年的增长率. 经过两年的年平均变化率x与原量a和现量b之间的关系是： a(1+x)2 =b（等量关系）. 当x>0时表示增长，当x<0时表示下降. 解：设2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率为x. 由题意可以列出方程2.8（1+x）2=3.7 解这个方程，得 答：从2020年到2022年我国风电装机容量的平均年增长率约为15.0%. 随堂演练 1.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元.若每盆每增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?设每盆多植x株,则可以列出方程 (　　) A.(3+x)(4-0.5x)=15 B.(x+3)(4+0.5x)=15 C.(x+4)(3-0.5x)=15 D.(x+1)(4-0.5x)=15 A 2.将进货单价为40元/个的商品按50元/个出售时,每月可售出500个.经市场调查发现:该商品每个每涨价1元,其月销量减少10个,为了每月赚8000元,则销售单价应定为 (　　) A.60元/个 B.80元/个 C.60元/个或80元/个 D.70元/个 C 3.某公司今年1月份的生产成本是400万元,由于改进技术,生产成本逐月下降,3月份的生产成本是361万元.假设该公司2,3,4月每个月生产成本的下降率都相同. (1)求每个月生产成本的下降率; (2)请你预测4月份该公司的生产成本. 解:(1)设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意,得400(1-x)2=361, 解得x1=0.05=5%,x2=1.95(不合题意,舍去). 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361×(1-5%)=342.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 课堂小结 一元二次方程的应用 商品销售、平均增长（下降）率问题等 （1）列方程解应用题的一般步骤可以概括为：一审，二设，三列，四解，五验，六答. （2）一元二次方程实际问题的解不仅要满足所列方程，还要符合实际问题的具体题意。故要进行检验，确定问题的正确答案 第二章 一元二次方程 2.4 第2课时 一元二次方程的应用（2） 课堂小结 例题精讲 知识回顾 随堂演练 （1）如何把一张长方形硬纸片折成一个无盖的长方体纸盒？ （2）无盖长方体纸盒的高与裁去的四个小正方形的边长有什么关系？ 知识回顾 例题精讲 例1 如图2-3，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-4的无盖纸盒。若纸盒的底面积是450cm2，则纸盒的高是多少？ 40 25 单位：cm 图2-3 图2-4 思考回答下列问题： （1）若设纸盒的高为x，那么裁去的四个正方形的边长为多少？ （2）底面的长和宽能否用含x的代数式表示？ （3）怎样列方程？ 40 25 单位：cm x x cm 长为（40-2x）cm，宽为（25-2x）cm （40－2x)(25 -2x)=450 解：设纸盒的高为x（cm），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x）cm，（25-2x）cm 由题意得（40－2x)(25 -2x)=450 化简整理得2x²-65x+275=0 解这个方程，得 x1=5，x2=27.5(不合题意，舍去) 答：纸盒的高为5cm 例2 一轮船（C）以30 km/h的速度由西向东航行在途中接到台风警报,台风中心正以20 km/h的速度由南向北移动,已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区,当轮船接到台风警报时,测BC=500km,BA=300km. 北 东 C B 200km 500km A （1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断？ （2）如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？ 北 东 C B 200km 500km A 【思考】①假设经过t小时，轮船和台风中心分别在C1 ,B1的位置。你能求出AC1和AB1的距离吗？ C1 B1 因为BC=500 km,BA=300 km, 所以由勾股定理可知AC=400 km。 经过t小时 AC1=(400-30t)km； AB1=(300-20t)km 北 东 C B 200km 500km A 【思考】②运用数形结合的方法寻找等量关系，并列出方程。 C1 B1 根据△AB1C1是直角三角形得： B1C12=AC12+AB12 当船与台风影响区接触时B1C1符合什么条件？ B1C1=200 km 所以列出等量关系： (400-30t)2+(300-20t)2=2002 解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002 整理方程得:13t2-360×t+2100=0 利用公式法b2－4ac=3602-4×13×2100=20400＞0 所以方程有解，故轮船会进入台风影响区。 解方程：(400-30t)2+(300-20t)2=2002 整理方程得:13t2-360×t+2100=0 因为轮船从点C运动到点A的时间为 所以t=19.34h不符合题意，所以t=8.35h 答：从接到警报开始，经8.35h就进入台风影响区。 【讨论】如果把船速改为10 km/h,结果将怎样? 北 东 C B 200km 500km A 解:设当轮船接到台风警报后,经过t小时,则： (400-10t)2+(300-20t)2=2002 化简，得：t2-40t+420=0 由于此方程无实数根 所以轮船继续航行不会受到台风的影响。 随堂演练 1.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm,则可列方程为 (　　) A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64 B 2.甲、乙两人同时从同一地点匀速出发,甲以每小时9千米的速度往东走,乙以每小时12千米的速度往南走,则他们出发　　　　 ____________小时后,两人相距30千米.  2 7.如图,某农场有一块长40 m,宽32 m的长方形种植地,为方便管理,准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路.要使种植面积为1140 m2,求小路的宽. 解:设小路的宽为x m.将图中的两条小路平移到长方形边上,与在农场上修建小路时的种植面积是相同的, 所以(40-x)(32-x)=1140, 解得x1=2,x2=70(不合题意,舍去), 所以小路的宽为2 m. 答:小路的宽为2 m. 课堂小结 一元二次方程的应用 商品销售、平均增长（降低）率、几何中的面积（体积）问题、直角三角形中勾股定理的应用等 列一元二次方程解应用题所体现的数学思想有转化思想、方程思想、数形结合思想等 $