专题4-2 平面（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

4-2 平面 讲义 教学目标 理解四个基本事实，掌握空间点、线、面的位置关系，能解决共面、共线、共点、截面问题. 教学重点 四个基本事实，空间点、线、面的位置关系. 教学难点 共面、共线、共点、截面问题. 知识点01 四个基本事实 1.基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 2.基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 3.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据； (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据. 4.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【即学即练1-1】(24-25高一下·上海·期末)如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为(   ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【即学即练1-2】(多选)(21-22高一下·江苏扬州·期中)下列命题中正确的有(   ) A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 知识点02 空间点、线、面的位置关系 1.空间中直线和直线的位置关系 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. (2)空间直线与直线的位置关系： 2.空间中直线和平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 3.空间中平面和平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： 【即学即练2-1】(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是(   ) A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)下列四个命题中，正确的是(    ) A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 题型01 平面基本性质辨析 【典例1-1】(25-26高一下·广东·期中)如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过(　　) A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁·期末)已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为(    ) A．15 B．16 C．17 D．18 【典例1-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)以下四个命题正确的是(   ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【典例1-4】(24-25高一下·北京·期中)已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(24-25高一下·广东汕头·期中)下列说法正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【变式1-3】(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法正确的是(    ) A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【变式1-4】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·广东湛江·期中)下列命题是真命题的是(   ) A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【变式1-6】(22-23高一下·全国·课后作业)直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 题型02 平面分空间的区域数量 【典例2-1】(24-25高一下·黑龙江大庆·期中)一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为(    )个区块. A． B． C． D． 【典例2-2】(24-25高一下·广东广州·期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是(    )． A．25 B．26 C．28 D．30 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·辽宁大连·月考)下列说法正确的是( ) A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【典例2-4】(23-24高一下·上海·期末)已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【变式2-1】(23-24高一下·四川德阳·期末)下列说法正确的是(    ) A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【变式2-2】(24-25高一下·河南洛阳·期中)三个平面可将空间分成部分，则的最大值为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】(2023高一·全国·专题练习)平面α，β，γ不能将空间分成(　　) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【变式2-4】(22-23高一下·河北邢台·月考)下列说法正确的是(    ) A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·福建·期中)下列说法正确的是(    ) A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【变式2-6】(24-25高一下·广西玉林·期中)将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 题型03 点、线确定的平面数 【典例3-1】(24-25高一下·浙江宁波·期末)经过不在一条直线上的三个点的平面(   ) A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【典例3-2】(2024高一下·全国·专题练习)下列命题是真命题的是(    ) A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·广东汕头·期中)下列命题正确的是(    ) A．若，，且，，则 B．经过两条相交直线，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 【典例3-4】(24-25高一下·全国·课后作业)空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定_________个平面． 【变式3-1】(24-25高一下·广西防城港·期中)若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是(   ) A． B． C． D． 【变式3-2】(24-25高一下·全国·课后作业)空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是(    ) A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【变式3-3】(22-23高一下·北京通州·期末)下列命题正确的是(    ) A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 【变式3-4】(21-22高一·全国·课后作业)已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是(    ) A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中)下列正确的是(    ) A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【变式3-6】(22-23高一下·全国·课后作业)空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 题型04 点、线共面问题 【典例4-1】(24-25高一下·河北·月考)下列判断正确的是(   ) A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【典例4-2】(24-25高一下·河南·月考)“直线与直线相交”是“点共面”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)以下四个命题正确的是(   ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【典例4-4】(23-24高一下·浙江宁波·期中)正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【变式4-1】(23-24高一下·河北邯郸·期末)如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是(    ) A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【变式4-2】(24-25高一下·甘肃兰州·月考)在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有(   )    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式4-3】(24-25高一下·浙江·期中)已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的(   )条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【变式4-4】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【变式4-5】(多选)(20-21高一下·江苏无锡·月考)如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则(   ) A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【变式4-6】(22-23高一下·陕西榆林·月考)下列命题中正确的命题为__________． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线； ②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面； ③，，则；④若，则． 题型05 空间中的点共线问题 【典例5-1】(22-23高一下·河南开封·期末)如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则(    )      A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【典例5-2】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【典例5-3】(多选)(2024高一下·全国·专题练习)(多选)下列四个命题中，正确的是(    ) A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【典例5-4】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【变式5-1】(22-23高三·全国·课后作业)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P(    ) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式5-2】(2024·湖南·二模)如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是(    ) A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【变式5-3】(多选)(22-23高一下·全国·课后作业)以下四个命题中，正确的命题是(    ) A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【变式5-4】(多选)(23-24高一下·重庆·期中)以下四个命题正确的是(    ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【变式5-5】(2024高一下·全国·专题练习)如图，已知正方体． (1)______；(2)平面∩平面______；(3)____． 【变式5-6】(22-23高三·全国·中职高考)如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    题型06 空间中的线共点问题 【典例6-1】(22-23高一下·河南洛阳·月考)如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是(    ) A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【典例6-2】(22-23高一下·山东威海·期末)在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则(    ) A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【典例6-3】(多选)(23-24高一下·广西·期末)如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是(    )    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【典例6-4】(2024高一下·全国·专题练习)如图，已知正方体． (1)________；(2)平面∩平面________；(3)________． 【变式6-1】(22-23高三·全国·中职高考)已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的(    ) A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【变式6-2】(2024·四川南充·三模)如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是(    ) A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【变式6-3】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是(    ) A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【变式6-4】(多选)(21-22高一下·云南昆明·期末)如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是(    ) A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 【变式6-5】(24-25高二·上海·课堂例题)已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 【变式6-6】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    题型07 由平面基本性质确定截面 【典例7-1】(22-23高一·全国·课后作业)用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有(    ) A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【典例7-2】(24-25高一下·海南·月考)在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为(   ) A． B． C． D． 【典例7-3】(多选)(2024高一下·全国·专题练习)在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是(　　) A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【典例7-4】(24-25高一下·上海·期末)在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【变式7-1】(24-25高一下·河南安阳·期末)如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为(    ) A． B． C． D． 【变式7-2】(24-25高一下·河南郑州·期末)已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是(    )． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【变式7-3】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则(  ) A．2 B． C．1 D． 【变式7-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为(   ) A． B． C． D． 【变式7-5】(多选)(24-25高一下·湖南邵阳·期中)如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是(   ) A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【变式7-6】(24-25高一下·湖南张家界·期中)已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 题型08 平面基本性质有关计算 【典例8-1】(2025·江西·一模)如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则(   ) A． B． C． D． 【典例8-2】(22-23高一下·黑龙江大庆·期末)在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是(    ) A． B． C． D． 【典例8-3】(多选)(22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则(    ) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【典例8-4】(22-23高一下·河南郑州·月考)在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____ 【变式8-1】(24-25高二上·黑龙江·开学考试)如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则(    ) A．10 B．15 C． D． 【变式8-2】(23-24高三下·山东菏泽·月考)如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为(    )    A． B． C． D． 【变式8-3】(22-23高一下·全国·课后作业)设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X(    ) A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【变式8-4】(2026高三·全国·专题练习)如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，( ) A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 【变式8-5】(多选)(2023·贵州铜仁·模拟预测)正方体的棱长为1，点分别为棱，，，的中点，为线段上的动点，过的平面截正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(    ) A．当时，平面EFG B．当时，S的面积为 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点满足 【变式8-6】(24-25高一下·广东·期中)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 一、单选题 1.(24-25高一下·河北石家庄·月考)下列不是基本事实的是(   ) A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.(21-22高一下·安徽六安·期末)空间中四点可确定的平面有(    ) A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 3.(24-25高一下·山西临汾·期末)若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是(   ) A．8 B．4 C．6 D．5 4.(21-22高一下·全国·课后作业)已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是(    ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5.(25-26高二上·上海·期末)已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为(    ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 6.(2024·陕西铜川·三模)在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 7.(2025·湖南永州·模拟预测)在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8.(2026·重庆九龙坡·一模)已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为(   ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)下列关于长方体的叙述中，正确的是(   ) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B．长方体中相对的面都互相平行 C．长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 D．两平行平面之间的棱互相平行且相等 10.(22-23高一下·安徽合肥·期末)下列说法中错误的是(    ) A．三个点可以确定一个平面 B．若直线a在平面外，则a与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 11.(2023·贵州铜仁·模拟预测)正方体的棱长为1，点分别为棱，，，的中点，为线段上的动点，过的平面截正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(    ) A．当时，平面EFG B．当时，S的面积为 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点满足 三、填空题 12.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    13.(22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则(    ) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 14.(24-25高二上·辽宁·开学考试)在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 四、解答题 15.(24-25高一下·安徽马鞍山·期中)如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面(写出作图过程，保留作图痕迹)，并计算截面图形的周长. 16.(20-21高一下·山东济宁·期中)已知正方体，，分别是棱，的中点． (Ⅰ)画出平面与平面的交线，并说明理由； (Ⅱ)设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 17.(24-25高一下·福建福州·期中)在正方体中． (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点(都靠近C端)． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)． 18.(22-23高一下·河南洛阳·月考)如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 19.(24-25高三·全国·二轮复习)正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面(图). 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-2平面讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平面基本性质辨析 题型02平面分空间的区域数量 知识点01四个基本事实 题型03点、线确定的平面数 4-2平面 题型04点、线共面问题 题型05空间中的点共线问题 知识点02空间点、线、面的位置关系 题型06空间中的线共点问题 题型07由平面基本性质确定截面 知识点03直观图 题型08平面基本性质有关计算 教学目标、教学重难点 理解四个基本事实，掌握空间点、线、面的位置关系，能解决共面、共线、共点、截面 教学目标 问题， 教学重点 四个基本事实，空间点、线、面的位置关系， 教学难点 共面、共线、共点、截面问题 知识清单 知识点01四个基本事实 1.基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 2基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面： 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面： 3基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据： (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据， 4基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 【即学即练1-1】(24-25高一下·上海·期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，0、01分别为矩形ABCD、 矩形A1B1C1D1对角线的交点，则平面A1BC1与平面BB1D1的交线为) 第1页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C D 6 O B A.直线001 B.直线OB1 C.直线01B D.直线OD1 【即学即练1-2】（多选）(21-22高一下·江苏扬州·期中)下列命题中正确的有() A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.空间内三点确定一个平面 C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 知识点02空间点、线、面的位置关系 1.空间中直线和直线的位置关系 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线 平行直线 共面直线 (2)空间直线与直线的位置关系： 相交直线 (异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.空间中直线和平面的位置关系 直线在平面外 (直线与平面平行 空间直线与平面的位置关系： 直线与平面相交 直线在平面内 3.空间中平面和平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： (两个平面相交 (两个平面平行 凰即学即练2-1】(24-25高一下·河北邢台期中)如图，在四棱锥E-ABCD中，点G在正方形ABCD内，点F 在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是() E B4 A.点G在AC上B.BG=GDC.AG=GDD.直线EB,GD交于点B 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·全国·课后作业)下列四个命题中，正确的是(） A.不共面的四点中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面 第2页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c不一定共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 题型精讲 题型01平面基本性质辨析 【典例1-1】(25-26高一下广东·期中)如图，anB=l,A,B∈a,C∈B,且C庄l,直线ABnl=M,过A,B,C 三点的平面记作Y,则y与B的交线必通过() A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M B M C 【典例1-2】(24-25高一下辽宁期末)已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为) A.15 B.16 C.17 D.18 【典例1-3】（多选）25-26高一下·全国课后作业)以下四个命题正确的是() A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bc平面B,则“a与b相交"与“ax与B相交"等价 C.若anB=l,直线ac平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈L D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面 【典例1-4】(24-25高一下北京，期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为 线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有条. D C D 【变式1-1】(25-26高一下.全国课堂例题)现有下列命题：①桌面是平面；②8个平面重叠起来要比6个平 面重叠起来厚：③有一个平面的长是50m,宽是20m;④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象 的数学概念.其中正确命题的个数为) A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-2】(24-25高一下广东汕头期中)下列说法正确的是( 第3页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.三点确定一个平面 B.三条平行直线确定一个平面 C.梯形的四个顶点确定一个平面 D.两两相交的三条直线确定一个平面 【变式1-3】（24-25高一下.全国.课后作业)下列说法正确的是() A.在空间中，一个点运动只形成直线 B.在空间中，直线平行移动只形成平面 C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【变式1-4】(23-24高一下.重庆·期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 【变式1-5】（多选24-25高一下·广东湛江·期中）下列命题是真命题的是() A.棱台的侧面一定是梯形B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【变式1-6(22-23高一下.全国课后作业)直线AB、ADC,直线CB、CDCB,点E∈AB,点F∈BC,点G∈CD, 点H∈DA,若直线HE∩直线FG=M,则点M必在直线 上 题型02平面分空间的区域数量 【典例2-1】(24-25高一下·黑龙江大庆·期中)一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为()个区块. A.8 B.15 C.16 D.27 【典例2-2】(24-25高一下广东广州期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个， 4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是(). A.25 B.26 C.28 D.30 【典例2-3】（多选22-23高一下·辽宁大连·月考）下列说法正确的是( ） A.棱柱的侧面一定是矩形 B.三个平面至多将空间分为3个部分 C.圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【典例2-4】(23-24高一下上海期末)已知平面α与平面β将空间分成3部分，若空间中还有一个平面y,那 么%，B,y这三个平面可以将空间分成·.部分. 【变式2-1】(23-24高一下四川德阳·期末)下列说法正确的是(） 第4页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.平面a、B,使得、B有且只有一个公共点 B.若直线l￠平面a,则HP∈L,P庄a C.三平面最多把空间分成7部分 D.若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【变式2-2】(24-25高一下河南洛阳·期中)三个平面可将空间分成n部分，则n的最大值为) A.4 B.6 C.8 D.10 【变式2-3】(2023高一.全国·专题练习)平面α，B,y不能将空间分成() A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 【变式2-4】(22-23高一下·河北邢台·月考)下列说法正确的是()】 A.过空间中的任意三点有且只有一个平面 B.三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C.空间中的三条直线a,b,c,如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D.若直线a在平面a外，则平面a内存在直线与a平行 【变式2-5】（多选）23-24高一下福建·期中)下列说法正确的是() A.棱柱的侧面一定是矩形 B.三个平面至多将空间分为4个部分 C.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【变式2-6】(2425高一下广西玉林期中)将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则x+y 的值为 题型03点、线确定的平面数 【典例3-1】(24-25高一下·浙江宁波期末)经过不在一条直线上的三个点的平面() A.有且仅有一个B.有且仅有三个C.有无数个 D.不存在 【典例3-2】(2024高一下.全国.专题练习)下列命题是真命题的是() A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线确定一个平面 D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【典例3-3】（多选24-25高一下·广东汕头·期中）下列命题正确的是() A.若A∈L,B∈l,且A∈，B∈，则lCa B.经过两条相交直线，有且只有一个平面 C.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D.直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 第5页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-4】(24-25高一下·全国课后作业)空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面. 《变式31】(24-25高一下广西防城港期中)若点A与直线1能够确定一个平面，则点A与直线1的位置关 系是() A.ACI B.AgI C.A庄l D.A∈I 《变式32】(24-25高一下·全国课后作业)空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交， 那么这三条直线能确定的平面个数是() A.1或2 B.3或4 C.1或2或3 D.1或3或4 【变式33】(22-23高一下·北京通州期末)下列命题正确的是() A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B.两条不平行的直线确定一个平面 C.三角形上不同的三个点确定一个平面 D.圆上不同的三个点确定一个平面 〖变式3-4】(21-22高一全国课后作业)己知a,B为平面，A,B,M,N为点，a为直线，下列推理中错误的是() A.A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则aCB B.M∈a,M∈B,N∈&，N∈B,则直线MNCa,直线MNCB C.A∈，A∈B,则anB=A D.A,B,M∈，A,B,M∈B,且A,B,M不共线，则a,B重合 【变式35】（多选24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）下列正确的是() A.一个多面体至少有4个面 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D.通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【变式36】(22-23高一下全国课后作业)空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为 题型04点、线共面问题 【典例41】(24-25高一下.河北月考)下列判断正确的是() A.若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B.若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C.若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D.若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 第6页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例4-2】(24-25高一下河南·月考)“直线AB与直线CD相交"是“点A,B,C,D共面”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例4-3】（多选）25-26高一下·全国课后作业)以下四个命题正确的是(） A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bc平面B,则“a与b相交"与“a与B相交"等价 C.若anB=l,直线ac平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈l D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面 凰典例44】(23-24高一下·浙江宁波.期中)正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，N为线段AC上一动点，M为 线段DD1上一动点，则A1M+MN的最小值为 【变式41】(23-24高一下河北邯郸期末)如图，在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取点E, F,G,H,若直线EH,GF相交于点P,则下列结论错误的是() D B A.点P必在平面ABD内 B.点P必在平面CBD内 C.点P必在直线BD上 D.直线FG与直线BD为异面直线 【变式42】(24-25高一下.甘肃兰州·月考)在如图所示的正方体或四面体中，P,Q,M,N分别是棱的中点， 这四个点不共面的图有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【变式43】(24-25高一下.浙江·期中)已知空间中三条直线、m、n,那么“L、m、n两两相交"是“l、m、n 共面”的)条件 A.充分不必要 B.充要C.既不充分也不必要 D.必要不充分 第7页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式44】(23-24高一下.重庆期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 〖变式45】（多选20-21高一下江苏无锡月考）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E,F,G分别为棱 BC,CC1,B1C1的中点，01，O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心，则() D 02 G 0 D B A.A,C,01,D1四点共面 B.D,E,G,F四点共面 C.A,E,F,D1四点共面 D.G,E,01,02四点共面 【变式46】(22-23高一下·陕西榆林月考)下列命题中正确的命题为 ①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P、Q、R,则P、Q、R三点共线： ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面： ③a/1c,B/c,则a/B;④若a1c,b⊥c,则a/b. 题型05空间中的点共线问题 【典例5-1】(22-23高一下.河南开封期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的 三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为0，则() A.三点D1,O,B共线，且OB=20D1 B.三点D1,O,B共线，且0B=30D1 C.三点D1,O,B不共线，且OB=2OD1D.三点D1O,B不共线，且OB=30D1 D 〖典例5-2】(23-24高一下·重庆期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 【典例5-3】（多选2024高一下·全国.专题练习)（多选）下列四个命题中，正确的是() A.不共面的四点中任意三点不共线 第8页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c不一定共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【典例54】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1 交于点Q,则B,Q,D1三点的位置关系是 D 【变式51】(22-23高三·全国·课后作业)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、 H四点，若EFnGH=P,则点P() A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.既在直线AC上也在直线BD上 D.既不在直线AC上也不在直线BD上 【变式52】(2024湖南.二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点， 则下列说法错误的是() A.E,F,G,H四点共面 B.EF/GHC.EG,FH,AA1三线共点D.∠EGB1=∠FHC B E F B G C H 凰变式53】（多选）22-23高一下·全国·课后作业)以下四个命题中，正确的命题是() A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面 C.若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交a于P,Q,R,则P,Q,R三点共线 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【变式5-4】（多选）(23-24高一下·重庆期中)以下四个命题正确的是() A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bc平面B,则“a与b相交”与“a与B相交"等价 C.若anB=L,直线ac平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈l D.若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 第9页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式55】(2024高一下.全国.专题练习)如图，已知正方体ABCD一A1B1C1D1· (1)AC∩BD (2)平面AB1n平面A1C1=;(3)A1B1nB1BnB1C1= D C B 【变式56】(22-23高三.全国.中职高考)如图，正方体AC1中，O是BD中点，A1C与截面BDC1交于P,那么C1、 P、O三点共线，其理由是 题型06空间中的线共点问题 【典例6-1】(22-23高一下河南洛阳月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,2分别是棱AA1,CC1 的中点，平面D1PQn平面ABCD=l,则下列结论错误的是() A.过点B B.不一定过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在L上 D I典例6-2】(22-23高一下山东威海期末)在空间四边形ABCD中，若E,F分别为AB,BC的中点，G∈CD, H∈AD,且CG=2GD,AH=2HD,则() A.直线EH与FG平行 B.直线EH,FG,BD相交于一点 C.直线EH与FG异面 D.直线EG,FH,AC相交于一点 【典例6-3】（多选(23-24高一下·广西·期末）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别为 BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，则下列说法正确的是() A E B G C A.E,F,G,H四点共面B.EF/GHC.EG,FH,AA1三线不共点 D.∠EGB1=∠FHC1 第10页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例64】(2024高一下.全国.专题练习)如图，己知正方体ABCD一A1B1C1D1, (1)AC∩BD ;(2)平面AB1n平面A1C1= ;(3)A1B1nB1BnB1C1=· 【变式61】(22-23高三.全国.中职高考)已知ABCD-A'B'C'D为长方体，对角线AC'与平面ABD相交于点G, 则G为△A'BD的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 0 【变式62】(2024四川南充·三模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、F、 G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，则下列说法中错误的是() A.A C L GH B.E、F、G、H四点共面 C.设BC=2,则平面EFC1截该三棱柱所得截面的周长为1+V3+2W5 D.EF、GH、AA1三线共点 【变式63】（多选）(22-23高一下四川广安期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点E,G分别是边BC,CD上的三等分点，且器=号=子则下列说法正确的是() A.E,F,G,H四点共面 B.EF与GH异面 C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D.EF与GH的交点M一定在直线AC上 C 【变式6-4】（多选21-22高一下·云南昆明期末）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别 第11页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是DD1、BB1、AB、AD的中点，则下列说法正确的是() A.点A在平面EFC1内 B.EH//CF C.平面EFC1n平面ABCD=HG D.直线EH与直线FG相交 D A B E+ D B 【变式65】(24-25高二.上海课堂例题)已知平面a与平面B相交于直线l,若M∈心，acB,则M与a的位 置关系是 【变式66】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1 的平面交于点M,则BM:MD1= D A B 题型07由平面基本性质确定截面 【典例7-1】(22-23高一全国·课后作业)用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有(） A.5条 B.6条 C.7条 D.8条 【典例7-21(24-25高一下·海南·月考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=3,M,N分别是AB,AD 的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为) A.7V2 B.9V2 C.5+3V2 D.5+52 【典例7-3】（多选）(2024高一下.全国.专题练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则 过A,Q,B1三点的截面图形是() A.等边三角形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正方形 【典例7-4】(24-25高一下·上海·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1,C1D1的中点.若 正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【变式7-1】(24-25高一下河南安阳·期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P,Q分别在B1C,C1D1 上，且B1P=3PC,D1Q=2QC1,过B,P,Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为) 第12页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.3v5 c.V10 2 D.V15 D 【变式7-2】(24-25高一下·河南郑州·期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是上底面A1B1C1D1上任意一 点，过A,C,E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是() A.等边三角形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 【变式7-3】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点， N为棱B1C1的中点，设直线A1D1与平面MNC交于点Q,则D1Q=()】 A.2 B月 C.1 D 【变式7-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图 形”.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点，过D1,E,F三点的截面图形 的周长为) A.(25+23+9⑤ B.(15+4W+9W⑤ C.2(25+23+6V⑤ D.z(15+4W3+6W5 I变式7-5】（多选）24-25高一下湖南邵阳·期中)如图所示，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M,N 分别是AD,CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是() A.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形 B.△MPN一定是锐角三角形 C.当点P与A点重合时，平面PMN截正方体所得的截面面积为6V5 D.PM+NP的最小值是2W10+2V5 变式7-6】(24-25高一下·湖南张家界.期中)已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为1，侧棱长为V2,SC的中 第13页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点为E,过点E作与SC垂直的平面a,则平面α截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为 题型08平面基本性质有关计算 【典例8-1】(2025江西.一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为AA1,CC1的中点，G 在D1C1上，且D1G=GC1,平面EFG与棱B1B所在直线交于点H,则BH=() 2 2 A. B. C. D G B 【典例8-2】(22-23高一下.黑龙江大庆期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AA1=3,A1C1=4A1N, BB1=3MB1,平面CMN截三棱柱所得截面的周长是() A.3V2+4W5 B.3V2+35+V3C.4W2+3v5 D.3W2+4W5+3 I典例8-3】（多选）22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0，用过 点O的平面去截正方体，则() A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形 C.该截面的面积可以为3V D.所得的截面可以是菱形 【典例8-4】(22-23高一下河南郑州·月考)在四棱锥P-ABCD中，AD//BC,AD=2BC,E为PD中点，平面 ABE交PC于F,则 【变式81】(24-25高二上·黑龙江开学考试)如图，在棱长为12的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是 棱CD,B1C1的中点，平面A1EF与直线CC1交于点N,则NF=() A.10 B.15 C.6v5 D.2V13 0 D 凰变式82】(23-24高三下·山东菏泽·月考)如图，A是平面a内一定点，B是平面a外一定点，且AB=4V2, 第14页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 直线AB与平面a所成角为45°，设平面a内动点M到点A,B的距离相等，则线段AM的长度的最小值为() B M. A.4 B.2W2 C.2 【变式&3】(22-23高一下.全国课后作业)设α//B,P∈a,Q∈B,当P、9分别在平面a、B内运动时，线 段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点？) A.不共面 B.当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C.当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D.无论P、Q如何运动都共面 【变式84】(2026高三·全国.专题练习)如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，任作平面a与对角线AC1 垂直，使平面a与正方体六条棱都有公共点，记截面PQRSWE的面积为S,截面周长为L,() A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L不为定值 D.S不为定值，L为定值 D 【变式85】（多选）(2023贵州铜仁模拟预测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P,E,F,G分别为棱BC, A1D1,D1C1,AA1的中点，Q为线段CC1上的动点，过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S,则下列命题 正确的是() A.当CQ=时，PQ/平面EFG B.当CQ=时，S的面积为 C.当<CQ<1时，S为六边形 D.当cQ=射，S与CD,的交点R满足CR= 【变式86】(24-25高一下广东期中)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体 的顶点ABCD处，碳原子位于正四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长为1，则平面OAB和平面OCD 位于正四面体内部的交线长度为 D 4 第15页共19页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下河北石家庄·月考)下列不是基本事实的是() A.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D.经过两条平行直线，有且只有一个平面 2.(21-22高一下·安徽六安期末)空间中四点可确定的平面有() A.1个 B.4个 C.1个或4个 D.1个或4个或无数个 3.(24-25高一下.山西临汾·期末)若三个不同平面把空间分成n部分，则正整数n的值不可能是() A.8 B.4 C.6 D.5 4.(21-22高一下·全国课后作业)已知平面an平面B=l,点A、C∈，点B∈B,且Bl,又ACnl=M,过 A,B,C三点确定的平面为Y,则Bny是() A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 5.(25-26高二上·上海·期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱AB的中点为E,棱AD的中点为F,棱CC1的中 点为G,过E、F、G作该正方体的截面，则该截面的形状为() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 6.(2024陕西铜川三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CD,DD1的中点，若AB=4,则平面 EFG截正方体所得截面的面积为) A.6V2 B.6V3 C.122 D.123 7.(2025·湖南永州·模拟预测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6,BC=4,E,F分别是棱AB,BC的中点，点 P满足CP=CC(0<1<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD一A1B1C1D1所得的截面为五边形，则实 数的取值范围是() A.(位引 B.(o, C.) o.62) 8.(2026重庆九龙坡.一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，过点B,D1的平面截正方体所得截面为菱形 时，该截面的面积为) B.是 C.v2 D.V6 第16页共19页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 9.(25-26高一下·全国课后作业（多选题）下列关于长方体的叙述中，正确的是() A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B.长方体中相对的面都互相平行 C.长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 D.两平行平面之间的棱互相平行且相等 10.(22-23高一下·安徽合肥·期末)下列说法中错误的是() A.三个点可以确定一个平面 B.若直线a在平面a外，则a与a无公共点 C.用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D.斜棱柱的侧面不可能是矩形 11.(2023贵州铜仁·模拟预测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P,E,F,G分别为棱BC,A1D1,D1C1,AA1 的中点，Q为线段CC1上的动点，过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是() A.当CQ=时，PQ//平面EFG B.当CQ=时，S的面积为 C.当<cQ<1时，S为六边形 D.当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=三 三、填空题 12.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，Q是B1C1的中点， 则AP与CQ的位置关系是 D. D 13.(22-23高二上广西贵港期末)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0，用过点0的平面去截 正方体，则() A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形 C.该截面的面积可以为3v3 D.所得的截面可以是菱形 14.(24-25高二上辽宁·开学考试)在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在 棱BC上，满足CF=2FB,G在棱PB上，满足D,E,F,G四点共面，则的值为一· "PB 四、解答题 15.(24-25高一下·安徽马鞍山期中)如图，已知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 第17页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB,BC,CC1C1D1的中点，AB=2. (1)证明：直线EF,HG,DC交于同一点： (2)作出过A、G、D1三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长 D 16.(20-21高一下山东济宁期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱CC1,AA1的中点. (I)画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由： (Ⅱ)设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B,H,D1三点共线 D D 17.(24-25高一下·福建福州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中 (1)如图1，若ACn BD=O,A1C∩平面BDC1=E,求证：C1,E,0三点共线： (2)M,N分别为AB和C1D1的中点，P,Q分别为BC和CC1的一个三等分点（都靠近C端）. ①如图2，求证：AP,DC,D1Q三线共点； ②过点M,N,Q三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）. D D C D N A A D A MB 4 M 图1 图2 图3 第18页共19页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 18.(22-23高一下·河南洛阳月考)如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M,N,P分别是 A1B1,AD,BB1的中点 (1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD、平面BB1C1C的交线； (2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长. D M 19.(24-25高三·全国.二轮复习)正四棱锥V-ABCD的棱VB,VC,VD上各有一点P,Q,R,其中P,R分别为VB,VD 的中点，CQ=2VQ,过P,Q,R三点作出正四棱锥的截面（图）. 第19页共19页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-2平面讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01平面基本性质辨析 题型02平面分空间的区域数量 知识点01四个基本事实 题型03点、线确定的平面数 4-2平面 题型04点、线共面问题 题型05空间中的点共线问题 知识点02空间点、线、面的位置关系 题型06空间中的线共点问题 题型07由平面基本性质确定截面 知识点03直观图 题型08平面基本性质有关计算 教学目标、教学重难点 理解四个基本事实，掌握空间点、线、面的位置关系，能解决共面、共线、共点、截面 教学目标 问题， 教学重点 四个基本事实，空间点、线、面的位置关系， 教学难点 共面、共线、共点、截面问题 知识清单 知识点01四个基本事实 1.基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 2基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面： 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面： 3基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据： (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）： (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据， 4基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 【即学即练1-1】(24-25高一下·上海·期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，0、01分别为矩形ABCD、 矩形A1B1C1D1对角线的交点，则平面A1BC1与平面BB1D1的交线为) 第1页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C D 0 B A.直线001 B.直线OB1 C.直线01B D.直线OD1 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】四个基本事实的应用 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果。 【详解】点B是长方体的顶点，显然B∈平面A1BC1且B∈平面BB1D1, 所以B∈平面A1BC1n平面BB1D1: O1是矩形A1B1C1D1的对角线交点，则01EA1C1C平面A1BC1,O1EB1D1C平面BB1D1, 所以01∈平面A1BC1∩平面BB1D1, 所以平面A1BC1∩平面BB1D1=O1B 故选：C 【即学即练1-2】（多选）21-22高一下·江苏扬州期中)下列命题中正确的有() A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.空间内三点确定一个平面 C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D.一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、四个基本事实的应用 【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故A正确： 对于B选项，要强调该三点不在同一直线上，故B错误： 对于C选项，两条直线的交点同时在两个平面上，所以交点只可能在两个平面的交线上，故C正确： 对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误」 故选：AC 知识点02空间点、线、面的位置关系 1.空间中直线和直线的位置关系 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。 (2)空间直线与直线的位置关系： 共面直线平行直线 (相交直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 2.空间中直线和平面的位置关系 第2页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (直线与平面平行 空间直线与平面的位置关系： 直线在平面外 (直线与平面相交 、直线在平面内 3.空间中平面和平面的位置关系 (两个平面相交 空间平面与平面的位置关系： (两个平面平行 【即学即练2-1】(24-25高一下·河北邢台期中)如图，在四棱锥E-ABCD中，点G在正方形ABCD内，点F 在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是() B A.点G在AC上 B.BG=GDC.AG=GDD.直线EB,GD交于点B 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题 【分析】由平面的基本性质可得出平面EFGD∩平面ABCD=BD,G∈BD即可得解， 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面EFGD n平面ABCD=BD, 所以直线EB,GD交于点B,故D正确 而由题意，G可为BD上任意一点，故ABC错误 故选：D 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·全国课后作业)下列四个命题中，正确的是() A.不共面的四点中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c不一定共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案， 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题： 若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E可能不共面， 比如面ABCE与面ABCD相交于A,B,C所在直线，而D,E均不在该直线上，故B为假命题： 若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c可能不共面， 第3页共63页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 比如若a,b相交，且a/c、b,c不相交，则此时b,c异面，故C为真命题： 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC 题型精讲 题型01平面基本性质辨析 【典例1-1】(25-26高一下·广东期中)如图，a∩B=1,A,B∈，C∈B,且C度l,直线AB∩l=M,过A,B,C 三点的平面记作y,则y与β的交线必通过( 6 C。 A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析 【详解】，直线ABnl=M,且ABcY,所以M∈Y,由anB=l,则M∈B: 又因为C∈B且C∈Y.所以BnY=MC. 所以y与B的交线必通过点C和点M, 【典例1-2】(24-25高一下辽宁，期末)已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为() A.15 B.16 C.17 D.18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线 即可 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为(=1,2,3,4,5,6)， 此时1与其余5个平面相交，有5条交线， a2与除去1外的4个平面相交有4条交线，…， 5与a6相交有1条交线， 所以共有5+4+3+2+1=15条交线. 故选：A 【典例1-3】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)以下四个命题正确的是() A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bc平面B,则“a与b相交"与“α与B相交”等价 第4页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.若anB=l,直线ac平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈l D.若条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、线面关系有关命题 的判断 【分析】结合刻画空间点、线、面位置关系的公理判断即可 【详解】选项A:由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确： 选项B:由aca,bcB,若直线a,b相交，平面a,B必相交，若平面a,B相交，平面a内的直线a,B内 的直线b未必相交，可能异面；B错误， 选项C:由基本事实3，C正确. 对于D,若n条直线相交于同一点，则它们不一定共面，D错误 故选：AC 【典例1-4】(24-25高一下.北京·期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为线段D1B1上的动点，点N为 线段AC上的动点，则与线段DB1相交且互相平分的线段MN有 条 D M 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定M的位置作答. 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M∈D1B1,而D1B1C平面D1B1D,即有M∈平面D1B1D, D M 第5页共63页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又MN与线段DB1相交，则交点必在直线DB1上，而DB1C平面D1B1D,于是MNC平面D1B1D,NE平面D1B1D, 而NEAC,ACC平面ABCD,即N∈平面ABCD,而平面D1B1D∩平面ABCD=BD, 因此N∈BD,即点N为AC,BD的交点O,又线段DB1与MN互相平分， 取DB1的中点E,连接OE并延长交D1B1于O1,显然EO/BB1//DD1,于是O1为D1B1的中点， 所以当点N与O重合，点M与O1重合时，MN与线段DB1相交且互相平分，这样的直线MN只有1条。 故答案为：1 【变式1-1】(25-26高一下.全国.课堂例题)现有下列命题：①桌面是平面：②8个平面重叠起来要比6个平 面重叠起来厚；③有一个平面的长是50m,宽是20m;④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象 的数学概念.其中正确命题的个数为) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】根据平面的概念和特征判断即可. 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确. 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确， 故选：A, 【变式1-2】(24-25高一下·广东汕头·期中)下列说法正确的是() A.三点确定一个平面 B.三条平行直线确定一个平面 C.梯形的四个项点确定一个平面 D.两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】对于AC:根据平行的基本事实以及推论分析判断；对于BD:举反例说明即可. 【详解】对于选项A:不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误： 对于选项B:三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误： 对于选项C:因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确： 对于选项D:两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误， 【变式1-3】(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法正确的是() A.在空间中，一个点运动只形成直线 B.在空间中，直线平行移动只形成平面 C.在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D.在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 第6页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可 判断：C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所 在平面可判断， 【详解】对于A,一个点运动也可以形成曲线，故A错： 对于B,在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错： 对于C,在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确： 对于D,矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误。 故选：C 【变式1-4】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答， 【详解】对于A,空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线：故A错误： 对于B,空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误： 对于C,空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形：故C错误： 对于D,空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾.故D正确， 故选：D. 【变式1-5】（多选(24-25高一下.广东湛江期中）下列命题是真命题的是() A.棱台的侧面一定是梯形 B.直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D.过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成 的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确： 第7页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确： 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确： 当三点共线时，有无数个平面，则D错误. 故选：ABC I变式1-6(22-23高一下.全国·课后作业)直线AB、ADC,直线CB、CDCB,点E∈AB,点F∈BC,点G∈CD 点H∈DA,若直线HE∩直线FG=M,则点M必在直线 _上 【答案】BD/DB 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面的基本性质证明a∩B=BD,再根据点线、线面、及面面关系判断M的位置. 【详解】由B∈AB,D∈AD,AB∩AD=A,AB、AD Ca,故BEC,DEa, 同理B∈B,DEB,故anB=BD, 由E∈AB,H∈DA,则E∈a,H∈a,故EHCa,同理可得FGCB, 又直线HE∩直线FG=M,故M∈EH,M∈FG,即M∈a,M∈B, 所以M必在，B的交线BD上 故答案为：BD 题型02平面分空间的区域数量 【典例2-1】(24-25高一下，黑龙江大庆期中)一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为)个区块， A.8 B.15 C.16 D.27 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解。 【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 第8页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B 【典例2-2】(24-25高一下广东广州期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个， 4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是(). A.25 B.26 C.28 D.30 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解 【详解】先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分 3条直线分一个平面为7部分，这个7=1+1+2+3， 4条直线分一个平面为11部分，这个11=1+1+2+3+4， 5条直线分一个平面为16部分，这个16=1+1+2+3+4+5， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成8+7=15个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成15+11=26个区域， 故选：B 【典例2-3】（多选)22-23高一下.辽宁大连·月考)下列说法正确的是( ) A.棱柱的侧面一定是矩形 B.三个平面至多将空间分为3个部分 C.圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量、由平面图形旋转得旋转体、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征 和分类 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A:取三个相互平行的平面判断B:利用旋转体的定义判断C;利用五棱锥 的结构特征判断D作答 【详解】对于A,斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误： 第9页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于B,若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误： 对于C,圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确： 对于D,五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确 故选：CD 【典例2-4】(23-24高一下.上海·期末)已知平面a与平面B将空间分成3部分，若空间中还有一个平面y,那 么a,B,y这三个平面可以将空间分成·部分. 【答案】6或4 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由题意可得a/B,再分a,B分别与Y相交时，a/,B/IN时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面a与平面B将空间分成3部分，所以a/IB, (1)当a,B分别与y相交时，a,B,Y这三个平面可以将空间分成6部分： (2)当a/Y,B/y时，a,B,Y这三个平面可以将空间分成4部分， 综上所述%，B,Y这三个平面可以将空间分成6或4部分. 故答案为：6或4 【变式2-1】(23-24高一下四川德阳期末)下列说法正确的是() A.平面a、B,使得a、B有且只有一个公共点B.若直线lt平面a,则vP∈L,PEC C.三平面最多把空间分成7部分 D.若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析、平面分空间的 区域数量 【分析】对于A,利用基本事实3分析即得：对于B,由直线l￠平面a的情况Ina=P即可排除；对于C, 结合长方体的模型即可排除；对于D,对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【详解】对于A,利用基本事实3知，平面a、B如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线， 故A错误； 对于B,由直线lt平面a,则l/a或l与a相交，当lna=P时，则有PEL,P∈a,故B错误： 第10页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于C,当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误： 对于D,当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确。 故选：D 【变式2-2】(24-25高一下河南洛阳·期中)三个平面可将空间分成n部分，则n的最大值为) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据平面的性质，结合空间想象画出划分空间最多的情况即可得 【详解】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 【变式2-3】(2023高一·全国·专题练习)平面a,B,y不能将空间分成() A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果， 【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分： 三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分： 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分： 当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分： 当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分. 所以平面α，B,y不能将空间分成5部分。 故选：A. 凰变式2-4】(22-23高一下河北邢台·月考)下列说法正确的是() A.过空间中的任意三点有且只有一个平面 B.三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C.空间中的三条直线a,b,c,如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D.若直线a在平面a外，则平面a内存在直线与a平行 【答案】B 【难度】0.85 第11页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】线面关系有关命题的判断、异面直线的概念及辨析、平面分空间的区域数量、平面的概念及其 表示 【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A:根据分别乘法计数原理即可判断B:根据异面直线的 概念即可判断C:根据线面关系即可判断D: 【详解】A:当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误： B:三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 所以三棱柱各面所在的平面将空间分成7×3=21个部分，故B正确： C:空间中直线a、b、c,若a与直线b异面，b与c异面， 则a与c可能异面，也可能共面，故C错误； D:由直线a在平面a外可知，a/a或a与a相交 若a/a,则a内存在一条直线与直线a平行： 若a与a相交，则a内不存在直线与直线a平行，故D错误. 故选：B I变式2-5】（多选）(23-24高一下.福建·期中)下列说法正确的是() A.棱柱的侧面一定是矩形 B.三个平面至多将空间分为4个部分 C.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】棱柱、棱锥、圆台的结构特征辨析、平面分空间的区域数量 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A:取三个相互平行的平面判断B:利用旋转体的定义判断C:利用五棱锥 的结构特征判断D作答， 【详解】对于A,斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误： 对于B,若两个平面相交，己可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时， 将空间分成8个部分，B错误： 对于C,圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确： 对于D,五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确 故选：cD 《变式2-61(24-25高一下·广西玉林期中)将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则x+y 的值为 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】分类讨论得到三个平面可以把空间分成4,6,7,8部分，从而得到x=8,y=4,所以x+y=12. 第12页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分： 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线（一个平面与两个平行平面相交）时，可以把空间分为6个 部分： 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分： 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4,6,7,8部分. 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故x=8,y=4,所以x+y=12. 故答案为：12 题型03点、线确定的平面数 【典例3-1】(24-25高一下浙江宁波期末)经过不在一条直线上的三个点的平面() A.有且仅有一个B.有且仅有三个C.有无数个 D.不存在 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的性质即可求解， 【详解】由四个基本事实：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A 【典例3-2】(2024高一下·全国.专题练习)下列命题是真命题的是() A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.两两相交的三条直线确定一个平面 D.两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解。 第13页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题： 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题. 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面：当三条直线有三个不同的交点，可以确定一 个平面，所以C是假命题： 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理(3)可以确定一个或三个平面，所以D正确： 故选：D. 【典例3-3】（多选24-25高一下·广东汕头期中）下列命题正确的是() A.若A∈L,B∈l,且A∈，B∈，则lC B.经过两条相交直线，有且只有一个平面 C.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D.直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题、等角定理及其辨析、线面关系有关命题的 判断 【分析】由两点确定一条直线即可判断A:由两条相交直线确定一个平面即可判断B;由空间等角定理即可 判断C;由直线与平面的位置关系即可判断D. 【详解】对于A,因为两点确定一条直线，所以若A∈I,B∈I,且AEa,B∈a,则lca,故A正确： 对于B,两条相交直线确定一个平面，故B正确： 对于C,由空间等角定理知，故C正确： 对于D,直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，故D错误： 故选：ABC. 【典例3-4】(24-25高一下·全国课后作业)空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定 个平面. 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、空间中的点（线）共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五 个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面. 【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多，则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面. 故答案为：7 第14页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式31】(24-25高一下广西防城港期中)若点A与直线1能够确定一个平面，则点A与直线1的位置关 系是()】 A.ACI B.Acl C.A庄L D.A∈L 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面 故选：C 《变式32】(24-25高一下·全国·课后作业)空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交， 那么这三条直线能确定的平面个数是() A.1或2 B.3或4 C.1或2或3 D.1或3或4 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】分三种情况讨论即可求解。 【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ①AA1∩AB=A,AA1∩A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定1个平面（平面ABB1A1): ②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,直线AB,AA1与A1D1可以确定2个平面（平面ABB1A1和平面ADD1A1: ③三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定3个平面（平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1)· 故选：C 【变式33】(22-23高一下·北京通州期末)下列命题正确的是() A.一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B.两条不平行的直线确定一个平面 C.三角形上不同的三个点确定一个平面 D.圆上不同的三个点确定一个平面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面的确定情况即可得到答案 【详解】对A,若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误， 对B,若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误： 对C,若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误： 第15页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对D,圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面 故选：D. 《变式3-4】(21-22高一全国·课后作业)己知a%,B为平面，A,B,M,N为点，a为直线，下列推理中错误的是() A.A∈a,A∈B,B∈a,BEB,则aCB B.M∈，M∈B,N∈a,N∈B,则直线MNC,直线MNcB C.A∈，A∈B,则∩B=A D.A,B,M∈a,A,B,M∈B,且A,B,M不共线，则a,B重合 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解 【详解】对于A中，由A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内， 可得acB,所以A正确： 对于B中，由MEa,M∈B,NEa,NEB,根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得 直线MNCa,直线MNCB,所以B正确： 对于C中，由A∈a,AEB,则平面a和平面B是一条经过点A的直线，所以C不正确： 对于D中，由A,B,M∈%，A,B,M∈B,且A,B,M不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面， 可得(B重合，所以D正确， 故选：C 【变式35】（多选24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中）下列正确的是(） A.一个多面体至少有4个面 B.过空间中任意三点有且仅有一个平面 C.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D.通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、多面体的性质、棱锥的结构特征和分类、点（线）确定的平面数量问题 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B的真假，根据正棱锥的定义判断C;根据圆锥的 性质及三角形面积公式知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假， 【详解】A:一个多面体至少有4个面，A选项正确： B:过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误： 对于C:根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心 所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥，故C正确. D:通过圆锥两母线的截面中，若轴截面项角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截 面为轴截面， 第16页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若轴截面顶角为钝角，则项角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误： 故选：AC 【变式36】(22-23高一下·全国课后作业)空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为 【答案】6个 【难度】0.85 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列 举出所有可能平面，即可得答案 【详解】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面， 任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为a,b,c,d, 所以ab,ac,ad,bc,bd,cd各确定一个平面，共有6个平面. 故答案为：6个 题型04点、线共面问题 【典例4-1】(24-25高一下·河北月考)下列判断正确的是(） A.若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B.若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C.若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D.若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】利用平面的相关基本事实即可得解 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A,B错误： 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，这五点一定共面，故D正确 故选：D 〖典例42】(24-25高一下·河南·月考)“直线AB与直线CD相交”是“点A,B,C,D共面”的) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间中的点（线）共面问题 【分析】由基本事实3及其推理即可判断。 【详解】由直线AB与直线CD相交，得点A,B,C,D确定一个平面，故充分性成立： 当点A,B,C,D共面时，直线AB与直线CD有可能平行，还有可能相交，故必要性不成立. 故选：A 第17页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例43】（多选25-26高一下·全国课后作业）以下四个命题正确的是() A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bc平面B,则“a与b相交”与“a与B相交"等价 C.若nB=l,直线aC平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈l D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、线面关系有关命题 的判断 【分析】结合刻画空间点、线、面位置关系的公理判断即可」 【详解】选项A:由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确： 选项B:由aca,bCB,若直线a,b相交，平面a,B必相交，若平面a,B相交，平面a内的直线a,B内 的直线b未必相交，可能异面；B错误. 选项C:由基本事实3，C正确. 对于D,若n条直线相交于同一点，则它们不一定共面，D错误。 故选：AC 〖典例44】(23-24高一下·浙江宁波期中)正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，N为线段AC上一动点，M为 线段DD1上一动点，则A1M+MN的最小值为 【答案】√10+4W2/W4W2+10 【难度】0.65 【知识点】点（线）确定的平面数量问题、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题、平面的基本性质 的有关计算 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到N最小时MN位置，然后把空间两根线段和A1M+MW等价转 化成共面的两根线段和GM+MN即可求解. 【详解】如图，连接MC,MA, 则由题意可知当△MCA为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，MNC面DD1B1B, 如图延长B1D1至G,使得D1G=D1A1,连接GM, 则MGC面DD1B1B,且GM=A1M, 所以M,G,NC面DD1B1B,故当三点共线时A1M+MN=GM+MN最小， 第18页共63页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 此时AM+MN=GM+MN=VON2+0c=√22+(2+V22=√10+4W2 故答案为：√10+4v2. R G 《变式41】(23-24高一下河北邯郸期末)如图，在空间四边形ABCD各边AB,BC,CD,DA上分别取点E, F,G,H,若直线EH,GF相交于点P,则下列结论错误的是() A.点P必在平面ABD内 B.点P必在平面CBD内 C.点P必在直线BD上 D.直线FG与直线BD为异面直线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 B 对于AB, 因为直线EH在平面ABD内，且PEEH,所以点P必在平面ABD内，故A正确： 同理直线FG在平面CBD内，且P∈FG,所以点P必在平面CBD内，故B正确： 由A,B选项得点P在平面ABD内，也在平面CBD内， 对于CD, 由基本事实3得点P在交线BD上，故C正确；直线FG与直线BD为相交直线， 故D不正确， 故选：D 【变式42】(24-25高一下.甘肃兰州月考)在如图所示的正方体或四面体中，P,Q,M,N分别是棱的中点， 这四个点不共面的图有() 第19页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内. 【详解】第一个图，如图： D D M B P,Q,M,N分别是棱的中点，由正方体性质知，PM/QN,则P,Q,M,N四个点共面： 第二个图，如图： G,H,I,M,N,P为棱的中点，由正方体的性质可知G,H,L,M,N,P六点共面，记作a, 因为Q庄a,所以PQ丈a,所以PQ与MN异面直线，即P,Q,M,N四个点不共面； 第三个图，如图：因PQ和MN分别是相邻侧面的中位线，所以PQ/IAB,MN/AB, 所以PQ/MN,即P,Q,M,N四个点共面： 0 B 第四个图，如图：因为P￠平面MNQ,所以PQ丈平面MNQ,所以PQ与MN异面直线， 即P,Q,M,N四个点不共面 故选：C 凰变式43】(24-25高一下…浙江·期中)已知空间中三条直线l、m、n,那么“1、m、n两两相交"是“1、m、n 共面”的)条件 A.充分不必要 B.充要C.既不充分也不必要 D.必要不充分 第20页共63页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、既不充分也不必要条件 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可 【详解】若l,m,n两两相交，当l,m,n相交于同一点上时，l,m,n不一定共面， 故l,m,n两两相交不能推出l,m,n共面， 若l,m,n共面，l,m,n可能彼此平行，故L,m,n共面不能推出l,m,n两两相交， 所以l,m,n两两相交是(，m,n共面的既不充分也不必要条件. 故选：C 《变式44】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答， 【详解】对于A,空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线：故A错误： 对于B,空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误： 对于C,空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形：故C错误： 对于D,空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾.故D正确， 故选：D. I变式45】（多选）20-21高一下江苏无锡·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E,F,G分别为棱 BC,CC1,B1C1的中点，01,02分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心，则) D 02 G B 00 D E A.A,C,O1,D1四点共面 B.D,E,G,F四点共面 C.A,E,F,D1四点共面 D.G,E,01,02四点共面 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断。 第21页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A:因为正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点，O1,O2分 别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心， 所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确； 对于B:因为E,G,F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D,E,G,F四点不共面，故B错误： 对于C:因为E,F分别为BC,CC1的中点，所以EF∥BC1 因为BC1∥AD1,所以EF∥AD1,所以A,E,F,D四点共面，故C正确： 对于D:连接G02并延长，交A1D1于H,则H为A1D1的中点，连接H01,则H01∥AA1, 因为E,G分别为BC,B1C1的中点，所以EG∥BB1: 因为AA1∥BB1,所以H01∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面，故D正确. 故选：ACD. D H 02 B 【变式46】(22-23高一下陕西榆林月考)下列命题中正确的命题为 ①若△ABC在平面a外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q、R,则P、Q、R三点共线： ②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面： ③a/c,B/c,则a/B;④若a1c,b1c,则a/b. 【答案】①② 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、空间中的点（线）共面问题 【分析】根据三点共线和共面的性质、直线与平面和平面与平面的位置关系、垂直的性质逐一判断即可。 【详解】对于①，设平面an平面ABC=l,因为PEa,P∈平面ABC, 所以P∈l,同理Q∈l,R∈l,故P、Q、R三点共线，①正确： B 对于②，因为a/b,所以a,b可以确定一个平面a, 因为A∈a,B∈b,aCa,bca,所以ABCa,所以lca, 又C∈l,所以C∈a. 同理，b,c也可以确定一个平面B,且C∈B,bCB, 因为Cb,故%，B重合，故这四条直线共面，所以②正确： 第22页共63页 品学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 对于③，a/c,B/c,则a,B可能相交或平行，故③不正确： 对于④，a1c,b1c,则a,b可能平行、相交或异面，所以④错误. 故答案为：①② 题型05空间中的点共线问题 【典例5-1】(22-23高一下·河南开封期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱D1C1的靠近D1上的 三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O,则() A.三点D1,O,B共线，且OB=2OD1 B.三点D1,O,B共线，且OB=30D1 C.三点D1,O,B不共线，且0B=20D1D.三点D1,0,B不共线，且OB=30D1 D B 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接AD1,BC1利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接AD1,BC1, OE直线AE,AEC平面ABC1D1,OE平面ABC1D1 又0E平面BB1D1D,平面ABC1D1∩平面BB1D1D=BD1,0E直线BD1:∴.三点D1,O,B共线 △AB0~△ED1O,.0B:0D1=AB:ED1=3:1,.0B=30D1 故选：B. 【典例5-2】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是() A.若空间四点共面，则其中必有三点共线 B.若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C.若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D.若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答 【详解】对于A,空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线：故A错误； 对于B,空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个项点，得到此四点不共面：故B错误： 对于C,空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形：故C错误： 对于D,空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾.故D正确， 故选：D. 【典例5-3】（多选）2024高一下·全国.专题练习)（多选）下列四个命题中，正确的是() A.不共面的四点中任意三点不共线 第23页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c不一定共面 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】 根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案， 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E可能不共面， 比如面ABCE与面ABCD相交于A,B,C所在直线，而D,E均不在该直线上，故B为假命题； 若直线a,b共面，直线a,c共面，则直线b,c可能不共面， 比如a,b相交，且a/c,此时b,c异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题： 故选：AC 【典例5-4】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1 交于点Q,则B,Q,D1三点的位置关系是 D 【答案】共线 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接A1B,CD1,根据基本事实2、基本事实3可得答案 【详解】如图，连接A1B,CD1,BD1,显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1,∴BD1C平面A1BCD1· D 同理，BD1C平面ABC1D1,.平面ABC1D1∩平面A1BCD1=BD1· A1Cn平面ABC1D1=Q,÷Q∈平面ABC1D1.又A1CC平面A1BCD1,÷.Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上，即QEBD1,·B,Q,D1三点共线. 故答案为：共线. 第24页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I变式51】(22-23高三.全国·课后作业)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、 H四点，若EFOGH=P,则点P() A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.既在直线AC上也在直线BD上 D.既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】由题意可得P∈平面ABC,PE平面ACD,又平面ABCn平面ACD=AC,则PEAC,可得答案. 【详解】如图，，EFc平面ABC,GHC平面ACD,EFnGH-=P, .P∈平面ABC,P∈平面ACD, 又平面ABCn平面ACD=AC,∴，P∈AC,即点P一定在直线AC上. 故选：B. 【变式52】(2024湖南·二模)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别为BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点， 则下列说法错误的是() B G H A.E,F,G,H四点共面 B.EF//GHC.EG,FH,AA1三线共点 D.∠EGB1=∠FHC1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对于AB,利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断：对于C,利用平面公理判断得EG,FH 的交点P在AA1,从而可判断；对于D,举反例即可判断. 【详解】对于AB,如图，连接EF,GH, 第25页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G 因为GH是△A1B1C1的中位线，所以GH/B1C1, 因为B1E/C1F,且B1E=C1F,所以四边形B1EFC1是平行四边形， 所以EF/B1C1,所以EF/GH,所以E,F,G,HH四点共面，故AB正确： 对于C,如图，延长EG,FH相交于点P,因为PEEG,EGC平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1, 因为P∈FH,FHC平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1, 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,所以EG,FH,AA1三线共点，故C正确： 对于D,因为EB1=FC1,当GB1≠HC1时，tanLEGB1≠tan/FHC1, 又0<LEGB1,∠FHC1<,则∠EGB1≠LFHC1,故D错误. 故选：D. 【变式53】（多选）22-23高一下.全国·课后作业)以下四个命题中，正确的命题是() A.不共面的四点中，其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则A,B,C,D,E共面 C.若△ABC在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P,Q,R,则P,Q,R三点共线 D.依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】利用反证法证明选项A判断正确：举特例否定选项B;利用基本事实证明选项C判断正确：举特例 否定选项D. 【详解】对于A,用反证法证明：假设四个点中，有三个点共线， 第四个点不在这条直线上，则根据基本事实的推论：一条直线和直线外一点 确定一个平面，可知这四个点共面，与已知矛盾，故A正确： 对于B,如图，A,B,C,D共面，A,B,C,E共面， 但A,B,C,D,E不共面，故B错误： B a 对于C,因为PEa,P∈平面ABC,所以P在平面a与平面ABC的交线上， 第26页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理，Q,R也在两平面的交线上，故P,Q,R三点共线，故C正确： 对于D,如图，a,b,c,d四条线段首尾相接，但a,b,c,d不共面，故D错误。 故选：AC. 【变式5-4】（多选）(23-24高一下·重庆期中)以下四个命题正确的是() A.三个平面最多可以把空间分成八部分 B.若直线ac平面a,直线bC平面B,则“a与b相交"与“a与B相交"等价 C.若anB=l,直线ac平面a,直线bc平面B,且anb=P,则P∈l D.若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量、空间中的点共线问题 【分析】根据平面的性质判断A,根据空间中线线、面面的位置关系判断B,根据点、线、面的位置关系判 断C,利用反例说明D. 【详解】对于A:三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1： 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2： 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3： 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4： 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分，故A正确： H D 图2 图3 图4 对于B:因为直线ac平面a,直线bc平面B,由a与b相交一定可以得到a与B相交， 但是由aα与B相交，则a与b可以相交、平行或异面，故B错误： 对于C:因为anb=P,直线ac平面a,则P∈aca且P∈b, 又直线bc平面B,所以PEB,又anB=l,所以P∈l,故C正确： 对于D:若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体EFNM-GDHP中：平面EFNM∩平面MNHP=MN, 平面EFNM 0平面MEGP=ME,平面MEGPO平面MNHP=MP, 由正方体的性质可知MW、ME、MP两两互相垂直，故D错误 故选：AC 【变式55】(2024高一下·全国.专题练习)如图，己知正方体ABCD一A1B1C1D1· (1)AC nBD=;(2)平面AB1n平面A1C1=:(3)A1B1nB1BnB1C1= 第27页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D O 【答案】 0 AB1 B1 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案 【详解】(1)AC,BD同在平面ABCD中，交于点O,故AC n BD=O (2)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1,故平面AB1n平面A1C1=A1B1 (3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于一点B1,A1B1∩B1B∩B1C1=B1 故答案为：O:A1B1:B1 【变式561(22-23高三·全国.中职高考)如图，正方体AC1中，O是BD中点，A1C与截面BDC1交于P,那么C1、 P、O三点共线，其理由是 D 【答案】C1、P、O是平面A1ACC1和平面BDC1的公共点，所以它们共平面A1ACC1与平面BDC1的交线 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】确定C1、P、O∈平面A1ACC1,C1、P、O∈平面BDC1,得到结论， 【详解】O是BD中点，则O是AC中点，故0∈平面A1ACC1, A1C与截面BDC1交于P,故P∈A1C,故PE平面A1ACC1,又C1∈平面A1ACC1, 故C1、P、O∈平面A1ACC1,又C1、P、O∈平面BDC1, 故C1、P、O在平面A1ACC1和平面BDC1的交线上 故答案为：C1、P、O是平面A1ACC1和平面BDC1的公共点，所以它们共平面A1ACC1与平面BDC1的交线. 题型06空间中的线共点问题 【典例6-1】(22-23高一下河南洛阳·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,Q分别是棱AA1,CC1 的中点，平面D1PQ∩平面ABCD=L,则下列结论错误的是() 第28页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.I过点B B.不一定过点B C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】作出辅助线，得到D1,P,B,Q四点共面，即B∈平面D1PBQ,又B∈平面ABCD,所以B∈I:作 出辅助线，得到F∈平面D1PBQ,F∈平面ABCD,故F∈l,同理D正确. 【详解】连接PB,QB,如图， D 因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点， 由勾股定理得D1P=D1Q=QB=BP, 所以四边形D1PBQ是菱形， 所以D1,P,B,Q四点共面，即B∈平面D1PBQ 又B∈平面ABCD,所以BEI,故A结论正确，B结论错误 如图，延长D1P与DA的延长线交于点F,延长D1Q与DC的延长线交于点E. 因为D1Fc平面D1PBQ,所以FE平面D1PBQ, 因为DFC平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈I, 同理E∈l,故C,D正确 故选：B 【典例6-2】(22-23高一下山东威海·期末)在空间四边形ABCD中，若E,F分别为AB,BC的中点，G∈CD, H∈AD,且CG=2GD,AH=2HD,则() A.直线EH与FG平行 B.直线EH,FG,BD相交于一点 C.直线EH与FG异面 D.直线EG,FH,AC相交于一点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】首先利用相似三角形证明HG/AC且HG=AC,再利用中位线定理证明EF/AC且EF=AC,从而 得到四边形EFGH为梯形，且EH,FG是梯形的两腰，设EH,FG交于一点P,利用平面的性质证明P是直线EH, BD,FG的公共点即可. 【详解】因为CG=2GD,AH=2HD,且∠ADC=∠HDG 第29页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以△ADC~△HDG,所以HG/∥AC且HG=AC, 因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EF/AC且EF=AC, 所以HG/EF且HG≠EF,故四边形EFGH为梯形，且EH,FG是梯形的两腰， 所以EH,FG交于一点，设交点为P,则P∈EH,PEFG, 又因为EHC平面ABD,且P∈平面BCD,所以PE平面ABD,且PE平面BCD, 又平面ABD∩平面BCD=BD,所以P∈BD, 所以点P是直线EH,BD,FG的公共点，故直线EH、FG、BD相交于一点. 故选：B I典例6-3】（多选）23-24高一下广西·期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F,G,H分别为 BB1,CC1,A1B1,A1C1的中点，则下列说法正确的是() 的 G H A.E,F,G,H四点共面B.EF/GHC.EG,FH,AA1三线不共点D.∠EGB1=∠FHC1 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、平面的基本性质及辨析 【分析】连接E,GH,证得EFGH且GH=EF,可得判定A正确、B正确：延长EG,FH相交于点P,结合 平面的性质，可判定C不正确：由EB1=FC1和GB1≠HC1时，得到∠EGB1≠∠FHC1,可判定D错误. 【详解】对于A、B中，如图所示，连接EF,GH, 因为GH是△A1BC,的中位线，所以GH/B,C,且GH=B1C1, 又因为B1E/C1F,且B1E=C1F,所以四边形B1EFC1是平行四边形， 所以EF/IB1C1,所以EF/GH,且GH=EF,所以EFGH为梯形， 所以E,F,G,H四点共面，所以A、B正确： 对于C中，如图所示，延长EG,FH相交于点P, 因为P∈EG,EGC平面ABB1A1,所以PE平面ABB1A1 因为PEFH,FHC平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1, 第30页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为平面ABB1A1∩平面ACC1A1=AA1,所以PEAA1 所以EG,FH,AA1三线共点，所以C不正确： 对于D中，因为EB1=FC1,当GB1≠HC时，tan2EGB1≠tan/FHC1, 又0<∠EGB1,∠FHC1<2则∠EGB1≠LFHC1,所以D错误. 故选：AB B G H 凰典例6-4】(2024高一下·全国.专题练习)如图，己知正方体ABCD一A1B1C1D1, (1)AC nBD (2)平面AB1n平面A1C1= ； (3)A1B1∩B1BnB1C1= 【答案】 AB1 B1 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案 【详解】(1)AC,BD同在平面ABCD中，交于点O,故AC n BD=O. (2)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1,故平面AB1n平面A1C1=A1B1: (3)A1B1,B1B,B1C1三条直线交于点B1,A1B1∩B1B∩B1C1=B1: 故答案为：O:A1B1:B1 【变式61】(22-23高三·全国.中职高考)已知ABCD-ABCD为长方体，对角线AC'与平面ABD相交于点G, 则G为△A'BD的() A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点（线）共面问题 【分析】依题意连接AC交BD于点E,连接A'E,连接AB'、AB,AB'∩A'B=F,连接DF,根据线面、面面 第31页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 关系判断即可. 【详解】如图连接AC交BD于点E,连接AE,连接AB'、AB,AB'nA'B=F,连接DF, 由ABCD-A'B'CD为长方体，所以E为BD的中点，F为AB的中点， 则AE、DF为△A'BD的中线， 平面ABDn平面A'CCA=AE,对角线AC与平面ABD相交于点G,则GEAE 平面ABD∩平面B'CDA=DF,对角线AC与平面A'BD相交于点G,则G∈DF, 所以G为A'E与DF的交点，所以G为△ABD的重心 D 故选：B 【变式62】(2024四川南充·三模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、F、 G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点，则下列说法中错误的是() A.A CL GH B.E、F、G、H四点共面 C.设BC=2,则平面EFC1截该三棱柱所得截面的周长为1+V3+2V5 D.EF、GH、AA1三线共点 【答案】c 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质及辨析、空间中的线共点问题 【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A,根据两直线平行确定平面判断B,作出截面四边形，根据 截面边长的大小判断C,利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【详解】如图， 连接AC1,A1C,由H,G分别为CA,CC1中点，可得HG/AC1, 由AC=BC=AA1可知，侧面AA1C1C为菱形， 所以A1C1AC1,所以A1C1GH,故A正确： 第32页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 连接HE,GF,因为E、F、G、H分别为AB、BB1、CC1、AC的中点， 所以HE/BC,GF/BC,所以GF/IHE,所以E、F、G、H四点共面，故B正确： 延长FE交A1A的延长线于P点，连接PC1,交AC于Q点，连接QE,C1F, 设FE,FC1确定平面为a,则P,C1Ea,所以PC1ca,所以C1Q,QECa, 则易知三棱柱的截面四边形为FEQC1,在Rt△C1B1F中，C1F=√22+1亚-√5， 在Rt△BEF中，EF= (V2子+12=V3,而Rt△AEH中，QE>EH=1, 而C1Q>C1H=√12+22=V5,所以截面的周长大于1+V5+2W5,故C错误： 由B知，GF/HE且HE≠GF,所以梯形的两腰EF、GH所在直线必相交于一点P, 因为P'∈平面A1ABB1,P'∈平面A1ACC1: 又平面A1ABB1∩平面A1ACC1=AA1,所以P'∈A1A,所以P'与P重合， 即EF、GH、AA1三线共点于P,故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C 选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 【变式63】（多选）22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD 的中点，点E,G分别是边BC,CD上的三等分点，且器-答-号则下列说法正确的是() CD A.E,F,G,H四点共面 B.EF与GH异面 C.EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D.EF与GH的交点M一定在直线AC上 D. G G 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、公理的应用 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得FG WEH,即可判断A,B;由平面基本 事实推理可判断C,D, 【详解】在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，则EH BD,且EH=BD, 点R,G分别是边BC,CD上的点，且酷-号=号则FGWBD,且FG=BD, 因此FG IIEH,点E,F,G,H四点共面，故A正确，B错误： 第33页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG‖EH,FG>EH,即四边形EFGH是梯形，则EF与GH必相交，交点为M, 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确 故选：AD 【变式64】（多选）(21-22高一下·云南昆明期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别 是DD1、BB1、AB、AD的中点，则下列说法正确的是() A.点A在平面EFC1内 B.EH//C F C.平面EFC1n平面ABCD=HG D.直线EH与直线FG相交 D D A B E 1D B G 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题 【分析】连接EC1、FC1、AF、AE,若I是AA1的中点，连接ID1、IF,利用中位线性质有IFC1D1、IAED1都 为平行四边形，进而有1D1/AE判断A;由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行判断B;根据平面 中点、线、面的关系判断C:连接BD,易证EF/IHG、HG=EF即可判断D. 【详解】连接EC1、FC1、AF、AE,若I是AA1的中点，连接ID1、IF, 由题设，IF/D1C1且IF=D1C1,则IFC1D1为平行四边形，所以ID1/FC1且ID1=FC1, 又E是DD1中点，故AI/ED1且AI=ED1,则IAED1为平行四边形，所以ID1/AE且ID1=AE, 综上，FC1/AE且FC1=AE,故F,C1,A,E共面，A正确： 由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且FC1//AE,不可能有EH/C1F,B错误： 由A∈面ABCD,A∈面EFC1,故A∈面EFC1n面ABCD,又HGC面ABCD,而AEHG, 故平面EFC1n平面ABCD≠HG,C错误： 连接BD,又G、H分别是AB、AD的中点，则HG/BD且HG=BD, E、F分别是DD1、BB1的中点，则EF //BD且EF=BD, 所以EF1/HG,即E,E,H,G洪面，且HG=EE,故直线班与直线FG相交，D正确。 故选：AD 【变式65】(24-25高二·上海·课堂例题)已知平面a与平面B相交于直线1，若M∈a,acB,则M与a的位 置关系是 【答案】M∈a或M度au 第34页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】分别讨论点M在上，和外两种情况，即可判断. 【详解】若点M是l和直线a的交点，则M∈a,若点M在l外且M∈a,则M使a 故答案为：MEa或M度a 【变式66】(22-23高一下·全国课后作业)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与过A1、D、C1 的平面交于点M,则BM:MD1= A 【答案】2：1 【难度】0.65 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】由平面的基本性质确定M是BD1与DO的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解 【详解】连接B1D1交A1C1于O,连接BD、D0, 由M∈BD1,BD1C面BDD1B1,则ME面BDD1B1, 又M∈面A1C1D,而面BDD1B1n面A1C1D=D0,故M∈D0, 所以M是BD1与D0的交点，又B1D1/BD,所以别=D=D=2,所以BM:MD1=2:1 MD1 D10 2B1D1 故答案为：2：1. 题型07由平面基本性质确定截面 【典例7-1】(22-23高一全国·课后作业)用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有() A.5条 B.6条 C.7条 D.8条 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案。 【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、 六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条. 第35页共63页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：B. 【典例7-21(24-25高一下·海南·月考)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AA1=3,M,N分别是AB,AD 的中点，则平面MNC1截该四棱柱所得截面的周长为) A.7V2 B.9W2 C.5+3v2 D.5+52 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到五边形C1QWMF即为平面MNC1截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似 得到各边长，相加得到截面周长。 【详解】直线MN分别与CB,CD相交于点T,E,连接C1T,C1E,分别与BB1,DD1交于点F,Q, 连接FM,QN,故五边形C1QNMF即为平面MNC1截该四棱柱所得截面， 其中M,N分别是AB,AD的中点，故AM=AN=BT=BM=1. 票-品-专故BF=CG=1, 由勾股定理得MF=√BM2+BF2=√2，MN=√AM2+ANZ=√2， 同理可得QN=MF=√2， 又D1Q=B1F=2,故C1Q=C1F=V22+22=2V2, 故平面MNC,截四棱柱所得截面的周长为√2×3+2√2×2=7√2. 故选：A. D 【典例7-3】（多选(2024高一下，全国.专题练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则 过A,Q,B1三点的截面图形是() A.等边三角形 B.矩形 C.等腰梯形 D.正方形 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】分点Q与点D1,D重合及点Q不与点D,D1重合，分别作出平面AQB1,即可得答案， 【详解】解：当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1,如图(1)： 第36页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C C D1(Q) D B (O (1) (2) (3) 当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D,如图(2： 当点Q不与点D,D1重合时，当Q,R分别为DD1,C1D1的中点， 则截面图形为等腰梯形AQRB1,不可能为正方形，如图(3) 故选：ABC 【典例7-4】(24-25高一下·上海期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1,C1D1的中点若 正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 【答案】+V 2 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】采用延长交线法，连接EF,延迟与A1D1的延长线交于点M,与A1B1的延迟线交于点N,连接AM,AN, 与DD,BB1分别交于G,H,连接EH,即截面图形为AHEFG,再由勾股定理计算可得 【详解】采用延长交线法，连接EF,延长与A1D1的延长线交于点M,与A1B1的延迟线交于点N, 连接AM,AN,与DD1,BB1分别交于G,H,连接EH,即截面图形为AHEFG, D 因为E、F分别是棱B1C,C1D1的中点，由正方形的性质可得MF=EF=EN, 所以G,H分别为三等分点，所以EF=号，FG=EH=干号要，AG=AH= 3 所以截面的周长为号+零×2+雪×2=号+3 2 2 故答案为：+V 【变式7-1】(24-25高一下河南安阳期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，P,Q分别在B1C,C1D1 上，且BP=3PC,D1Q=2QC1,过B,P,Q三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为) 第37页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.V5 B.3 c.V10 D.V15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长BP交CC1于点R,取A1B1的中点为H,可得截面为梯形QRBH,然后求最长边BH即可. 【详解】如图，延长BP交CC于点R,则品=品=专 即R为CC1的一个三等分点， 连接QR,取AB1的中点为H,连接BH,QH,则BH/IQR, 所以B,H,Q,R四点共面，故梯形QRBH即为截面图形， 显然BH为最长边，长度为32+)-9 D D 故选：B 【变式7-21(24-25高一下·河南郑州期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E是上底面A1B1C1D1上任意一 点，过A,C,E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是() A.等边三角形 B.矩形 C.直角梯形 D.等腰梯形 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据正方体的结构特征，讨论E的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得。 【详解】如下图，当E在A1C1上，截面形状为矩形， 当E与B1,D1重合，截面形状为等边三角形， 当E在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形 故选：C I变式7-3】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱DD1的中点， N为棱B1C1的中点，设直线A1D1与平面MNC交于点Q,则D1Q=() 第38页共63页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D A.2 C.1 0.月 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】先作出直线A1D1与平面MNC的交点Q,进而求得D1Q的长度. 【详解】在平面CDD1C1中，延长CM交C1D1于P,连接PN,交A1D1于Q, 在△PCC1中，D1M/CCD1M=号CC1,则D1P=C1D 又在△PC1N中，D1Q/NC1,D1P=C1D 则DQ=NC1=B1C1=1 D 故选：C 【变式7-4】(25-26高一下·全国课后作业)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图 形”.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为CC1的中点，过D1,E,F三点的截面图形 的周长为) A.2(25+23+9⑤ B.(15+4W3+95 C.(25+213+6⑤ D.(15+4W13+6⑤ 【答案】A 【难度】0.53 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【详解】延长D1F交DC的延长线于点N,连接NE交BC于点G, 延长NE交DA的延长线于点M,连接MD1交AA1于点H,连接HE,GF, 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形EGFD H。 由△AEH与△CD,F相似得AH=青 所以AH-子△AD1H与△CGF相似得CG=子，所以BG=子 由勾股定理得G=⑨+0-严，cF=√⑨+③-吾 第39页共63页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 FD,=√+12=号，D,H=份+12-HE=③)+=9 所以截面图形的周长为(25+2W3+9⑤： D 《变式7-5】（多选(24-25高一下·湖南邵阳·期中）如图所示，己知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M,N 分别是AD,CC1的中点，P是线段AB上的动点，则下列说法正确的是() M A.平面PMN截正方体所得的截面可能是五边形 B.△MPN一定是锐角三角形 C.当点P与A点重合时，平面PMN截正方体所得的截面面积为6V5 D.PM+NP的最小值是2W10+2V5 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】对于A:截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断：对于B:三角形是否为锐角三角形， 选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负：对于C:截面面积，需确定截面形状并计算；对于D:PM+ NP的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离 【详解】对于A,如图，当点P与A,B两点不重合时，将线段PM向两端延长， 分别交CD,CB的延长线于点O,Q,连接NO,NQ分别交DD1,BB1于R,S两点， 连接RM,SP,MP此时截面为五边形MPSNR,所以A正确： 对于B,考虑△PMN,当点P与点A重合时，MW=2V6,PM=2,PN=6, 此时因为MN2+PM2<PN2,故LPMN为钝角，所以B错误； 对于C,当点P与点A重合时，设BB1的中点为E,则AM II NE, 所以当点P与点A重合时，平面PMN截正方体所得的截面如图所示，其截面为矩形ADNE, 易知AE=2V5,所以其截面面积为4×2V5=8V5,故C错误： 第40页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于D,取DD1的中点H,连接AH,HN,NB,在HA的延长线上取M使得 AM'=AM=2,连接MN与AB于P点， 此时PM+NPnn-(（MP+NP）n=MN=√+(2+④+2习=2√10+2W5.故D正确. 故选：AD 《变式7-6】(24-25高一下·湖南张家界.期中)已知正四棱锥S-ABCD的底面边长为1，侧棱长为V2,SC的中 点为E,过点E作与SC垂直的平面a,则平面α截正四棱锥S-ABCD所得的截面面积为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据给定条件，作出平面aα截正四棱锥S一ABCD所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求 解作答 【详解】在正四棱锥S-ABCD中，连接AC,则AC=V2=SA=SC,△SAC是正三角形， 由SC的中点为E,得AE L SC, 而SC1a,SCna=E,则AECa,在△SBC中，cosBSC=SB2+sc-BC 2+2-13 2SB-SC 2W2xV2=4 sim∠BsC=V1-cos2ZBSC-,令平面a与直线S8交于R,连ER,AB,则SC1BR, 2 SF=- SE os∠BSC =<V2,即点F在棱SB上，同理平面a与棱SD相交，令交点为G,连EG,AG, 3 于是四边形AFEG为平面α截正四棱锥S-ABCD所得的截面，由对称性知△AEG兰△AEF, 在△SEF中，EF=SFsin∠BSC-9x9-匹.而AE=ACsn5=6 3 4 6 32 在△SAF中，c0s∠ASF= ,由余弦定理得AF= 22+(9-22××：-9 3 31 在△AEF中，cOS∠EAF=AE2+AP2-EF_ +-2 2AE-AF 乞，sinEAF=2 所以所得截面面积SG2SEP2XAE×AF×Sin2BAF二×号×生9 2 3 第41页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：号 题型08平面基本性质有关计算 【典例8-1】(2025江西.一模)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为AA1,CC1的中点，G 在DC1上，且D1G=GC1,平面EFG与棱B1B所在直线交于点H,则BH=() .2 A. B. C. 0.8 D 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据正方体的性质可得平面ABB1A1与平面DCC1D1平行，利用面面平行的性质定理可得平面EFG 与它们的交线GF,EH平行， 然后作平行线找到点H的位置，利用三角形相似即可求出BH的值 【详解】在正方体中，根据正方体的性质可得平面ABB1A1与平面DCC1D,平行， 利用面面平行的性质定理可得平面EFG与它们的交线GF,EH平行， 所以过点E作直线GF的平行线EP与B,B延长线交于一点， 此交点即为平面EFG与棱B1B所在直线交点H,连接PF,如图所示. 所以四边形EPFG是平行四边形，所以EP=FG, 又E,F分别为AA1,CC1的中点，所以AE=C1F, 因为∠EAP=∠FC1G=90°，所以△EAP≌△FC1G,所以AP=C1G, 又因为△EAP~△HBP,所以盟-器=名所以BH=AE=AA:= 故选：C 【典例8-2】(22-23高一下·黑龙江大庆期末)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4,AA1=3,A1C1=4A1N, BB1=3MB1,平面CMN截三棱柱所得截面的周长是() 第42页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.3V2+4W5B.3V2+3V5+V3 C.4W2+3v5 D.3W2+45+V3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长 【详解】如图1，延长CN与AA1交于点H,连结MH,与A1B1交于点G, 连结NG,GM,则四边形CNGM为所求截面， 其中CN= CC+C1N2=V32+3z=3V2,CM=√BC2+BM=V42+22=25, H 图1 图2 如图2，△A,HN~△C,CN,所以-然=即A1H=CC1=1, CC1 NC1 如图1，若A1H=BM=1,则△A1HG兰△B1MG,所以A1G=B1G, 即点G是A1B1的中点，所以GM=√B1G2+B1M7=√22+12=V5, △A1GN中，∠A1=60°，A1G=2,A1N=1, 所以NG=√A1N2+A1G2-2A1N·A1G·c0s60°= 1+4-2×1×2×3=V5, 所以四边形CNGM的周长为3v2+2√5+√5+√5=3V2+3V5+√3. 故选：B 【典例8-3】（多选）22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0，用过 点O的平面去截正方体，则() A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形 C.该截面的面积可以为3V3 D.所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B,求解正六边形的面积判断C,根据平行四边形的 边长相等判断D. 第43页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面A1B1C1D1开始截入， 不妨设上底面A1B1C1D1与截面的交线为线段PQ,截取有两种情况， 第一种情况是P,Q两点分别在两对边上或两相邻边上，如图， D 0 6 直线PO与BC相交于点M,直线OQ与AD相交于点N, 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形PQMN 第二种情况，如图， 直线PO与BC相交于点M,直线OQ与AD相交于点N,直线PQ与A1B1相交于点E,NE与AA1相交于点F,直线 MN与CD相交于点G,GQ与CC1相交于点H, 易知所得截面为六边形PQHMNF,A错误，B正确 当截面为正六边形时，正六边形的边长为V2,它的面积为6××6W22×复=3V3,c正确。 2 当截面为平行四边形时，由对称性可知A1P=MC,PD1=BM,C1Q=AN,B1Q=DN, 若四边形PQMN为菱形，则PN=MN, 可得，AA经+(AN-A1P)2=√AB2+(BM-AN)2,可得(AN-MC2=(BM-AN)2, 可得AN-MC=BM-AN或AN-MC=AN-BM,可得2AN=AD或MC=BM,D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键我们通常可利用空间几何公理 及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线， 【典例8-4】(22-23高一下河南郑州·月考)在四棱锥P-ABCD中，AD/BC,AD=2BC,E为PD中点，平面 ABE交PC于F,则E 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】延长直线DC、AB,交于点G,平面BAE变为GAE,连接PG,EG交于点F,再根据三角形中线的性 质，求装的值 【详解】延长DC、AB,交于点G,连接PG,EG交PC于点F, 第44页共63页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 AD/BC,且AD=2BC,可得点B、C分别是AG、DG的中点， 又~点E是PD的中点，÷PC和GE是△PDG的中线，点F是△PDG的重心，所以E=2. EC 故答案为：2 【变式81】(24-25高二上黑龙江开学考试)如图，在棱长为12的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是 棱CD,B1C1的中点，平面A1EF与直线CC1交于点N,则NF=() D A.10 B.15 C.6v5 D.2V13 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】分别在棱AD,CC1,BC上取点M,N,G,使得AM=3MD,C1N=2NC,BC=GC,易证ME/AG/A1F, NF/A1M,则平面A1EF截该正方体所得的截面图形是五边形A1MENF.再计算即可. 【详解】分别在棱AD,CC1,BC上取点M,N,G,使得AM=3MD,C1N=2NC,BG=GC, 连接A1M,ME,EN,NF,AG,根据正方体特征及平行公理，易证ME//AG/A1F,NF/A1M, 则平面A1EF截该正方体所得的截面图形是五边形A1MENF. 由题中数据，知道C1F=6,C1N=8,可得WF=√C1F2+C1N2=10 故选：A M D 【变式82】(23-24高三下山东菏泽·月考)如图，A是平面a心内一定点，B是平面a外一定点，且AB=4V2, 直线AB与平面a所成角为45°，设平面α内动点M到点A,B的距离相等，则线段AM的长度的最小值为() 第45页共63页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B M. A.4 B.2W2 C.2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据题意，得到动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面a的交线，取AB的中点C,结合AM=4c sin45° 即可求解 【详解】如图所示，因为点M到点A,B的距离相等， 可得动点M的轨迹是线段AB的中垂面与平面的交线， 又因为AB=4V2,直线AB与平面a所成角为45°， 取AB的中点C,可得CM1AB,则线段AM的最小值为AM=AC 2 n45 =4 故选：A 【变式83】(22-23高一下.全国·课后作业)设a/B,P∈a,Q∈B,当P、Q分别在平面ax、B内运动时，线 段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点双) A.不共面 B.当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C.当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D.无论P、Q如何运动都共面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】过点X作直线lIa,构造三角形证明点X到平面a、B的距离相等可知， 【详解】过点X作直线l1a,记lna=M,lnB=N,l与PQ所确定的平面为Y. 因为a/IB,any=MP,Bny=QN,所以MP/QN,所以∠MPX=∠NQX, 又C/B,l1a,所以l1B,所以∠XMP=∠XNQ=90 因为X为PO的中点，所以XP=XQ,所以△XMP兰△XNQ, 所以XM=XN,即X在到平面a、B的距离相等的平面上 故选：D 第46页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M 【变式8-4】(2026高三·全国专题练习)如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，任作平面Q与对角线AC1 垂直，使平面a与正方体六条棱都有公共点，记截面PQRSWE的面积为S,截面周长为L,（) A.S为定值，L为定值 B.S为定值，L不为定值 C.S不为定值，L不为定值 D.S不为定值，L为定值 【答案】D 【难度】0.5 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据特例可判断面积不是定值，利用几何法可判断周长为定值 【详解】由正方体的性质可知△ABD为正三角形，且其面积为×(6②-复 当平面a过棱A1B1,A1D1,DD1的中点时，且其面积 由正方体的性质可得此时截面为正六边形，且其面积为6×号×（写 2 4 当a与棱D,A,的交点向A靠近时，截面PQRSWEP的面积为S趋近号 故截面面积是变动的，下证周长为定值，理由如下： D 作QG平行于AB,则易得四边形PQGA1为平行四边形， 所以A1G=PQ,BG=V2BQ,QR=V2BQ,∴BG=QR,则PQ+QR=A1B=V2, 同理可得，WE+EP=A1D=V2,WS+SR=BD=V2,所以L=3V2. 故选：D. I变式&5】（多选）(2023贵州铜仁·模拟预测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P,E,F,G分别为棱BC, A1D1,D1C1,AA1的中点，Q为线段CC1上的动点，过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S,则下列命题 正确的是() A.当CQ=时，PQ1/平面EFG B.当CQ=时，S的面积为 第47页共63页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.当<CQ<1时，S为六边形 D.当CQ=时，S与CD1的交点R满足C1R= 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面位置关系，作出各个选项中的相应的截面，判 断截面的形状，即可求解 【详解】对于A中，当CQ=,即点Q为线段CC,的中点，如图①所示， 取AB的中点M,分别连接BC1,AD1,可得PQ/BC1,GE/AD1 因为AD1/BC1,所以PQ/GE,同理可得EF/MP 设过直线PQ,GE的平面为a,过直线EF,MP的平面为B,且GE∩EF=E, 所以平面α与平面B重合，所以PQc平面EFG,所以A错误： D M ② ② 对于B中，当CQ=时，即点Q为线段CC1的中点，如图②所示， 连接BC1,因为P,Q分别为BC,CC1的中点，所以PQ/BC1, 又因为AD1/BC1,所以PQ/AD1, 所以可得过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S为等腰梯形APQD1, 可得PQ=兰，AD,=V反AP=D,Q=受，则等腰梯形的高为兴， 所以截面S的面积为(V恒+写×华=：，所以B正确： 对于C中，当<CQ<1时，如图③所示，此时截面S为五边形，所以C错误： D D D ③ ④ 对于D中，当CQ=时，即点Q为线段CC的一个三等分点，如图④所示， 延长CC1到点N,连接BN交B1C1于点G,使得PQ/BN, 因为P是BC的中点，可得CN-台侧则会-瓷=芹即C,6= 在AD1上取点工，使得DT=子可得AT/BG,则AT1/PQ, 第48页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在CD1上取其中点R,则TR/AP,截面S即为平面APQRT,此时C1R=三所以D正确 故选：BD 【变式&6】(24-25高一下广东·期中)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体 的顶点ABCD处，碳原子位于正四面体的中心O处.若正四面体ABCD的棱长为1，则平面OAB和平面OCD 位于正四面体内部的交线长度为 【答案】 2 【难度】0.4 【知识点】正棱锥及其有关计算、平面的基本性质的有关计算 【分析】取AB,CD的中点E,F,连结E,F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面OAB和平面OCD 的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可 【详解】如图所示，分别取AB,CD的中点E,F,连结E,F, 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O,所以平面OAB即平面FAB,平面OCD即平面ECD, 又因为EFC平面FAB,EFC平面ECD, 所以平面OAB和平面OCD位于正四面体内部的交线为线段EF, 又因为正四面体ABCD的棱长为1，则由勾股定理可得FA=FB=√12一（佾-复 所以在等腰三角形FAB中，1EF1=FAP-1BA2=√(9)-(（目-号 故答案为：号 强化训练 一、单选题 1.(24-25高一下河北石家庄·月考)下列不是基本事实的是() A.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B.平行于同一条直线的两条直线平行 C.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 第49页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析 【分析】根据基本事实判断即可 【详解】对于A,“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本 事实3，故A正确 对于B,“平行于同一条直线的两条直线平行"是基本事实4，故B正确： 对于C,“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内"是基本事实2，故C正确： 对于D,经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故D错误： 故选：D. 2.(21-22高一下…安徽六安期末)空间中四点可确定的平面有() A.1个 B.4个 C.1个或4个 D.1个或4个或无数个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】点（线）确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面： 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面： 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点 故选：D. 3.(24-25高一下山西临汾·期末)若三个不同平面把空间分成n部分，则正整数n的值不可能是() A.8 B.4 C.6 D.5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目. 【详解】如图1，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成4部分， 如图2，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成6部分， 如图3，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成7部分， 如图4，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成8部分， 如图5，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成6部分， 故A、B、C都有可能，D不可能， 第50页共63页 而学科网·上好课 www zxx k.c o m 上好每一堂课 皇多养舟 图1 图2 图3 图4 图5 故选：D. 4.(21-22高一下·全国课后作业)已知平面a∩平面B=,点A、C∈，点B∈B,且B庄l,又AC∩l=M,过 A,B,C三点确定的平面为y,则B∩y是() A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】公理的应用、空间中的点（线）共面问题 【分析】确定平面B、Y的公共点，利用公理可得出平面B与Y的交线 【详解】已知过A、B、C三点确定的平面为Y,则ACcY. 又ACnl=M,则M∈Y,又平面an平面B=l, 则lca,IcB,又因为ACnI=M,所以MEB, 'B∈B,B∈Y,所以BnY=BM. 故选：B 5.(25-26高二上·上海·期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱AB的中点为E,棱AD的中点为F,棱CC1的中 点为G,过E、F、G作该正方体的截面，则该截面的形状为() A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状 【详解】延长EF,交CD的延长线于点Q,延长FE,交CB的延长线于点P, 连接QG,交DD1于I,连接PG,交BB1于H, 连接FI,EH；则五边形EFIGH即为过E、F、G与该正方体的截面. 故选：C 6.(2024陕西铜川三模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CD,DD1的中点，若AB=4,则平面 第51页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 EFG截正方体所得截面的面积为) A.6V2 B.6V3 C.12W2 D.12√3 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为2√2的正六边形，计算其面积即可得。 【详解】如图，过点G作EF的平行线交BB1于点J,过点J作FG的平行线交A1B1于点I, 过点I作EF的平行线交A1D1于点H,易知点，L,H都在截面EFG内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为2V2的正六边形， 所求面积S=6×(×2W2×2W2×sin60)=12V3, 故选：D. B 7(2025湖南永州模拟预测)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=6,BC=4,E,F分别是棱AB,BC的中点，点 P满足CP=CC(0<1<1),若过点E,F,P的平面截长方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为五边形，则实 数的取值范围是() A(品引 B.(o, c.1) o.2) 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果 【详解】如图所示， D 要使点E,F,P所在的截面为五边形，则截面与棱DD1相交， 因为E是AB的中点，所以AE=EB, 因为LAEM=∠BEF,∠MAE=∠EBF,所以△AEM兰△BEF,所以FB=AM, 在长方体中，CF/DM,所以△NCF△NDM,所以品-票-=号 第52页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同理可得△NCP~△NDQ,即号-%-专 因为DQ≤DD1,所以品≤行即品品≤所以0<1≤ 即实数的取值范围是(0，引 故选：B 8.(2026重庆九龙坡.一模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，过点B,D1的平面截正方体所得截面为菱形 时，该截面的面积为() A. B. C.2 D.V6 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】取AA1的中点E,CC1的中点F,得到BED1F为菱形，故有过点B,D1的平面截正方体所得截面为菱形 的截面是菱形BED1F,根据题意求出BD的长度，取DD1的中点H,连接EH,FH,EF,根据勾股定理求出EF 的长度，故菱形BED1F的面积为EF,BD1,代入数值得解。 【详解】取AA1的中点E,CC1的中点F,连接ED1,D1F,FB,BE, 取BB1的中点G,连接GE,GF,取DD1的中点H,连接EH,FH,EF, E,H,F,G分别是AA1,DD1,CC1,BB1的中点，∴EHFG是正方形， EG/HF且EG=HF,D1C1/IHF且D1C1=HF, EG/D1C1且EG=D1C1,·EGC1D1为平行四边形，GC1/ED1且GC1=ED1 而GC1/IBF且GC1=BF,则BF/ED1,BF=ED1,.BFD1E为平行四边形， BE/FD1,B,E,F,D1四点共面，又BE=BF=5 2 ,BED1F为菱形， ~BD1C平面BED1F,过点B,D1的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形BED1F, BD1=V3,EH=1,FH=1,则EF=VEH2+FH=√T+I=√2 故菱形BED,F的面积为EF:BD1=×V2×V3-号 故选：A D D 二、多选题 9.(25-26高一下·全国·课后作业（多选题）下列关于长方体的叙述中，正确的是() A.将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B.长方体中相对的面都互相平行 第53页共63页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 C.长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 D.两平行平面之间的棱互相平行且相等 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析、平行公理 【分析】对A,结合平移的性质与长方体的定义，判断矩形竖直平移后形成的几何体是否符合长方体特征： 对B,依据长方体中面的位置关系的性质，判断相对面是否平行；对C,考虑长方体中棱的位置关系，除了 相交和平行，分析是否存在其他位置关系：对D,根据长方体中平行平面间棱的位置和长度特征进行判断. 【详解】对于A:将一个矩形沿垂直于其所在平面的方向平移一段距离可形成一个长方体，A正确： 对于B:根据长方体的结构特征，长方体中相对的面没有公共点，互相平行，B正确： 对于C:长方体中存在异面棱，例如，长方体下底面的一条棱与和它不相交也不平行的上底面的一条棱是异 面直线，故C错误： 长方体中存在异面棱，例如，长方体底面的一条长和顶面的一条宽，是异面直线，C错误： 对于D:长方体中任意两个平行平面之间的棱，方向都相同，长度相等，因此互相平行且相等，D正确. 10.(22-23高一下·安徽合肥·期末)下列说法中错误的是() A.三个点可以确定一个平面 B.若直线a在平面a外，则a与a无公共点 C.用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D.斜棱柱的侧面不可能是矩形 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、平面的基本性质及辨析、点（线）确定的平面数 量问题 【分析】由三点共线判断A;由线面关系有a与α可能相交或平行判断B；由正棱锥的结构特征及正棱台的 定义判断C;注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D. 【详解】A:三点共线时平面不止一个，错误： B:若直线a在平面a外，则a与a可能相交或平行，错误； C:用平行与底面的平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为 正棱台，正确： D:斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边，此时这两条侧 棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误. 故选：ABD. 11.(2023·贵州铜仁·模拟预测)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P,E,F,G分别为棱BC,A1D1,D1C1,AA1 的中点，Q为线段CC1上的动点，过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是() A.当CQ=时，PQ/平面EFG B.当c0=时，S的面积为 C.当<CQ<1时，S为六边形 D.当CQ=时，S与CD1的交点R满足CR= 【答案】BD 第54页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面位置关系，作出各个选项中的相应的截面，判 断截面的形状，即可求解 【详解】对于A中，当CQ=时，即点Q为线段CC1的中点，如图①所示， 取AB的中点M,分别连接BC1,AD1,可得PQ/BC1,GE/AD1, 因为AD1//BC1,所以PQ/GE,同理可得EF/MP, 设过直线PQ,GE的平面为a,过直线EF,MP的平面为B,且GE∩EF=E, 所以平面a与平面B重合，所以PQC平面EFG,所以A错误： D D ① ② 对于B中，当CQ=时，即点Q为线段CC,的中点，如图②所示， 连接BC1,因为P,Q分别为BC,CC1的中点，所以PQ/BC1, 又因为AD1/BC1,所以PQ/IAD1, 所以可得过A,P,Q的平面截正方体所得的截面记为S为等腰梯形APQD1, 可得PQ=号，A01=V反，AP=DQ=县则等腰梯形的高为兴浮 所以截面S的面积为（巨+今×平=名，所以B正确： 对于C中，当<CQ<1时，如图③所示，此时截面S为五边形，所以c错误： D B D: D ③ ④ 对于D中，当CQ=时，即点Q为线段CC1的一个三等分点，如图④所示， 延长CC1到点N,连接BN交B1C1于点G,使得PQ/BN, 因为P是Bc的中点，可得GN=台则会-二-京即C,G= 在A1D1上取点工，使得DT=京可得AT/BG,则AT1/PQ, 第55页共63页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在CD1上取其中点R,则TR/AP,截面S即为平面APQRT,此时C1R= 所以D正确 故选：BD. 三、填空题 12.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，Q是B1C1的中点， 则AP与CQ的位置关系是 D 【答案】相交 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题 【分析】连接PQ,AC,A1C1,利于中位线性质可证得得P,Q,A,C共面，再利用反证法假设AP/CQ,可证得矛 盾，从而可得AP与CQ相交. 【详解】如图，连接PQ,AC,A1C1,P是A1B1的中点，Q是B1C1的中点，所以PQ是A1C1的中位线， P 故PQIA1C1,而在正方体中ABCD-A1B1C1D1中，AA1=CC1,AA1/CC1, 所以四边形A1ACC1是平行四边形，故AC/A1C1,所以PQ/AC,得P,Q,A,C共面，故AP与CQ共面， 假设AP/CQ,由PQ/AC,可得四边形ACQP是平行四边形， 则PQ=AC,即PQ=A1C1,这与PQ是A1C1的中位线矛盾，故AP与CQ相交 故答案为：相交 13.(22-23高二上广西贵港期末)已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为0，用过点0的平面去截 正方体，则() A.所得的截面可以是五边形 B.所得的截面可以是六边形 C.该截面的面积可以为3v3 D.所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B,求解正六边形的面积判断C,根据平行四边形的 第56页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 边长相等判断D, 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面A1B1C1D1开始截入， 不妨设上底面A1B1C1D1与截面的交线为线段PQ,截取有两种情况， 第一种情况是P,Q两点分别在两对边上或两相邻边上，如图， 直线PO与BC相交于点M,直线OQ与AD相交于点N, 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形PQMN, C D D M B A B 第二种情况，如图，直线PO与BC相交于点M,直线OQ与AD相交于点N, 直线PQ与A1B1相交于点E,NE与AA1相交于点F,直线MN与CD相交于点G,GQ与CC1相交于点H, 易知所得截面为六边形PQHMNF,A错误，B正确. 当截面为正六边形时，正六边形的边长为V2,它的面积为6××(W2)2×=3V3,C正确 当截面为平行四边形时，由对称性可知A1P=MC,PD1=BM,C1Q=AN,B1Q=DN, 若四边形PQMN为菱形，则PN=MN, 可得，AA+(AN-A1P)2=√AB2+(BM-AN)2,可得(AN-MC2=(BM-AN)2, 可得AN-MC=BM-AN或AN-MC=AW-BM,可得2AN=AD或MC=BM,D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键我们通常可利用空间几何公理 及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线 14.(24-25高二上·辽宁·开学考试)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在 棱BC上，满足CF=2FB,G在棱PB上，满足D,E,R,G四点共面，则的值为 【答案】/0.75 【难度】0.4 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的点共线问题 【分析】通过延长DF,交AB的延长线于点Q,先证明点G即EQ与PB的交点，利用CF=2FB及相似三 角形，证得BM=BQ,由EM/PB得到BG=EM,EM=PB,推出BG=PB即得 【详解】如图，延长DF,交AB的延长线于点Q,连接EO,EQ与PB的交点即为G 理由如下：设D,E,F共面a,因ABO DF=Q,则Q∈a,Q∈平面PAB, 又因a∩平面PAB=EG,故E,G,Q三点共线，即EQ∩PB=G, 取AB的中点M,连接EM,因CF=2FB,由△FBQ~△FCD可得BQ=CD, 第57页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因BM=AB=CD,则BM=BQ,又E是棱PA的中点，则EM/PB,则得EG=GQ, 故有BG=EM,又EM=PB,所以BG=PB,故胎=是 D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题， 解题的关键在于先由AB∩DF=Q,通过两个平面的相交，证明点Q在交线上，从而确定点G的位置， 四、解答题 15.(24-25高一下·安徽马鞍山期中)如图，己知E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 AB,BC,CC1,C1D1的中点，AB=2. D B A G D D (1)证明：直线EF,HG,DC交于同一点： (2)作出过A、G、D1三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析，3V2+2√5 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、由平面的基本性质作截面图形 【分析】(1)先证明EH//FG,可推得EF,HG相交于点Q,再证明Q∈DC即可： (2)依次连接AF,FG,GD1,D1A,易证GF/AD1,可得A,D1,G,F四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周 长 【详解】(1)证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图连接EH,BC1,FG, D B 第58页共63页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因HC11/DC1/EB,HC1=DC=EB,则四边形EHC1B是平行四边形，则EH/BC1 因F,G分别是BC,CC1的中点，则BC1/FG, 故EH/FG,所以E,H,F,G四点共面，因EH≠FG, 则EF,HG相交，设交点为Q,则QEEF,而EFc平面ABCD,则Q∈平面ABCD, 同理Q∈平面CDD1C1,而平面ABCD n平面CDD1C1=DC 故Q∈DC,即点Q在直线DC上，所以直线EF,HG,DC交于同一点Q. (2) D A B D B 如图所示，依次连接AF,FG,GD1,D1A, 易证GF/BC1/AD1,故A,D1,G,F四点共面. 则AFGD1即为所求截面. 而AD1=2V2,FG=BC1=V2,AF=D1G=√5， 所以AFGD1的周长为3V2+2√5 16.(20-21高一下山东济宁期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是棱CC1,AA1的中点. 0 B A H< E B (I)画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由： (I)设H为直线B1D与平面BEDF的交点，求证：B,H,D1三点共线， 【答案】(I)答案见解析：（Ⅱ）证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、由平面的基本性质作 截面图形 【分析】(I)利用平面的基本性质即可得到： (I)由题可知点H∈平面BB1D1D,H∈平面BED1F,即可证明. 【详解】(I)如图所示，直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线， 第59页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 理由如下： D A 、B E F D B 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ,E,F分别是棱CC1,AA1的中点， DAC平面AA1D1D,D1FC平面AA1D1D,且DA与D1F不平行， .在平面AA1D1D内分别延长D1F,DA, 则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P, .P∈AD,P∈D1F, ,DAC平面ABCD,D1FC平面BED1F, ∴.P∈平面ABCD,P∈平面BED1F, 即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点， 又，B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，连接PB, ∴.直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线， ()证明：如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， D B A D A ,BB1/DD1,且BB1=DD1 ∴.四边形BB1D1D为平行四边形， ,H为直线B1D与平面BED1F的交点， .H∈B1D,又，B1DC平面BB1D1D, .H∈平面BB1D1D, 又，H∈平面BED1F,平面BED1F∩平面BB1D1D=BD1, .H∈BD1, 第60页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B,H,D三点共线 17.(24-25高一下·福建福州·期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中. D C D C D C B 、B A A B D D B A M B M B 图1 图2 图3 (1)如图1，若ACnBD=O,A1Cn平面BDC1=E,求证：C1,E,0三点共线： (2)M,N分别为AB和C1D1的中点，P,Q分别为BC和CC1的一个三等分点（都靠近C端）： ①如图2，求证：AP,DC,D1Q三线共点； ②过点M,N,Q三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）. 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析：②答案见解析 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、空间中的点（线）共面问题 【分析】(1)根据平面的基本事实3即可得证： 2)①先分别延长AP,DC交于点R,连接D1R,然后利用PC=AD,BC/AD,得出CR=DR,再利用D1D/C1C, 3 可以得出D1R与C1C的交点为C1C的三等分点，即为点Q,从而得证 ②利用平行直线共平面即可作出截面图 【详解】(1)证明：如图，连接A1C1, C1∈面A1ACC1,且C1∈面BDC1,·C1是面A1ACC1与面BDC1的公共点 AC∩BD=O,A1C面BDC1=E,0O∈AC,ACc面A1ACC1,O∈BD,BDc面BDC1, 0是面A1ACC1与面BDC1的公共点，面A1ACC1∩面BDC1=OC1, 又EEA1C,A1CC面A1ACC1,E∈面BDC1,E是面A1ACC1与面BDC1的公共点， ·EEOC1,即C1,E,O三点共线. D C B (2)①证明：如图，分别延长AP,DC交于点R,连接D1R, R∈直线DC,DCc面ABCD,PC=AD,BC/AD,.CR=DR, 又D1D/C1C,D1R与C1C的交点为C1C的三等分点，即点O, 第61页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AP,DC,D1Q三线共点， D 个B D P A M B ②解：如图，六边形MPONTS即为所求作的截面. N T A M B 18.(22-23高一下河南洛阳·月考)如下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，M,N,P分别是 A1B1,AD,BB1的中点. D M D (1)画出过M,N,P三点的平面与平面ABCD、平面BB1C1C的交线； (2)设过M,N,P三点的平面与BC交于点Q,求PQ的长. 【答案】田答案见解析：29 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】(1)利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度： (2)利用(1)直接求解 【详解】(1)如图所示：MPc平面ABB1, ∴MP与底面ABCD的交点K必在侧面ABB1与底面ABCD的交线AB上， 过点M,N,P的平面与平面ABCD的交线是NK,(K在线段AB的延长线上)， 与平面BB1C1C的交线是PQ(Q在线段BC上). BK BP BK WI A B1 MB PB1 .BK BQ 1 专，马六BK=1B AN,AKAN专“80= 3 2)油(1)可知：BQ=号，BP=1, 在Rt△BPQ中，由勾股定理得PQ= 12+)= 3 第62页共63页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D C M 19.(24-25高三·全国.二轮复习)正四棱锥V-ABCD的棱VB,VC,VD上各有一点P,Q,R,其中P,R分别为VB,VD 的中点，CQ=2VQ,过P,Q,R三点作出正四棱锥的截面（图）. 【答案】作图见解析 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长CD至点S,使得CD=DS,延长QP,CB交于点T,TB=CB,证明ST与VA交于点A,则四边形APQR 即是过P,Q,R三点的正四棱锥的截面. 【详解】延长CD至点S,使得CD=DS, 因为R是VD的中点，CQ=2QV,所以S0=CQ-CS=C7-2CD, RQ-CQ-CR=2CV-(CD+CV)=1CV-CD 所以S0=4RQ,即S,R,Q三点共线，即CD与QR交于点S, 同理，延长QP,CB交于点T,TB=CB, 因为CA=CD+CB=(C+CT,所以点A为ST的中点， 即ST与VA交于点A,连接AP,AR, 则四边形APQR即是过P,Q,R三点的正四棱锥的截面，如图所示. 第63页共63页 4-2 平面 讲义 教学目标 理解四个基本事实，掌握空间点、线、面的位置关系，能解决共面、共线、共点、截面问题. 教学重点 四个基本事实，空间点、线、面的位置关系. 教学难点 共面、共线、共点、截面问题. 知识点01 四个基本事实 1.基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：(1)此公理是判定直线在平面内的依据；(2)此公理是判定点在面内的方法 2.基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：(1)此公理是确定一个平面的依据；(2)此公理是判定若干点共面的依据 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：(1)此推论是判定若干条直线共面的依据；(2)此推论是判定若干平面重合的依据； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 3.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：(1)此公理是判定两个平面相交的依据； (2)此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）； (3)此推论是判定几何图形是平面图形的依据. 4.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 【即学即练1-1】(24-25高一下·上海·期末)如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为(   ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】四个基本事实的应用 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 【即学即练1-2】(多选)(21-22高一下·江苏扬州·期中)下列命题中正确的有(   ) A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．空间内三点确定一个平面 C．分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上 D．一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、四个基本事实的应用 【分析】利用平面的定义，棱柱的定义，对选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，由棱柱的定义可知，其侧面一定是平行四边形，故A正确； 对于B选项，要强调该三点不在同一直线上，故B错误； 对于C选项，两条直线的交点同时在两个平面上，所以交点只可能在两个平面的交线上，故C正确； 对于D选项，要强调该直线不经过给定两边的交点，故D错误. 故选：AC. 知识点02 空间点、线、面的位置关系 1.空间中直线和直线的位置关系 (1)异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线. (2)空间直线与直线的位置关系： 2.空间中直线和平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系： 3.空间中平面和平面的位置关系 空间平面与平面的位置关系： 【即学即练2-1】(24-25高一下·河北邢台·期中)如图，在四棱锥中，点G在正方形ABCD内，点F在BE上，若DF与EG相交，则下列说法一定正确的是(   ) A．点G在AC上 B． C． D．直线EB，GD交于点B 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题 【分析】由平面的基本性质可得出平面平面，即可得解. 【详解】因为DF与EG相交， 所以平面平面, 所以直线EB，GD交于点B，故D正确. 而由题意，可为上任意一点，故ABC错误. 故选：D 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)下列四个命题中，正确的是(    ) A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，共面 C．若直线，共面，直线，共面，则直线，不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如若相交，且、不相交，则此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 题型01 平面基本性质辨析 【典例1-1】(25-26高一下·广东·期中)如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过(　　) A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析 【详解】∵直线，且，所以，由，则； 又因为且.所以. 所以与的交线必通过点和点. 【典例1-2】(24-25高一下·辽宁·期末)已知空间有6个不同的平面，则它们的交线条数最多为(    ) A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】先分析出当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多，再分步计算有多少条交线即可. 【详解】当这6个平面任意2个都相交，且交线不重合时，交线最多， 记这6个不同的平面分别为， 此时与其余5个平面相交，有5条交线， 与除去外的4个平面相交有4条交线，， 与相交有1条交线， 所以共有条交线. 故选：A. 【典例1-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)以下四个命题正确的是(   ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、线面关系有关命题的判断 【分析】结合刻画空间点、线、面位置关系的公理判断即可. 【详解】选项A：由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确； 选项B：由，，若直线，相交，平面，必相交，若平面，相交，平面内的直线，内的直线未必相交，可能异面；B错误． 选项C：由基本事实3，C正确． 对于D，若条直线相交于同一点，则它们不一定共面，D错误． 故选：AC. 【典例1-4】(24-25高一下·北京·期中)已知正方体中，点为线段上的动点，点为线段上的动点，则与线段相交且互相平分的线段有__________条. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】根据给定条件，利用平面的基本事实确定点的位置，再作图确定的位置作答. 【详解】在正方体中，，而平面，即有平面，    又与线段相交，则交点必在直线上，而平面，于是平面，平面， 而，平面，即平面，而平面平面， 因此，即点为的交点，又线段与互相平分， 取的中点，连接并延长交于，显然，于是为的中点， 所以当点与重合，点与重合时，与线段相交且互相平分，这样的直线只有1条. 故答案为：1 【变式1-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)现有下列命题：①桌面是平面；②个平面重叠起来要比个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是，宽是；④平面是绝对平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、平面的概念及其表示 【分析】根据平面的概念和特征判断即可. 【详解】由平面的概念和特征知，平面是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判定命题④正确． 其余的命题都不符合平面的概念和特征，所以命题①②③都不正确． 故选：A． 【变式1-2】(24-25高一下·广东汕头·期中)下列说法正确的是(　　) A．三点确定一个平面 B．三条平行直线确定一个平面 C．梯形的四个顶点确定一个平面 D．两两相交的三条直线确定一个平面 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】对于AC：根据平行的基本事实以及推论分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：不在同一条直线上三点确定一个平面，故A错误； 对于选项B：三条平行直线不一定能确定一个平面， 例如三棱柱的三条侧棱所在的直线，这三条直线就不共面，故B错误； 对于选项C：因为梯形有两边是平行的，且两条平行直线是共面直线， 所以梯形的四个顶点确定一个平面，故C正确； 对于选项D：两两相交的三条直线不一定能确定一个平面， 例如三棱锥的三条侧棱所在直线，这三条直线就不共面，故D错误. 【变式1-3】(24-25高一下·全国·课后作业)下列说法正确的是(    ) A．在空间中，一个点运动只形成直线 B．在空间中，直线平行移动只形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面的概念及其表示、平面的基本性质及辨析 【分析】A选项，考虑点可以随意运动可判断；B选项，考虑直线沿一个固定方向平移或非固定方向平移可判断；C选项，考虑两直线的垂直与否可判断；D选项，考虑移动方向垂直矩形所在平面与不垂直于矩形所在平面可判断. 【详解】对于A，一个点运动也可以形成曲线，故A错； 对于B，在空间中，直线平行移动， 若沿着固定方向平移可能形成平面，若沿非固定方向平移可以形成曲面，故B错； 对于C，在空间中，当直线与另一条直线垂直时，绕其转动形成平面， 当直线不与另一条直线垂直时，绕其转动形成锥面，C正确； 对于D，矩形上各点沿同一方向移动，若移动方向与矩形所在平面垂直形成长方体， 若移动方向不与矩形所在平面垂直形成非长方体的四棱柱，故D错误. 故选：C. 【变式1-4】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间中的点共线问题、空间中的点(线)共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·广东湛江·期中)下列命题是真命题的是(   ) A．棱台的侧面一定是梯形 B．直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．过空间内不同的三点有且仅有一个平面 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、平面的基本性质及辨析 【分析】根据棱台的基本概念，棱台的侧面一定是梯形，且侧棱延长交于一点判断AC正确，利用圆锥形成的概念可确定C选项，选项D当三点共线时，有无数个平面. 【详解】由棱台的定义可知棱台的侧面一定是梯形，则A正确； 绕直角三角形的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，则B正确； 因为棱台是由棱锥截成的，所以棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点，则C正确； 当三点共线时，有无数个平面，则D错误． 故选：ABC. 【变式1-6】(22-23高一下·全国·课后作业)直线、，直线、，点，点，点，点，若直线直线，则点必在直线_________上． 【答案】BD/DB 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面的基本性质证明，再根据点线、线面、及面面关系判断的位置. 【详解】由，，，、，故，， 同理，，故，      由，，则，，故，同理可得， 又直线直线，故，即， 所以必在的交线上. 故答案为： 题型02 平面分空间的区域数量 【典例2-1】(24-25高一下·黑龙江大庆·期中)一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为(    )个区块. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由三棱柱三个侧面、两个平行的底面将空间分成21部分，再由三棱柱变为三棱锥可得解. 【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3×7=21部分， 把三棱柱上面的三个顶点合成一个点，变成三棱锥，这样三棱柱上面的7部分变为1部分， 中间和下面的各有7部分，所以一个三棱锥的四个面所在的平面可以将空间划分为15个区块. 故选：B. 【典例2-2】(24-25高一下·广东广州·期末)空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面最多可将空间分成的区域个数是(    )． A．25 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解. 【详解】先研究直线分一个平面： 1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分， 3条直线分一个平面为7部分，这个， 4条直线分一个平面为11部分，这个， 5条直线分一个平面为16部分，这个， 由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域， 当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域， 所以4个平面最多可将空间分成个区域， 当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域， 所以5个平面最多可将空间分成个区域， 故选：B 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·辽宁大连·月考)下列说法正确的是( ) A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为3个部分 C．圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量、由平面图形旋转得旋转体、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若三个平面互相平行，则这三个平面将空间分为4个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成个三棱锥，D正确. 故选：CD 【典例2-4】(23-24高一下·上海·期末)已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成______．部分． 【答案】或 【难度】0.94 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分，所以， (1)当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； (2)当时，这三个平面可以将空间分成部分， 综上所述这三个平面可以将空间分成或部分. 故答案为：或. 【变式2-1】(23-24高一下·四川德阳·期末)下列说法正确的是(    ) A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析、平面分空间的区域数量 【分析】对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【详解】对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】(24-25高一下·河南洛阳·期中)三个平面可将空间分成部分，则的最大值为(   ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据平面的性质，结合空间想象画出划分空间最多的情况即可得. 【详解】由于两个平面最多将空间分成4个部分，故三个平面最多可将空间分成8个部分，如下图示， 故选：C 【变式2-3】(2023高一·全国·专题练习)平面α，β，γ不能将空间分成(　　) A．5部分 B．6部分 C．7部分 D．8部分 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】根据三个平面的不同位置关系得出三个平面把空间分成4,6,7,8部分，判断选项得出结果. 【详解】三个平面平行时，将空间分成4个部分； 三个平面相交于同一条直线时，将空间分成6个部分； 当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成6个部分； 当三个平面两两相交且有三条交线时，将空间分成7个部分； 当有两个平面相交，第三个平面截两个相交平面时，可将空间分成8个部分． 所以平面α，β，γ不能将空间分成5部分． 故选：A． 【变式2-4】(22-23高一下·河北邢台·月考)下列说法正确的是(    ) A．过空间中的任意三点有且只有一个平面 B．三棱柱各面所在平面将空间分成21部分 C．空间中的三条直线a，b，c，如果a与b异面，b与c异面，那么a与c异面 D．若直线a在平面外，则平面内存在直线与a平行 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】线面关系有关命题的判断、异面直线的概念及辨析、平面分空间的区域数量、平面的概念及其表示 【分析】根据不共线的三点可确定平面，即可判断A；根据分别乘法计数原理即可判断B；根据异面直线的概念即可判断C；根据线面关系即可判断D. 【详解】A：当空间中的三点共线时，不能确定平面，故A错误； B：三棱柱的3个侧面将空间分成7部分，两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 所以三棱柱各面所在的平面将空间分成个部分，故B正确； C：空间中直线a、b、c，若a与直线b异面，b与c异面， 则a与c可能异面，也可能共面，故C错误； D：由直线a在平面外可知，或a与相交. 若，则内存在一条直线与直线a平行； 若a与相交，则内不存在直线与直线a平行，故D错误. 故选：B. 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·福建·期中)下列说法正确的是(    ) A．棱柱的侧面一定是矩形 B．三个平面至多将空间分为4个部分 C．以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆台 D．任意五棱锥都可以分成3个三棱锥 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】棱柱、棱锥、圆台的结构特征辨析、平面分空间的区域数量 【分析】利用斜棱柱的侧面判断A；取三个相互平行的平面判断B；利用旋转体的定义判断C；利用五棱锥的结构特征判断D作答. 【详解】对于A，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A错误； 对于B，若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时， 将空间分成8个部分，B错误； 对于C，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C正确； 对于D，五边形被一个顶点出发的两条对角线分为三个三角形， 所以任意五棱锥都可以分成3个三棱锥，D正确. 故选：CD 【变式2-6】(24-25高一下·广西玉林·期中)将一个苹果切3刀，最多可以切成x块，最少可切成y块，则的值为________． 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】分类讨论得到三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分，从而得到，，所以． 【详解】当三个平面无交线，即三个平面平行时，可以把空间分为4个部分； 当三个平面经过同一条直线或三个平面有两条交线(一个平面与两个平行平面相交)时，可以把空间分为6个部分； 当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分； 当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分， 所以三个平面可以把空间分成4，6，7，8部分． 将一个苹果切3刀可得块数最多与最少问题，相当于三个平面把空间分成的部分数最多与最少问题， 故，，所以． 故答案为：12 题型03 点、线确定的平面数 【典例3-1】(24-25高一下·浙江宁波·期末)经过不在一条直线上的三个点的平面(   ) A．有且仅有一个 B．有且仅有三个 C．有无数个 D．不存在 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据平面的性质即可求解. 【详解】由四个基本事实：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故A项正确. 故选：A. 【典例3-2】(2024高一下·全国·专题练习)下列命题是真命题的是(    ) A．空间任意三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定一个或三个平面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据题意，结合确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当三个点共线时，可作无数个平面，所以A是假命题； 对于B中，如果这个点在这条直线上，这时有无数个平面， 如果这个点不在这条直线上，由推论1知，有且只有一个平面，所以B是假命题． 对于C中，当三条直线可能交于同一点，可能确定三个平面；当三条直线有三个不同的交点，可以确定一个平面，所以C是假命题； 对于D中，两两平行的三条直线，根据推理(3)可以确定一个或三个平面，所以D正确； 故选：D. 【典例3-3】(多选)(24-25高一下·广东汕头·期中)下列命题正确的是(    ) A．若，，且，，则 B．经过两条相交直线，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、点(线)确定的平面数量问题、等角定理及其辨析、线面关系有关命题的判断 【分析】由两点确定一条直线即可判断A；由两条相交直线确定一个平面即可判断B；由空间等角定理即可判断C；由直线与平面的位置关系即可判断D． 【详解】对于A，因为两点确定一条直线，所以若，，且，，则，故A正确； 对于B，两条相交直线确定一个平面，故B正确； 对于C，由空间等角定理知，故C正确； 对于D，直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交，故D错误； 故选：ABC． 【典例3-4】(24-25高一下·全国·课后作业)空间5点，其中有4点共面，这5个点最多可以确定_________个平面． 【答案】7 【难度】0.85 【知识点】点(线)确定的平面数量问题、空间中的点(线)共面问题、平面的基本性质及辨析 【分析】同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线，由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面，再加上4点确定的面总共是7个面． 【详解】由题意空间中有五个点，其中有四个点在同一平面内，要使确定的平面最多,则没有任何三点共线， 同一平面的四个点一定能两两连线，最多可连6条线， 由三点确定一平面知任意一条线加上第五个点都会形成一个面，因此有6个面， 再加上4点确定的面总共是7个面． 故答案为：7. 【变式3-1】(24-25高一下·广西防城港·期中)若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可. 【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面. 故选：C 【变式3-2】(24-25高一下·全国·课后作业)空间中有三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是(    ) A．1或2 B．3或4 C．1或2或3 D．1或3或4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】点(线)确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】如图，在正方体中， ①，，直线，与可以确定1个平面(平面)； ②，，直线，与可以确定2个平面(平面和平面)； ③三条直线，，交于一点，它们可以确定3个平面(平面，平面和平面)． 故选：C. 【变式3-3】(22-23高一下·北京通州·期末)下列命题正确的是(    ) A．一条线段和不在这条线段上的一点确定一个平面 B．两条不平行的直线确定一个平面 C．三角形上不同的三个点确定一个平面 D．圆上不同的三个点确定一个平面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】点(线)确定的平面数量问题、平面的基本性质及辨析 【分析】根据平面的确定情况即可得到答案. 【详解】对A，若这个点位于这条线段所在的直线上，则无法确定一个平面，故A错误， 对B，若两条直线异面，则无法确定一个平面，故B错误； 对C，若三点位于一条直线上，则无法确定一个平面，故C错误； 对D，圆上不同的三点一定构成一个三角形，则可确定一个平面. 故选：D. 【变式3-4】(21-22高一·全国·课后作业)已知为平面，为点，为直线，下列推理中错误的是(    ) A．，则 B．，则直线，直线 C．，则 D．，且不共线，则重合 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据题意，结合平面的基本性质，以及确定平面的依据，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据直线上有两个点在平面内，则这条直线在这个平面内，可得直线，直线，所以B正确； 对于C中，由，则平面和平面是一条经过点的直线，所以C不正确； 对于D中，由，且不共线，根据过不共线的三点唯一确定一个平面， 可得重合，所以D正确. 故选：C. 【变式3-5】(多选)(24-25高一下·黑龙江牡丹江·期中)下列正确的是(    ) A．一个多面体至少有4个面 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 D．通过圆锥两母线的截面面积中，最大的是轴截面面积 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、多面体的性质、棱锥的结构特征和分类、点(线)确定的平面数量问题 【分析】由点线面的关系，结合平面的基本性质判断A、B的真假，根据正棱锥的定义判断C；根据圆锥的性质及三角形面积公式知：面积最大的截面为母线夹角最大，即知D的真假. 【详解】A：一个多面体至少有4个面，A选项正确； B：过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，若三点共线则有无数个平面，错误； 对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心． 所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥，故C正确． D：通过圆锥两母线的截面中，若轴截面顶角为直角或锐角，要使截面面积最大，即母线夹角最大，此时截面为轴截面， 若轴截面顶角为钝角，则顶角为直角的截面面积最大，即面积最大的截面不一定是轴截面，错误； 故选：AC. 【变式3-6】(22-23高一下·全国·课后作业)空间中交于一点的四条直线最多可确定平面的个数为_________． 【答案】6个 【难度】0.85 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据平面的基本性质，交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面，列举出所有可能平面，即可得答案. 【详解】空间中交于一点的四条直线，要使确定平面最多，则任意三条直线都不共面， 任意两条直线确定一个平面，若四条直线分别为， 所以各确定一个平面，共有6个平面. 故答案为：6个 题型04 点、线共面问题 【典例4-1】(24-25高一下·河北·月考)下列判断正确的是(   ) A．若空间五点中任何三点不共线，则这五点不共面 B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面 C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面 D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】利用平面的相关基本事实即可得解. 【详解】平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误； 若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误； 若空间五点中有四点共线，则由基本事实可知，这五点一定共面，故D正确． 故选：D. 【典例4-2】(24-25高一下·河南·月考)“直线与直线相交”是“点共面”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、空间中的点(线)共面问题 【分析】由基本事实3及其推理即可判断. 【详解】由直线与直线相交，得点确定一个平面，故充分性成立； 当点共面时，直线与直线有可能平行，还有可能相交，故必要性不成立. 故选：A. 【典例4-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)以下四个命题正确的是(   ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若条直线中任意两条共面，则它们共面 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】平面分空间的区域数量、平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、线面关系有关命题的判断 【分析】结合刻画空间点、线、面位置关系的公理判断即可. 【详解】选项A：由图可知，三个平面最多可将空间分成8部分，故A正确； 选项B：由，，若直线，相交，平面，必相交，若平面，相交，平面内的直线，内的直线未必相交，可能异面；B错误． 选项C：由基本事实3，C正确． 对于D，若条直线相交于同一点，则它们不一定共面，D错误． 故选：AC. 【典例4-4】(23-24高一下·浙江宁波·期中)正方体棱长为2，N为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为____________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】点(线)确定的平面数量问题、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题、平面的基本性质的有关计算 【分析】先明确MN最小值情况，进而得到MN最小时MN位置，然后把空间两根线段和等价转化成共面的两根线段和即可求解. 【详解】如图，连接MC，MA， 则由题意可知当为等腰三角形，当MN垂直于AC时MN最短， 此时N为AC中点，面， 如图延长至G，使得，连接GM， 则面，且， 所以面，故当三点共线时最小， 此时. 故答案为：. 【变式4-1】(23-24高一下·河北邯郸·期末)如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是(    ) A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题 【分析】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【详解】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 【变式4-2】(24-25高一下·甘肃兰州·月考)在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有(   )    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】由中点构成的中位线和几何体的特征先判断是否平行，再判断是否在同一个平面内． 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 【变式4-3】(24-25高一下·浙江·期中)已知空间中三条直线、、，那么“、、两两相交”是“、、共面”的(   )条件 A．充分不必要 B．充要 C．既不充分也不必要 D．必要不充分 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、既不充分也不必要条件 【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可. 【详解】若两两相交，当相交于同一点上时，不一定共面， 故两两相交不能推出共面， 若共面，可能彼此平行，故共面不能推出两两相交， 所以两两相交是共面的既不充分也不必要条件. 故选：C. 【变式4-4】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 【变式4-5】(多选)(20-21高一下·江苏无锡·月考)如图，正方体中，若E，F，G分别为棱，，的中点，，分别是四边形，的中心，则(   ) A．A，C，，四点共面 B．D，E，G，F四点共面 C．A，E，F，四点共面 D．G，E，，四点共面 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】根据平面的性质的公理及推论逐个进行判断. 【详解】对于A：因为正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，，分别为四边形，的中心， 所以是的中点，所以在平面内，故A正确； 对于B:因为E，G，F在平面内，D不在平面内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误； 对于C：因为分别为的中点，所以∥ 因为∥，所以∥，所以A，E，F，四点共面，故C正确； 对于D：连接并延长，交于H，则H为的中点，连接，则∥， 因为分别为的中点，所以∥， 因为∥，所以∥，所以G，E，，四点共面，故D正确． 故选：ACD. 【变式4-6】(22-23高一下·陕西榆林·月考)下列命题中正确的命题为__________． ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于，则三点共线； ②若三条直线互相平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面； ③，，则；④若，则． 【答案】①② 【难度】0.65 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、空间中的点(线)共面问题 【分析】根据三点共线和共面的性质、直线与平面和平面与平面的位置关系、垂直的性质逐一判断即可. 【详解】对于①，设平面平面，因为，平面， 所以，同理，，故、、三点共线，①正确；    对于②，因为，所以，可以确定一个平面， 因为，，，，所以，所以， 又，所以. 同理，也可以确定一个平面，且，， 因为，故重合，故这四条直线共面，所以②正确； 对于③，，，则可能相交或平行，故③不正确； 对于④，，，则，可能平行、相交或异面，所以④错误. 故答案为：①②. 题型05 空间中的点共线问题 【典例5-1】(22-23高一下·河南开封·期末)如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则(    )      A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【详解】连接连接，， 直线平面平面. 又平面，平面平面直线；∴三点共线. . 故选：B. 【典例5-2】(23-24高一下·重庆·期末)下列说法正确的是(    ) A．若空间四点共面，则其中必有三点共线 B．若空间四点中任意三点不共线，则此四点共面 C．若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面 D．若空间四点不共面，则任意三点不共线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对四个命题利用空间四个点的位置关系分别分析解答． 【详解】对于A，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故A错误； 对于B，空间四点中任意三点不共线，三棱锥的四个顶点，得到此四点不共面；故B错误； 对于C，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故C错误； 对于D，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故D正确， 故选：D. 【典例5-3】(多选)(2024高一下·全国·专题练习)(多选)下列四个命题中，正确的是(    ) A．不共面的四点中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面 C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c不一定共面 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】 根据空间点，线，面的位置关系及平面的基本性质，逐一分析四个答案的真假，可得答案． 【详解】不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题； 若点，，，共面，点，，，共面，则，，，，可能不共面， 比如面与面相交于所在直线，而均不在该直线上，故B为假命题； 若直线，共面，直线，共面，则直线，可能不共面， 比如相交，且，此时异面，故C为真命题； 依次首尾相接的四条线段可能不共面，比如空间四边形，故D为假命题； 故选：AC． 【典例5-4】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】连接，根据基本事实2、基本事实3可得答案． 【详解】如图，连接，，显然平面，平面，平面． 同理，平面，∴平面平面． 平面，平面．又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即，，，三点共线． 故答案为：共线. 【变式5-1】(22-23高三·全国·课后作业)在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF∩GH＝P，则点P(    ) A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上 C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案． 【详解】如图，∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD， 又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC，即点P一定在直线AC上． 故选：B． 【变式5-2】(2024·湖南·二模)如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是(    ) A．四点共面 B． C．三线共点 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平行公理、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】对于AB，利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断；对于C，利用平面公理判断得，的交点在，从而可判断；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于AB，如图，连接，， 因为是的中位线，所以， 因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，所以 四点共面，故AB正确； 对于C，如图，延长，相交于点，因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 因为平面平面，所以，所以三线共点，故C正确； 对于D，因为，当时，， 又，则，故D错误. 故选：D. 【变式5-3】(多选)(22-23高一下·全国·课后作业)以下四个命题中，正确的命题是(    ) A．不共面的四点中，其中任意三点不共线 B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面 C．若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P，Q，R，则P，Q，R三点共线 D．依次首尾相接的四条线段必共面 【答案】AC 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】利用反证法证明选项A判断正确；举特例否定选项B；利用基本事实证明选项C判断正确；举特例否定选项D. 【详解】对于A，用反证法证明：假设四个点中，有三个点共线， 第四个点不在这条直线上，则根据基本事实的推论：一条直线和直线外一点 确定一个平面，可知这四个点共面，与已知矛盾，故A正确； 对于B，如图，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面， 但A，B，C，D，E不共面，故B错误；    对于C，因为，平面ABC，所以P在平面与平面ABC的交线上， 同理，Q，R也在两平面的交线上，故P，Q，R三点共线，故C正确； 对于D，如图，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误. 故选：AC. 【变式5-4】(多选)(23-24高一下·重庆·期中)以下四个命题正确的是(    ) A．三个平面最多可以把空间分成八部分 B．若直线平面，直线平面，则“与相交”与“与相交”等价 C．若，直线平面，直线平面，且，则 D．若空间中三个平面两两相交，则他们的交线互相平行 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量、空间中的点共线问题 【分析】根据平面的性质判断A，根据空间中线线、面面的位置关系判断B，根据点、线、面的位置关系判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，如图1； 三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图2； 三个平面两两相交于一条直线时，可以把空间分成6部分，如图3； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线互相平行时，可以把空间分成7部分，如图4； 三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分，如图5， 所以空间中的三个平面最多能把空间分成部分，故A正确； 对于B：因为直线平面，直线平面，由与相交一定可以得到与相交， 但是由与相交，则与可以相交、平行或异面，故B错误； 对于C：因为，直线平面，则且， 又直线平面，所以，又，所以，故C正确； 对于D：若空间中三个平面两两相交，则他们的交线可以互相垂直， 如图正方体中：平面平面， 平面平面，平面平面， 由正方体的性质可知、、两两互相垂直，故D错误. 故选：AC 【变式5-5】(2024高一下·全国·专题练习)如图，已知正方体． (1)______；(2)平面∩平面______；(3)____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案. 【详解】(1)同在平面中，交于点，故． (2)平面与平面相交，交线为，故平面∩平面． (3)三条直线交于一点，． 故答案为：；；. 【变式5-6】(22-23高三·全国·中职高考)如图，正方体中，O是中点，与截面交于P，那么、P、O三点共线，其理由是__________．    【答案】、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题 【分析】确定、、平面，、、平面，得到结论. 【详解】O是中点，则O是中点，故平面， 与截面交于P，故，故平面，又平面， 故、、平面，又、、平面， 故、、在平面和平面的交线上. 故答案为：、P、O是平面和平面的公共点，所以它们共平面与平面的交线. 题型06 空间中的线共点问题 【典例6-1】(22-23高一下·河南洛阳·月考)如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是(    ) A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题 【分析】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【详解】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B 【典例6-2】(22-23高一下·山东威海·期末)在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则(    ) A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以， 所以点是直线，，的公共点，故直线、、相交于一点．    故选：B 【典例6-3】(多选)(23-24高一下·广西·期末)如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法正确的是(    )    A．四点共面 B． C．三线不共点 D． 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题、平面的基本性质及辨析 【分析】连接，证得且，可得判定A正确、B正确；延长相交于点，结合平面的性质，可判定C不正确；由和时，得到，可判定D错误． 【详解】对于A、B中，如图所示，连接， 因为是的中位线，所以，且， 又因为，且，所以四边形是平行四边形， 所以，所以，且，所以为梯形， 所以四点共面，所以A、B正确； 对于C中，如图所示，延长相交于点， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面， 因为平面平面，所以， 所以三线共点，所以C不正确； 对于D中，因为，当时，， 又，则，所以D错误． 故选：AB 【典例6-4】(2024高一下·全国·专题练习)如图，已知正方体． (1)________；(2)平面∩平面________；(3)________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、空间中的线共点问题 【分析】利用平面的基本性质与图象可求答案. 【详解】(1)同在平面中，交于点，故． (2)平面与平面相交，交线为，故平面∩平面． (3)三条直线交于一点，． 故答案为：；；. 【变式6-1】(22-23高三·全国·中职高考)已知为长方体，对角线与平面相交于点，则为的(    )    A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、空间中的点(线)共面问题 【分析】依题意连接交于点，连接，连接、，，连接，根据线面、面面关系判断即可. 【详解】如图连接交于点，连接，连接、，，连接， 由为长方体，所以为的中点，为的中点， 则、为的中线， 平面平面，对角线与平面相交于点，则， 平面平面，对角线与平面相交于点，则， 所以为与的交点，所以为的重心.    故选：B 【变式6-2】(2024·四川南充·三模)如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是(    ) A． B．E、F、G、H四点共面 C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为 D．、、三线共点 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质及辨析、空间中的线共点问题 【分析】根据线线平行及菱形对角线垂直判断A，根据两直线平行确定平面判断B，作出截面四边形，根据截面边长的大小判断C，利用相交平面的公共点共线得三点共线可判断D. 【详解】如图， 连接，由分别为中点，可得， 由可知，侧面为菱形， 所以，所以，故A正确； 连接，因为E、F、G、H分别为、、、的中点， 所以，，所以，所以E、F、G、H四点共面，故B正确； 延长交的延长线于点，连接，交于点，连接，， 设确定平面为，则，所以，所以， 则易知三棱柱的截面四边形为， 在中，， 在中，，而中，， 而，所以截面的周长大于，故C错误； 由B知，且，所以梯形的两腰、所在直线必相交于一点， 因为平面，平面， 又平面平面，所以，所以与重合， 即、、三线共点于，故D正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用共面的判定，结合直线与平面的关系，作出平面与三棱柱截面的图形，是解决C选项的关键所在，需要有较强的推理能力. 【变式6-3】(多选)(22-23高一下·四川广安·期中)如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的三等分点，且，则下列说法正确的是(    ) A．四点共面 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题、公理的应用 【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例的性质可得，即可判断A，B；由平面基本事实推理可判断C，D. 【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则，且， 点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则，且， 因此，点E，F，G，H四点共面，故A正确，B错误； ，，即四边形是梯形，则EF与GH必相交，交点为M， 点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上， 则点M是平面ACB与平面ACD的公共点，而AC是平面ACB与平面ACD的交线， 所以点M一定在直线AC上，故C错误，D正确. 故选：AD. 【变式6-4】(多选)(21-22高一下·云南昆明·期末)如图，在长方体中，E、F、G、H分别是、、AB、AD的中点，则下列说法正确的是(    ) A．点A在平面内 B． C．平面平面 D．直线EH与直线FG相交 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质及辨析、空间中的点(线)共面问题、空间中的线共点问题 【分析】连接、、、，若是的中点，连接、，利用中位线性质有、都为平行四边形，进而有判断A；由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行判断B；根据平面中点、线、面的关系判断C；连接，易证、即可判断D. 【详解】连接、、、，若是的中点，连接、， 由题设，且，则为平行四边形，所以且， 又E是中点，故且，则为平行四边形，所以且， 综上，且，故共面，A正确； 由过直线外一点有且仅有一条直线与该直线平行，且，不可能有，B错误； 由面，面，故面面，又面，而， 故平面平面，C错误； 连接，又G、H分别是AB、AD的中点，则且， E、F分别是、的中点，则且， 所以，即共面，且，故直线EH与直线FG相交，D正确. 故选：AD 【变式6-5】(24-25高二·上海·课堂例题)已知平面α与平面β相交于直线l，若，，则M与a的位置关系是________． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】分别讨论点在上，和外两种情况，即可判断. 【详解】若点是和直线的交点，则，若点在外且，则 故答案为：或 【变式6-6】(22-23高一下·全国·课后作业)如图，正方体中，对角线与过、D、的平面交于点，则_________．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间中的线共点问题 【分析】由平面的基本性质确定是与的交点，进而利用平行线分线段成比例即可得解. 【详解】连接交于，连接、， 由，面，则面， 又面，而面面，故， 所以是与的交点，又，所以，所以. 故答案为：. 题型07 由平面基本性质确定截面 【典例7-1】(22-23高一·全国·课后作业)用一个平面去截一个正方体，截面边数最多有(    ) A．5条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】根据平面及其基本性质，结合图形进行分析判断即可得到答案． 【详解】正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体，截面的形状可能是：三角形、四边形、五边形、六边形，如图所示， 因此截面边数最多有6条． 故选：B． 【典例7-2】(24-25高一下·海南·月考)在正四棱柱中，，分别是的中点，则平面截该四棱柱所得截面的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】作出辅助线，得到五边形即为平面截该四棱柱所得截面，由勾股定理和三角形相似得到各边长，相加得到截面周长． 【详解】直线分别与相交于点，连接，分别与交于点， 连接，故五边形即为平面截该四棱柱所得截面， 其中分别是的中点，故． ，故， 由勾股定理得，， 同理可得， 又，故， 故平面截四棱柱所得截面的周长为． 故选：A． 【典例7-3】(多选)(2024高一下·全国·专题练习)在正方体中，点是棱上的动点，则过三点的截面图形是(　　) A．等边三角形 B．矩形 C．等腰梯形 D．正方形 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】分点与点，重合及点不与点重合，分别作出平面，即可得答案. 【详解】解：当点与点重合时，截面图形为等边三角形，如图(1)； 当点与点重合时，截面图形为矩形，如图(2)； 当点不与点重合时，当分别为的中点， 则截面图形为等腰梯形，不可能为正方形，如图(3)． 故选：ABC. 【典例7-4】(24-25高一下·上海·期末)在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点， 连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点，所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 【变式7-1】(24-25高一下·河南安阳·期末)如图，正方体的棱长为3，分别在上，且，，过三点的平面截该正方体，则所截得的截面的最长边的边长为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长交于点，取的中点为，可得截面为梯形，然后求最长边即可. 【详解】如图，延长交于点，则， 即为的一个三等分点， 连接，取的中点为，连接，则， 所以四点共面，故梯形即为截面图形， 显然为最长边，长度为． 故选：B. 【变式7-2】(24-25高一下·河南郑州·期末)已知正方体，点E是上底面上任意一点，过A，C，E三点作平面截正方体，则截面形状不可能是(    )． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据正方体的结构特征，讨论的位置并结合平面的基本性质、空间想象判断截面的形状，即可得. 【详解】如下图，当在上，截面形状为矩形， 当与重合，截面形状为等边三角形， 当在除上述两种情况外的其它位置，截面形状为等腰梯形. 故选：C 【变式7-3】(23-24高一下·福建·期末)如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则(  ) A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 【变式7-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.53 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 【变式7-5】(多选)(24-25高一下·湖南邵阳·期中)如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是(   ) A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】对于A：截面形状，依据平面与正方体各面的相交情况判断；对于B：三角形是否为锐角三角形，选取特殊位置通过余弦定理判断角的余弦值正负；对于C：截面面积，需确定截面形状并计算；对于D：的最小值，可转化为共平面结合将军饮马计算两点间距离． 【详解】对于A，如图，当点P与A，B两点不重合时，将线段向两端延长， 分别交的延长线于点，连接分别交，于R，S两点， 连接此时截面为五边形，所以A正确； 对于B，考虑，当点P与点A重合时，，，， 此时因为，故为钝角，所以B错误； 对于C，当点P与点A重合时，设的中点为，则， 所以当点与点重合时，平面截正方体所得的截面如图所示,其截面为矩形, 易知，所以其截面面积为，故C错误； 对于D，取的中点H，连接，在的延长线上取使得 ，连接与于P点， 此时，故D正确. 故选：AD 【变式7-6】(24-25高一下·湖南张家界·期中)已知正四棱锥的底面边长为1，侧棱长为，的中点为E，过点E作与垂直的平面，则平面截正四棱锥所得的截面面积为____________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据给定条件，作出平面截正四棱锥所得的截面，再借助余弦定理、三角形面积公式求解作答. 【详解】在正四棱锥中，连接，则，是正三角形， 由的中点为E，得， 而，则，在中，， ，令平面与直线交于，连，则， ，即点在棱上，同理平面与棱相交，令交点为，连， 于是四边形为平面截正四棱锥所得的截面，由对称性知， 在中，，而， 在中，，由余弦定理得， 在中，，， 所以所得截面面积. 故答案为： 题型08 平面基本性质有关计算 【典例8-1】(2025·江西·一模)如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点，在上，且，平面与棱所在直线交于点，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据正方体的性质可得平面与平面平行，利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 然后作平行线找到点的位置，利用三角形相似即可求出的值. 【详解】在正方体中，根据正方体的性质可得平面与平面平行， 利用面面平行的性质定理可得平面与它们的交线平行， 所以过点作直线的平行线与延长线交于一点， 此交点即为平面与棱所在直线交点，连接，如图所示. 所以四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以. 故选：. 【典例8-2】(22-23高一下·黑龙江大庆·期末)在正三棱柱中，，，，，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】首先作出截面，再根据几何关系求边长，即可求解周长. 【详解】如图1，延长与交于点，连结，与交于点， 连结，则四边形为所求截面， 其中，，    如图2，，所以，即， 如图1，若，则，所以， 即点是的中点，所以， 中，， 所以， 所以四边形的周长为. 故选：B 【典例8-3】(多选)(22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则(    ) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B，求解正六边形的面积判断C，根据平行四边形的边长相等判断D. 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入， 不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况， 第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点， 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形. 第二种情况，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点， 易知所得截面为六边形，A错误，B正确. 当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确. 当截面为平行四边形时，由对称性可知， 若四边形为菱形，则， 可得，可得， 可得或，可得或，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线. 【典例8-4】(22-23高一下·河南郑州·月考)在四棱锥中，，，为中点，平面交于，则____ 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】延长直线、，交于点，平面变为，连接，交于点，再根据三角形中线的性质，求的值. 【详解】延长、，交于点，连接，交于点， ，且，可得点、分别是、的中点， 又点是的中点，和是的中线，点是的重心，所以.    故答案为： 【变式8-1】(24-25高二上·黑龙江·开学考试)如图，在棱长为12的正方体中，分别是棱的中点，平面与直线交于点，则(    )    A．10 B．15 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】分别在棱上取点，使得，易证，，则平面截该正方体所得的截面图形是五边形.再计算即可． 【详解】分别在棱上取点，使得， 连接，根据正方体特征及平行公理，易证，， 则平面截该正方体所得的截面图形是五边形. 由题中数据，知道，，可得. 故选：A.    【变式8-2】(23-24高三下·山东菏泽·月考)如图，是平面内一定点，是平面外一定点，且，直线与平面所成角为，设平面内动点到点的距离相等，则线段的长度的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据题意，得到动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线，取的中点，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为点到点的距离相等， 可得动点的轨迹是线段的中垂面与平面的交线， 又因为，直线与平面所成角为， 取的中点，可得，则线段的最小值为. 故选：A.    【变式8-3】(22-23高一下·全国·课后作业)设，，，当P、Q分别在平面、内运动时，线段PQ的中点X也随着运动，则所有的动点X(    ) A．不共面 B．当且仅当P、Q分别在两条平行直线上移动时才共面 C．当且仅当P、Q分别在两条互相垂直的异面直线上移动时才共面 D．无论P、Q如何运动都共面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面的基本性质的有关计算 【分析】过点X作直线，构造三角形证明点X到平面、的距离相等可知. 【详解】过点X作直线，记，与所确定的平面为. 因为，，所以，所以， 又，，所以，所以， 因为X为PQ的中点，所以，所以， 所以，即X在到平面、的距离相等的平面上. 故选：D 【变式8-4】(2026高三·全国·专题练习)如图，在单位正方体中，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体六条棱都有公共点，记截面的面积为，截面周长为，( ) A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，不为定值 D．不为定值，为定值 【答案】D 【难度】0.5 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据特例可判断面积不是定值，利用几何法可判断周长为定值. 【详解】由正方体的性质可知为正三角形，且其面积为， 当平面过棱，，的中点时，且其面积 由正方体的性质可得此时截面为正六边形，且其面积为， 当与棱的交点向靠近时，截面的面积为趋近， 故截面面积是变动的，下证周长为定值，理由如下： 作平行于，则易得四边形为平行四边形， 所以，，则， 同理可得，，所以. 故选：D. 【变式8-5】(多选)(2023·贵州铜仁·模拟预测)正方体的棱长为1，点分别为棱，，，的中点，为线段上的动点，过的平面截正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(    ) A．当时，平面EFG B．当时，S的面积为 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点满足 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面位置关系，作出各个选项中的相应的截面，判断截面的形状，即可求解. 【详解】对于A中，当时，即点为线段的中点，如图①所示， 取的中点，分别连接，可得， 因为，所以，同理可得， 设过直线的平面为，过直线的平面为，且， 所以平面与平面重合，所以平面，所以A错误；    对于B中，当时，即点为线段的中点，如图②所示， 连接，因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以可得过的平面截正方体所得的截面记为为等腰梯形， 可得，则等腰梯形的高为， 所以截面S的面积为所以B正确； 对于C中，当时，如图③所示，此时截面S为五边形，所以C错误；    对于D中，当时，即点为线段的一个三等分点，如图④所示， 延长到点，连接交于点，使得， 因为是的中点，可得，则，即， 在上取点，使得，可得，则， 在上取其中点，则，截面S即为平面，此时，所以D正确. 故选：BD． 【变式8-6】(24-25高一下·广东·期中)甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处．若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为_____ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】正棱锥及其有关计算、平面的基本性质的有关计算 【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【详解】如图所示，分别取，的中点，，连结，， 则由正四面体的性质，过正四面体的中心，所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1，则由勾股定理可得． 所以在等腰三角形中，． 故答案为：. 一、单选题 1.(24-25高一下·河北石家庄·月考)下列不是基本事实的是(   ) A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 B．平行于同一条直线的两条直线平行 C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 D．经过两条平行直线，有且只有一个平面 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析 【分析】根据基本事实判断即可. 【详解】对于A，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故A正确. 对于B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故B正确； 对于C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故C正确； 对于D，经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故D错误； 故选：D. 2.(21-22高一下·安徽六安·期末)空间中四点可确定的平面有(    ) A．1个 B．4个 C．1个或4个 D．1个或4个或无数个 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】点(线)确定的平面数量问题 【分析】根据确定平面的公理，结合平面图形以及三棱锥的几何性质，可得答案. 【详解】当四个点为平面四边形的四个端点时，只能确定唯一平面； 当四个点为三棱锥的四个端点时，可以确定四个不同的平面； 当四个点共线时，可以有无数个平面过这四个点. 故选：D. 3.(24-25高一下·山西临汾·期末)若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是(   ) A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面分空间的区域数量 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 4.(21-22高一下·全国·课后作业)已知平面平面，点，点，又，过三点确定的平面为，则是(    ) A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】公理的应用、空间中的点(线)共面问题 【分析】确定平面、的公共点，利用公理可得出平面与的交线. 【详解】已知过三点确定的平面为，则. 又，则，又平面平面， 则，又因为，所以， ，所以. 故选：B. 5.(25-26高二上·上海·期末)已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为(    ) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】采用截面扩展法找出截面与各条棱的交点，即可得到截面形状. 【详解】延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，；则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 6.(2024·陕西铜川·三模)在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】平面的基本性质的有关计算、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】借助正方体截面的性质可得该截面是边长为的正六边形，计算其面积即可得. 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 故选：D. 7.(2025·湖南永州·模拟预测)在长方体中，分别是棱的中点，点满足，若过点的平面截长方体所得的截面为五边形，则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】根据长方体的性质，以及面面相交的概念，判断截面为五边形时的情况，进而判断结果. 【详解】如图所示， 要使点所在的截面为五边形，则截面与棱相交， 因为是的中点，所以， 因为，，所以，所以， 在长方体中，，所以，所以， 同理可得，即， 因为，所以，即，所以， 即实数的取值范围是. 故选：B. 8.(2026·重庆九龙坡·一模)已知正方体棱长为1，过点的平面截正方体所得截面为菱形时，该截面的面积为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形 【分析】取的中点，的中点，得到为菱形，故有过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形，根据题意求出的长度，取的中点，连接，根据勾股定理求出的长度，故菱形的面积为，代入数值得解. 【详解】取的中点，的中点，连接，，，， 取的中点，连接，取的中点，连接， 分别是，，，的中点，是正方形， 且，且， 且，为平行四边形，且， 而且，则，为平行四边形， ，四点共面，又，为菱形， 平面，过点的平面截正方体所得截面为菱形的截面是菱形， ，，则， 故菱形的面积为. 故选：A 二、多选题 9.(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)下列关于长方体的叙述中，正确的是(   ) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B．长方体中相对的面都互相平行 C．长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 D．两平行平面之间的棱互相平行且相等 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、平面的基本性质及辨析、平行公理 【分析】对A，结合平移的性质与长方体的定义，判断矩形竖直平移后形成的几何体是否符合长方体特征；对B，依据长方体中面的位置关系的性质，判断相对面是否平行；对C，考虑长方体中棱的位置关系，除了相交和平行，分析是否存在其他位置关系；对D，根据长方体中平行平面间棱的位置和长度特征进行判断. 【详解】对于A：将一个矩形沿垂直于其所在平面的方向平移一段距离可形成一个长方体，A正确； 对于B：根据长方体的结构特征，长方体中相对的面没有公共点，互相平行，B正确； 对于C：长方体中存在异面棱，例如，长方体下底面的一条棱与和它不相交也不平行的上底面的一条棱是异面直线，故C错误； 长方体中存在异面棱，例如，长方体底面的一条长和顶面的一条宽，是异面直线，C错误； 对于D：长方体中任意两个平行平面之间的棱，方向都相同，长度相等，因此互相平行且相等，D正确. 10.(22-23高一下·安徽合肥·期末)下列说法中错误的是(    ) A．三个点可以确定一个平面 B．若直线a在平面外，则a与无公共点 C．用平行于底面的平面截正棱锥所得的棱台是正棱台 D．斜棱柱的侧面不可能是矩形 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、平面的基本性质及辨析、点(线)确定的平面数量问题 【分析】由三点共线判断A；由线面关系有a与可能相交或平行判断B；由正棱锥的结构特征及正棱台的定义判断C；注意两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边情况判断D. 【详解】A：三点共线时平面不止一个，错误； B：若直线a在平面外，则a与可能相交或平行，错误； C：用平行与底面的平面截正棱锥所得的棱台，必有上下底面均为正多边形且侧面是全等的等腰梯形，即为正棱台，正确； D：斜棱柱侧棱不垂直于底面，但可能存在两条相邻侧棱同时垂直于底面上与它们相交的边，此时这两条侧棱和上下底面的边所成侧面为矩形，错误. 故选：ABD. 11.(2023·贵州铜仁·模拟预测)正方体的棱长为1，点分别为棱，，，的中点，为线段上的动点，过的平面截正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(    ) A．当时，平面EFG B．当时，S的面积为 C．当时，S为六边形 D．当时，S与的交点满足 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】根据题意，利用正方体的几何结构特征，结合线面位置关系，作出各个选项中的相应的截面，判断截面的形状，即可求解. 【详解】对于A中，当时，即点为线段的中点，如图①所示， 取的中点，分别连接，可得， 因为，所以，同理可得， 设过直线的平面为，过直线的平面为，且， 所以平面与平面重合，所以平面，所以A错误；    对于B中，当时，即点为线段的中点，如图②所示， 连接，因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以可得过的平面截正方体所得的截面记为为等腰梯形， 可得，则等腰梯形的高为， 所以截面S的面积为所以B正确； 对于C中，当时，如图③所示，此时截面S为五边形，所以C错误；    对于D中，当时，即点为线段的一个三等分点，如图④所示， 延长到点，连接交于点，使得， 因为是的中点，可得，则，即， 在上取点，使得，可得，则， 在上取其中点，则，截面S即为平面，此时， 所以D正确. 故选：BD． 三、填空题 12.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，在正方体中，P是的中点，Q是的中点，则AP与CQ的位置关系是______．    【答案】相交 【难度】0.65 【知识点】空间中的点(线)共面问题 【分析】连接，利于中位线性质可证得得共面，再利用反证法假设，可证得矛盾，从而可得与相交. 【详解】如图，连接，P是的中点，Q是的中点，所以是的中位线， 故，而在正方体中中，， 所以四边形是平行四边形，故，所以，得共面，故与共面， 假设,由，可得四边形是平行四边形， 则，即，这与是的中位线矛盾，故与相交. 故答案为：相交. 13.(22-23高二上·广西贵港·期末)已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则(    ) A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】平面的基本性质的有关计算、由平面的基本性质作截面图形 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B，求解正六边形的面积判断C，根据平行四边形的边长相等判断D. 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入， 不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况， 第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图， 直线与相交于点，直线与相交于点， 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形. 第二种情况，如图，直线与相交于点，直线与相交于点， 直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点， 易知所得截面为六边形，A错误，B正确. 当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确. 当截面为平行四边形时，由对称性可知， 若四边形为菱形，则， 可得，可得， 可得或，可得或，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于与几何体相关的截面问题，做出截面是解题关键.我们通常可利用空间几何公理及推论或对平面延申找出共线，共面关系；也利用面面平行的性质做出截面在平行平面上的交线. 14.(24-25高二上·辽宁·开学考试)在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为______． 【答案】/0.75 【难度】0.4 【知识点】空间中的点(线)共面问题、空间中的点共线问题 【分析】通过延长DF，交AB的延长线于点Q，先证明点G即EQ与PB的交点，利用及相似三角形，证得，由得到，，推出即得. 【详解】如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G. 理由如下：设D，E，F共面，因，则平面， 又因平面，故三点共线，即. 取AB的中点M，连接EM，因，由可得, 因,则,又E是棱PA的中点，则,则得, 故有，又，所以，故． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查通过四点共面确定点的位置的方法，属于较难题. 解题的关键在于先由，通过两个平面的相交，证明点在交线上，从而确定点的位置. 四、解答题 15.(24-25高一下·安徽马鞍山·期中)如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面(写出作图过程，保留作图痕迹)，并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【难度】0.85 【知识点】空间中的线共点问题、由平面的基本性质作截面图形 【分析】(1)先证明，可推得相交于点，再证明即可； (2)依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长. 【详解】(1)证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. (2) 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 16.(20-21高一下·山东济宁·期中)已知正方体，，分别是棱，的中点． (Ⅰ)画出平面与平面的交线，并说明理由； (Ⅱ)设为直线与平面的交点，求证：，，三点共线． 【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)证明见解析. 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、平面的基本性质及辨析、空间中的点共线问题、由平面的基本性质作截面图形 【分析】(Ⅰ)利用平面的基本性质即可得到； (Ⅱ)由题可知点平面，平面，即可证明. 【详解】(Ⅰ)如图所示，直线即为平面与平面的交线， 理由如下： 在正方体中， ∵，分别是棱，的中点， 平面，平面，且与不平行， ∴在平面内分别延长，， 则与必相交于一点，不妨设为点， ∴，， ∵平面，平面， ∴平面，平面， 即为平面和平面的公共点， 又∵为平面和平面的公共点，连接， ∴直线即为平面与平面的交线． (Ⅱ)证明：如图所示，在正方体中， ∵，且， ∴四边形为平行四边形， ∵为直线与平面的交点， ∴，又∵平面， ∴平面， 又∵平面，平面平面， ∴， ∴，，三点共线． 17.(24-25高一下·福建福州·期中)在正方体中．    (1)如图1，若平面，求证：三点共线； (2)分别为和的中点，分别为和的一个三等分点(都靠近C端)． ①如图2，求证：三线共点； ②过点三点作该正方体的截面，在图3中画出这个截面(不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹)． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；②答案见解析 【难度】0.65 【知识点】判断正方体的截面形状、空间中的点(线)共面问题 【分析】(1)根据平面的基本事实3即可得证； (2)①先分别延长交于点R，连接，然后利用，得出，再利用，可以得出与的交点为的三等分点，即为点Q，从而得证. ②利用平行直线共平面即可作出截面图. 【详解】(1)证明：如图，连接， 面，且面是面与面的公共点， 面，面面， 是面与面的公共点，面面， 又面面，是面与面的公共点， ，即三点共线．    (2)①证明：如图，分别延长交于点R，连接， 直线面，， 又，与的交点为的三等分点，即点Q， 三线共点．      ②解：如图，六边形即为所求作的截面．    18.(22-23高一下·河南洛阳·月考)如下图，在正方体中，棱长为分别是的中点． (1)画出过三点的平面与平面、平面的交线； (2)设过三点的平面与交于点，求的长． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【难度】0.65 【知识点】由平面的基本性质作截面图形、平面的基本性质的有关计算 【分析】(1)利用平面的基本性质画出交线，进而确定比例和长度； (2)利用(1)直接求解. 【详解】(1)如图所示：平面， 与底面的交点必在侧面与底面的交线上， 过点的平面与平面的交线是，(在线段的延长线上)， 与平面的交线是(在线段上)． (2)由(1)可知：， 在Rt中，由勾股定理得． 19.(24-25高三·全国·二轮复习)正四棱锥的棱上各有一点，其中分别为的中点，，过三点作出正四棱锥的截面(图). 【答案】作图见解析 【难度】0.4 【知识点】由平面的基本性质作截面图形 【分析】延长至点，使得，延长交于点，，证明与交于点，则四边形即是过三点的正四棱锥的截面. 【详解】延长至点，使得， 因为是的中点，，所以， ， 所以，即三点共线，即与交于点， 同理，延长交于点，， 因为，所以点为的中点， 即与交于点，连接， 则四边形即是过三点的正四棱锥的截面，如图所示． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $