数列新定义问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列新定义问题复习讲义 知识点解析 一、高频考点 1. 新定义基本数列 自定义：和谐数列、等差比数列、分段数列、周期数列、对称数列、有界数列、保值数列等，给出全新定义规则。 1. 新定义递推关系 给出陌生递推式、相邻两项/三项满足新规则，求通项、求前项和、判断性质。 1. 新定义性质判定 判断是否为新定义数列、求参数取值、证明满足定义、举反例否定。 1. 新定义与常规数列综合 结合等差、等比、裂项、错位相减、分组求和综合考查。 1. 新定义与不等式、最值、存在性、恒成立综合 求数列最值、参数范围、是否存在满足条件的项。 1. 新定义周期、规律探究 通过递推找周期、找规律，求指定项、前项和。 二、解题核心原理 1. 定义直译原理 严格按题目文字直译，不套用固有经验，把文字定义翻译成等式、不等式、递推关系。 1. 化归转化原理 把陌生新定义，转化为熟悉的等差、等比、周期、分段、递推数列来处理。 1. 赋值验证原理 对赋值，写出前几项，找规律、找周期、验证定义。 1. 逻辑推理原理 判定类问题：满足定义就严格推导；不满足就举反例即可否定。 1. 整体代换原理 把新定义式子整体变形、作差、作比，构造新等差/等比数列。 三、通用解题思路（万能五步） 1. 精读题干，直译定义 逐字翻译新定义，把文字语言转化为数学式子、等式、不等式、递推式，不自行加条件、不改题意。 1. 赋值列举，写出前几项 令 ，算出数列前几项，观察规律、周期、增减、定值关系。 1. 化归熟悉模型 从新递推/新性质出发，变形构造： · 构造等差、等比数列； · 发现周期数列； · 分段奇偶数列； · 可裂项、可分组求和结构。 1. 按考点常规求解 求通项、求求和、判单调性、求最值、求参数范围、存在性证明，用常规数列方法运算。 1. 回归定义检验 算出结果后，代回新定义验证是否符合条件，防止理解偏差。 四、常见破题技巧 1. 遇“对任意成立”：用 和 作差、作比； 1. 遇“是否存在”：先假设存在，列式求解，有解则存在，无解则不存在； 1. 遇“判断是否为新定义数列”：正向推导满足，或举一项不满足直接否定； 1. 遇周期新定义：多写几项找周期，再用周期求项、求和； 1. 含参数新定义：按定义列等式/不等式，解参数范围。 例题分析 例1．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 例2．（2026·辽宁鞍山·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·河北保定·二模·多选）定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 例5．（2026·北京石景山·二模）设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定． (1)若，，，，求和的值； (2)若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由； (3)设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得． 例6．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 变式训练 变式1．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 变式2．（2026·江西九江·二模·多选）已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（   ） A．若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B．若为“数列”且，则 C．若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D．若为“2k数列”，则 变式3．（2026·山东日照·二模·多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 变式4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 变式5．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 变式6．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 变式7．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 实战演练 1．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 2．（2026·江苏苏州·二模·多选）为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B．若是“2-数列”，则可以是常数列 C．若是"2-数列”，则对任意的正整数， D．对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． (1)求证：； (2)在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 5．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列新定义问题复习讲义 知识点解析 一、高频考点 1. 新定义基本数列 自定义：和谐数列、等差比数列、分段数列、周期数列、对称数列、有界数列、保值数列等，给出全新定义规则。 1. 新定义递推关系 给出陌生递推式、相邻两项/三项满足新规则，求通项、求前项和、判断性质。 1. 新定义性质判定 判断是否为新定义数列、求参数取值、证明满足定义、举反例否定。 1. 新定义与常规数列综合 结合等差、等比、裂项、错位相减、分组求和综合考查。 1. 新定义与不等式、最值、存在性、恒成立综合 求数列最值、参数范围、是否存在满足条件的项。 1. 新定义周期、规律探究 通过递推找周期、找规律，求指定项、前项和。 二、解题核心原理 1. 定义直译原理 严格按题目文字直译，不套用固有经验，把文字定义翻译成等式、不等式、递推关系。 1. 化归转化原理 把陌生新定义，转化为熟悉的等差、等比、周期、分段、递推数列来处理。 1. 赋值验证原理 对赋值，写出前几项，找规律、找周期、验证定义。 1. 逻辑推理原理 判定类问题：满足定义就严格推导；不满足就举反例即可否定。 1. 整体代换原理 把新定义式子整体变形、作差、作比，构造新等差/等比数列。 三、通用解题思路（万能五步） 1. 精读题干，直译定义 逐字翻译新定义，把文字语言转化为数学式子、等式、不等式、递推式，不自行加条件、不改题意。 1. 赋值列举，写出前几项 令 ，算出数列前几项，观察规律、周期、增减、定值关系。 1. 化归熟悉模型 从新递推/新性质出发，变形构造： · 构造等差、等比数列； · 发现周期数列； · 分段奇偶数列； · 可裂项、可分组求和结构。 1. 按考点常规求解 求通项、求求和、判单调性、求最值、求参数范围、存在性证明，用常规数列方法运算。 1. 回归定义检验 算出结果后，代回新定义验证是否符合条件，防止理解偏差。 四、常见破题技巧 1. 遇“对任意成立”：用 和 作差、作比； 1. 遇“是否存在”：先假设存在，列式求解，有解则存在，无解则不存在； 1. 遇“判断是否为新定义数列”：正向推导满足，或举一项不满足直接否定； 1. 遇周期新定义：多写几项找周期，再用周期求项、求和； 1. 含参数新定义：按定义列等式/不等式，解参数范围。 例题分析 例1．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可. 【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立， 对于①，，， 因为，所以， 所以成立，即， 因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误； 对于②，若数列是“1-加速数列”，则， 所以数列是常数列或单调递增数列， 因为， 若，满足题意，即数列是常数列，， 若数列单调递增，则必有，， 即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确； 对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且， 则， 所以，即， 当时，，所以不存在，使得，故③错误； 对于④，若正数列是等比数列，则， 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 若，则，不等式，等价于， 只要，数列是“-加速数列”； 所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误； 综上所述：正确的命题是②. 例2．（2026·辽宁鞍山·三模）将正整数分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，即为的最优分解，当，是的最优分解时，定义，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出的通项公式，再求其前100项的和. 【详解】当为偶数时，设，， ， 所以； 当为奇数时，设，， ， 所以； 所以的前100项和为. 例3．（2026·河北保定·二模·多选）定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A：计算出及即可得；对B：法一：计算出到，即可得；法二：由为奇数，则为偶数，即可得；对C由为偶数，结合定义即可得；对D：由题意可得，则、，从而可得，结合累加法计算即可得解. 【详解】对A：，，则，故A正确； 对B：法一：、 、、、 、 、、 、、， 则，故B错误； 法二：由题意可得为奇数，则为个奇数之和，为偶数， 故，故B错误； 对C：，其中的唯一的奇因数为，则，故C正确； 对D：由中为偶数，唯一的奇因数为，则， 故，， 故 ， 即有，则， ，，， 则 ， 故，故D正确. 例4．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 例5．（2026·北京石景山·二模）设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定． (1)若，，，，求和的值； (2)若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由； (3)设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得． 【答案】(1)0；1 (2)存在唯一的 (3)证明见解析 【分析】（1）根据定义求解. （2）根据定义可得，，解得的范围，根据得到的值，从而得到．根据定义检验：，，符合题意．从而得到存在唯一的符合题意． （3）分别按照和两种情况讨论证明. 【详解】（1）因为，，，， 所以，，，，， 所以，，所以，， 所以，． （2）由已知得，． 设存在正整数k，使得， 则，，， 可得，， 所以，解得． 因为，所以，． 检验：，，， 所以，，，符合题意． 综上所述，存在唯一的符合题意． （3）当时，，，． 当时，设，则， 所以，， 因为，所以， 所以． 任取，设是，，…中首次达到或超过m的项， 即且． 因为，所以，即， 所以． 例6．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知正实数数列：，对任意的，记，令集合，；记集合． (1)若：1，，，直接写出和； (2)若，且满足，求集合的元素个数的最小可能值； (3)若，证明：集合中至少含有46个元素． 【答案】(1)， (2)2 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意分别计算，再根据即可求解； （2）假设只有1个元素，2个元素，根据已知验证，即可求解； （3）用反证法证明即可． 【详解】（1）由题可知，，，，， 所以， ，，， 所以， ，，所以， 所以． （2）当，， ，，，， 要使的元素个数最少，则需要相等的元素最多； ①假设只有1个元素，即， 由得， 由得， 代入，得，与已知条件矛盾， 因此，的元素个数不可能为1； ②假设只有2个元素， 1）考虑且， ， ， 我们需要在的条件下满足上述两个等式， 由，因为，所以，即， 同时， 将代入第二个等式： ， 我们需要， 由，得， 为了满足，即， 与矛盾，因此，且无法同时成立， 2）考虑且， ， ， 代入：， 已知， 由，因为且， 所以，与矛盾， 3）考虑且， ，， 由得，代入上式：， 我们需要，， 由得， 由得， 所以， 又，由得， 由得， 取，则， 取，则， ， 此时，满足， 计算的元素：， ，元素个数为2． （3）假设中至多含有45个元素，则， 由鸽巢原理，必有一个数在中至少出现46次，设， 考虑，， 这45个值互不相同且均小于，， 因此，这45个值与共同构成了中至少46个不同的元素， 与的假设矛盾， 所以M中至少有46个元素． 变式训练 变式1．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列的公差为，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列的公比为，结合零点存在性定理可知存在使得，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列的公差为， 则，， 注意到能表示大于的所有正整数， 且为整数，必能用两个大于的整数之差表示， 所以等差数列为T数列，且有无数个，故AC错误； 对于选项BD：设等比数列的公比为，则， 对于确定的，令，， 令， 因为，则，可知函数在内单调递增， 且，，可知函数在内有且仅有一个零点. 即存在使得，即， 此时， 对于不同的，的零点可以看出方程的解， 即与在交点的横坐标， 当变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列有无数个， 所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确； 故选：D. 变式2．（2026·江西九江·二模·多选）已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（   ） A．若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B．若为“数列”且，则 C．若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D．若为“2k数列”，则 【答案】ACD 【详解】对于A，，所以此数列为0，1，0，1，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1， 故所有的和为：，故C正确； 对于D，因为且， 所以， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 当时，所有的和为， 所以，故D正确. 变式3．（2026·山东日照·二模·多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 【答案】BCD 【分析】对选项A：设公差不为0的等差数列，写出相邻项差的绝对值的前项和表达式，因为公差非零，所以判断该和是否能被常数约束；对选项B：写出等比数列相邻项差的绝对值的前项和，可利用等比数列求和公式判断该和是否有上界；对选项C：由具有性质，得到 ，将其转化为相邻项差的绝对值的和的形式，判断是否满足性质；对选项D：利用性质的定义，结合不等式的放缩法则，判断相邻项差的绝对值的前项和是否有上界. 【详解】设，，​ 对于A：若是公差的等差数列，则 ，因此 ， 当时， ，不存在满足条件的，A错误； 对于B：等比数列的通项公式为， ，则： ， ，​ 右侧为常数，取即满足条件，B正确； 对于C：若 具有性质，则存在，对任意有，， 对由三角不等式放缩： ， 存在常数 满足条件，C正确； 对于D：若 都具有性质，则二者一定有界： ， （为常数）， 对 的差放缩 ， 求和得：，右侧为常数，满足性质，D正确. 变式4．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知无穷数列满足下列三个性质： （i），； （ⅱ）对任意的，； （ⅲ）对任意的，都有. 则下列说法正确的是_____. ①当，时，； ②当时，存在单调递增的数列满足上述条件； ③当时，对任意的成立； ④对于任意数列，总存在，使得对任意的，都有. 【答案】①③④ 【分析】根据题干给出的三个性质，结合推导数列的递推关系，结合选项，分别对四个命题逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于①：当，，， 由（ⅲ）对任意的，都有，可得， 可得；； ，所以①正确； 对于②，若，若存在单调递增整数列，则必须， 即，且， 所以，因为，所以，此时， 所以，所以②错误； 对于③：当时，则 由；； ；， ， ， 且，，，，即， 归纳可得且，所以，所以③正确； 对于④，由特征方程，可得， 解得，则， 其中，则， 假设，则， 因为是无理数，要使得所有，必须， 否则会产生无理数的部分，无法始终抵消， 因为，所以，因为，所以符号交替， 所以当充分大时，成立，所以④正确； 变式5．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【答案】19 【详解】因为数列是“和谐数列”，且， 所以共有6项，且. 若，，，各项全为0，则满足条件的数列只有1个； 若，，，有2项为0，1项为1，1项为， 则满足条件的数列的个数为； 若，，，有2项为1，2项为， 则满足条件的数列的个数为，所以的个数为. 变式6．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】(1)利用等比中项的性质求出，得到数列的通项公式，利用错位相减即可求得的前n项和； (2)（ⅰ）根据题意可得x是最小元素，则X中的其他元素只能从这个元素中选取.得到这样的子集X共有个，从而得到，代入(1)问中的结论，令即可求解； （ⅱ）根据题意分析可得对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为，代入（ⅰ）的结论，则，从而得到，利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，设数列的公差为， 已知，是和的等比中项， 所以，因为，所以， 所以，所以. 所以，① ，② ①式减去②式（错位相减法）得： 因为，两边同除以得： . （2）（ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从这个元素中选取， 这样的子集X共有个. 因此，在的求和中，（即x本身）被累加了次， 所以：， 将直接代入(1)的结论中： ， ， 所以：命题得证. （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的（最小元素）求和， 设，其中Y是集合的任意子集（可以是空集）， ①若，则，此时最小元素，对应的项为， ②若，则X的最小元素就是Y的最小元素，即， 对于情况②，当Y取遍的所有非空子集时，其最小元素的总和， 恰好就是（ⅰ）中的. 因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的之和为：， 代入（ⅰ）的结论， 可得， 则， 因此，最大元素为y的所有子集，其的和为. 所以， 因为，所以， 所以， 整理得：. 变式7．（2026·天津河北·二模）若数列对于任意的，满足（，为非零常数），称数列为“型数列”.已知数列是“型数列”，数列是“型数列”，且，. (1)求数列，的通项公式； (2)设是数列的前项的和，求数列的前项的和； (3)若，是否存在实数，，，使得数列为“型数列”？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，，所以数列是等差数列，可得通项公式，根据题设得，数列是以1为首项，2为公比的等比数列； （2）设，利用并项求和法得解； （3）利用错位相减法求得，假设存在实数，使得数列为“型数列”，则，利用待定系数法得到方程组，求解即可. 【详解】（1）因为为“型数列”， 所以， 即，所以数列是等差数列， 又，，所以的公差为， 故数列的通项公式为. 因为数列是“型数列”，所以， 又因为，也成立，所以为等比数列， 公比，因此. （2）由（1）可得， 设， 因为， 故数列的前项的和为 . （3）由，得，① 所以，② 由①－②，得， 所以. 又，， 假设存在实数，，，使得数列为“型数列”， 则， 即， 整理得， 所以解得，，，不满足，为非零常数， 因此不存在实数，，，使得数列为“型数列”. 实战演练 1．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 【答案】B 【分析】设，可得，结合累加法即可求得的通项公式，代入即可. 【详解】设，因为为“等差数列，且，所以 是公差为2的等差数列，且，则， 通过累加法可得：当时， ，，…，，所以累加可得 ，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则. 2．（2026·江苏苏州·二模·多选）为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B．若是“2-数列”，则可以是常数列 C．若是"2-数列”，则对任意的正整数， D．对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）现有一种构造新数列的方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新的数列；重复以上操作．现将数列按照上述方法进行构造，第一次得到的新数列为；第二次得到的新数列为；第三次得到的新数列为；；记第n次得到的新数列为，且．当时，______；使的最小正整数n的值为______． 【答案】 【分析】本题先通过归纳得出第次构造后数列的项数规律，直接求出时的；再利用等差数列性质，求出的通项，最后解不等式得到满足条件的最小值． 【详解】设第n次构造后，数列所有项和为， 初始，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 第次，，项数为，， 归纳得，第n次构造后，项数为，， 新数列为，故中间项数， 当时，，根据题意得， 由，得 ，解得， 因为， 所以最小正整数n的值为． 4．（2026·江苏南京·模拟预测）定义：若一个数列满足其首项为0，且对于可取或的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． (1)求证：； (2)在“可取数列”中，设随机变量是的值，求： ①的概率分布； ②的期望． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，；② 【分析】（1）由条件可得或，结合独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求结论； （2）①设，可得，结合古典概型概率公式求结论； ②由①，，结合期望公式和组合数性质求结论. 【详解】（1）解：当时概率为， 当时概率为， 所以的概率为． （2）①设， 则对任意正整数取或的概率均为，且， 设．显然， 再设此时，，，中有个，个，则， 因此只能取之间的偶数值， 所以， 其中 对于偶数， 事件相当于在个数，，，中，有个取1，个取， 所以的概率分布可表示为，. ②． 所以，， 则 5．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 【答案】(1)数列是“数列” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“数列”定义，判断已知数列； （2）根据 “数列”定义，构造数列，利用数列的单调性，结合已知条件证明结论； （3）根据 “数列”定义，利用反证法证明，利用放缩法证明． 【详解】（1）已知，则 ， 当时，，即，满足定义， 数列是“数列”． （2）已知数列为“数列”，则， 变形可得，令，则单调递增， 已知任意不相等的正整数满足， 不妨设， 则， ， 单调递增，则， ，即， ，命题得证． （3）由定义得，数列递增， 若存在使得，则持续递增， ，时，与矛盾， ，即； 设，则单调递减， 对任意有，， ， ， 结合可得， ， ， ， 解得，故， 综上可得，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $