数列：奇偶数列问题讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦数列奇偶项问题核心考点，涵盖定义、递推关系及分组求和等内容，按“定义-结论-解题思路”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于采用拆分分组策略，结合真题例题引导学生分离奇偶项子数列，判断等差或等比类型并求和，培养数学思维与推理能力。设置变式训练与实战演练分层练习，保障复习效果，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供有效指导。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：奇偶数列问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 定义：数列按项数奇偶分成奇数项、偶数项分别研究 1. 常见形式： · 通项含、分段奇偶通项 · 递推式分奇、偶不同关系式 1. 基本结论 · 项数为：奇项个，偶项个 · 项数为：奇项个，偶项个 1. 常用公式：奇偶项各自成等差/等比，单独用求和公式 二、解题原理 数列奇偶项规律不同，拆分分组，把一个数列拆成两个独立子数列；分别判断子数列类型，再单独运算、合并结果。 三、解题思路 1. 分清条件：看通项/递推式对奇数、偶数的不同表达式 1. 分组分离：单独写出奇数项通项、偶数项通项 1. 判断类型：确定奇偶项各自为等差、等比或普通数列 1. 确定项数：数清所求范围内奇数项、偶数项各有多少项 1. 分别求和/求通项，最后整合得出最终结果 1. 含题型：正负分组，相邻两项配对化简求解 例题分析 例1．（2025·天津宝坻·模拟预测）已知数列的前项和为，正项且公差不为零的等差数列满足，且． (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项的和； (3)记，为数列的前项积，证明： 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据的关系求，根据已知及等差数列的通项公式求公差，进而得到的通项公式，即可得； （2）分组求和，结合错位相减法得到当为偶数时，，当为奇数时：，得到答案； （3）计算出，利用放缩证明出不等式左边，利用证明出不等式右边 【详解】（1）由，则时，且， 所以，显然也满足，故， 设的公差且，，而， 所以且， 所以，则， 所以，即. （2） ， 令，则， 两式相减可以得到：， . 令， 当为偶数时：； 当为奇数时：； 故当为偶数时，， 当为奇数时：， . （3）因为，所以， 证明不等式左边： ， 证明不等式右边： ，得证. 例2．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 例3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 例4．（2026·吉林延边·三模）数列满足，． (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，设数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，结合等比数列的定义，证得为等比数列，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）知，得到，分和，两种情况讨论，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）证明：由，可得，所以， 因为，可得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，则，所以， 则，且， 因为，可得， 当时，， 其中， ， 所以， 将代入上式，可得； 当时，， 因为，且， 所以， 将代入上式，可得， 综上可得，数列的前n项和为. 变式训练 变式1．（2026·安徽安庆·三模）设为数列的前n项和，已知，与的等比中项为3，且为等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用等差数列基本量运算结合等差数列求和公式计算，再应用计算求解； （2）应用等比数列求和公式及对数运算分组求和计算求解. 【详解】（1）因为与的等比中项为3，，所以，所以，即， 设等差数列的公差为d，因为，所以，即，， 所以，即. 当时，， 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知， 则 . 所以数列的前项和为. 变式2．（25-26高三上·江苏·期末）已知数列的前n项和分别为，， ． (1)求的通项公式； (2)若，求n的最小值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）根据等差数列的求和公式，可得表达式，根据等比数列求和公式，结合分组求和法，可得表达式，根据条件，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 则，解得， 又，所以，即， 设数列的公差为d，则，解得， 所以. （2）由（1）得，所以，则， 又， 所以 ， 因为， 所以， 整理得， 因为， 所以n的最小值为6. 变式3．（2025·四川泸州·一模）记为数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求数列的通项公式. （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）当时，， 当时，，， 两式相减得，， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 故. （2）当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以 . 变式4．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. 【详解】（1）设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； （2）， 当时，， 故 ， 设①，则②， 式子①-②得 ， 故， 所以 实战演练 1．（24-25高三上·湖北·期末）已知数列的前项和为，若， (1)求； (2)若，为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列的递推关系可得是等比数列，求解即可； （2）先求出的通项公式，然后采用分组转化求和法求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以， 所以，所以， 又因为， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即， 又时也满足上式，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以 . 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)当时，记，求数列的通项公式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推公式化简证明出是等比数列，再应用通项公式计算即可； （2）先由等比数列计算通项，再应用分组求和结合等比数列求和公式计算不等式求解. 【详解】（1），. ， 则. ，构成以4为首项，2为公比的等比数列， ，则. （2）当时，， ，，，不合题意，. 由（1）得构成以为首项，2为公比的等比数列，. 由题意得， ， ，解之得， 的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：奇偶数列问题复习讲义 知识点解析 一、 核心知识点 1定义：数列按项数奇偶分成奇数项、偶数项分别研究 2.常见形式： ·通项含(-1)”、分段奇偶通项 ·递推式分n奇、n偶不同关系式 3.基本结论 ·项数为2n:奇项n个，偶项n个 ·项数为2n-1:奇项n个，偶项n-1个 4.常用公式：奇偶项各自成等差/等比，单独用求和公式 二、解题原理 数列奇偶项规律不同，拆分分组，把一个数列拆成两个独立子数列；分别判断子数列类型，再单独运算、合并 结果。 三、解题思路 1,分清条件：看通项/递推式对n奇数、偶数的不同表达式 2.分组分离：单独写出奇数项通项、偶数项通项 3.判断类型：确定奇偶项各自为等差、等比或普通数列 4.确定项数：数清所求范围内奇数项、偶数项各有多少项 5.分别求和/求通项，最后整合得出最终结果 6. 含(-1)”题型：正负分组，相邻两项配对化简求解 例题分析 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例1.(2025·天津宝坻模拟预测)已知数列口，的前喷和为3，-n+1,正项且公差不为零的等差数列 2 11 1 ,66,6，且6=2 足 (I)求数列{an},{b}的通项公式： n+l (-1)2·an,n为奇数 (2)若cn= ,求数列{cn}的前2n项的和； 2,n为偶数 32 ⑧记d=aA,无为数列d的前项积证明：d+日+疗++公<d片 1 例2.(2026山东济南三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,a,=1, 是公差为的等数列 a. (I)求{an}的通项公式： (2)令bn= an2”+1,n为奇数 a,2,n为偶数，求数列b,}的前2n项和 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026广西南宁模拟预测)已知数列{an}的前项和为Sn,a,=1,S。=n2,数列{bn}满足b=1,b1=2bn+1. (I)求数列{an},{bn}的通项公式： an,n为奇数 (2)若数列{cn}满足cn= 6,n为偶数，求数列c,的前20项和7，（注：结果可保留指数形式）. 例4.（2026吉林延边三模)数列an}满足a,=1,，an+1=2an+1. (1)证明{an+1是等比数列，并求数列{an}的通项公式： an+1,n=2k-1, ②若a={og:(an+l,n=2k,keN,设数列b}的前n项和为S,求S. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式训练 变式1.(2026安微安庆三模)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a,=1,S,与(S4-1的等比中项为3，且 }为 等差数列 (1)求数列{an}的通项公式： n+3 1g ,n为奇 (2)若数列{b}满足b.= (n+1 数，求b,的前2m项和 2,n为偶数 变式2.(25-26高三上江苏期末)已知数列{an},{b}的前n项和分别为Sn,Tn,a+2+an=2am1, 2an+l,n为奇数 b= 20,n为偶数，6=85，=15. (1)求{an}的通项公式： (2)若T2n-S2n>2026,求n的最小值. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2025·四川泸州一模)记Sn为数列{an}的前n项和，已知2S。=3an-3 (I)求数列{an}的通项公式： n为奇数 (2)设bn= l0g,a,n为偶数，求数列b,的前2n项和. an, 变式4.(25-26高三上天津滨海新·月考)己知an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S.,a,=1，且 S+a,S+a,S4+a4成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式， 2n+1)an,n=2k-1 (2)设bn= (3n+5)an ,n=2Kn∈N，求数列6，的前2n项和n (n-l(n+ 5 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 实战演练 1.(2425高三上湖北期末)已知数列an}的前n项和为Sn,若n=2an+1, (1)求Sn; (2)若Cn= an,n为奇数 S,n为偶数’了为数列c的前项和，求n 2.(2025江苏淮安模拟预测)己知数列{an}的首项为a,前n项和为Sn,且a+1= an+l,n为奇数 2an+l,n为偶数 (I)当a4=6时，记bn=a2m1,求数列{bn}的通项公式； (2)若2000<S6<2510,求a,的取值范围. 6