专题4-6 面面平行（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学“面面平行”核心知识点，承接线面平行等前置内容，通过判定定理（线面平行推面面平行、线线平行推面面平行）和性质定理（交线平行、线面平行）构建知识支架，系统梳理平行关系转化脉络。 资料以正方体、四棱锥等实例设计即学即练、典例与变式，培养空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），题型涵盖选择、解答题，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

null 4-6 面面平行 讲义 教学目标 理解掌握面面平行的判定与性质，能够应用面面平行性质解题. 教学重点 面面平行的判定与性质. 教学难点 应用面面平行性质解题. 知识点01 面面平行的判定 面面平行判定定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. (简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 面面平行判定定理2：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.（线线平行面面平行） 【即学即练1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体′′′中，下列结论正确的是（    ） A．平面∥平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 知识点02 面面平行的性质 1.面面平行性质定理：（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ⇒a∥b （2）如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行. ⇒a∥β 2.平行问题的转化关系 3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【即学即练2-1】（24-25高一下·河北·月考）已知a，b表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若a，b与平面所成的角相等，则；④若a，b异面，且a，b均与平面，平行，则．其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（   ） A． B． C．与异面 D． 平面 题型01 面面平行的判定 【典例1-1】（2025高一上·江苏南通·专题练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【典例1-4】（25-26高一下·全国·期中）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面；（2）平面平面；（3）；（4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 【变式1-1】（23-24高一下·天津河西·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，．则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，则． 其中正确命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 【变式1-4】（23-24高一下·天津武清·月考）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（    ） A．与所成角为 B．点P为线段的中点 C．三棱锥的体积为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【变式1-5】(多选)（2026高一下·全国·专题练习）在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点．以下结论中，正确的是（   ） A．点是的垂心 B．平面 C．的延长线经过点 D．直线和所成的角为 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么；②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么；④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 题型02 面面平行的性质 【典例2-1】（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）若平面平面，直线，点，且，则在内过点的所有直线中（    ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 【典例2-3】(多选)（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得 平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【典例2-4】（23-24高一下·广东深圳·月考）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.则直线与平面的位置关系为_________（填相交或平行）. 为线段上一点，使得四点共面，则的值为__________. 【变式2-1】（24-25高一下·福建三明·期中）在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，为异面直线 C．若，，，则 D．若，，则 【变式2-2】（24-25高一下·河北邢台·月考）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个 D．若，，，则且 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．存在点P，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 【变式2-6】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为_________. 题型03 面面平行的应用 【典例3-1】（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25高一下·四川南充·期末）如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（    ） A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 【典例3-4】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 【变式3-1】（22-23高一下·四川成都·月考）设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【变式3-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D．    【变式3-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若 平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上，在正方形内，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．平面截正方体，所得截面的周长为 C．点到直线的距离的最小值为 D．若平面，则的最小值是 【变式3-6】（2025·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 一、单选题 1.（22-23高一下·河北邢台·期中）在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（    ） A．对任意直线，，总存在直线，使得， B．对任意直线，，总存在直线，使得， C．对任意平面，，总存在直线，使得， D．对任意平面，，总存在直线，使得， 2.（25-26高一下·全国·课后作业）已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.（25-26高一·全国·寒假作业）设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 5.（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 6.（24-25高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若 平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（    ） A． B． C． D． 8.（23-24高一下·天津北辰·期中）如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 10.（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是（   ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．点的轨迹长度为 C．存在点，使得 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 11.（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点满足，则动点的轨迹长度为 B．当点在棱上时，的最小值为 C．当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当在底面上运动，且满足平面时，线段PF长度最大值为 三、填空题 12.（24-25高一下·天津·月考）已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①；②； ③；④. 其中正确的是______.(写出所有正确命题的序号) 13.（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 14.（23-24高一下·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是______. 四、解答题 15.（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 16.（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 17.（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 18.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，. (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 19.（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-6面面平行讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01面面平行的判定 4-6面面平行 知识点01面面平行的判定 题型02面面平行的性质 题型03面面平行的应用 知识点02面面平行的性质 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握面面平行的判定与性质，能够应用面面平行性质解题 教学重点 面面平行的判定与性质。 教学难点 应用面面平行性质解题. 知识清单 知识点01面面平行的判定 面面平行判定定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. (简记为“线面平行→面面平行”) B (aca,bca, anb=P, →a∥B a//B,b//B. 面面平行判定定理2：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平 行.（线线平行→面面平行） 【即学即练1-1】(25-26高一下.全国课堂例题)在长方体ABCD一A'BCD中，下列结论正确的是() A.平面ABCD∥平面ABBA B.平面ABCD/平面ADDA C.平面ABCD/平面CDDC D.平面ABCD//平面A'B'CD 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一下.全国·课后作业)（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形 ABCD为正方形，点E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点，则在原四棱锥中() A.平面EFGH/平面ABCD B.BC/平面PAD C.AB/平面PCD D.平面PAD/平面PAB 第1页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 知识点02面面平行的性质 1.面面平行性质定理：(1)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行， a//B x∩y=a→ab Bny=b) (2)如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行. a al/a→a/B aca) 2.平行问题的转化关系 性质 判定 线线平行 线面平行 性质 判定之面面平行 性质 判定 3.平行关系中的三个重要结论 (①)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥a,aLB,则a∥B. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若a∥B,B∥y,则a∥. (3)若a∥B,aCa,则a∥B. 【即学即练2-1】(24-25高一下河北月考)己知4，b表示两条不重合的直线，a心，B表示两个不重合的平面， 现给出下列四个命题：①若aca,bcB,aIb,则aIB;②若aca,bcB,a‖B,则aIb:③若a,b与 平面a所成的角相等，则aIb;④若a,b异面，且a,b均与平面ax,B平行，则a‖B.其中真命题的个数 是() A.1 B.2 C.3 D.4 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下，全国.单元测试)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是线段A1B1, B1C1上与端点不重合的动点，A1E=B1F,有下面四个结论，其中正确的是() A.EF⊥AA1 B.EF II AC 第2页共15页 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.EF与AC异面 D.EFI平面ABCD 题型精讲 题型01面面平行的判定 【典例1-1】(2025高一上江苏南通.专题练习)设，B是两个平面，m,n是两条直线，则下列命题为真命 题的是() A.若mla,aIB,则m‖B B.若alB,m1a,n1B,则m⊥n C.若mc,ncB,mIn,则alB D.若mla,mcB,anB=n,则mln 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)在正方体ABCD-A1B1C1D1中与平面D1AC不平行的是() A.AB B.BB1 C.BC1 D.A1C1 【典例1-3】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)（多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G 分别是棱A1B1,B1C1,BB1的中点，则() A.FG/平面AA1D1D B.EF/平面BC1D1 C.FG/平面BC1D1 D.平面EFG//平面BC1D1 D B B 【典例1-4】(25-26高一下.全国期中)如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，0为底面正方形的中心， M,N分别为侧棱PA,PB的中点，有下列结论： (1)PC//平面OMN;(2)平面PCD/平面OMN;(3)OM1PA;(4)直线PD与直线MN所成角的大小为90° 其中正确结论的序号是 M 【变式1-1】(23-24高一下·天津河西·期末)设m,n是两条不同的直线，c,B,y是三个不同的平面，给出 下列命题： ①若m/a,n/B,aⅡB.则mlm;②若aIY,B‖y,则aIB: ③若m1a,n1B,alB,则mln:④若&1Y,B1Y,则aIB. 第3页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确命题的序号是() A.①③ B.①④ c.②③ D.②④ 【变式1-2】（24-25高一下.辽宁抚顺期末)下列说法正确的是() A.一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B.一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C.一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D.一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【变式1-3】(2025高一.全国.专题练习)如图，在棱长均相等的四棱锥P-ABCD中，0为底面正方形的中 心，M,N分别为侧棱PA,PB的中点，则下列结论中不正确的是(). B A.PD//平面OMN B.平面PCD//平面OMN C.PD⊥MN D.ON⊥PB 【变式1-4】(23-24高一下·天津武清·月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB1C1D1中，E,F,G分 别是AB,BC,CC1的中点，点P在线段B1D1上，BP/平面EFG,则以下错误的是() A.D1C与EF所成角为60° B.点P为线段B1D1的中点 C.三棱锥P一EFG的体积为 D.平面EFG截正方体所得截面的面积为3V3 A D B D 【变式1-5】（多选）(2026高一下·全国.专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂 线，垂足为点H.以下结论中，正确的是() A.点H是△A1BD的垂心 B.AH1平面CB1D1 C.AH的延长线经过点C1 D.直线AH和BB1所成的角为45° 【变式1-6】（25-26高一下.全国·课堂例题)、B是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是 第4页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①平面内有两条直线a、b都与平面B平行，那么a‖B:②平面a内有无数条直线平行于平面B,那么aIB: ③若直线a与平面a和平面β都平行，那么a‖B;④平面a内所有的直线都与平面B平行，那么aIB. 题型02面面平行的性质 【典例2-1】(24-25高一下·福建三明·期中)若m,n是不相同的直线，a,B是不重合的平面，则下列命题为 真命题的是() A.若ml,nla,则mIn B.若mla,nc,则mIn C.若ma,mⅡB,则aIB D.若aB,mca,则mIB 【典例2-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)若平面c//平面B,直线ala,点B∈B,且B庄a,则在β内过 点B的所有直线中() A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线 【典例2-3】（多选）(24-25高一下.安徽合肥期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为B1C1 的中点，P为线段B1D1上动点（包括端点），则下列说法中正确的是() D A.存在P点使得MPI平面A1DB B.直线BM与平面BDD1B1所成角正弦值为 10 C.AP+MP的最小值为W7+2 D.若点Q在正方体ABCD-A1B1C1D1,表面上运动（包含边界），且MQ1A1C,则点Q的轨迹长度为6√2 【典例2-4】(23-24高一下.广东深圳·月考)如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，BC=CD= 2,∠BCD=120°，M为线段AE的中点.则直线MD与平面BEC的位置关系为 (填相交或平行).N 为线段EB上一点，使得D,M,,C四点共面，则的值为 【变式2-1】(24-25高一下.福建三明期中)在空间中，a,b,c是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面， 则下列说法正确的是() 第5页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.若a1c,b⊥c,则a//b B.若aca,bcB,则a,b为异面直线 C.若a/a,b/IB,a/IB,则a/Ib D.若a/B,aca,则a/B 【变式2-2】(24-25高一下.河北邢台·月考)已知直线a,b,c是三条不同的直线，平面a,B,y是三个不同 的平面，下列命题正确的是() A.若a/a,b/a,则a//b B.若a/b,a/1a,则b/a C.若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个 D.若a/IB,aca,bca,则a/B且b/B 【变式2-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)己知P为△ABC所在平面外一点，平面//平面ABC,且交线 段PA,PB,PC于点A,B,C,若PA:AA=2:3,则SAABC:S△ABc=（) A.2:3 B.2:5 C.4:9D.4:25 【变式2-4】(25-26高一下·浙江嘉兴期中)如图，AM在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM与BC是相交直线：②直线AM与BN是平行直线：③直线BN与MB1 是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为() A.③④ B.①② c.①③ D.②④ D 【变式2-5】（多选）(24-25高一下浙江杭州·期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为 线段A1C1上的动点，则下列说法正确的是() D 第6页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.A1C1/平面ACD1 B.存在点P,使得直线AC与BP共面 C.PB1+PA的最小值为V2+V2 D.若M为线段B1C上的动点，且MP/平面ABB1A1,则MP的最小值为号 【变式26】(2024高一下·全国.专题练习)如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E,F分别是棱 AD、BC的中点若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到 一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为 题型03面面平行的应用 【典例3-1】（25-26高一下.全国课后作业)给出下列四个命题： ①若平面a/平面B,直线aca,直线bcB,则a/b: ②若直线a/直线b,直线a/平面a,直线b/平面B,则α/B: ③若平面ax/平面B,直线acax,则a/B; ④若直线a/平面，平面a/平面B,则a/IB. 其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 【典例3-2】(24-25高一下.四川南充·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BC的中点，点Q为四边 形CC1D1D及其内部的动点，PQ/平面BB1D1D.则PQ与平面ABCD所成角正切值的范围() D By A.. B.b,9 c.o. D.[0,V2 【典例3-3】（多选）(25-26高一下陕西西安期中)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F, G分别是CB,CD的中点，E在棱CC1上，满足CE=kCC1,k∈[O,1],P为线段AD1上的一个动点，平面a// 第7页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平面EFG,则下列命题中正确的是() D C P A.当k=时，AD1/平面EFG B.当<k<1时，过点A,F,E的平面截该正方体所得的截面为五边形 C.当k-封，平面α截该正方体所得截面面积的最大值为 D.PF+PG的最小值为8+36 【典例3-4】(24-25高一上·上海嘉定·期中)已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的 面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为 【变式31】(22-23高一下四川成都月考)设a,b为两条不同的直线，，B为两个不同的平面，则下列四 个命题中正确的是() A.若aca,bcB,a/b,则a/B B.若a//a,b/B,/IB,则a/b C.若a￠a,bca,a//b,则a//a D.若a/a,bca,则a/b 【变式32】(24-25高一下浙江杭州·期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱 AB,BC,CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小 值为() A.1 B.月 c.号 D.② 4 【变式33】(24-25高一下江西南昌·期末)如图，在棱长为V2的正方体ABCD一A'B'CD中，点E、F、G 分别是棱AB'、BC'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于() A.3 B.2V3 C.55 2 2 D.3② 2 D G D E B 【变式3-4】(24-25高一下·福建福州·期末)己知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱长为3，底面边长为2， 第8页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E是棱BC的中点，F是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点P在侧面BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1Ⅱ 平面AEF则线段PA1长度的最小值是() A.√5 B.3 C.32 2 D.23 D D 【变式35】（多选）(24-25高一下.江苏连云港·月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、 N分别是棱BC、CC1的中点，点P在线段AN上，Q在正方形ABB1A1内，则下列说法中正确的是() A.直线DD1与直线AN所成角的正切值为2V2 B.平面AMN截正方体，所得截面的周长为2(V5+√② C.点P到直线DD1的距离的最小值为V2 D.若A1Q/平面AMN,则DQ的最小值是5 D B 【变式36】(2025福建龙岩.二模)棱长均为√5的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上.若相邻两平 行平面的距离都为d,则d的值为 强化训练 一、单选题 1.(22-23高一下·河北邢台期中)在空间中，a,b,c为互不重合的三条直线，，B为两个不同的平面，则 () A.对任意直线b,c,总存在直线a,使得a/b,alIc B.对任意直线b,c,总存在直线a,使得a⊥b,a⊥c C.对任意平面，B,总存在直线a,使得a1a,a⊥B D.对任意平面a,B,总存在直线a,使得a/a,alB 2.(25-26高一下.全国课后作业)已知m,n表示直线，，B,Y表示平面，有以下命题： ①m,n相交且都在平面a,B外，m/a,ml/B,n//a,n//B,则a/B;②若any=m,Bny=n,且m/m, 则a/1B;③若m/a,n/B,m/n,则a//B.其中正确命题的个数是() 第9页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.3 3.(25-26高一，全国·寒假作业)设%，B是两个不同的平面，m是直线且mcB,则“m/a"是“a//B"的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一下江苏南通·月考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为BC,A1D1的中点，则() A.AF//EC B.AF⊥BC C.平面ACF/平面A1EC D.EF与A1C所成的角大小为60° 5.(24-25高一下.北京通州期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4,AA1=2,点P,Q 分别为BC,C1D1的中点，点M为长方形ADD1A1内一动点（含边界)，若直线QM//平面APC1,则点M的轨迹 长度为() D A B D B A.2 B.5 C.22 D.V10 6.(24-25高一下湖南期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别是棱BC,CC1的中点， 动点P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若PA1I平面AEF,则线段PA1的长度的最小值是() D D A. 32 B.2 C.V5 D.3 7.(23-24高一下.湖北武汉·期末)己知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是棱AB的中点，点F是棱 CC1的中点，动点P在正方形AA1DD1(包括边界)内运动，且PB1/平面DEF,则PD的长度范围为() A.[V13,V19] B. ,2v c,2 D.1 8.(23-24高一下·天津北辰.期中)如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点 E、F,且EF=子给出下列判断： ①直线AC与B1D1异面；②EF/平面ABCD:③三棱锥A-BEF的体积为定值；④△AEF的面积与△BEF 第10页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的面积相等：⑤Vc-ABF=Vc-ABB.其中判断正确的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 C B E B 二、多选题 9.(25-26高一下.全国课后作业)如图，在三棱台A1B1C1一ABC中，点D在A1B1上，点M是棱B1C1上的点， 且有平面BDM//平面A1C1CA,则() A.DM II AC1 B.BM II CC1 C.BM II AA D.DM II AC A B C M B D 10.(24-25高一下.安徽合肥期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，F是侧 面CDD1C1上的动点，且满足B1F/平面A1BE,则下列结论中正确的是() A.平面A1BE截正方体ABCD-A1B1C1D,所得截面面积为 B。点F的轨迹长度为好 C.存在点F,使得B1F⊥CD1 D.直线B1F与平面CDD1C1所成角的正弦值的最大值为25 5 A D B E 。 D 11.(23-24高一下·福建厦门期中)如图，点P是棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1的表面上一个动点，F 是线段A1B1的中点，则() A.若点P满足AP1B1C,则动点P的轨迹长度为4W2+4 B.当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为V5 C.当直线AP与AB所成的角为45时，点P的轨迹长度为π+4W2 第11页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.当P在底面ABCD上运动，且满足PF/平面B1CD1时，线段PF长度最大值为2√2 D B 8 B 三、填空题 12.(24-25高一下·天津.月考)己知m,n为直线，a,B为平面，给出下列命题： ①m1 m⊥n) →n/a:( 士} →m/m; ③m1 m ca m⊥B) →a/B:④ncB →m/m. a//B 其中正确的是 (写出所有正确命题的序号) 13.(25-26高一下，浙江丽水期中)四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，如图所示，点E是棱PD上一点， PE=二PD,若PF=PC且满足BF/平面ACE,则1= 14.(23-24高一下，河北石家庄期中)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形ABCD内（包 括边界)的一动点，E,F分为别为棱AB,BC的中点，若直线D1P与平面EFC1无公共点，则线段DP的长 度范围是 四、解答题 15.(24-25高一下·陕西汉中.期末)由正方体ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图 所示，O为AC与BD的交点 (1)求证：A10/平面B1CD1: (2)求证：平面A1BD/平面B1CD1 A 第12页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26高一下.北京朝阳·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G,E,F,，P分别为棱AB,D1C1 B1C1,AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且D1M=3A1M. (1)求证：D1G/平面DBFE; (2)已知点N是棱A1B1上的一点，且B1N=3A1N,求证：平面PMN/平面DBFE. D E M B D . G 第13页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(25-26高一下·全国.课堂例题)如图所示，在长方体A'BCD'-ABCD中，AB=3cm,BC=2cm,BB′=1cm, 求： (1)点A'到平面BBCC的距离： (2)直线A'D'与平面ABCD的距离： (3)平面ABBA与平面CDDC的距离. D' C B A D B 18.(24-25高一下·浙江杭州·期中)如图，三棱锥P-ABC各棱长均为1，侧棱上的D,E,F满足PD=DA, =咒=入，线段BC上的点G满足AG/平面DEF,点Q在PC上，AQ/DF. BP PC (1)求证：平面AQG/平面DEF: (2)求证：QG//EF: (3)若GC=2BG,求1的值. B 第14页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(24-25高一下·浙江宁波·期中)如图已知四棱锥S-ABCD,底面ABCD为梯形，AD II BC,SA=AB=BC=2, AD=3,P、Q为侧棱SD上的点，且DP:PQ:QS=3:2:4,点M为SA上的点，且3AM=AS (1)求证：CP/平面SAB: (2)求证：平面BMQ//平面ACP: (3)平面8MQ与侧棱sC相交于点E,求是的值. S M B 第15页共15页 4-6 面面平行 讲义 教学目标 理解掌握面面平行的判定与性质，能够应用面面平行性质解题. 教学重点 面面平行的判定与性质. 教学难点 应用面面平行性质解题. 知识点01 面面平行的判定 面面平行判定定理1：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. (简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 面面平行判定定理2：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.（线线平行面面平行） 【即学即练1-1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在长方体′′′中，下列结论正确的是（    ） A．平面∥平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 【即学即练1-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，点，，，分别为，，，的中点，则在原四棱锥中（   ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】先把平面展开图还原为四棱锥，由面面平行的判定可判断A；易知四个侧面两两相交，据此可判断D；再根据线面平行的判定判断BC即可． 【详解】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则， 又平面，平面， 所以平面． 同理可证平面， 又，，平面， 所以平面平面，故选项A正确； 平面，平面，平面，平面是四棱锥的四个侧面， 则它们两两相交，故选项D错误； ，平面，平面， 平面，同理平面，故选项B，C正确． 故选：ABC． 知识点02 面面平行的性质 1.面面平行性质定理：（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. ⇒a∥b （2）如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行. ⇒a∥β 2.平行问题的转化关系 3.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)若α∥β，a⊂α，则a∥β. 【即学即练2-1】（24-25高一下·河北·月考）已知a，b表示两条不重合的直线，，表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若a，b与平面所成的角相等，则；④若a，b异面，且a，b均与平面，平行，则．其中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】利用空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系逐项判断正误即可. 【详解】由，得或与相交，则①是假命题． 由，得或与为异面直线，则②是假命题． 由与平面所成的角相等，得平行或相交或异面，则③是假命题． 过空间内一点作异面直线的平行线，可以确定一个平面， 根据条件可得，从而得到，则④是真命题． 故选：A. 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）在正方体中，，分别是线段，上与端点不重合的动点，，有下面四个结论，其中正确的是（   ） A． B． C．与异面 D． 平面 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、面面平行证明线面平行 【分析】由线面垂直的定义可知A正确；由平行直线和异面直线的定义可判断B，C；由面面平行的性质定理可判断D. 【详解】如图: 由于平面，平面，则，所以A正确； 当，分别是线段，的中点时，. 又 ，所以四边形为平行四边形，所以，则，所以C不正确； 当，不是线段，的中点时，与异面，所以B不正确； 由于平面平面，平面，所以平面，所以D正确． 故选：AD. 题型01 面面平行的判定 【典例1-1】（2025高一上·江苏南通·专题练习）设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断线面是否垂直、线面平行的性质 【分析】选项：根据线面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线线平行的判定定理即可判断； 选项：根据面面平行的判定定理即可判断； 选项：根据线面平行的性质定理即可判断； 【详解】选项：若，则m可能平行于，也可能在内，A为假命题； 选项：若且，则；又，则，B为假命题； 选项：若、且，与可能相交或平行，C为假命题； 选项：若、且，根据线面平行的性质定理可得，D为真命题． 故选：. 【典例1-2】（25-26高一下·全国·课后作业）在正方体中与平面不平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行 【分析】利用线面平行的判定定理判断ACD；利用面面平行的判定定理以及反证法判断B选项. 【详解】如图，因为，所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 同理可证，四边形为平行四边形， 同A证出，平面，平面，故C、D正确； 因为平面，所以平面平面， 若平面，则平面或平面，显然不成立，故B错误. 故选：B 【典例1-3】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）在正方体中，点，，分别是棱，的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断面面平行 【分析】在正方体中，易得，，结合线面平行的判定即可判断AC；由直线与平面的位置关系可得与平面相交，据此可判断BD． 【详解】在正方体中，点，，分别是棱，，的中点，． ，， 又平面，平面， 平面，故选项A正确； ，与平面相交， 与平面相交，故选项B错误； ，平面，平面， 平面，故选项C正确； 与平面相交， 平面与平面相交，故选项D错误． 故选：AC． 【典例1-4】（25-26高一下·全国·期中）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论： （1）平面；（2）平面平面；（3）；（4）直线与直线所成角的大小为． 其中正确结论的序号是____________． 【答案】（1）（2）（3） 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面平行、判断面面平行 【分析】根据题意，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定（1）正确；再证得平面，利用面面平行的判定定理，可判定（2）正确；利用勾股定理，证得，结合，可判定（3）正确；利用异面直线所成角的定义和求法，可判定（4）错误. 【详解】如图所示，连接，因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面，所以（1）正确； 因为分别为的中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面，所以（2）正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 因为，所以，所以（3）正确． 由于，分别为侧棱，的中点，所以， 因为四边形为正方形，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即为或其补角， 又因为三角形为等边三角形，所以，所以（4）错误． 故答案为：（1）（2）（3）. 【变式1-1】（23-24高一下·天津河西·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，．则；②若，，则； ③若，，，则；④若，，则． 其中正确命题的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中的平行垂直关系逐个判断即可. 【详解】对①, 若，，,则与可以平行、相交或异面，故①错误. 对②, ，，则，故②正确. 对③,当，，，则，故③正确. 对④, ，，则或者, 与相交，故④错误. 故②③正确. 故选：C 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁抚顺·期末）下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】根据平面与平面的位置关系及面面平行的判定定理判断即可. 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 【变式1-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱的中点，则下列结论中不正确的是（）.    A．平面 B．平面平面 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明面面平行、证明线面平行、求异面直线所成的角 【分析】连结，利用三角形中位线定理证明，然后可判断A；利用平行直线的传递性，结合面面平行的判定定理可判断B；借助可判断C；利用勾股定理证明，然后可判断D. 【详解】对A，连结，因为为正方向，所以为的中点， 又为的中点，所以则， 因为平面，平面，所以平面，故A正确． 对B，由分别为侧棱的中点，得， 因为平面，平面，平面， 又平面，是平面内的两条相交直线， 所以平面平面，故B正确．    对C，因为，易知，所以直线与直线不垂直，故C错误. 对D，设棱长为，则，所以，故， 又，所以，故D正确． 故选：C． 【变式1-4】（23-24高一下·天津武清·月考）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是，，的中点，点P在线段上，平面，则以下错误的是（    ） A．与所成角为 B．点P为线段的中点 C．三棱锥的体积为 D．平面截正方体所得截面的面积为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】对于A，连接，得出即为与所成角的平面角即可判断； 对于B，连接，证明平面和平面重合即可判断； 对于C，利用等体积法求出三棱锥的体积； 对于D：先判断出平面截正方体所得截面为正六边形，边长为，即可判断. 【详解】对于A，连接， 因为分别为的中点，所以， 所以即为与所成角的平面角， 在中，，故， 所以与所成角为，故A正确； 对于B，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面， 因为平面，平面， 所以平面平面， 而为平面和平面的公共边， 所以平面和平面重合， 所以点即为的交点， 所以点P为线段的中点，故B正确； 对于C：因为平面，所以点到平面的距离相等， 所以，故C错误； 对于D：分别取，，的中点为，连接， 在正方体中，， 所以，所以四点共面， 同理可证：共面， 在棱长为2的正方体中，所以. 同理可求：， 所以平面截正方体所得截面为正六边形，边长为， 面积为，故D正确. 故选：C. 【变式1-5】(多选)（2026高一下·全国·专题练习）在正方体中，过点作平面的垂线，垂足为点．以下结论中，正确的是（   ） A．点是的垂心 B．平面 C．的延长线经过点 D．直线和所成的角为 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、证明面面平行、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A，证明和即可判断；对于B，证明平面平面即可判断；对于C，证明平面即可判断；对于D，结合C选项，说明即为直线和所成的角，即可判断. 【详解】因为平面，平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，又平面．所以， 同理可证，所以点是的垂心，故A正确； 因为，平面，平面， 所以平面， 同理平面， 又，平面 所以平面平面， 因为平面，所以平面，故B正确； 因为平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 同理可得， 又因为，平面， 所以平面， 因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以和重合，故C正确； 因为，由C选项得知和重合， 所以为直线和所成的角， 在中，，故，故D错误. 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课堂例题）是两个不重合的平面，下面说法中，正确的是________． ①平面内有两条直线都与平面平行，那么； ②平面内有无数条直线平行于平面，那么； ③若直线与平面和平面都平行，那么； ④平面内所有的直线都与平面平行，那么． 【答案】④ 【难度】0.4 【知识点】面面关系有关命题的判断、判断面面平行 【分析】根据面面平行的判定定理判断即可. 【详解】如图1所示，①、②都不能保证无公共点，故①、②错误； 如图2所示，③中当，时与可能相交，故③错误； 只有④说明，一定无公共点，故④正确． 题型02 面面平行的性质 【典例2-1】（24-25高一下·福建三明·期中）若，是不相同的直线，是不重合的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】线面平行的性质、面面平行证明线面平行 【分析】根据平面内直线、平面平行的性质判断即可. 【详解】对于A，若，，可能相交，A错误； 对于B，若，，可能异面，B错误； 对于C，若，，可能相交，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，D正确. 故选：D. 【典例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）若平面平面，直线，点，且，则在内过点的所有直线中（    ） A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、面面平行证明线面平行、线面平行的性质 【分析】由已知条件讨论直线与平面的位置关系，然后根据平面几何平行公理确定. 【详解】若平面平面，直线，可得或， 若，点，且， 在平面过点作直线平行于， 根据平面几何平行公理，平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以可作唯一一条； 若，过直线作平面与相交，交线， 在平面过点作直线平行于，即平行于， 根据平面几何平行公理，有且只有一条满足条件. 所以存在唯一一条与平行的直线. 故选：D. 【典例2-3】(多选)（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得 平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、证明线面平行、求线面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 【典例2-4】（23-24高一下·广东深圳·月考）如图，几何体是四棱锥，为正三角形，，，为线段的中点.则直线与平面的位置关系为_________（填相交或平行）. 为线段上一点，使得四点共面，则的值为__________. 【答案】 平行 【难度】0.4 【知识点】面面平行证明线面平行、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）记为的中点，连接，先由线面平行的判定理证得平面，再证得平面，由此利用面面平行的判定定理证得面面，从而得到平面； （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，先由线面平行的性质定理求得点位置，再由平面几何知识求得，从而利用平行线分线段成比例得到的值. 【详解】（1）记为的中点，连接，如图1， 因为分别为的中点，故， 因为平面平面所以平面， 又因为为正三角形，所以 ，， 又为等腰三角形，，所以，所以，即， 所以，又平面平面 所以平面，又，平面，故平面平面， 又因为平面，故平面. （2）延长相交于点，连接交于点，连接，过点作交于点，如图2， 因为平面，平面，平面平面， 所以，此时四点共面， 由（1）可知，，得， 故， 又因为，所以，则有，故. 故答案为：平行；. 【变式2-1】（24-25高一下·福建三明·期中）在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，为异面直线 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据空间中点线面的位置关系，判断各选项正误. 【详解】如图所示，当相交，直线垂直于相交的平面时，满足，，但是此时不满足，所以A错误. 如图所示，当两个平面平行时，被第三个面所截，得两条交线，此时，，不满足，为异面直线，所以B错误. 如图所示，此时满足，，，但是不满足，所以C错误. 根据面面平行的定义可知，平面没有交点，当时，与平面没有交点，此时，所以D正确. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·河北邢台·月考）已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若直线与异面，则过空间任意一点与和都平行的平面有且仅有一个 D．若，，，则且 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间中的平行关系分别判断各选项. 【详解】A选项：，，则或与相交或异面，A选项错误； B选项：若，，则或，B选项错误； C选项：若直线与异面，则当空间内一点在或上时，不存在和都平行的平面，C选项错误； D选项：若，，，则且； 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴ ，又， ∴，则 . 【变式2-4】（25-26高一下·浙江嘉兴·期中）如图，在正方体中，分别为棱的中点，有以下四个结论：①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；③直线与是异面直线；④直线与是异面直线.其中正确的结论为（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定 【分析】根据异面直线的判定定理逐一判断. 【详解】因为平面，平面，且， 故直线与是异面直线，故①错误； 因为平面平面，平面，平面， 所以没有公共点， 又，不平行，故不平行，即为异面直线， 即四点不共面，所以直线与也是异面直线，故②错误； 因为平面，平面，， 所以直线BN与是异面直线，故③正确； 因为平面，但平面，， 所以直线AM与是异面直线，故④正确． 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．存在点P，使得直线与共面 C．的最小值为 D．若M为线段上的动点，且平面．则的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】面面平行证明线面平行、证明线面平行、棱柱的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】利用正方体性质可知，再由线面平行定理可证明A正确，利用反证法假设存在点P，使得直线与共面，可得出结论与平面平面矛盾，因此B错误；以为旋转轴，将旋转到与平面共面，易知，再由余弦定理计算可得C正确，根据面面平行判定定理可证得平面平面，再由其性质可得平面，设，利用三角形相似以及二次函数性质可判断D正确. 【详解】对于A，如下图所示： 由正方体性质可知， 又平面，平面，所以平面，即A正确； 对于B，假设存在点P，使得直线与共面， 显然三点共面，若直线与共面，则可知点在平面内， 又P为线段上的动点，即在平面内， 因此可知点在平面与平面的交线上，显然这与平面平面矛盾，因此B错误； 对于C，以为旋转轴，将旋转到与平面共面，如下图所示： 易知，若要使取得最小值，只需连接交于点， 因此为，且， 在中，，所以， 即，所以的最小值为，可得C正确； 对于D，过点作交于点，过点作交于点，连接，如下图所示： 因为，平面，平面，所以平面； 又，平面，平面，所以平面； 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； 设，则，显然， 所以， 所以当时，即时，取最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD 【变式2-6】（2024高一下·全国·专题练习）如图，已知四面体ABCD的各条棱长均等于4，E，F分别是棱AD、BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为_________. 【答案】4 【难度】0.4 【知识点】面面平行证明线线平行、由平面的基本性质作截面图形、棱锥中截面的有关计算、基本不等式求积的最大值 【分析】将正四面体补成正方体，由此可得截面为平行四边形，且，且，利用基本不等式即可求出结论． 【详解】解：将正四面体补成正方体如图，则正方体棱长为， 为中点，也是中点，则， 可得平面，由于，设截面为平行四边形，则有平面平面， 平面平面，平面平面，则有， 同理，正方体中有，∴， 和都是等边三角形，则， ∴， 当且仅当时取等号． 即该多边形截面面积最大值为4. 故答案为：4. 题型03 面面平行的应用 【典例3-1】（25-26高一下·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①若平面平面，直线，直线，则； ②若直线直线，直线平面，直线平面，则； ③若平面平面，直线，则； ④若直线平面，平面平面，则． 其中真命题的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、面面平行证明线面平行 【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系和性质逐项判断即可得出结论. 【详解】对于①，若平面平面，直线，直线，则直线与直线无公共点， 故直线与直线平行或异面，①错； 对于②，若直线直线，直线平面，直线平面，则平面、平行或相交，②错； 对于③，若平面平面，直线，则，③对； 对于④，若直线平面，平面平面，则或，④错. 故选：A. 【典例3-2】（24-25高一下·四川南充·期末）如图，正方体中，为的中点，点为四边形及其内部的动点，平面.则与平面所成角正切值的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求线面角、面面平行证明线面平行、证明线面平行 【分析】利用辅助平行平面来确定点所在的直线，然后借助正方体的性质，即可得正切值与边的关系，从而可得取值范围. 【详解】取线段的中点分别为，连接， 由中位线可得，所以四点四点共面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 因为点为四边形及其内部的动点，所以当，即平面， 所以此时有平面， 由正方体的性质可知平面，所以与平面所成角就是， 又因为，设正方体的边长为2，则， 此时，所以， 故选：D. 【典例3-3】(多选)（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上，满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C．当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.28 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、判断线面平行、补全面面平行的条件 【分析】对于A，证明即可判断；对于B，当时，截面为梯形，当时，截面为五边形，即可判断；对于C，求出截面为正六边形的面积即可判断；对于D，设的中点为，对平面和平面沿展开，求出线段的长即可判断. 【详解】对于A，当时，连接， 因为分别为和的中点，所以， 又，所以， 又平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，延长交于点，连接交于点， 当时，在线段上，截面为梯形， 当时，在延长线上，交于点，连接交于点，截面为五边形， 所以，当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形，故B正确； 对于C，当时，为中点， 因为平面平面，所以截面可以为正六边形，如图： 因为正方体的棱长为，所以正六边形的边长为， 所以面积，故C错误； 对于D，设的中点为，由A可知， 所以四点共面， 对平面和平面沿展开，如图： 四边形为等腰梯形，，， 所以， 又三角形为等腰三角形，， 所以，即， 所以， 又， 所以的最小值为，故D正确. 【典例3-4】（24-25高一上·上海嘉定·期中）已知球的半径为5，若用两个平行的平面截该球所得的截面的面积分别为9π和25π，则这两个平行平面之间的距离为________． 【答案】4 【难度】0.94 【知识点】求面面距离、球的截面的性质及计算 【分析】根据给定条件，利用球的截面性质求出球心到截面距离即可得结果. 【详解】依题意，截面圆面积为的圆半径为5，此截面过球心， 截面圆面积为的圆半径为3，球心到此截面距离， 所以这两个平行平面之间的距离即为球心到半径为3的截面圆所在平面距离4. 故答案为：4 【变式3-1】（22-23高一下·四川成都·月考）设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于ABD：以正方体为载体，举反例说明即可；对于C：根据线面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于选项ABD：在正方体中， 例如平面，平面，， 但平面平面，故A错误； 例如平面，平面，平面平面， 但直线与直线异面，故B错误； 例如平面，平面， 但直线与直线异面，故D错误； 对于选项C：根据线面平行的判定定理可知若，，，则，故C正确； 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在棱长为1的正方体中，E，F，G分别是棱的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线与平面EFG没有公共点，则线段PB长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置、立体几何中的轨迹问题、面面平行证明线面平行 【分析】连接，根据面面平行的判定定理，可证平面平面，结合题意，可得点P在直线AC上运动，再根据正方形的性质即可求解. 【详解】连接，因为E，F，G分别是棱的中点， 所以， 又平面，平面，平面， 平面，平面，平面，， 所以平面平面，又平面， 从而有平面，即点平面， 又点P在平面内，平面平面， 所以点P在直线AC上运动， 由正方形性质可得当点P位于AC中点时，BP最小，此时. 故选：C    【变式3-3】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角形面积公式及其应用、面面平行证明线线平行 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 【变式3-4】（24-25高一下·福建福州·期末）已知正四棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，E是棱的中点，F是棱上靠近点C的三等分点，动点P在侧面（包括边界）内运动，若 平面则线段长度的最小值是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】证明面面平行 【分析】取的中点，上靠近点C的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，在正四棱柱中，易证平面平面.又平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】取的中点，上靠近点的三等分点为，上靠近点的三等分点为， 上靠近点的三等分点为，连接，，，，，，如图所示. 在正四棱柱中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知， 又， ∴四边形是平行四边形，∴. ∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在矩形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：C. 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·江苏连云港·月考）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，点在线段上，在正方形内，则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．平面截正方体，所得截面的周长为 C．点到直线的距离的最小值为 D．若平面，则的最小值是 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求点到直线的距离、求异面直线所成的角、判断正方体的截面形状 【分析】利用异面直线所成角的定义可判断A选项；找出截面，计算出各边的边长，可判断B选项；根据异面直线公垂线段，可判断C选项；求出点的轨迹，结合余弦定理、正弦定理可可判断C选项；推导出平面，结合异面直线间的距离可判断D选项, 【详解】对于A选项，连接，如下图所示： 因为，故直线与直线所成角为或其补角， 因为平面，平面，所以， 因为，，故， 因此，直线与直线所成角的正切值为，A对； 对于B选项，连接、、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 在正方体中，，， 所以，四边形为平行四边形，故，所以， 即、、、四点共面，所以，平面截正方体，所得截面为四边形， 由勾股定理可得， 同理可得，，， 因此，所得截面的周长为，B错； 对于C选项，连接交于点，连接、交于点，连接， 则到直线的距离的最小值即为异面直线、公垂线段的长度， 易知、分别为正方形、的中心， 因为四边形为正方形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面，即平面， 因为，，故四边形为平行四边形， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以，四边形为平行四边形， 设，过点作交棱于点， 因为，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，、平面，所以，， 因为，，故，， 所以异面直线、公垂线段为，且， 即点到直线的距离的最小值为，C对； 对于D选项，分别取线段、的中点、，连接、、、、， 在正方体中，，， 故四边形为平行四边形，则，， 因为、分别为、的中点，所以，， 故四边形为平行四边形，所以，， 因为，，则，，故四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，所以，由A选项可知，，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，、平面，故平面平面， 当时，平面，则平面，即点的轨迹为线段， 由勾股定理可得， 同理可得，， 由余弦定理可得， 所以， 所以，点的最小值为，D对. 故选：ACD. 【变式3-6】（2025·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求面面距离 【分析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，由于相邻平面间距离都相等，根据几何关系求解即可． 【详解】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 故答案为：． 一、单选题 1.（22-23高一下·河北邢台·期中）在空间中，，，为互不重合的三条直线，，为两个不同的平面，则（    ） A．对任意直线，，总存在直线，使得， B．对任意直线，，总存在直线，使得， C．对任意平面，，总存在直线，使得， D．对任意平面，，总存在直线，使得， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】根据空间直线、平面的位置关系一一判断. 【详解】当直线与不平行时，不存在直线，使得，，A错误． 当时，，则； 当直线与相交，直线垂直于直线，所确定的平面时，即可满足，； 当，异面，直线垂直于与直线，均平行的平面时， 即可满足，，B正确． 当与不平行时，不存在直线，使得，，C错误． 当时，不存在直线，使得，，D错误． 故选:B. 2.（25-26高一下·全国·课后作业）已知表示直线，表示平面，有以下命题： ①相交且都在平面外，，，，，则；②若，，且，则；③若，，，则.其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用定义证明面面关系、面面关系有关命题的判断 【分析】由面面平行的判定定理与性质即可求解. 【详解】①中，，记与确定的平面为，由题意知：，，则.故①正确； ②③中，与既可平行，也可相交，故均错误，所以只有1个正确命题. 3.（25-26高一·全国·寒假作业）设是两个不同的平面，是直线且，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、线面关系有关命题的判断 【分析】由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可． 【详解】先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行， 故不一定成立，即充分性不成立； 再验证必要性：当且时，，必要性成立． 综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 4.（24-25高一下·江苏南通·月考）在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断面面平行、求异面直线所成的角 【分析】对A，取中点，连接，利用正方体的性质可得四边形是平行四边形，即可求解；对B，利用，即可求解；对C，因为两平面过同一点，即可求解；对D，连接，从而可得为与所成的角，在中，通过计算可得，即可求解. 【详解】对于A，取中点，连接，因为分别为，的中点， 则，且，所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以平行四边形，则，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，所以，故A正确， 对于B，因为，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为平面与平面均过点，所以平面与平面不平行，故C错误， 对于D，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形， 则，所以为与所成的角， 在中，设，则， 所以，故D错误， 故选：A. 5.（24-25高一下·北京通州·期末）如图，在长方体中，，，点，分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据给定条件，过点作出与平面平行的长方体部分截面，确定点的轨迹即可. 【详解】在长方体中，取的中点，连接, 由点为的中点，得，则四边形是平行四边形， ，又，则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点，使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 于是平面，由为的中点，得，而平面，平面， 则平面，又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面，则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹是线段，而， 所以点的轨迹长度为. 故选：C 6.（24-25高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若 平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、空间平行的转化、立体几何中的轨迹问题 【分析】取的中点，的中点，连接，，，.在正方体中，易证平面 平面.又 平面，动点P在正方形（包括边界）内运动，可确定点在线段上运动.在中，利用三角形知识即可求解线段的长度的最小值. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴ 平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴ 平面. 又，平面，平面， ∴平面 平面. ∵ 平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值. 此时， 即的最小值为. 故选：A. 7.（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知棱长为4的正方体，点是棱的中点，点是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，且平面，则的长度范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、证明面面平行 【分析】先过点作出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值范围即可. 【详解】如图，取上靠近点的四等分点，连接、， 由是棱的中点，点是棱的中点，易得， 则平面， 取、中点、，取上靠近点的四等分点， 连接、、、， 由正方体的性质易得，，则， 又平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，平面，故平面平面， 又平面，平面，故， 即点的轨迹为线段，设点到的距离为， 有，故， 又，故的长度范围为. 故选：C. 8.（23-24高一下·天津北辰·期中）如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】线面平行的性质、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】连接，利用异面直线的判定即可判断①；利用面面平行的性质可判断②；利用锥体的体积公式可判断③⑤；计算出、的面积，可判断④. 【详解】对①，连接，交于点，因为， 则四点共面，又因为，则平面与平面交于点， 显然平面，且未经过点，则直线与异面，故①正确； 命题①正确； 对②，因为平面平面，平面，则平面，命题②正确； 设，则为的中点，且，即点到平面的距离为， 因为平面，平面，则， 又因为且，故四边形为矩形， 故， 因此，，是定值，命题③正确； 连接、，取的中点，连接，易知是边长为的等边三角形， 所以，，且， 所以，，所以④错误； 因为平面，所以，点、到平面的距离相等，    因为，所以⑤正确； 综上，正确命题的序号为①②③⑤，有个． 故选：C． 二、多选题 9.（25-26高一下·全国·课后作业）如图，在三棱台中，点在上，点是棱上的点，且有平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】平行公理、面面平行证明线线平行 【分析】根据面面平行的性质定理和棱台的结构特征判断. 【详解】∵平面平面， 平面平面，平面平面， 所以，又因为，所以，AD正确； 同理根据面面平行的性质定理得,则B正确. 10.（24-25高一下·安徽合肥·期末）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是（   ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．点的轨迹长度为 C．存在点，使得 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】求线面角、证明线面平行 【分析】取的中点G，连接、，则等腰梯形为截面，求面积判断选项A；取中点M，中点N，连接,,，推导出点的运动轨迹为线段，判断选项B；取中点F，推导出，又因为，所以，判断选项C；取F是的中点，因为是等腰三角形，则,同理,与交于点F，且与均在平面内，所以为与平面所成的线面角，所以，因为，且时最小，满足题设正弦值最大，求正弦值，判断选项D. 【详解】已知正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点， 且满足，取的中点G，连接、, 则等腰梯形（,且）为其截面， 面积为，故A对； 取中点M，中点N，连接,,， 由题可得,,且平面， 所以平面，平面， 又与是平面内的两条相交直线, 所以平面平面，所以点F的运动轨迹为线段，长度为，故B错； 取中点F，因为为等腰三角形，所以， 又因为，所以，故C对. 因为平面，所以为与平面所成的线面角， 所以， 因为，且时最小，满足题设正弦值最大， 所以，，故D错. 故选：AC. 11.（23-24高一下·福建厦门·期中）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（    ） A．若点满足，则动点的轨迹长度为 B．当点在棱上时，的最小值为 C．当直线AP与AB所成的角为时，点的轨迹长度为 D．当在底面上运动，且满足平面时，线段PF长度最大值为 【答案】ACD 【难度】0.15 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明面面平行 【分析】 利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为可得A正确；以为轴将平面顺时针旋转，由勾股定理可得B错误；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为可得C正确；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为可得D正确. 【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，故正确； 对于B，以为轴将平面顺时针旋转，如图， 则，故B错误；； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故D正确. 故选：. 三、填空题 12.（24-25高一下·天津·月考）已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①；②； ③；④. 其中正确的是______.(写出所有正确命题的序号) 【答案】②③ 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断 【分析】对于①②③：根据线面垂直的性质分析判断；对于④：根据面面平行的概念及性质分析判断. 【详解】对①，若，，则，或，故①错误； 对②，若，，由直线与平面垂直的性质定理可得，故②正确； 对③，根据垂直于同一个平面的两条直线互相平行知，若，，则，故③正确； 对④，若，，，则或m与n异面，故④错误． 故答案为：②③ 13.（25-26高一下·浙江丽水·期中）四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线面平行、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 14.（23-24高一下·河北石家庄·期中）在棱长为1的正方体中，P为正方形ABCD内（包括边界）的一动点，E，F分为别为棱AB，BC的中点，若直线与平面无公共点，则线段的长度范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】空间平行的转化、正棱柱及其有关计算 【分析】取的中点，取的中点为，连接，证明平面平面，结合直线与平面无公共点，得到点在线段上，由此求得长的范围. 【详解】如图所示，取的中点，取的中点为，连接， 由三角形的中位线的性质，可得，则， 又由平面，平面，可得平面， 连接，可得且， 则四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面，所以平面平面， 由直线与平面无公共点，所以点在线段上， 当为的中点时，取得最小值，最小值为， 当与点或重合时，取得最大值，最大值为， 所以线段的长的范围是. 故答案为：. 四、解答题 15.（24-25高一下·陕西汉中·期末）由正方体截去三棱锥后得到的几何体如图所示，为AC与BD的交点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行即可，即证明. （2）要证明面面平行，需通过证明一平面内的两条相交直线与另一平面平行即可. 【详解】（1）取的中点，连接. 则. 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，不在平面内， 所以平面. （2）因为，平面，不在平面内， 所以平面. 由（1）知，平面. 因为平面， 所以平面平面. 16.（25-26高一下·北京朝阳·月考）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 17.（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，求： (1)点到平面的距离； (2)直线与平面的距离； (3)平面与平面的距离． 【答案】(1)；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求直线与平面的距离、求面面距离 【详解】（1）在长方体中，可得， 因为且平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. （2）在长方体中，可得, 因为且平面，所以平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离等于点到平面的距离， 所以直线与平面的距离为. （3）在长方体中，可得平面平面， 因为且，平面， 所以平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 18.（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.4 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、证明面面平行、面面平行证明线线平行、利用平面向量基本定理求参数 【分析】（1）由线面平行的判定定理可证平面，结合题中条件及面面平行的判定定理即可证明； （2）由（1）知：平面平面，根据面面平行的性质定理即可证明； （3）由题可知点是的中点，结合可得点是的中点.根据题中条件，在平面内，利用平面向量基本定理和共线向量基本定理即可求解. 【详解】（1）∵， 平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，， 平面， 平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 19.（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点为上的点，且．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)平面与侧棱相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)2 【难度】0.4 【知识点】证明线面平行、证明面面平行、线面平行的性质 【分析】（1）连接，证明四边形为平行四边形，即得，再由线线平行证明线面平行即可； （2）由（1）得，证得平面，再证，即可证平面，最后由线面平行推出面面平行； （3）由（1）已得，可证平面，又因面，由线面平行的性质可推得，继而得到，利用平行线分线段成比例定理即可求得的值. 【详解】（1）连接， 在中，，，且， 又，，且， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得，又平面，平面， 平面， 在中，， ， 又平面，平面，平面， 又因且均在平面中， 平面平面. （3）由（1）知，又面，面，平面， 又平面，面面， ，又，，．    第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $