统计概率与数列知识点交叉综合问题讲义——2026届高考数学三轮冲刺

统计概率与数列知识点交叉综合训练 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 事件状态随轮次 / 次数变化 → 概率形成递推数列 → 用数列方法求通项、单调性、最值、极限 2. 解题步骤 （1）设 Pₙ = 第 n 轮结束 / 成功 / 失败 / 处于某状态的概率 （2）找递推关系（关键用全概率）：第 n 轮结果 = 前一轮各状态 × 转移概率典型形式： · 一阶： · 二阶： (3)数列化求解 一阶：构造等比： 二阶：特征方程 r² − a r − b = 0 求通项 已知 P₁、P₂ 代入定常数 (4)求分布列 / 期望 / 单调性 / 最值 / 极限 分布列：直接代通项 期望：错位相减 单调性：作差 或比值 最值：找 且 极限：看公比绝对值 考点1 几何分布与期望的数列计算 1.（2023年吉林省长春市三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 【答案】(1)分布列见详解 (2)①分布列见详解 ②证明见详解 【解析】（1）由题设，可取值为1，2，3， ，，， 因此的分布列为 1 2 3 （2）①可取值为1，2，…，， 每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：， 所以时，；当时， 故的分布列为： 1 2 3 … … ②由①知：（，）． ，故单调递增； 由上得，故， ∴， 故． 2.某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 【答案】(1)分布列见详解 (2)①分布列见详解 ②证明见详解 【解析】（1），， 因此的分布列为 1 2 3 4 P （2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故. 当时，若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，若前面人有一人答对第一题，其概率为，故. 的分布列为： 1 2 3 … P … （ⅱ）. ， 故，求得， 故， ∴，① ，② ②①，. 故 3.（黑龙江哈尔滨市三中2024高三五模）已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为p（），记X为停止抽球时所抽取的次数，X的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求X的分布列及数学期望； (2)在成功概率为p（）的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则X服从几何分布． ①求恰好第k次抽到红球的概率； ②求． 【答案】(1)分布列见详解 (2)① ② 【解析】（1）的所有可能取值为， ， ， X的分布列为： 1 2 3 4 0.1 0.09 0.081 0.729 所以的数学期望为； （2）①恰好第k次抽到红球，这意味着前次抽到的都是白球，如果，可以视为第一次就抽到了红球， 从而； ②， ， 两式相减得， 所以， 现在我们来证明时，， 事实上，，所以， 所以. 4.（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 【答案】(1)分布列见详解 (2) (3)125 【解析】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品； 既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品， 则的可能取值为，其中，，，， 所以的分布列为 3 4 5 6 . （2）因为个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个， 则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人， 于是， 则， 于是， 两式相减，得 ， 所以. （3）设只游览冰雪大世界的人数为， 则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为， 因此游客得到纪念品的总个数， 此时， 假定取最大值，必有，于是， 即，整理得， 解得，而，则，则， 所以当取最大值时，. 考点2 用数列单调性判断概率最值 1.（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)分布列见解析，. (2)(3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【解析】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 2.（2023年东三省二模）位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． (1)若，求的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 【答案】(1)20. (2)N的估计值为6666 【解析】（1）依题意X服从超几何分布，且， 故． （2）当时，，当时，， 记，则 ． 由，当且仅当， 则可知当时，；当时，， 故时，最大，所以N的估计值为6666． 3.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2025年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2024年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 附：参考数据与公式 ，若 ，则① ；② ；③ . （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求： （i）在2024年脱贫工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元? （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 【答案】(1)17.4. (2)（i）14.77千元（ii） 【解析】（1）由频率分布直方图可得： ； （2）（i）由题，， 所以满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii）， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773， 记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X， 恰有k位农民中的年收入不少于12.14千元的概率 得， 所以当时，，当时，， 这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978. 考点3 马尔可夫链数列构造（常数构造） 1.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)，，， (2) 【解析】（1）第一轮操作，甲要抽到乙的“欢”字卡片，且同时乙要抽到甲的“喜”字卡片，甲手中才能有2张“欢”字卡片， 由独立事件的概率乘法公式，可得，同理； 第二轮操作中，若第一轮结束后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第二轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0； 若第一轮结束后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，则甲有2张“欢”字卡片的概率为， 故，同理可得； （2）由对称性可知， 而只有在次操作后，甲手中有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片时，甲才有的概率在第次有2张“欢”字卡片， 若在次操作后，甲手中有2张“欢”字卡片或有2张“喜”字卡片，则在第轮操作后，甲有2张“欢”字卡片的概率为0， 所以当时，，化简得， 则可构造为， 所以是一个以为首项，以为公比的等比数列， 可得，所以， 所以. 2.（东北三省三校2026届高三下学期第二次模拟）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2) 在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示） 【答案】(1)① ② (2)详解见解析 【解析】（1）①由题意，车道转移概率： 当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项， 因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 3.（湖南永州市2026届高三第三次模拟）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1)(2)分布列见详解，(3)； 【解析】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 考点4 马尔可夫链数列构造问题（二阶递推构造） 1.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【解析】（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4， 则，，， 可得随机变量X的分布列为 2 3 4 期望为. （2）由题意可知：，，且， 因为，且， 可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 当时，则， 累加可得， 则，且时，符合上式， 所以. 2.（2025长春二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：， 【答案】(1)0.1359 (2)①②50001 【解析】（1）由题意知， 则． （2）①由题知，累计获得分时有可能是获得分时掷骰子点数小于等于4或获得分时掷骰子点数大于4，而掷骰子点数小于等于4的概率为，掷骰子点数大于4的概率为． ， 则， 故为等比数列. 由，，故首项为. 因此，……， 将所有等式相加得， 所以， 当时， 综上. ② 元． 即估计游戏奖励的预算资金为50001元 3.(湖北鄂州市2026届高三下学期4月调研)一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． (1)若摸球10次，求摸到红球个数的期望； (2)若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【解析】（1）设摸到红球的个数为，依题意有 （2）（i）依题意 第5次时结束，即第4，5次必须是红球，第3次为黄球，前2次至少一次黄球， 其概率为 （ii）若恰好第n+3次时结束，则第n+1次为黄球，第n+2，n+3次为红球，且第n次没有结束， 记第n次摸球没有结束的概率为Qn ，即 又第n+5次时结束可分为：当第n+1次为黄球时，则第n+2次为黄球红球均可以，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 当第n+1次为红球（且摸球没有结束）时，则第n+2次为黄球，之后连三次为黄球、红球、红球，第n+5次结束， 综上 经验证：P1，P2，P3，P4，P5满足上式， ． 令得 解得或 或 又 ①或② ①-②得 当n=1，2时也成立， 所以，． 考点5 马尔可夫链数列构造问题（等比构造） 1.（2024·湖南·模拟预测）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，． (1)求样本（，2…，15）的相关系数； (2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”． （ⅰ）求（）的表达式； （ⅱ）推导该植物寿命期望的值． 附：相关系数． 【答案】(1)0.8 (2)（ⅰ） （ⅱ）10 【解析】（1）由，，， 得相关系数. （2）（ⅰ）依题意，，又， 则，当时，把换成，则， 两式相减，得，即， 又，于是对任意都成立， 从而是首项为0.1，公比为0.9的等比数列， 所以； （ⅱ）由定义知，， 而， 显然， 于是， 两式相减得 ， 因此， 当足够大时，，，则，可认为． 所以该植物寿命期望的值是10 2.（2025哈尔滨六中二模）云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 16 42 4 6448.3 2060 其中，． (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 【答案】(1) (2)① ② 【解析】（1）由散点图可知，更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型， 令，所以， 因为，，，， 所以， 所以， 所以； （2）①由题可得，， 当时，， 又，即， 同理可得，当时，， 两式相减得， 即，， 因为， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列， 当时，， 所以； ② ， 令， 则， 两式相减得， ， 所以， 则 考点6 马尔可夫链数列构造问题（二阶+指数） 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由 【答案】(1) (2)（i），（ii），当时，是否无限趋近于一个常数，即. 【解析】（1）甲从A盒中摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为，乙从B盒中摸到黄球的概率为， 红球的概率为，乙从C盒中摸到黄球的概率为，红球的概率为， 故甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率为. （2）（i）, , （ii）设事件表示甲乙两人在第轮摸球游戏中获得“驰骋”卡片， 则 ， 则，或 又， 当时，， 所以，， ， 故为等比数列，且公比为，首项为， 则，故， 而满足上式，因此； 当时，， 则，则， 故为等比数列，且公比为，首项为， 故， 而满足上式，因此， ， 当时，则. 综上可得：故当时，无限趋近于一个常数，即. 2.（2025山西临汾二模）乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛. (1)求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率； (2)求甲､乙在比赛过程中相遇的概率； (3)为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似. （i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）； （ii）求的最小值. 【答案】(1) (2) （3）（i） （ii）8 【解析】（1）设甲的位置固定，若乙要与甲在第一轮相遇只能在同一组，所以甲乙在第一轮相遇的概率. （2）由题可知甲乙相遇包括三种情况：甲乙第一轮相遇，甲乙第二轮相遇，甲乙第三轮相遇， 甲乙要在第二轮相遇，则甲乙在同一个半区，但不在同一组的概率为， 同时甲乙在第一轮都要获胜则. 甲乙要在第三轮相遇，则甲乙不在同一个半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜则. 所以甲乙相遇的概率. （3）（i）当人数增加到，则固定甲的位置后，乙有个选择， 要使得甲乙能在第三轮相遇， 由（2）可知甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为， 同时甲乙在第一､二轮都要获胜， 则甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率为. （ii）解法一：记比赛的轮次为事件， 甲乙在比赛过程中相遇的事件为，要使甲乙能在第轮相遇， 则甲乙必须得在同一个区内的不同半区的概率为， 同时甲乙在前轮都要获胜， 所以. 所以甲乙相遇的概率为. 要使得甲乙相遇的概率小于0.01，即，即， 又因为为整数，所以，所以最小的值为8. 解法二：设名选手参赛，甲乙相遇的概率为， 则当时，甲乙一定相遇，此时. 当名选手参赛，甲乙相遇的概率为. 考虑将个选手分成上下两个区，每区名选手，这时有2种情况， 情形一：乙和甲在同一区，此时甲乙相遇的概率为， 情形二：乙和甲不在同一区，两人相遇必须都进入决赛，即前轮比赛均获胜. 所以， 于是， ， 累加得 所以. 令，则，因为为正整数，所以的最小值为8. 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 统计概率与数列知识点交叉综合训练 【思维导图】 【核心总结】 1、 题型本质 事件状态随轮次 / 次数变化 → 概率形成递推数列 → 用数列方法求通项、单调性、最值、极限 2. 解题步骤 （1）设 Pₙ = 第 n 轮结束 / 成功 / 失败 / 处于某状态的概率 （2）找递推关系（关键用全概率）：第 n 轮结果 = 前一轮各状态 × 转移概率典型形式： · 一阶： · 二阶： (3)数列化求解 一阶：构造等比： 二阶：特征方程 r² − a r − b = 0 求通项 已知 P₁、P₂ 代入定常数 (4)求分布列 / 期望 / 单调性 / 最值 / 极限 分布列：直接代通项 期望：错位相减 单调性：作差 或比值 最值：找 且 极限：看公比绝对值 考点1 几何分布与期望的数列计算 1.（2023年吉林省长春市三模）国学小组有编号为1，2，3，…，的位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为、答对第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：①按编号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮出赛，先答第一题；②若第号同学未答对第一题，则第轮比赛失败，由第号同学继继续比赛；③若第号同学答对第一题，则再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第轮结束；若该生未答对第二题，则第轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；④若比赛进行到了第轮，则不管第号同学答题情况，比赛结束． (1)令随机变量表示名同学在第轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列； (2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答．令随机变量表示名挑战者在第轮比赛结束． ①求随机变量的分布列； ②证明：单调递增，且小于3． 2.某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下： ①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题； ②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战； ③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战； ⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （1）求随机变量的分布列； （2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答. 令随机变量表示n名挑战者在第轮结束. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）证明. 3.（黑龙江哈尔滨市三中2024高三五模）已知箱中有若干个大小相同的红球和白球，每次抽一个球，若抽到白球，则放回并再次抽球，若抽到红球，则不再抽取．设每次抽到红球的概率为p（），记X为停止抽球时所抽取的次数，X的数学期望为． (1)若最多抽4次，且，求X的分布列及数学期望； (2)在成功概率为p（）的伯努利试验中，记X为首次成功时所需的试验次数，X的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量X的概率分布为几何分布．若抽球一直进行下去，则X服从几何分布． ①求恰好第k次抽到红球的概率； ②求． 4.（黑龙江哈尔滨市三中2024高三一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率. (1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为，求的分布列及数学期望； (2)记个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前项和； (3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为个的概率为，当取最大值时，求的值. 考点2 用数列单调性判断概率最值 1.（广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 2.（2023年东三省二模）位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 一个池塘里的鱼的数目记为N，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目． (1)若，求的数学期望； (2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N的估计值（以使得最大的N的值作为N的估计值）． 3.某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2025年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2024年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： 附：参考数据与公式 ，若 ，则① ；② ；③ . （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ，其中近似为年平均收入 近似为样本方差 ，经计算得：，利用该正态分布，求： （i）在2024年脱贫工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元? （ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少? 考点3 马尔可夫链数列构造（常数构造） 1.（甘肃省2026届高三第一次模拟考试）甲､乙两人各持有1张“欢”字卡片和1张“喜”字卡片，规定两人每次同时从对方手中随机抽取1张卡片交换（记为一轮操作）.记轮操作后，甲手里有2张“欢”字卡片的概率为，甲手里有2张“喜”字卡片的概率为. (1)求的值； (2)求的值. 2.（东北三省三校2026届高三下学期第二次模拟）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2) 在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示） 3.（湖南永州市2026届高三第三次模拟）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 考点4 马尔可夫链数列构造问题（二阶递推构造） 1.（湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考）某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分. (1)若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望； (2)设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式. 2.（2025长春二模）某企业举办企业年会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏环节． (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都会得到相应的奖金X（单位：千元），其奖金的平均值为，标准差为．经分析，X近似服从正态分布，用奖金的平均值作为的近似值，用奖金的标准差s作为的近似值，现任意抽取一位员工，求他所获得奖金在的概率； (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则，得1分．连续投掷累计得分达到9或10时，游戏结束． ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率为，求； ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金（精确到1元）． （参考数据：， 3.(湖北鄂州市2026届高三下学期4月调研)一个不透明的口袋中放有完全相同的2个红球、2个黄球．现每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后又放回口袋中． (1)若摸球10次，求摸到红球个数的期望； (2)若连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球．记恰好第次摸球时结束的概率为． （i）求； （ii）求． 考点5 马尔可夫链数列构造问题（等比构造） 1.（2024·湖南·模拟预测）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号，统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（，2，…，15），得到数组．已知，，． (1)求样本（，2…，15）的相关系数； (2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”． （ⅰ）求（）的表达式； （ⅱ）推导该植物寿命期望的值． 附：相关系数． 2.（2025哈尔滨六中二模）云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认的三大最适宜鲜切花种植的区域之一，鲜切花种植面积和产量位居全球第一，全省花卉种植面积稳定在190万亩左右．近8年云南省花卉种植面积统计数据及散点图如图． (1)经计算得下表中数据，根据散点图，在模型①：与模型②：，（，，，均为常数）中，选择一个更适合作为云南省花卉种植面积关于年份代码的回归方程类型，求出关于的回归方程； 1.5 165 204 16 42 4 6448.3 2060 其中，． (2)运输过程中，为保证鲜切花质量，需对其存活天数进行研究．一品种鲜切花存活天数为随机变量，且最多只能存活天，研究人员发现，存活天数为的样本在存活天数超过的样本里占25%，存活天数为1的样本在全体样本中占20%． ①求； ②用表示该品种鲜切花存活天数的数学期望． 附：， 考点6 马尔可夫链数列构造问题（二阶+指数） 1.（山东济宁市2026年高考第一次模拟）2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响. (1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率； (2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且. （i）求； （ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由 2.（2025山西临汾二模）乒乓球体育俱乐部计划进行单打比赛，采用单淘汰制进行比赛，即每名选手负一次即被淘汰出局.现有8名乒乓球单打运动员随机编号到对阵位置，所有运动员在任何一场比赛中获胜的概率均为.现有甲､乙两位孪生兄弟参赛. (1)求甲､乙在第一轮比赛过程中相遇的概率； (2)求甲､乙在比赛过程中相遇的概率； (3)为使得甲､乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，俱乐部计划增加运动员人数到名，对阵图和上图类似. （i）求甲、乙两人在第3轮比赛中相遇的概率（用含的式子表示）； （ii）求的最小值. 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $