专题4-5 线面垂直（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

本讲义聚焦高中数学线面垂直核心知识点，系统梳理从线线垂直定义、判定定理到线面垂直性质的逻辑脉络，延伸至线面角的定义与求法，以及点、直线到平面距离的概念，构建完整知识支架。 该资料通过即学即练、典例变式及综合题设计，结合正方体、长方体等模型，培养学生空间观念（数学眼光）和推理能力（数学思维），如“即学即练1-1”在长方体中求线面角正弦值，助力学生用数学语言表达空间关系，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固提升。

4-4 线面垂直 讲义 教学目标 理解掌握线面垂直的判定与性质，掌握线面角，点面距离的求法. 教学重点 线面垂直的判定与性质，线面角，点面距离的求法. 教学难点 线面角，点面距离的求法. 知识点01 线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线，，经过空间任一点分别作直线∥，∥，我们把直线，所成的角叫做异面直线，所成的角. 2.空间两条直线所成角的取值范围是. 【即学即练1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【即学即练1-2】(多选)（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 知识点02 线线、线面垂直 （一） 1.两条异面直线互相垂直的定义： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. 2. （二） 1.线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直. 2. 线面垂直定义的推论：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线. 3.线面垂直判定定理（线线垂直线面垂直）： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 4.线面垂直性质定理： （1）垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面. 【即学即练2-1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 知识点03 点、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离. 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 【即学即练3-1】（23-24高二上·山东潍坊·期中）在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【即学即练3-2】(多选)（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 题型01 判断线面垂直 【典例1-1】（20-21高一下·全国·单元测试）垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【典例1-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【典例1-4】（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【变式1-1】（21-22高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【变式1-3】（24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式1-4】（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1-5】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 题型02 证明线面垂直 【典例2-1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【典例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知长方体，在平面上任取一点，作于，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【典例2-3】(多选)（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【典例2-4】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【变式2-1】（22-23高一下·陕西宝鸡·月考）已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·北京·期末）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作于D．把沿DE翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论： ①；②存在某个位置，使；③若，则BF的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，,是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 【变式2-6】（24-25高一下·河南南阳·期末）在四棱锥中，底面四边形为正方形，平面，E，F分别是线段，的中点.若，在线段上有一点满足，则_____. 题型03 点、直线到平面的距离 【典例3-1】（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【典例3-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【典例3-4】（24-25高一下·天津·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，点E是线段DC上的一点，且，将沿BE向上折起，得到四棱锥，如图2所示，则点到平面的距离的最大值为________． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式3-2】（22-23高一下·河南商丘·月考）在矩形ABCD中，，，若平面ABCD，且，则点A到平面PBD的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·河北邢台·月考）已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【变式3-4】（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，正方体的棱长为1，M，N分别是正方形ABCD，的中心.则下列结论正确的是（   ） A．与是异面直线 B．若P是线段上的动点，则的最小值是 C．到平面的距离是 D．过，M，N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 【变式3-6】（24-25高一下·广东·期末）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 题型04 线面角 【典例4-1】（24-25高一下·广西河池·月考）如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D．当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 【典例4-4】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【变式4-1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高一下·安徽·月考）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)（24-25高一下·广西柳州·期末）在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（  ） A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．A1C与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥A1—ABD的外接球半径为 【变式4-6】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 一、单选题 1.（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知直线，，和平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 2.（24-25高一下·北京朝阳·期末）如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3.（2025高一·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 4.（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 5.（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 6.（23-24高一下·安徽宿州·期末）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（    ）    A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 7.（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 8.（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9.（24-25高一下·云南丽江·月考）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（   ） A． B．平面 C．平面 D． 10.（22-23高一下·广西北海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与平面所成的角为定值 B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与直线所成的角为定值 11.（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 三、填空题 12.（22-23高一下·陕西西安·月考）在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________ 13.（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.     14.（23-24高一下·福建漳州·期末）二面角为为线段的三等分点，且，到的距离为.若为平面内一动点，则最大时，的值为__________. 四、解答题 15.（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积. 16.（24-25高一下·安徽·月考）如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，且，平面，Q 为棱 的中点. (1)求证:(2)求点 P 到平面 的距离;(3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 17.（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成角的大小． 18.（23-24高一下·湖北武汉·期末）（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 19.（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱锥中，，． (1)证明：； (2)若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为．试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由； (3)在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得．当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-4线面垂直讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01线面角 题型01判断线面垂直 4-5线面垂直 题型02证明线面垂直 题型03点、直线到平面的距离 知识点02线线、线面垂直 题型04线面角 知识点03点、直线到平面的距离 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握线面垂直的判定与性质，掌握线面角，点面距离的求法. 教学重点 线面垂直的判定与性质，线面角，点面距离的求法， 教学难点 线面角，点面距离的求法。 知识清单 知识点01线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线，，经过空间任一点分别作直线'∥，b∥，我们把直线'， b所成的角叫做异面直线，所成的角. 2.空间两条直线所成角的取值范围是[0°，90]. 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州，期中)在长方体 -1111中，己知=2，=1=1， 则直线1与平面11所成角的正弦值为() A. B.3 3 c.9 D.vio 10 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求线面角 【分析】先找到平面11的垂线BE,则∠1就是直线1与面11所成的角，再解直角三角形即 可 【详解】如图，设点E为线段1的中点，连接，1· D 因为在长方体中， 1 n1=,,1平面11 第1页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以1平面11， c平面11，得 又=1=1，且E为线段BC的中点，所以11，且1n=,1, c平面11， 所以1平面11，故41就是直线1与面11所成的角 在直角三角形1中，1=√2+12=V5, =2+1=号 2 所以sn41=、=晋故直线1与平面11 所成角的正弦值为四 10 故选：D. 【即学即练1-2】（多选）(24-25高一下.重庆期中)如图所示，在正方体 -1111中，O为DB的 中点，直线1交平面1于点M,则下列结论正确的是() D C B B A.直线1与直线1所成角为60° B.1⊥平面1 C.M、O、1三点共线 D.直线11与平面 11所成角的为 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题、求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A:利用线面垂直的性质判定推理判断B:利用平面的基本事 实推理判断C;求出线面角判断D 【详解】对于A,连接，1，四边形11是正方体 一1111的对角面， 则四边形11为矩形，1/1,41是直线1与直线1所成角或其补角， 而=1=1，因此∠1=60°，A正确： 对于B,1⊥平面 ，c平面，则11，又上， 1n=,,c平面1，则1平面1，又1c平面1， 于是1上，同理111，又n1=,因此11平面1，B正确： 对于C,由∈，c平面11，得∈平面11 由∈，c平面1，得e平面1，则是平面 11和平面1的公共点， 同理，点和1都是平面11和平面1的公共点， 因此三点1，，在平面1与平面11的交线上，即1，，三点共线，C正确： 对于D,连接1，设1n1=,连接1，由选项B,同理得1⊥平面11， 则211为直线11与平面 1所成的角，在t△11中，1=是1=是1 因此sn上11==分411=名D错误 第2页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：ABC D B B 知识点02线线、线面垂直 (一)线线垂直 1.两条异面直线互相垂直的定义： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. 平行四边形：菱形、矩形、正方形 特殊图形 特殊三角形：等腰（等边）三角形…取中点 〔正余弦定理 2.线线垂直{边角关系 勾股（逆）定理 线面垂直的定义 面面垂直的性质 (二)线面垂直 1.线面垂直的定义：如果直线I与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直. 2.线面垂直定义的推论：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线. 3.线面垂直判定定理（线线垂直→线面垂直）： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 4.线面垂直性质定理： (1)垂直于同一个平面的两条直线平行 (2)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面， 【即学即练2-1】(24-25高一下新疆乌鲁木齐，期末)设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题 正确的是() A.若⊥，c,则⊥ B.若上，‖，则1 c.若上，‖，则Ⅱ D.若Ⅱ，Ⅱ，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面垂直、线面平行的判定和性质对选项逐一判断即可 【详解】对于选项A:若⊥，c,那么可能在平面内，所以A错误； 对于选项B:因为⊥，1，所以1，所以B正确： 对于选项C:若上，/，那么可能在平面内，所以C错误： 第3页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于选项D:若/，/，那么可能在平面内，所以D错误。 故选：B. 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)设、为两条直线，、为两个平面，c,∩=， 下列说法正确的是() A.若/I,则/ B.若⊥，则上 c.若/1，则/ D.若⊥，则⊥ 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】根据线线，线面的平行和垂直关系，即可判断选项， 【详解】A选项：根据线面平行的判断定理，可知A正确； B选项：若上，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理， 所以直线不垂直于平面，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确： D选项：若⊥，因为∩=，所以c,则⊥，故D正确 故选：ACD 知识点03点、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于己知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于己知平面的直线，则该 点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离. 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 【即学即练3-1】(23-24高二上山东潍坊·期中)在棱长为4的正方体 -1111中，点A到平面 1 1的距离为() A.V2 B.2V2 C.1 D.2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点A到平面11的距离为的长，求出答案 【详解】连接1，与1相交于点，因为四边形11为正方形，所以1上1， D 又⊥平面11,1c平面11，所以上1 因为1n=，1,c平面11，所以11平面 11 第4页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故点A到平面1 1的距离为的长， 又棱长为4，所以 =1=×V+4=2V2 故选：B 【即学即练3-2】（多选）(22-23高一下·云南昭通·期末)如图，在棱长为2的正方体 -1111中， M,N分别是1， 1的中点，则下列说法正确的是() D B A B A,MN与AD所成夹角为 B. ⊥1 ( D.点C到平面ABM的距离为号 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】求点面距离 【分析】对于A,由M,N都为中点，得出Ⅱ，将“MN与AD所成夹角"转化为“BD与AD所成夹角”， 从而得解；对于B,利用线面垂直证明线线垂直，即可得证；对于C,利用平行证明线线垂直即可得证：对 于D,等体积法即可求得点到平面的距离。 【详解】对于A,如图，由于N是1的中点，所以1N,D三点共线，则N是1的中点， D B 由于M是1的中点，所以I,故异面直线MW与AD所成夹角为∠， = ⊥，.∠ =,即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确： 对于B,由于C平面ABCD,所以1上，又由A选项知，‖，所以1⊥，B选项正确： 对于C,由于⊥，又由A选项知，‖，所以⊥，C选项正确： 对于D, =一，M是的中点，-=△1=号 2 根据正方体性质有：1平面11，C平面11，·上· 设点C到平面ABM的距离为k,:。=号。h=片生2+Z,h=号n=号 解得h=√2，故D错误， 故选：ABC 第5页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01判断线面垂直 【典例1-1】(20-21高一下·全国.单元测试)垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是() A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.不确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面是否垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理，可得结果。 【详解】因为梯形的两腰必相交且梯形两底所在的平面为同一平面， 所以由线面垂直的判定定理可得垂直与梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面必垂直 故选：A 【典例1-2】(24-25高一下江苏南通·月考)已知直线，c平面，1为直线，则”上，上"是“1"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、判断命题的必要不充分条件 【分析】注意与平行这一特殊情况：上，上方上，再结合充要条件分析即可. 【详解】直线，c平面，则上→上且上， 反之，若川，则上，1为上， 所以“上，1"是“1”的必要不充分条件， 故选：B 【典例1-3】（多选）（24-25高一下，贵州六盘水，期末)若a,b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项 为真命题的是() A.若/1，c,则/ B.若上，/，则1 C.若上，上，则/ D.若/，c,则/ 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐一判断 【详解】对于A,若/，c,则/或c,故A错误： 对于B,若⊥，/，则⊥，故B正确： 对于C,若⊥，上，则/，故C正确： 对于D,若/，c,则与可能平行或异面，故D错误。 故选：BC 第6页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例1-4】(25-26高一下·全国课后作业)若，表示直线，表示平面，下列命题中正确的有 (填 序号) ①上，/→1：②1，上→/1：③/1,1→1：④1,1→川： ⑤1，/→1. 【答案】①④⑤ 【难度】0.84 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【详解】对于①，若1，/，则1，故①正确： 对于②，由上，⊥，可以得出c或/，故②错误： 对于③，由/，1，可以得出c，/,1或与相交，故③错误： 对于④，若上，上，则1，故④正确： 对于⑤，若1，川，则1，故⑤正确 【变式1-1】(21-22高一下.全国课后作业)在长方体 一1111的六个面中，与直线1垂直的面 的个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断线面是否垂直 【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线1垂直的面的个数， 【详解】如上图示，仅有平面 和平面1111与直线1垂直. D 故选：B 【变式1-2】(25-26高一下.浙江宁波期中)已知P为空间中一点，m,n,1为互不相同的直线，a,B,y为 互不相同的平面，则下列推理中正确的是() A.∈，∈→n= B.‖，‖→I C.⊥，⊥，∩=→⊥ D.⊥，⊥， C→⊥ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面基本事实判断A:利用线面平行的判定判断B:利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判 断C;利用线面垂直的判定判断D. 【详解】对于A:由∈，∈，则∈∩，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 第7页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于B:由I,Ⅱ，则可能有‖，或c,故B错误； 对于C:由上，上，∩=，则1故C正确： 对于D:由⊥，上，c,C,则可能有上，或c,或I,故D错误. 故选：C 【变式1-3】(24-25高一下.北京西城期末)在长方体 -1111中，=V2,1==1.给 出下列四个结论： ①11：②111；③11平面 1:④11平面1· 其中正确的结论是() A.①③ B.②③ c.①④ D.②④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由上不成立及直线与平面垂直的性质可判断①，由四边形11是正方形可判断②，由线 面垂直的判断定理可判断③，由1⊥1不成立及直线与平面垂直的性质可判断④. 【详解】在长方体 -1111中，=V2,1==1, A B B 所以底面 是长方形，故⊥ 不成立， 因为 C平面 1,由线面垂直的性质可知 与平面 1不垂直， 因为11平面 c平面 ,所以1上， 因为1n1=1,所以1上 不成立，故①错误： 因为1=√2+12=V2=11 在长方体中，有1=11= =1， 因为1平面11,1c平面11，所以上1， 因为11，所以四边形11是正方形， 所以1上1，故②正确： 因为/，所以上1， 因为11是正方形，所以1上1· 因为n1=,且，1c平面 1 所以11平面1，故③正确： 因为11是长方形，所以1⊥1不成立， 由线面垂直的性质可知，1平面1不垂直，故④错误： 第8页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以正确的结论是②③ 故选：B 【变式1-4】(25-26高一下…福建福州期中)己知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命 题中为真命题的是() A.若/I,/1,则/ B.若1，c,则/1 c.若/1，上，/，则1 D.若/1,1，则⊥ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【详解】对于A,由/，/，可得，可能平行，相交或异面，故A错误： 对于B,由/，c可得c或/，故B错误 对于C,由1，上可得⊥，又/1，则有⊥，故C正确： 对于D,当，是平面内两条互相垂直的直线，且1时，满足/，1，但/，故D错误。 【变式1-5】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)下列说法中，错误的是() A.如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B.如果直线1不垂直于平面，则平面内不存在与1垂直的直线 C.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D.如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面垂直的定义可知，A正确：利用长方体模型可以构造反例说明BCD错误 【详解】对于A,由线面垂直的定义可知，故A正确. 对于BCD,有长方体 一1111如图： 直线1不垂直于平面11，上1且c平面11，故B错误； 同时1与平面11没有交点，故C错误： 是平面11的一条垂线，上，但c平面11，故D错误。 故选：BCD 【变式1-6】(25-26高一下·全国·课堂例题)设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若1，则与相交； ②若c,c,上，1，则⊥. 第9页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中正确的说法的序号为 【答案】① 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题①：根据线面垂直的判定定理即可判断命题② 【详解】①因为⊥，所以直线垂直于平面内的所有直线，且直线与平面有且仅有1个交点（垂足）， 所以与相交，故①正确， ②由线面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂 直.题目中未说明和是相交直线，故直线不一定垂直于平面，故②错误. 故答案为：① 题型02证明线面垂直 【典例2-1】(23-24高一下·四川成都期末)如图，在正方体-1111中，点M,N分别为线段AC 和线段1的中点，求直线MN与平面11所成角为() Ci M A.60° B.459 C.30° D.75 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】取的中点，连接，，证明 ⊥平面11，即得∠ 即直线MN与平面11所成角， 解三角形即得 【详解】如图，取的中点，连接，，因是的中点，故川 又因正方体 1111中， 1平面11，故1平面11， 即 是在平面11上的射影，故 即直线MN与平面11所成角， 因是1的中点，故 =号1=号 =,易得，上 =45°， 即直线MN与平面11所成角为45. 故选：B 【典例2-225-26高一下·全国课堂例题)已知长方体 一1111，在平面1上任取一点，作1 第10页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于，则() b 1平面 B. c平面 C. /平面 D.以上都有可能 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直 【分析】由线面垂直的判定证明即可， 【详解】由于c平面1，平面1n平面=，且平面1⊥平面， 则1平面 ·所以A正确，BCD错误. 故选：A D A B M D B 【典例2-3】（多选）(25-26高一上·河北石家庄开学考试)如图，已知正方体 -1111，分别 是1， 1的中点，则不正确的是() A.直线1与直线1垂直，直线 /平面 B.直线1与直线1平行，直线 ⊥平面 11 C.直线1与直线1相交，直线 //平面 D.直线1与直线1异面，直线 1平面 11 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行、证明线面垂直 【分析】利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解 【详解】如图所示，连接1，因为正方形11，且为1的中点， 所以点为1的中点，又由为1的中点，所以/川， 又因为丈平面 ,c平面，所以/平面 在正方体 -1111中，因为1平面11，且1c平面11，所以11， 又因为正方形 11,可得1上1，因为n1=,且，1c平面1，所以11平面 13 第11页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又因为1c平面 1,所以111，且1与 1不相交， 所以1与1为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角△ 1中，可得与1不垂直，所以与平面 11不垂直， 因为升，所以与平面 11不垂直，所以D错误。 故选：BCD 【典例2-4】(2026高一.全国.专题练习)如图所示，在棱长为1的正方体 一1111中，点是棱 的中点，点是棱上的动点，则点为时1上平面1· A 【答案】的中点 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接1,1，，证明当点是的中点时，11平面1· 【详解】如图，连接1,1，，则1上1 因为111平面11，又1c平面11，所以1111， 又11n1=1:11,1c平面11 所以11平面11，又1c平面11，所以111· 于是若11平面1， c平面1，则1上， 11平面 c平面 ，所以11 又1n1=11山1c平面1，所以1平面1， c平面1，所以上，所以∠=人，=，所以△ 兰△ 因为 是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，1 即当点是的中点时，1⊥平面1· 第12页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(22-23高一下·陕西宝鸡月考)已知正方体 -1111中，直线1与直线1所成角的 大小为() A.90° B.60° C.45° D.30° 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小 【详解】由于在正方体中，1平面11,1c平面11 所以上1， 又111，n1=，,1c平面1， 所以11平面1,1c平面1，故1上1， 所以直线1与直线1所成角为90°， 故选：A D A B 【变式2-2(23-24高一下.北京，期末)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作1 于D.把△ 沿DE翻折至△1的位置，连结1·翻折过程中，有下列三个结论： ① 11:②存在某个位置，使11；③若=21，则BF的长是定值. 其中所有正确结论的编号是() A.① B.①② c.②③ D.①③ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据翻折可得1平面1，即可判断①，若1上，可得1=V2,结合=1= cos=即可判断②，过作 上，根据题意可得⊥，计算边长即可确定③ 【详解】根据题意，上， 上1 又n1=，,1c平面1，所以1平面1， 第13页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又1c平面1，所以上1，故①正确： 若1上，又E为边AB的中点，所以1=1=√2+2=V2, 1,L=60°，所以=1=Cos=2 又 1=V2>1+=1,故②错误： 过作上，所以上 则 =1. = =之所以-=一=2，则∥1 又11，所以1 又 =号1= =V3,所以 =+7=受故③正确： 故选：D. 【变式2-3】(25-26高一下.全国·课后作业)在平行四边形 中，=3，=4，c0sL =子现将 △ 沿 折叠至△，使得=V34,则与平面 所成的角的正弦值为() A号 13 C.25 0. 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、求线面角 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出⊥平面 ,最后应用线面角的定义结合 边长关系得出正弦值即可 【详解】在△中，2=2+2-2·cos∠ 即16=9+ 2-6·营解得=5（舍负），故2+2= 3 2,可得⊥， 在Rt△ 中， =√2+2=V13,可得==13， 等腰△ 中，cos∠ ==3网 213 所以△ 中， =√2+2-2 ·COS∠ 34+52-2V34.2V13.3g 213 =3V2, -习B 在△ 中，= =3,所以∠ =90°，可得△= ·= 第14页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为 ⊥ 是平面 内的相交直线， 所以⊥平面 ,可得- 10 =×2×4=6, 在△ 中， 2= 2+2=34,所以∠=90°，可得△ =月 15 设点到平面 的距离为，则一= =6，×号=6，解得=号 1 若 与平面 所成的角为：赠血。一-兰-号 故选：B 【变式2-4】(24-25高一下河南南阳·期末)如图，直三棱柱 一111的底面为直角三角形，∠=90°， =6V2, 1=4,是1上一动点，则+1的最小值为() A.4V5 B.2V34 c.8W5 D.2V22 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】结合图形，沿1将△1翻折至与△11在同一个平面内，则1的长度即+1的最小值， 求出相关边长和角，利用余弦定理求出1的长即可. 【详解】 连接1，沿1将△ 1翻折至与△11在同一个平面内，如图，连接1， 则1的长度即+1的最小值. 由题设可知11111，又1111,1n11=1,1v11c面11， “111平面11，因1c平面11，故11上1 在平面图形中，因 =1=4,41=90,则41=45,411=135,11==6V2, 由余弦定理，可得1=√1子+12-211·1·c0s135°=234 故选：B 【变式2-5】（多选）(24-25高一下辽宁大连·期末)已知正方体 -1111,=,且直线与直 第15页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线1夹角为，则下列说法正确的是() A.若点在棱1上，且tan=2V2,则1= B.若=石且点在面1111上，则点的轨迹长度为严 6 C.是 一1111面上的动点，11，则的轨迹图形面积是52 D.点为截面11上的动点，上1，则点的轨迹长度是V2 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】对A,由题易得=上，运算得解；对B,由题可得点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为 的圆弧，运算得解；对C,由题易证1⊥平面1，可得点的轨迹图形是△1，求解判断：对D,由 C,可确定点的轨迹得解。 【详解】对于A,如图，点在1上，则=∠，所以tan=一=豆=2W2, 解得=，所以1=：，故A错误： 0 C B 对于B,因为 W”所以直线与夹角为=君 所以射线的轨迹是以1为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在底面111内时，1=号 V3 点的轨迹是以1为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为×号=。，故B正确： 3 D B 对于C,如图，连接 ，，11 由1上平面 c平面，则上1，又上， 1n=,1,c平面1，故1平面1， 1c平面1，所以1上， 同理，可得111，而n1=,，1c平面 1 所以1⊥平面1，因为1上，所以c平面 1,又是正方体 一1111面上的动点， 第16页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以点的轨迹图形是△ 1,易知△ 1是正三角形，边长为V2, 所以点的轨迹图形的面积为号×(2)了-故c正确： A B D 对于D,由C可知， c平面 1,又点为截面11上的动点，平面11n平面1=1， 所以点的轨迹是线段1，长度为V2,故D正确. 故选：BCD. 【变式2-6】(24-25高一下…河南南阳·期末)在四棱锥- 中，底面四边形 为正方形，⊥平面 ，E,F分别是线段，的中点若=2=2V2,在线段上有一点满足上，则 【答案】2@ 5 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取的中点，连接，，证明⊥平面，得上，再证1平面，得 继而上，利用三角形面积相等，即可求得 【详解】如图，取的中点，连接，，则/，川 M B 因为⊥平面ABCD, c平面 ,所以1 又因为四边形 为正方形，所以 因为n =，， c平面 ，所以⊥平面 ,故⊥平面 又c平面 ,所以上，又因为上 =,,c平面，所以平面 因为c平面，所以 上，所以上 在Rt△ 中，=2V2, =√2，则 =V2+Z=√8+2=V10, 由三角形面积相等， =·=22×2-20 V10 5 故答案为：四 第17页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型03点、直线到平面的距离 【典例3-1】(24-25高一下江西期末)在棱长为3的正方体 -1111中，点D到平面 1的距离 为() A.N B.3 C.3V2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离， 【详解】如图： D A B A B 连接 交AC于点，则为BD中点， 因为 -1111为正方体，所以1⊥平面 ,又c平面 ,所以1上 又底面 为正方体，所以上· 因为1n 1 c平面1， 所以⊥平面 1· 故点到平面 1的距离为 =32 2 故选：A. 【典例3-2】(24-25高一下.浙江宁波·期末)已知长方形 =2, =1,将△ 沿着折起得 到三棱锥 ,当点在底面 的投影恰好落在直线上时，此时点到面 的距离为() A.3 B.3 2 C.v15 4 0.零 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】点在底面 的投影为，且∈，由题意求得，设到平面 的距离为，利用一 一，可求得点到面的距离. 【详解】作出示意图如图所示，点在底面 的投影为，且∈ 所以⊥平面，又c平面，所以上平面 过作1于，连接，又∩=，，c平面 所以⊥平面，又c平面 ，所以上， 第18页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△ 中， =V+7=5,对×=左×， 所以√5× =1×2,所以 =层所以=V2--若 又 tan∠ =×= 1 在Rt△ 中，可得 =V2+ 在Rt△ 中， =V2-2=5 2 设到平面 的距离为 , 由- -，可得△·=专△·， 所以××2×1×=××2×1×号解得-兽 D 故选：B 【典例3-3】（多选）(24-25高一下·江西宜春期末)如图，在棱长为2的正方体 -1111中，、 分别是11、 1的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是() D ⊙ D E C A A. 111 B.过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为4√2 C.点到平面1的距离为定值 D.当直线与平面1所成角的正弦值取得最大值时， 3v2 4 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求点面距离、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明出11平面11，结合线面垂直的性质可判断A选项：取11的中点，连接、、、 11?分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形 ,计算出其面积，可判断B选项： 证明出/平面1，可判断C选项：分析可知当⊥时，直线与平面1所成角的正弦值取最大 值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 第19页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A选项，连接1、1、1 D F D E C A B 因为111平面 11:1c平面11，所以1111， 因为四边形 11为正方形，所以1上1 因为1n11=1,1、11c平面11，所以11平面11， 又1c平面11，所以1上1，A正确： 取11的中点，连接、、、11 D M B F p D C B 因为、分别为11小11的中点，所以∥11，且=11=×22=2， 因为1/1,1=1=2，故四边形11为平行四边形，所以11/1 , 所以/，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形 又=√2 =2V2, ?+12=√4+1=V5,同理得=5， 过点、在平面 内分别作 上，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知∠ =∠ 又因为=， =∠ =90°，故△ 兰△，故= 在等腰梯形 内，因为川，上， 故四边形 为矩形，故 =√2，所以 2 故 =7=5-(图-9 2 故梯形 =+)=婴×9-号故8错误： 2 对于C选项，连接、1、1、1， 第20页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D A 因为、分别为111的中点，所以∥1 因为川11，=11，故四边形11为平行四边形，所以1/川1， 所以/1，因为女平面1,1c平面1，故/平面1， 所以点到平面1的距离等于点到平面1的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面1的距离为定值，设直线与平面1所成角为， 则sin=一，故当取最小值时，即当⊥时， 的长取最小值，此时sin取最大值， D F D C A 连接、，则=√2+2=√4+1=V5,同理可得=V5, =2, 故当为的中点时，上，此时 故选：AC 【典例3-4】(24-25高一下·天津月考)如图1，在等腰梯形ABCD中，‖，=2=2=2， 点E是线段DC上的一点，且=3，将△ 沿BE向上折起，得到四棱锥- ,如图2所示， 则点到平面 的距离的最大值为 D D 图1 图2 【答案】5 【难度】0.4 【知识点】求点面距离 第21页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】先在等腰梯形 中证明 上，从而可得⊥平面，在平面 内过作1，垂 足为，利用等积法可求点到平面 的距离的最大值。 【详解】在等腰梯形 中，过作1，垂足为，则 =(-)= 由题设=3，故=号=多故，重合，且= 2 故上，上， 故在四棱锥-中，上，上 而n=，， c平面，故1平面， 设L =，∈(0，)，在平面内过作上，垂足为， 连接， 因为c平面 ,故平面 1平面 而平面 n平面 =， c平面 ，故⊥平面， 而c平面 ,故 =1-os)+（，故=Gsin) 而 2=V2-c0s, 又 =1,故△=×V2-c0s×J1-（ v2-cos 2 3+sin2, 4 而 =× 1 ≠3 X△ 故××× 3 2×1=- -×2V3+sin2 4 3 v3+sin2 ≤停当且仅当=取等号 故到平面 的距离最大且最大值为 D E B 故答案为：孚 【变式3-1】(23-24高一下江苏扬州·月考)已知Rt△ 的直角顶点在平面外，c，，与平面 所成的角分别为45°，30°，=V6,则点到平面的距离为() A.V6 B.2V6 C.1 D.2 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】求点面距离、线面角的概念及辨析、由线面角的大小求值 【分析】由题意作出1于H,可得=√2，=2，Rt△ 中勾股定理解得，即为点 到平面的距离. 第22页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】过C作1于H,连结，，则∠=45°，∠=30. B a 在Rt△ 和Rt△ 中， =n45=V2 =n30=2 又在Rt△ 中有2+2=2，即22+42=6，得=1. 即C到平面的距离为1. 故选：C 【变式3-2(22-23高一下河南商丘·月考)在矩形ABCD中，=3，=4，若1平面ABCD,且=1， 则点A到平面PBD的距离为() A是 B.2 7 c 0.号 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意分析可得⊥平面PAE,利用等体积法求点到面的距离. 【详解】过点A作⊥于E,连接PE 因为⊥平面ABCD, c平面ABCD,所以⊥， 又因为n=,所以⊥平面PAE, 且c平面PAE,可得上， 由 ·可得 =√2+2=1 5 可得△ 设点A到平面PBD的距离为h, 由 可得××3×4×1=×△×h,解得h=号 故选：D. D C 【变式3-3】(24-25高一下河北邢台·月考)已知正方体 -1111棱长为2，则点C到平面11 的距离为() A.1 B.V2 C.2V2 D.2V3 第23页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】作出辅助线，证明出⊥平面11，找到点到平面 11的距离即的长，求出答案。 【详解】连接交于点E, D C ⊙ B 因为四边形 为正方形，所以1，且为中点， 因为1⊥底面 ,c平面 ,所以1⊥， 因为1∩=， wc平面11，所以⊥平面 11 所以CE的长即为点到平面11的距离， 因为正方体 -1111棱长为2，所以由勾股定理可得=V4+4=2V2, 所以=√2 故选：B 【变式3-4】(24-25高一下河南期中)如图，长方体-1111中，=2=21=4，E为 棱CD的中点，则异面直线1与1之间的距离为() B D B A号 B.V2 C. D.3 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】判断面面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】如图，做过1与1的两平行平面，则异面直线1与1之间的距离为两平行平面间距离. 【详解】如图，取AB中点为F,11中点为1,11中点为1， 连接11,1,1，· =2=21=4,则 一1111为正方体， 因1/1,1=1，四边形11为平行四边形， 有11/1，c平面1,11￠平面1，则11/平面1， 第24页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理有1/平面1,1n11=1,111c平面11 则平面1/平面11， 则异面直线1与1之间的距离为两平行平面间距离。 如图连接， 1,由题可得1⊥平面ABCD,又 C平面ABCD, 则1⊥DF,又1，n1=,,1c平面1 则1平面1，又1c平面1，则上1 又同理可得111，结合1n =，1，c平面1， 则11平面1，又平面1/平面11，则11平面1· 则平面间距离，为1减去A到平面1距离，再减去1到平面11距离 设A到平面1距离为h1,1到平面11距离为h2 则明△1，h=×经111·1 注意到11=1=11=2,11=1=1=2V2, 则号×是×8h1=××8→九1=2，同理可得2=5 又1=2W3,则平面间距离为2V3-45=23, 3 3 即异面直线，与1之间的距离为学 故选：C D E 【变式3-5】（多选）(24-25高一下福建莆田·月考)如图，正方体-1111的棱长为1，M,N分别 是正方形ABCD, 11的中心则下列结论正确的是() D C B B A.1与1是异面直线 B.若P是线段1上的动点，则1+的最小值是5 2 C. 到平面11的距离是5 D.过1，M,N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、棱台的展开图、异面直线所成的角的概念及辨析、求点面距离 第25页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】根据异面直线定义可判断A:将△11绕着1旋转，使得与△1在同一平面内，然后根据 大边对大角可判断B:利用等面积法求解可判断C:利用交线法作出截面可判断D. 【详解】对B,易知1=1=1 =1+(9-9=竖11=1， 将△11绕着1旋转，使得与△1 在同一平面内，如图， D M 易知，当1，，三点共线时，1+取得最小值1， 因为∠1>∠1 =∠1>∠1， 所以1>1=B错误 对C,记，的中点分别为，，连接，1,1， 由11平面11，点11c平面11，得平面111平面 11 又平面11n平面11=1，在平面11内作111于， 则11平面11，则到平面：1的距离1=2十=立- 1 =S,C正确： 对A,易知1是平面11的斜线，斜足为1， 又1c平面11，且11，所以1与1是异面直线，A正确： D B D C ② G M B 对D,连接 ,11,由为正方形 的中心，得 /11, 延长1与1的延长线交于点，过点，作直线交，11分别于，， 连接并延长交于，连接1,1，因此四边形1是所求截面，D正确。 故选：ACD 【变式3-6】（24-25高一下·广东·期末)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示， 正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1， 第26页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为 【答案】21 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【分析】由题可得、1的中点到平面的距离为3，即、1的中点到平面的距离为3，进而可得1到平 面的距离为6，同理可得、1、1到平面的距离，即可求解。 【详解】因为、、1到平面的距离分别为1、2、4， 所以、1的中点到平面的距离为3，即、1的中点到平面的距离为3， 所以1到平面的距离为6： 6 B /a 同样、 1的中点到平面的距离为，即1、的中点到平面的距离为 所以1到平面的距离为5： 又、 的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为号 所以到平面的距离为3： 所以、1的中点到平面的距离为好，即、1的中点到平面的距离为 所以1到平面的距离为7： 综上，其余四个顶点到平面的距离之和为：3+5+6+7=21 故答案为：21 题型04线面角 【典例4-1】(24-25高一下广西河池·月考)如图所示，在正四棱柱 -1111中，=3,1=4， 则直线1与平面 所成角的正弦值为() D D 第27页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A酒 B.34 17 C. D.3V34 34 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求线面角 【分析】确定∠1为直线1与平面 所成的角，在R△1中，解三角形即可. 【详解】因为1⊥平面 所以上1为直线1与平面 所成的角， 在Rt△1中，sinL1 =1= 4 =23 1 V32)2+42 17 所以直线1与平面 所成角的正弦值为4 17 故选：A 【典例4-2】(25-26高一下.全国课后作业)已知正三棱柱 一111的侧棱长与底面边长相等，则1 与侧面 11所成角的正弦值等于() A.9 B.四 c. D.9 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【详解】如图，取11中点，连接，1， B 由题知11=11，又为中点，所以1上11 又因为侧棱垂直于上下底面，1c平面111，所以1上1， 又因为1n11=1,且1,11c平面11”所以11平面11 则21为1与侧面11所成的角， 令各棱长为1，则1=复1=V2,snL,=上=6 14 【典例4-3】（多选）（25-26高一下湖南·期中)己知正方体 1111的棱长为1，平面与对角线1 垂直，则() A.该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 ®。平面截该正方体所得截面面积的最大值为号 C.直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为号 D.当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值3V2 第28页共53页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求线面角 【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑 【详解】对于A,因为平面与对角线1垂直，又1⊥平面1， 所以平面与平面1平行或重合，而正方体各棱与平面1所成角，即为体对角线1与正方体各棱所 成角的余角， 由正方体的对称性易得体对角线1与正方体各棱所成角均相等， 故直线，，1与平面所成角也相等，故A正确： 对于B,当平面沿对角线1平行移动时， 只有当平面移动到平面 (，,，，,分别为所在棱的中点)时，面积最大 又由题易知，六边形 为正六边形，可求得= 2 则平面裁此正方体所得载面面积的最大值为6×G×受×号×sn60）=9>号，故B错误： 对于C,直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值， 即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面1，又‖， 故等价于求与平面1所成角，设1与平面1交于点， 因为1上平面1，所以上 为所求角， =号1=号=1，则sn4=一=号故C正确； A1 不 D 对于D,当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， 第29页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R B B 11+11=V21+V21=V2=V2, 同理可得11+11=11+11=V2, 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值3√2，故D正确. 【典例4-4】(25-26高一下·浙江温州期中)点是正四面体-的棱上的动点，直线与平面 所成角的正切值最大为 【答案】2√2 【难度】0.4 【知识点】求线面角 【分析】点在平面 中的射影为，连接，，则上是直线与平面 所成角的平面角，设正 四面体一 的棱长为6，则=2V6, ∈3,2V闯，再根据tanL =一求解即可： 【详解】如图，设正四面体- 中，点在平面 中的射影为， 连接，，则 1平面 为正△ 的中心， 所以上是直线 与平面 所成角的平面角， 所以tanL 设正四面体 的棱长为6，则=23，=2V6, 所以 E [V3,2V3] 所以tanL =-≤0=20 D 【变式4-1】(24-25高一下.重庆渝北·期中)在长方体 -1111中，1=2,1和1与底面所成 的角分别为30°和45°，则异面直线1与BD所成角的余弦值为() A.号 B.9 C. D.v 4 第30页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、线面角的概念及辨析 【分析】由题可得=2√3， =2,又/11，则∠11就是异面直线1与BD所成角或其补角， 利用余弦定理推理求余弦值即可. 【详解】 D D 如图，因为1和1与底面所成的角分别为30°和45°， 所以41=30,41 =45°，又1=2， 则tan乙1 =1=1=5=23, 3 tan∠1 =1=1台=2， 在长方体 -1111中， 1/11 所以∠11就是异面直线1与BD所成角或其补角， 又1=V4+4=2V2,11=V4+12=4,1=V4+12=4, 由余弦定理，c0sL11=46= 2×2V2×4 4 故选：B 【变式4-2】(24-25高一下.浙江宁波期末)在正方体 一1111中是棱的中点， 是四边形 11内一点（包含边），则直线与平面11所成角的正弦值取值范围是() A. B.竖 c D..1] 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】因为点到平面11的距离是定值，所以线面角的取值范围，转化为求 的范围，利用数形结 合，即可求解 【详解】如图，设正方体棱长为2,1平面11，当点是靠近点的四等分点时， 则⊥平面 11,此时直线与平面 11所成角的正弦值最大为1， 当点与1重合时，此时最长，即 1= 2+2+=3,点到平面11的距离为年=气 第31页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时直线 即1与平面 所成角的正弦值最小，为=】 所以直线 与平面 1所成角的正玻值取值范围是侣 D D M 故选：D 【变式4-3】(24-25高一下江苏月考)如图，在正四棱锥一中，==2，为棱的中点， 则直线与平面所成角的正弦值() D A号 B. 34 34 C. 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】连接交于点，连接，过点作上于点，连接，证明⊥平面 ,推得∠ 为直线与平面 所成角，解三角形即得答案， 【详解】 D E B 如图，在正四棱锥 中，连接交于点，连接，则⊥平面， 过点作上于点，连接，因c平面 因∩=，，c平面，故⊥平面 故上为直线与平面 所成角： 因==2，为棱的中点， 则 = 2 =3,=}=号x2=号 4 21 第32页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故sinz =一= 故选：C 【变式4-4】(23-24高一下.安徽月考)已知正方体 -1111的体对角线1垂直于平面，直线 与平面所成角为60°，在正方体 一1111绕体对角线1旋转的过程中，记BC与直线所成的最 小角为，则cos=() A B.3+v6 C.32-v3 D.32+v3 6 6 6 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正方体的几何性质，作出1⊥平面11，找到线线角的平面角，即可求解 【详解】如图所示，连接1，交平面11于点· D B A D A B 设正方体的棱长为a,根据正方体的性质可得，1⊥平面11， 则平面与平面11平行或重合，在线段上取点P,使∠1=60°， 则1为满足题意的其中一个直线， 正方体 一1111绕体对角线 1旋转的过程可认为是正方体 -1111不动，1绕体对角 线1旋转，∠1=30°， /11,所以BC与直线所成的角即11与直线所成的角， 可得当P在线段1上时，11与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得1=专1=号，则c0c411=号sn411=受 31 所以cos=cos41；-30)=9c0s411+n411=号×9+x9= 2 3 3 6 故选：B 【变式4-5】（多选）(24-25高一下广西柳州期末)在边长为1的正方体ABCD一ABCD1中，下列选项中， 正确的是() A.AC1⊥BD B.B,C与BD所成的角为60° C.A,C与平面ABCD所成的角为45° D.三棱锥A一ABD的外接球半径为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 第33页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】选项A,由上和/11得到11上；选项B,由1/1得到∠1为1和所成 的角，又△1为等边三角形得到1和所成的角为60°：选项C,1⊥平面 得到上1为1 与平面 所成的角，从而得到tan21≠1，则∠1≠45°；选项D,由三棱锥A1-ABD的外接球就 是正方体 一1111的外接球，利用正方体求得三棱锥A1一ABD的外接球的半径 【详解】选项A, 一1111是正方体，÷ 是正方形，·上， /11,111 ,∴选项A正确： D B B 选项B, -1111是正方体，·1/川1，云∠1为1和 所成的角， 又△1 为等边三角形，÷41=60°， 1和所成的角为60°，选项B正确： 选项C, -1111是正方体，“11平面 ∠ 1为1与平面 所成的角， 正方体 -111的棱长为1，=V2, ∴在Rt△ 1中，tan∠ 1=1=1,82 1≠45°，∴选项C错误： 选项D,三棱锥A1一ABD的外接球就是正方体 一1111的外接球， 三棱锥4一4BD的外核球的半径为V+1+=号，选项D正确， 故选：ABD. 【变式4-6】(25-26高一上·湖南邵阳·期末)已知正三棱台 -111的上、下底面边长分别为1和3， 侧棱长为2，点在侧面11内运动（包含边界），且直线与平面11所成角的正切值为V6,则动 点的轨迹长度为 【答案】号 【难度】0.4 【知识点】求线面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面11的距离即可确定点的运动轨迹，进 而可得出答案。 【详解】将正三棱台 一111补全为三棱锥 - 则三棱锥一 为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示设点在侧面 的射影为点，可得=√2-z=√6， 取点为的中点，可求得 =√3， = 21 2 第34页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为△ 的中心， 又：直线 与平面 11所成角的正切值为v6,所以=1， “在等腰梯形 11内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆孤与圆弧， :为△ 的中心， 由对称性可知 1为正六边形，“4=74= 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为×1+×1=答 图（一） 图（二） 故答案为： 强化训练 一、单选题 1.(22-23高一下广东汕尾·期末)已知直线，，和平面，则下列命题正确的是() A.若/1，/I,则/ B.若I,￠，，1，则/ C.若1,1，c,c,则上 D.若上，上，则/ 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，由此确定正确答案。 【详解】A选项，若/，∥，可能C，所以A选项错误. B选项，若Ⅱ，文，￠，/，则/，所以B选项正确 C选项，若⊥，⊥，c,C,当川时，与不一定垂直，所以C选项错误. D选项，若⊥，⊥，可能C,所以D选项错误。 故选：B 2.(24-25高一下北京朝阳期末)如图，在四面体-中，1,1,1且 D为四面体一外一点，要使上，需要添加的条件是() A B. D. 第35页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取的中点，连接，证明出⊥平面 ,要使上，其中∈平面 ,故需∈平 面 ,只需上，又为的中点，故=时，满足要求。 【详解】取的中点，连接， 因为=，所以上， 因为1,1,0 c平面 所以⊥平面，又c平面，所以⊥， 因为∩ =,,c平面 ,所以⊥平面， 要使上，其中∈平面 ,故需∈平面， 连接，则c平面，故只需上， 又为的中点，故=时，满足要求 B 故选：C 3.(2025高一.全国.专题练习)已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为 () A B.3 4 C.3 3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、求线面角 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的结构特征及线面角的定义求解， 【详解】如图，在正三棱锥-中，设=1，则=2， B 顶点在底面 上的射影为正△ 的中心，∠即为侧棱 与底面 所成的角， 第36页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此 -x1×5=, v3 3 2 F3,c0s∠ 6 所以侧棱与底面所成角的余弦值为。 故选：A 4.(24-25高一下，全国·随堂练习)线段AB的端点A,B到平面的距离分别是30cm和50cm,则线段AB的 中点P到平面的距离为() A.40cm B.10cm C.80cm D.40cm或10cm 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【分析】根据A,B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可. 【详解】当A,B在平面同侧时，如图所示：设1,1，⊥，=30，=50， 显然/川，由梯形中位线定理可知：=十 =0450=40， 2 a 当A,B在平面异侧时，如图所示：设1,1,1，=30，=50， B 则有 1/川，且 由平行线成比例定理可知中： -=-→四=-(0，-=-→0=-→0=-（②）， 2)-1),得20==+(-1=2→=10， 故选：D 5.(24-25高一下·广东惠州月考)已知正方体 一1111中，E,F分别为所在线段的中点，则满足1 的图形为() A B 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 第37页共53页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【分析】设1= ==2,根据正方体的结构特征，应用线面垂直的性质及判定、反证思想判定各项 的正误。 【详解】正方体 -1111中，设1== =2,E,F分别为所在线段的中点， 对于A,因为1⊥底面ABCD,又C平面ABCD,所以1⊥， 若上，又1n=且都在平面11内，则1平面11， 又c平面11，所以上，显然上不成立， 因而⊥不成立，故A错误： 对于B,同A分析，若⊥，得1，所以⊥，显然不成立， 因而⊥不成立，故B错误： 对于C,连接AF,EF,如下图所示： 因为⊥平面ABCD, C平面ABCD,所以⊥ 若上，因为n=且都在平面AEF内，所以1平面AEF, 由 C平面AEF,所以⊥，则∠=∠ =显然不成立， 因而上不成立，故C错误： D B E A D 对于D,取BC的中点G,连接AG,EG,如下图所示： 因为1平面 c平面 ,所以上， 又因为二一=克可得上 =∠，又因为∠ =∠ 所以上，∩=且都在平面内，所以 1平面 由c平面，所以1，故D正确. 故选：D 6.(23-24高一下.安微宿州期末)在正方体 -1111中，E,F,G分别为BC,1,1的中点， 则() D B G D B A.直线1与直线AF垂直 B.直线1与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形D.点C和点G到平面AEF的距离相等 第38页共53页 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行、证明线面垂直、求点面距离 【分析】对于A,假设直线1与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾： 对于B,11的中点，连接1，，利用面面平行的判定可得平面1/平面 ,再由面面平行的性 可得结论： 对于C,连接1，1，延长1，交于，可得，，，四点共面，从而可得截面判断即可； 对于D,记点C与点G到平面的距离分别为h1,2,然后分别利用等体积法求解判断即可. 【详解】对于A,若1⊥，因为1⊥平面 c平面 所以11，因为n=，,c平面，所以11平面 因为c平面，所以1上，因为1/1，所以1上， 这不成立，所以假设错误，所以A错误， 对于B,11的中点，连接1，，1，，因为E,,G分别为，1 1的中点， 所以1∥1，∥1/ 1,=1,所以/， 因为1∥1”1=1，所以1/ =1 所以四边形1为平行四边形，所以1/ 因为1， 文平面 ，，c平面，所以1/平面 ， /平面 因为1，c平面1,1n=，所以平面1 /平面 因为1c平面1，所以1/平面 ,所以B正确. 对于C,如图所示，连接1,1，延长1，交于， 由选项可知/y=专，因为1∥1”1= 所以 /11, =专所以，，四点共面，所以梯形 1为截面，所以C错误 对于D,记点C与点G到平面的距离分别为h1,h2,假设正方体边长为1. 因为- 有△h=-=xx××1=录 1 1 3△ ·h2=- =xx1××1=立所以：≠，所以D错误。 32 故选：B 7.（23-24高一下·吉林通化期末)在三棱柱 -111中，11平面，==2， =120° 是棱上的动点，直线1与平面 所成角的最大值是45°，点在底面 内，且1=V2,则点的轨 迹长是() A. B. c.智 D.2π 第39页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、由线面角的大小求值 【分析】连接，则上1为直线1与平面所成角，从而得到tan上1 =工，所以当取最小值 时上1取得最大值，求出的最小值，即可求出1，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以 为圆心，1为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为上 =受即可求出轨迹长。 【详解】连接，因为1⊥平面，所以21为直线1与平面 所成角， 所以tan21=二，又直线1与平面所成角的最大值是45， 所以(tan∠1)max=1,当且仅当取最小值时z1取得最大值， 因为 =2,∠ =120°，所以当上时取最小值，此时 =2sin30°=1， 所以1=1， 又点在底面 内，且1=√2，连接 因为11平面 c平面 ，所以1上， 所以 =V12-12-(22-12=1, 所以点在以为圆心，1为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为∠ =120*=9 所以点的轨迹长为号×1=号 故选：B A B B 8.（2025河北秦皇岛三模)己知球是正三棱锥一的外接球，△是边长为v3的正三角形， =V5, 为边上的一点，且与平面 所成角的正切值为9若过点的球的截面面积为品。，则 与该截面 所成的角为() A.2 B.3 C.4 D.6 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】作1平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的 截面性质求解， 【详解】如图，作⊥平面，垂足为，则是正三角形 的中心， 因为===V3，===5, 第40页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以=1，则 =√2-z=V5-1=2, 所以上为与平面 所成角，故aL=一=2=，&=号 41 C 设正三棱锥外接球的半径为，则2-2-P+1,得= 所以 -=2-；=景故 =V2+2= +=1 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， 搭=π2，则2=治 所以 2-2=--=品=则 =3 2 所以与该截面所成角为∠，故sin∠ 3 三一= 2 =子即与该截面所成角为号 故选：B E 二、多选题 9.(24-25高一下·云南丽江·月考)在正三棱柱一111中，为中点，则下列命题错误的是() A. ⊥1 B.11平面1 C. 1/平面 1 D./11 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A,B和D,利用正三棱柱的性质，逐一分析判断，即可求解，对于C,利用线面平行的判定 定理，即可求解 【详解】对于A,由题知上，若上1，又n1=，,1c面1， 所以1面1，又1c面1，则上1，与1上相矛盾，所以与1不垂直，故A符合 第41页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题意， 对于选项B,若1⊥平面1，又1c面1，则1上1， 又1/1，则111，显然1与1不垂直，所以1与平面1不垂直，故B符合题意， 对于选项C,因为1/1又1c面1,1女面1，所以/平面1，故C不合题意， 对于选项D,因为111，若/11，则/，显然不正确，故D符合题意， B 故选：ABD. 10.(22-23高一下·广西北海期末)如图，在棱长为1的正方体 -1111中，点是线段1上的一 点，则下列说法正确的是() A.直线与平面11所成的角为定值 B. /平面1 C.三棱锥1- 的体积为定值 D.直线1与直线所成的角为定值 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的概念及辨析、判断线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】由分别在或1时，直线与平面1所成角不同，可判定A错误；利用线面平行的判定定 理，证得/平面11，可判定B正确：证得1/平面1，得到点到平面1的距离为定值，可 判定C正确：利用线面垂直的判定定理，证得1⊥平面11，进而得到1上，可判定D正确， 【详解】对于A中，当分别在或时，显然直线与平面11所成角不同，所以A错误： 对于B中，平面1即为平面11 又为升，且￠平面11， c平面11，所以/平面11，所以B正确： 对于C中，因为1/1,1女平面1,1c平面1，所以1/平面1，所以点到平面1 的距离为定值，所以三棱锥1一 的体积为定值，所以C正确： 对于D中，在正方形11中，可得1上1， 在正方体 -1111中，1平面11w 第42页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为：1c平面 11,所以11 又因为1n =,且1，c平面11，所以11平面11 因为。c平面1 1,所以1上，所以D正确 故选：BCD A B, 11.(24-25高一下江苏扬州月考)如图，正方体 一1111的棱长为2，，，分别为棱，1 1的中点，则下述结论中正确的是() 0 B A.直线到平面1 1的距离为2 B.直线与直线1的夹角的余弦值为号 C.点与点到平面 的距离之比为1：2 D.平面 截正方体所得截面面积为9 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求点面距离、求直线与平面的距离、线面平行的性质 【分析】对于A,由平面11与平面11的距离可得线面距离，根据正方体的特征即可判定；对于B, 利用平行线将异面直线夹角转化为平面中两线夹角，解三角形即可：对于C,利用体积转化计算两点到面的 距离之比即可；对于D,利用1/∥得出截面图形，根据几何性质计算即可得其面积. 【详解】对于A,平面1 1/平面11，c平面1 1 ∴直线到平面1 1的距离即平面11与平面11的距离， 由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确： 对于B,如图，取11的中点，取11的中点，连接，1，易证1/∥1/， D M ·上1或其补角是直线 与直线1的夹角， 1=1=V5, 6,cs2121=故B正确： 第43页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C,记点与点到平面 的距离分别为1、2， =3△·1= 凶×2= =X 32 =3△·2= =×2×2=影 2 ·1:2=1:2,即点与点到平面的距离之比为1：2，故C正确： 对于D,连接1、 1,易证/升/，即、1、、 四点共面， ·平面 截正方体所得截面为梯形1，如图作上1，垂足为， D 1==V5, =2, 1=22, =V5⑤2- (- 2 ，,=(2+2回9=》故D错误。 故答案为：ABC 三、填空题 12.（22-23高一下·陕西西安·月考)在四棱锥- 中，所有侧棱长都为4v2,底面是边长为2√6的正方 形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为 【答案】60 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面是否垂直 【分析】取的中点为，连接，，利用中位线性质得川，则异面直线夹角转化为求上，再 利用勾股定理求出相关线段长，最后求出tan2 即可得到答案 【详解】由题意可知底面 是边长为2V6的正方形，所有侧棱长都为4V2 则四棱锥一 为正四棱锥，为正方形的中心 取的中点为，连接，，又因为M是PC的中点，则/ B 则上 即为所求，因为⊥平面，所以1平面 则 =G)+)=压， -}-3V2-z=V5,则tanz =一==3， 因为0°≤∠≤90°，所以∠ =60° 第44页共53页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：60° 13.（23-24高一下.浙江杭州·期中)如图所示，在棱长为的正方体 -1111中，点是平面11 内的动点，满足1=石，则直线1与平面11所成角正切值的最大值为 D B D 【答案)9 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求线面角、证明线面垂直 【分析】在正方体 -1111上“堆叠”一个与之全等的正方体1111-2222，连接12 12”设1在平面11的射影为1连接2，则212即为直线1与平面11所成角，1在平面 211上的射影为2，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解。 【详解】如图所示， 在正方体 一1111上“堆叠”一个与之全等的正方体1111~2222： 连接12、12”易知四边形211是菱形， 设1在平面11的射影为1， 由正三棱锥1一11可知，点1是△11的外心， 1=1=11=厄，则△1=x×迈P-(受P=92, 11=-11”得衡×号3.11=×分×3 由 所以11=兽，再结合1=9，得1=-12-12-9 4 12 从而的轨迹是（平面11上）以为圆心，=受为半径的圆，记为腿1 同理，1在平面211（即平面11）上的射影2为△211的外心， 连接2，则1在平面11上的射影为2， 进而∠12即为直线1与平面11所成角，记L12=, 则a=兰，其中12=11=誓为定值， 2 而对于2，由圆的几何知识可知，当运动到线段12111且与圆1相交时， 2取得最小值，记11！相交于Q,易知1=2=2×号x=普， 则2=12=9-治=9 第45页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 此时tan取得最大值为名 =22 3 故答案为：2 3 D C B2 D C》 A B D B 14.(23-24高一下·福建漳州期末)二面角--为，∈，∈，、为线段的三等分点，且=2V2, 到的距离为若为平面内一动点，则上 最大时，cos∠ 的值为 【答案】 【难度】0.15 【知识点】正弦定理解三角形、求点面距离、求二面角 【分析】本题可等价于在平面内的一个动点与两个定点，间的线段，形成的夹角4最大时， sin∠ 取得最大值，点一定在在平面内的投影线上，根据正弦定理结合三角形外接圆，计算即可得 出结果 【详解】由题意 =2VW2,到的距离为5， 过点作 上交于，则=， 3 =V2-7=2￥6 过点作上交于，连接，如图所示， B >D B 因为上，且 c,所以⊥， 又因为上，且n=,c平面，c平面， 所以⊥平面 因为c平面 所以1，且上， 第46页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以上 为二面角 --,则 在△ 中，由正弦定理得 in∠ =×9=2 3 所以 =√2-z= V-4 2v3 3 在△ 中， =V2+Z= +号=2 所以 2+ 2=2,所以△ 为等腰直角三角形 因为点在内，要使得上 最大，则点离的距离越小， 故上最大时，点一定在 在平面内的投影线上， 且上，则即为在平面内的投影线，故点在上. 如图所示， -9在△ 中，由正弦定理得上一=2， B 则sinL =其中为公 的外接圆半径， 要使得∠ 最大，则最小，故外接圆与相切时，半径最小，则上， 所以由相似三角形得一=一→2= 一则- 所以sinL 3 =草所以cosL 2 故答案为：号 四、解答题 15.（23-24高一下.江西赣州·期末)如图，在四棱锥- 中，四边形 是边长为4的正方形，1 平面，与平面 所成角为 ,为线段上的点。 (1)若为线段的中点，证明： /平面 ; 第47页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥- 的体积 【答案】(1证明见解析：(2号 【难度】0.85 【知识点】由线面角的大小求值、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】(1)根据线线平行可证线面垂直； (2)利用转化法可得三棱锥体积. 【详解】(1)连接∩=，连接，则为中点， D 又：为中点，·/ 又，c平面，￠平面 ,/平面 (2)”1平面 。与平面 所成角得平面角为∠ = =4, 所以点到平面 的距离h=号=子 - 39 16.（24-25高一下.安徽月考)如图，在四棱锥- 中，底面 是边长为2的正方形，且=2， 1平面 ，Q为棱的中点。 P B (1)求证：1； (2)求点P到平面 的距离； (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】证明见解析：2，(3明 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角 第48页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可. (2)求出平面 的法向量，结合点到平面的距离的向量表示即可得解， (3)利用平面的法向量和，再利用向量法求线面角的正弦值即可得解 【详解】(1)因为1平面，底面 是正方形，即上， 故以点为原点，以向量，，为，，轴的方向向量，建立空间直角坐标系， B 则(0,0,0)， (0,2,0),(2,0,0),(0,0,2), (2,2,0), (0,1,1), 故 =(0,1,1), =(2,2,-2), 则 =(2,2,-2)·(0,1,1)=0,则1，则 (2)=(2,2,0),设平面 的法向量为=(，，)，则 ·=2+2=0 ·=+=0 令=1，则=-1，=1，故=(1，-1,1)， 因为=(0,0,2)，平面 的法向量为=(1，-1,1)， 所以点到平面 的距离为=10+0+2=23 31 (3)设直线 与平面 所成角为(0<<)》： 所以， = +币而= 12-2-2 2 所以直线与平面 所成角的正弦值为号 17.(25-26高一下福建莆田·期中)如图，三棱柱一111中，侧面11,11均为菱形，1=2， 1=∠ 1=60,为AB的中点. A B (1)求证： 1/平面 19 (2)若∠ =60°，求直线1与平面11所成角的大小 【答案】(1)证明见解析； 第49页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】(1)连接1，与1交于点，连结，由平面几何知识可证得1/，再由线面平行的判定 可得证： (2)由已知可得 上1，上1,1=1，再由线面垂直的判定可得 1平面11，即得21 即为直线1与平面11所成的角，解三角形即可求得其大小， 【详解】(1) 1,与1交于点，连接 , 四边形11是平行四边形，为1的中点， 为的中点，得1/，又c平面1,1￠平面1， 故1/平面 1 A (2)由1==2,1==2，且为1,1的中点， 得11 11,1=1 又1,1为平面11内两条相交直线， 得1平面11，故L1即为直线1与平面11所成的角： 由2 =60°，==2， =2,得四边形11为菱形， 又1=1，故四边形11为正方形，1=22， 则△ 1为等腰直角三角形，且∠1=2故L1=? 因此直线1与平面11所成角为号 B B 18.（23-24高一下·湖北武汉·期末)（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱-中，侧面 ABCD为矩形. 第50页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D. (1)若 ⊥面ABCD, 2 =2,求证：1： (2)若二面角 的大小为， ∈B,引，且=2 ·cos),设直线BD和平面QCB所成角为， 求sin的最大值 【答案】(1)证明见解析 源 【难度】0.4 【知识点】半角公式、基本不等式求和的最小值、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】(1)问题转化为证明1平面，即证明1和1,1转化为证明⊥平面 而上 则只需证明△ ~△ (2)作出二面角--的平面角以及直线 与平面 所成的角，列出sin的表达式，最后把问题转 化为函数最值问题 【详解】(1)因为1平面 c平面 ,所以⊥ 又上，n=,,c平面 ,所以⊥平面 又c平面 ,所以⊥，在Rt△ 中，：=2 =V3, 2 则 =√6， =3,所以=2，=1，由一=一，∠=∠，所以△ △ 所以 上，又因为上 ，n=,,c平面 所以1平面 ,又因为c平面，所以⊥. (2) 在平面 中，过点作⊥，因为 为矩形，所以上， 所以上 为二面角-一的平面角，且∠ 又n =，,C平面 ，所以⊥平面，在平面中，过点作上，垂足为，连 接 因为：1平面 ,C平面 ,所以上，又n=,,c平面 ,所以⊥平面 第51页共53页 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以∠ 为直线与平面 所成的角，即∠ =,=sin,又因为=2 ·cos2 所以sin sin 三一三 sin sin √1+4cos2 由 ∈可得cos cos2∈o引 设=3+2cos，∈[V2,V3+V2, 2 则cos= 2,sin =1-cos2 （2-3) 41 所以sin (2-3)2 (2+)+6 ≤ -25+6=5-1 4 4 4 2 当且仅当2=V5时等号，所以sm的最大值为号 19.(23-24高一下.湖北武汉期末)如图所示，在三棱锥一中，1,1. (1)证明： ⊥； (2)若△ 是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为2 .试问直线OB与平面ABC所成夹角 是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由； (3)在(2)的条件下，取OB中点为P,并取一点Q使得=(0<<1).当直线PQ与平面ABC所 成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 29 昵 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】(1)过作⊥平面于点，利用线面垂直的性质和判定定理即可证明： (2)找到线面角即为上，再利用勾股定理和余弦性质即可： (3)首先利用线面角定义证明和重合时，直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大，再证明该四面体 为正四面体，最后利用余弦定理即可 【详解】(1)过作1平面于点，延长交于点， 延长交于点，c平面， 第52页共53页 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则 =，，C平面 则1平面 ,c平面 同理由上可证明上，“为△ 的垂心，·上 因为1平面 ,c平面 又 c平面 ,则⊥平面 c平面 (2) 1平面，则直线与平面 所成的角即为上， △ 为等边三角形，边长为2， 则 =号×2×受= 3,=26 =+-2, 2v3 所以直线OB与平面ABC所成夹角是定值，且cOSL = 2 31 直线OB与平面4BC所成夹角的余弦值为号 (3)取的中点，连和， :为的中点x/ 31 :1平面 , ⊥平面 6 即为直线与平面 所成角tan2 =一=三最大时，即最小 由题意知≥，则最小时，和重合时， 取中点，连接 ，，，则川，2 即为异面直线与所成的角， 在△ 中， 2,< =30°，=2， 由余弦定理得 -2+(9-2x2××-号 同(2)中 的求法可得 = =2,结合底面是为2的等边三角形， 则该四棱锥为正四面体，则 =V3, 又△中， =号，则由余弦定理得c0s4 2×5 M 第53页共53页函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4-4线面垂直讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01线面角 题型01判断线面垂直 4-5线面垂直 题型02证明线面垂直 题型03点、直线到平面的距离 知识点02线线、线面垂直 题型04线面角 知识点03点、直线到平面的距离 教学目标、教学重难点 教学目标 理解掌握线面垂直的判定与性质，掌握线面角，点面距离的求法 教学重点 线面垂直的判定与性质，线面角，点面距离的求法 教学难点 线面角，点面距离的求法。 知识清单 知识点01线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线a,b,经过空间任一点0分别作直线a'∥a,b∥b,我们把直线a', b所成的角叫做异面直线a,b所成的角. 2.空间两条直线所成角的取值范围是[0°，90] 【即学即练1-1】(24-25高一下·浙江杭州期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，己知AB=2,BC=BB1=1, 则直线A1B与平面A1B1CD所成角的正弦值为() A.月 B. c.9 © 【即学即练1-2】（多选）(24-25高一下…重庆期中)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的 中点，直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是() A.直线BC1与直线CD1所成角为60° B.A1C1平面C1BD C.MO、C1三点共线 D.直线A1C1与平面ABC1D1所成角的为 0 知识点02线线、线面垂直 (一)线线垂直 第1页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.两条异面直线互相垂直的定义： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直 特殊图形 平行四边形：菱形、矩形、正方形 (特殊三角形：等腰（等边）三角形…取中点 〔正余弦定理 2.线线垂直{边角关系 勾股（逆）定理 线面垂直的定义 、面面垂直的性质 (二)线面垂直 1.线面垂直的定义：如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直. 2.线面垂直定义的推论：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线， 3.线面垂直判定定理（线线垂直→线面垂直）： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 4.线面垂直性质定理： (1)垂直于同一个平面的两条直线平行 (2)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面！ 【即学即练2-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)设l,m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题 正确的是() A.若l1m,mca,则l1a B.若l1,lⅡm,则m1a C.若l1m,lⅡax,则mⅡa D.若la,LⅡm,则mⅡa 【即学即练2-2】（多选）(25-26高一下.全国·课后作业)设a、b为两条直线，心、B为两个平面，aca,anB=b, 下列说法正确的是( ) A.若a/b,则a/B B.若a1b,则a1B C.若a/1B,则a//b D.若a1B,则a1b 知识点03点、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于己知平面的直线，则该 点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离。 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离， 【即学即练3-1】(23-24高二上山东潍坊·期中)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点A到平面 A1BCD1的距离为() A.V2 B.2V2 C.1 D.2 【即学即练3-2】（多选）(22-23高一下，云南昭通期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 第2页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M,N分别是BC1,CD1的中点，则下列说法正确的是() D D B A.N与AD所成夹角为 B.MN⊥CC1 C.MN⊥AC D.点C到平面ABM的距离为号 题型精讲 题型01判断线面垂直 【典例1-1】(20-21高一下·全国单元测试)垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是() A.垂直 B.相交但不垂直 C.平行 D.不确定 【典例1-2】(24-25高一下.江苏南通·月考)已知直线a,bc平面a,1为直线，则“11α，11b"是"L1a"的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【典例1-3】（多选）（24-25高一下.贵州六盘水期末)若α，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项 为真命题的是() A.若a/b,bca,则a/a B.若a⊥a,a//b,则b1a C.若a⊥a,b1,则a/b D.若a/a,bca,则a/b 【典例1-4】(25-26高一下.全国课后作业)若a,b表示直线，表示平面，下列命题中正确的有」 (填 序号). ①a1a,b/a→a1b:②a1a,a1b→b/a:③a/a,a1b→b1:④a1a,b1→a/b: ⑤a1,a/b→b1a. 【变式1-1】(21-22高一下·全国·课后作业)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与直线BB1垂直的面 的个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-2】(25-26高一下.浙江宁波期中)已知P为空间中一点，，n,1为互不相同的直线，α，B,y为 互不相同的平面，则下列推理中正确的是() 第3页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.P∈a,P∈B→anB=P B.llm,mla→lla C.a1y,B1y,anB=l→l1Y D.IIm,IIn,mca,nca=lla 【变式1-3】(24-25高一下北京西城期末)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=V2,AA1=AD=1.给 出下列四个结论： ①AC11BD;②A1C1B1D:③A1DI平面ABD1:④AB1⊥平面A1BD. 其中正确的结论是() A.①③ B.②③ c.①④ D.②④ 【变式1-4】(25-26高一下.福建福州，期中)已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，下列命 题中为真命题的是() A.若m/a,n/a,则m/m B.若m//n,nca,则m//a C.若a/B,m1a,n/B,则m1n D.若m//a,mLn,则n⊥a 【变式1-5】（多选）(25-26高一下·全国课后作业)下列说法中，错误的是() A.如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B.如果直线1不垂直于平面，则平面a内不存在与1垂直的直线 C.如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D.如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【变式1-6】(25-26高一下·全国课堂例题)设l,m,n为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若l1a,则l与相交： ②若mca,nca,l1m,L1n,则l1a. 其中正确的说法的序号为 题型02证明线面垂直 【典例2-1】(23-24高一下四川成都期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别为线段AC 和线段A1B的中点，求直线N与平面A1B1BA所成角为() D M A.60 B.45° C.30 D.75° 【典例2-2K25-26高一下·全国·课堂例题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作ME1 第4页共15页 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB于E,则() A.MEI平面AC B.MEC平面AC C.ME/平面AC D.以上都有可能 【典例2-3】（多选）(25-26高一上河北石家庄·开学考试)如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别 是A1D,BD1的中点，则不正确的是() D A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN/平面ABCD; B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN1平面BDD1B1: C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD; D.直线A1D与直线D1B异面，直线MNI平面BDD1B1: 【典例2-4】(2026高一全国.专题练习)如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱BC 的中点，点F是棱CD上的动点，则点F为时D1E⊥平面AB1F. 【变式2-1】(22-23高一下陕西宝鸡月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BD1与直线A1D所成角的 大小为() A.90° B.60° C.45° D.30° 【变式2-2(23-24高一下·北京·期末)如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作ED1AC 于D.把△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，连结A,C.翻折过程中，有下列三个结论： 】 B ①DE1A1C:②存在某个位置，使A1E1BE;③若CF=2FA,则BF的长是定值. 其中所有正确结论的编号是() A.① B.①② c.②③ D.①③ 第5页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式23】(25-26高一下-全国课后作业)在平行四边形ABCD中，AD=3,AC=4,c0s∠ADC=号，现将 △DAC沿AC折叠至△PAC,使得PB=V34,则AB与平面PBC所成的角的正弦值为() A.君 B岩 c 0. 【变式2-4】(24-25高一下·河南南阳·期末)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB=90°， AC=6V2,BC=CC1=4,P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为() B 3 A.4v5 B.234 C.8v5 D.2W22 【变式25】（多选）(24-25高一下·辽宁大连·期末)己知正方体ABCD-A1B1C1D1,AB=Qa,且直线AP与直 线CC1夹角为p,则下列说法正确的是() A.若点P在棱CC1上，且tanp=2V2,则PC1=a B.若p=石且点P在面A1B1C1D1上，则点P的轨迹长度为Em 6 C.P是ABCD-A1B1C1D1面上的动点，DP1A1C,则P的轨迹图形面积是5a2 D.点P为截面A1C1B上的动点，DPIA1C,则点P的轨迹长度是V2a 【变式2-6】(24-25高一下·河南南阳·期末)在四棱锥M-ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，MA1平面 ABCD,E,F分别是线段MB,AD的中点.若MA=2AB=2V2,在线段MD上有一点N满足AN1EF,则 AN= 题型03点、直线到平面的距离 【典例3-1】(24-25高一下.江西期末)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点D到平面ACA1的距离 为() A. B.3 C.3v2 D. 【典例3-2】(24-25高一下.浙江宁波·期末)己知长方形ABCD,AB=2,AD=1,将△ACD沿着AC折起得 到三棱锥D一ABC,当点D在底面ABC的投影恰好落在直线AB上时，此时点B到面ACD的距离为() A.3 B.9 C. 0. 第6页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例3-3】（多选）(24-25高下江西宜春.期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是C1D1、DD1的中点，P是线段EF上的一动点，则下列说法正确的是() 0 F D C A B A.BD1⊥AB1 B.过点E、A、C的平面截该正方体所得的截面面积为4V2 C.点P到平面AB,C的距离为定值 D.当直线PC与平面AB1C所成角的正弦值取得最大值时，CP=35 4 【典例3-4】(24-25高一下·天津.月考)如图1，在等腰梯形ABCD中，ABI‖DC,DC=2AB=2BC=2, 点E是线段DC上的一点，且DE=3EC,将△CEB沿BE向上折起，得到四棱锥P-ABED,如图2所示， 则点D到平面PAB的距离的最大值为 D E B 图1 图2 【变式31】(23-24高一下江苏扬州·月考)已知Rt△ABC的直角顶点C在平面a外，ABCa,AC,BC与平面a 所成的角分别为45°，30°，AB=V6,则点C到平面a的距离为() A.V6 B.2W6 C.1 D.2 【变式32(22-23高一下河南商丘·月考)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,若PA1平面ABCD,且PA=1, 则点A到平面PBD的距离为() A C.m 【变式33】(24-25高一下河北邢台·月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则点C到平面BDD1B1 的距离为() A.1 B.V2 C.2W2 D.23 第7页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-4】（24-25高一下·河南·期中)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AD=2AA1=4,E为 棱CD的中点，则异面直线A1D与D1E之间的距离为() D A B A.3 B.V2 c.23 3 D.V3 【变式35】（多选）(24-25高一下.福建莆田·月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，M,N分别 是正方形ABCD,BCC1B,的中心.则下列结论正确的是() A.A1M与D1N是异面直线 B。若P是线段D,M上的动点，则A1P+PN的最小值是 C.B到平面AD1M的距离是号V5 D.过A1,M,N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 【变式36】(24-25高一下·广东期末)多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点.如图所示， 正方体的一个顶点A在平面a内，其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到a的距离分别为1， 2和4，则正方体其余四个顶点到平面a的距离之和为· B D /a 题型04线面角 【典例41】(24-25高一下广西河池月考)如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,AA1=4, 则直线D1B与平面ABCD所成角的正弦值为() D D A. 2w34 B. 34 17 17 C. D.3 34 第8页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例42】（25-26高一下·全国·课后作业)己知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1 与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（) A号 B.0 4 C.② 2 号 【典例43】（多选）(25-26高一下·湖南·期中)己知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，平面a与对角线AC1 垂直，则() A.该正方体的每条棱所在直线与平面a所成角均相等 B.平面α截该正方体所得截面面积的最大值为号 C.直线Bc与平面a内任一直线所成角的正弦值的最小值为9 D.当平面a与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值3√2 【典例44】(25-26高一下·浙江温州·期中)点E是正四面体A-BCD的棱AD上的动点，直线CE与平面ABD 所成角的正切值最大为 【变式41】(24-25高一下·重庆渝北期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2,CD1和A1D与底面所成 的角分别为30°和45°，则异面直线B1C与BD所成角的余弦值为() A号 B.号 c. 【变式42】(24-25高一下·浙江宁波.期末)在正方体ABCD一A1B1C1D1中M是棱AB的中点，N是四边形 ACC1A1内一点（包含边），则直线MN与平面ACC1A1所成角的正弦值取值范围是() A.层 B.原 c.] D. 【变式43】（24-25高一下，江苏月考)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2,E为棱AB的中点， 则直线PE与平面PAC所成角的正弦值() A. 2 8. 34 C. 09 B 【变式44】(23-24高一下.安徽月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线BD1垂直于平面，直线l 与平面所成角为60°，在正方体ABCD-A1B1C1D1绕体对角线BD1旋转的过程中，记BC与直线所成的最 小角为0，则c0s0=() A.36 B.3+6 C.32-v5 D.32+v5 6 6 6 6 第9页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式45】（多选）(24-25高一下·广西柳州期末)在边长为1的正方体ABCD一ABCD1中，下列选项中， 正确的是() A.AC1⊥BD B.BC与BD所成的角为60° C.AC与平面ABCD所成的角为45 D.三棱锥A!一ABD的外接球半径为号 【变式46】(25-26高一上·湖南邵阳·期末)己知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为1和3， 侧棱长为2，点M在侧面BCC1B1内运动（包含边界），且直线AM与平面BCC1B1所成角的正切值为V6,则动 点M的轨迹长度为 强化训练 一、单选题 1.(22-23高一下广东汕尾·期末)已知直线a,b,和平面，则下列命题正确的是() A.若a/b,a/a,则b/a B.若alb,a￠a,b￠，a/a,则b//a C.若l1a,l1b,ac,bc,则l1aD.若a1b,a1a,则b/a 2.(24-25高一下·北京朝阳期末)如图，在四面体C-0AB中，0A10B,0A10C,0B10C且0A=0B, D为四面体C-OAB外一点，要使CD 1 AB,需要添加的条件是() A.CD⊥OC B.CD=OC C.DA=DB D.DA⊥DB 3.(2025高一·全国.专题练习)已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为 (). A号 B.3 4 C. 3 0.9 4.(24-25高一下·全国·随堂练习)线段AB的端点A,B到平面a的距离分别是30cm和50cm,则线段AB的 中点P到平面a的距离为() A.40cm B.10cm C.80cm D.40cm或10cm 第10页共15页 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(24-25高一下广东惠州月考)己知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为所在线段的中点，则满足AE1 BF的图形为() D A B D A B R D 6.（23-24高一下.安徽宿州期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点， 则() D B D B A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形D.点C和点G到平面AEF的距离相等 7.(23-24高一下·吉林通化期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA11平面ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°，D 是棱BC上的动点，直线A1D与平面ABC所成角的最大值是45°，点P在底面ABC内，且A1P=V2,则点P的轨 迹长是() A. B.2π C. D.2π 3 8.(2025河北秦皇岛·三模)已知球0是正三棱锥P一ABC的外接球，△ABC是边长为V3的正三角形，PC=√5： E为AB边上的一点，且PE与平面ABC所成角的正切值为若过点E的球0的截面面积为 ,则0E与该截面 7 所成的角为() A.月 C. 0. 二、多选题 9.(24-25高一下·云南丽江·月考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC中点，则下列命题错误的是() A.AD 1 A C B.B1C1平面AA1D C.CC1/平面AA1D D.AD//AB 10.(22-23高一下广西北海期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是线段CD1上的一 第11页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，则下列说法正确的是() B A. 直线BP与平面ABB1A1所成的角为定值 B.AD//平面A1BP C.三棱锥A1一BPD的体积为定值 D.直线AB1与直线BP所成的角为定值 11.(24-25高一下江苏扬州月考)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别为棱BC,CC1, BB的中点，则下述结论中正确的是() D E B A.直线EF到平面A1ADD1的距离为2 B.直线AE与直线C1G的夹角的余弦值为号 C.点C与点G到平面AEF的距离之比为1：2 D.平面AEF截正方体所得截面面积为9 三、填空题 12.(22-23高一下·陕西西安·月考)在四棱锥P-ABCD中，所有侧棱长都为4W2,底面是边长为2V的正方 形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为 13.(23-24高一下·浙江杭州·期中)如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是平面BA1C1 内的动点，满足B1P=5 ,则直线D1P与平面BA1C1所成角正切值的最大值为 4 D C A B P。 D B 14.(23-24高一下·福建漳州期末)二面角a-1-B为5，AE(,D∈B,B、C为线段AD的三等分点，且AD=2V2, D到的距离为W若P为平面a内一动点，则∠BPC最大时，cOs∠BPC的值为 3 第12页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、解答题 15.(23-24高一下.江西赣州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为4的正方形，PD1 平面ABCD,PC与平面ABCD所成角为号E为线段PA上的点. (1)若E为线段PA的中点，证明：PC/平面BDE; (2)若E为线段PA上靠近A的三等分点，求三棱锥C-BDE的体积. 夕 16.(24-25高一下，安徽·月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA=2, PA1平面ABCD,Q为棱PD的中点. (1)求证：AQ1PC,(2)求点P到平面ACQ的距离；3)求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值. D 第13页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.（25-26高一下，福建莆田·期中)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B,AA1C1C均为菱形，AA1=2, ∠ABB1=∠ACC1=60°，D为AB的中点 (1)求证：AC1/平面CDB1;(2)若∠BAC=60°，求直线AC1与平面BB1C1C所成角的大小， D B 18.（23-24高一下·湖北武汉期末)（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP-BCQ中，侧面 ABCD为矩形. (I)若PD1面ABCD,PD=AD-号CD,NC=2PN,求证：DN1BN, (2)若二面角Q-BC-D的大小为0,0∈臣，且AD=2AB·cos号设直线BD和平面QCB所成角为a, 求sina的最大值. B 第14页共15页 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.（23-24高一下·湖北武汉·期末)如图所示，在三棱锥0-ABC中，OA1BC,OB1AC. (1)证明：OC1AB: 2)若△ABC是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为25， 试问直线OB与平面ABC所成夹角 是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值：若不是请说明理由： (3)在(2)的条件下，取OB中点为P,并取一点Q使得AQ=1AC(0<1<1).当直线PQ与平面ABC所 成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值： 0 第15页共15页 4-4 线面垂直 讲义 教学目标 理解掌握线面垂直的判定与性质，掌握线面角，点面距离的求法. 教学重点 线面垂直的判定与性质，线面角，点面距离的求法. 教学难点 线面角，点面距离的求法. 知识点01 线面角 1.异面直线所成的角定义：已知两异面直线，，经过空间任一点分别作直线∥，∥，我们把直线，所成的角叫做异面直线，所成的角. 2.空间两条直线所成角的取值范围是. 【即学即练1-1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）在长方体中，已知，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求线面角 【分析】先找到平面的垂线BE，则就是直线与面所成的角，再解直角三角形即可. 【详解】如图，设点E为线段的中点，连接. 因为在长方体中，平面， 所以平面，平面，得. 又，且E为线段BC的中点，所以，且平面， 所以平面，故就是直线与面所成的角. 在直角三角形中，，， 所以.故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 【即学即练1-2】(多选)（24-25高一下·重庆·期中）如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】空间中的点共线问题、求异面直线所成的角、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 知识点02 线线、线面垂直 （一） 1.两条异面直线互相垂直的定义： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直. 2. （二） 1.线面垂直的定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直. 2. 线面垂直定义的推论：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线. 3.线面垂直判定定理（线线垂直线面垂直）： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 4.线面垂直性质定理： （1）垂直于同一个平面的两条直线平行. （2）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面. 【即学即练2-1】（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末）设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】根据线面垂直、线面平行的判定和性质对选项逐一判断即可. 【详解】对于选项A：若，那么可能在平面内，所以A错误； 对于选项B：因为，所以，所以B正确； 对于选项C：若，那么可能在平面内，所以C错误； 对于选项D：若，那么可能在平面内，所以D错误. 故选：B. 【即学即练2-2】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）设、为两条直线，、为两个平面，，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】根据线线，线面的平行和垂直关系，即可判断选项. 【详解】A选项：根据线面平行的判断定理，可知A正确； B选项：若，则直线只与平面的一条直线垂直，不满足线面垂直的判断定理， 所以直线不垂直于平面，故B错误； C选项：根据线面平行的性质定理，可知C正确； D选项：若，因为，所以，则，故D正确. 故选：ACD. 知识点03 点、直线到平面的距离 1.点到平面的距离：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离. 2.直线到平面的距离的定义： 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 【即学即练3-1】（23-24高二上·山东潍坊·期中）在棱长为4的正方体中，点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点A到平面的距离为的长，求出答案. 【详解】连接，与相交于点，因为四边形为正方形，所以⊥， 又⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 故点A到平面的距离为的长， 又棱长为4，所以. 故选：B 【即学即练3-2】(多选)（22-23高一下·云南昭通·期末）如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）    A．MN与AD所成夹角为 B． C． D．点C到平面ABM的距离为 【答案】ABC 【难度】0.85 【知识点】求点面距离 【分析】对于A，由M，N都为中点，得出，将“MN与AD所成夹角”转化为“BD与AD所成夹角”，从而得解；对于B，利用线面垂直证明线线垂直，即可得证；对于C，利用平行证明线线垂直即可得证；对于D，等体积法即可求得点到平面的距离. 【详解】对于A，如图，由于N是的中点，所以，N，D三点共线，则N是的中点， 由于M是的中点，所以，故异面直线MN与AD所成夹角为， ∵，，∴，即异面直线MN与AD所成夹角为，A选项正确； 对于B，由于平面ABCD，所以，又由A选项知，，所以，B选项正确； 对于C，由于，又由A选项知，，所以，C选项正确； 对于D，∵，M是的中点，， 根据正方体性质有：∵平面，平面，∴. 设点C到平面ABM的距离为h，∴， 解得，故D错误， 故选：ABC. 题型01 判断线面垂直 【典例1-1】（20-21高一下·全国·单元测试）垂直于梯形两腰的直线与梯形所在的平面的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．不确定 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】判断线面是否垂直 【分析】根据线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】因为梯形的两腰必相交且梯形两底所在的平面为同一平面， 所以由线面垂直的判定定理可得垂直与梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面必垂直. 故选：A 【典例1-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知直线平面，l为直线，则“，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、判断命题的必要不充分条件 【分析】注意与平行这一特殊情况：， ，再结合充要条件分析即可. 【详解】直线平面，则 且， 反之，若，则， ， 所以“，”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【典例1-3】(多选)（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若a，b表示两条直线，表示一个平面，则下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线平行 【分析】根据空间中线线、线面位置关系逐一判断. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，，则与可能平行或异面，故D错误. 故选：BC. 【典例1-4】（25-26高一下·全国·课后作业）若表示直线，表示平面，下列命题中正确的有________（填序号）． ①，；②，；③，；④，；⑤，． 【答案】①④⑤ 【难度】0.84 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【详解】对于①，若，，则，故①正确； 对于②，由，，可以得出 或，故②错误； 对于③，由，，可以得出，,或与相交，故③错误； 对于④，若，，则，故④正确； 对于⑤，若，，则，故⑤正确. 【变式1-1】（21-22高一下·全国·课后作业）在长方体的六个面中，与直线垂直的面的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断线面是否垂直 【分析】根据长方体的结构特征直接判断与直线垂直的面的个数. 【详解】如上图示，仅有平面和平面与直线垂直. 故选：B 【变式1-2】（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知P为空间中一点，m，n，l为互不相同的直线，α，β，γ为互不相同的平面，则下列推理中正确的是（   ） A．， B．， C．，， D．，，， 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断线面平行、判断线面是否垂直、平面的基本性质及辨析 【分析】利用平面基本事实判断A；利用线面平行的判定判断B；利用面面垂直的性质，线面垂直的判定判断C；利用线面垂直的判定判断D． 【详解】对于A：由，，则，两个平面相交于一条直线，而不是一个点，故A错误； 对于B：由，，则可能有，或，故B错误； 对于C：由，，，则，故C正确；     对于D：由，，，，则可能有，或，或，故D错误． 故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·北京西城·期末）在长方体中，，．给出下列四个结论： ①；②；③平面；④平面． 其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】由不成立及直线与平面垂直的性质可判断①，由四边形是正方形可判断②，由线面垂直的判断定理可判断③，由不成立及直线与平面垂直的性质可判断④. 【详解】在长方体中，，， 所以底面是长方形，故不成立， 因为平面，由线面垂直的性质可知与平面不垂直， 因为平面，平面，所以， 因为，所以不成立，故①错误； 因为， 在长方体中，有， 因为平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以，故②正确； 因为，所以， 因为是正方形，所以， 因为，且平面， 所以平面，故③正确； 因为是长方形，所以不成立， 由线面垂直的性质可知，平面不垂直，故④错误； 所以正确的结论是②③. 故选：B 【变式1-4】（25-26高一下·福建福州·期中）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【详解】对于A，由，可得可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，由可得或，故B错误； 对于C，由，可得，又，则有，故C正确； 对于D，当是平面内两条互相垂直的直线，且时，满足，，但，故D错误. 【变式1-5】(多选)（25-26高一下·全国·课后作业）下列说法中，错误的是（   ） A．如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线 B．如果直线l不垂直于平面，则平面内不存在与l垂直的直线 C．如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交 D．如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】判断线面是否垂直、线面关系有关命题的判断 【分析】由线面垂直的定义可知，A正确；利用长方体模型可以构造反例说明BCD错误. 【详解】对于A，由线面垂直的定义可知，故A正确． 对于BCD，有长方体，如图： 直线不垂直于平面，且平面，故B错误； 同时与平面没有交点，故C错误； 是平面的一条垂线，，但平面，故D错误. 故选：BCD. 【变式1-6】（25-26高一下·全国·课堂例题）设，，为三条不同的直线，为一个平面，给出下列说法： ①若，则与相交； ②若，，，，则． 其中正确的说法的序号为____________． 【答案】① 【难度】0.65 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面是否垂直 【分析】根据线面垂直的定义即可判断命题①；根据线面垂直的判定定理即可判断命题②. 【详解】①因为，所以直线垂直于平面内的所有直线，且直线与平面有且仅有1个交点（垂足），所以与相交，故①正确. ②由线面垂直的判定定理可知，如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 题目中未说明和是相交直线，故直线不一定垂直于平面. 故②错误. 故答案为：① 题型02 证明线面垂直 【典例2-1】（23-24高一下·四川成都·期末）如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（    ） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】求线面角、证明线面垂直 【分析】取的中点,连接，证明平面，即得即直线MN与平面所成角，解三角形即得. 【详解】如图，取的中点,连接,因是的中点，故, 又因正方体中，平面,故平面, 即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角， 因是的中点,故,易得，, 即直线MN与平面所成角为. 故选：B. 【典例2-2】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知长方体，在平面上任取一点，作于，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．以上都有可能 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直 【分析】由线面垂直的判定证明即可. 【详解】由于平面，平面平面，且平面平面， 则平面．所以A正确，BCD错误. 故选：A. 【典例2-3】(多选)（25-26高一上·河北石家庄·开学考试）如图，已知正方体，分别是的中点，则不正确的是（    ）    A．直线与直线垂直，直线平面； B．直线与直线平行，直线平面； C．直线与直线相交，直线平面； D．直线与直线异面，直线平面； 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】异面直线的判定、判断线面平行、证明线面垂直 【分析】利用正方体的几何结构特征，结合线面平行和线面垂直的判定与性质，进行判定，即可求解. 【详解】如图所示，连接，因为正方形，且为的中点， 所以点为的中点，又由为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 在正方体中，因为平面，且平面，所以， 又因为正方形，可得，因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，且与不相交， 所以与为异面直线，所以A正确，B、C错误； 在直角中，可得与不垂直，所以与平面不垂直， 因为，所以与平面不垂直，所以D错误. 故选：BCD. 【典例2-4】（2026高一·全国·专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点，则点为______时平面. 【答案】的中点 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、补全线面垂直的条件、线面垂直证明线线垂直 【分析】连接，证明当点是的中点时，平面. 【详解】如图，连接，则， 因为平面，又平面，所以. 又，平面. 所以平面，又平面，所以. 于是若平面，平面，则， 平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面， 平面，所以，所以，，所以， 因为是正方形，是的中点， 所以当且仅当是的中点时，， 即当点是的中点时，平面. 【变式2-1】（22-23高一下·陕西宝鸡·月考）已知正方体中，直线与直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】根据线线垂直证明线面垂直即可得两直线垂直，进而可求解夹角大小. 【详解】由于在正方体中，平面，平面， 所以 ， 又 ，平面， 所以平面，平面,故 ， 所以直线与直线所成角为， 故选：A 【变式2-2】（23-24高一下·北京·期末）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作于D．把沿DE翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论： ①；②存在某个位置，使；③若，则BF的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据翻折可得平面，即可判断①，若，可得，结合即可判断②，过作，根据题意可得，计算边长即可确定③. 【详解】根据题意，，， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故①正确； 若，又E为边AB的中点，所以， 又，，所以， ，故②错误； 过作，所以 则，所以，则， 又，所以， 又，所以，故③正确； 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一下·全国·课后作业）在平行四边形中，，，，现将沿折叠至，使得，则与平面所成的角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、求线面角 【分析】根据余弦定理计算求解，结合线面垂直判定定理得出平面，最后应用线面角的定义结合边长关系得出正弦值即可. 【详解】在中，， 即，解得（舍负），故，可得， 在中，，可得， 等腰中，， 所以中，， 在中，，所以，可得， 因为，，是平面内的相交直线， 所以平面，可得， 在中，，所以，可得， 设点到平面的距离为，则，即，解得， 若与平面所成的角为，则． 故选：B． 【变式2-4】（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，直三棱柱的底面为直角三角形，，，,是上一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】结合图形，沿将翻折至与在同一个平面内，则的长度即的最小值，求出相关边长和角，利用余弦定理求出的长即可. 【详解】 连接，沿将翻折至与在同一个平面内，如图，连接， 则的长度即的最小值. 由题设可知，又，面， 平面，因平面，故. 在平面图形中，因，，则，，， 由余弦定理，可得. 故选：B. 【变式2-5】(多选)（24-25高一下·辽宁大连·期末）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】对A，由题易得，运算得解；对B，由题可得点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，运算得解；对C，由题易证平面，可得点的轨迹图形是，求解判断；对D，由C，可确定点的轨迹得解. 【详解】对于A，如图，点在上，则，所以， 解得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以直线与夹角为， 所以射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在底面内时，， 点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故B正确； 对于C，如图，连接， 由平面，平面，则，又， ，平面，故平面， 平面，所以， 同理，可得，而，平面， 所以平面，因为，所以平面，又是正方体面上的动点， 所以点的轨迹图形是，易知是正三角形，边长为， 所以点的轨迹图形的面积为，故C正确； 对于D，由C可知，平面，又点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为，故D正确. 故选：BCD. 【变式2-6】（24-25高一下·河南南阳·期末）在四棱锥中，底面四边形为正方形，平面，E，F分别是线段，的中点.若，在线段上有一点满足，则_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取的中点，连接，证明平面，得，再证平面，得，继而，利用三角形面积相等，即可求得. 【详解】如图，取的中点，连接，则，. 因为平面ABCD，平面，所以. 又因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面，故平面. 又平面，所以，又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以，所以. 在中，，，则， 由三角形面积相等， . 故答案为：. 题型03 点、直线到平面的距离 【典例3-1】（24-25高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离. 【详解】如图： 连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 【典例3-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知长方形，将沿着折起得到三棱锥，当点在底面的投影恰好落在直线上时，此时点到面的距离为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、求点面距离 【分析】点在底面的投影为，且，由题意求得，设到平面的距离为，利用，可求得点到面的距离. 【详解】作出示意图如图所示，点在底面的投影为，且， 所以平面，又平面，所以平面， 过作于，连接，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，又， 所以，所以，所以， 又， 在中，可得， 在中，， 设到平面的距离为， 由，可得， 所以，解得. 故选：B. 【典例3-3】(多选)（24-25高一下·江西宜春·期末）如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．过点、、的平面截该正方体所得的截面面积为 C．点到平面的距离为定值 D．当直线与平面所成角的正弦值取得最大值时， 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求点面距离、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】证明出平面，结合线面垂直的性质可判断A选项；取的中点，连接、、、，分析可知过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形，计算出其面积，可判断B选项；证明出平面，可判断C选项；分析可知当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，结合等腰三角形三线合一可求出的长，可判断D选项. 【详解】对于A选项，连接、、，    因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以，A正确； 取的中点，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以，且， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，所以过点、、的平面截该正方体所得的截面为梯形， 又，，，同理得， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为点、， 由等腰梯形的几何性质可知， 又因为，，故，故， 在等腰梯形内，因为，，， 故四边形为矩形，故，所以， 故， 故，故B错误； 对于C选项，连接、、、，    因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形，所以， 所以，因为平面，平面，故平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离，为定值，C对； 对于D选项，设点到平面的距离为定值，设直线与平面所成角为， 则，故当取最小值时，即当时，的长取最小值，此时取最大值，    连接、，则，同理可得，， 故当为的中点时，，此时，D错. 故选：AC. 【典例3-4】（24-25高一下·天津·月考）如图1，在等腰梯形ABCD中，，，点E是线段DC上的一点，且，将沿BE向上折起，得到四棱锥，如图2所示，则点到平面的距离的最大值为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求点面距离 【分析】先在等腰梯形中证明，从而可得平面，在平面内过作，垂足为，利用等积法可求点到平面的距离的最大值. 【详解】在等腰梯形中，过作，垂足为，则 由题设，故，故重合，且， 故， 故在四棱锥中，， 而平面，故平面， 设，在平面内过作，垂足为， 连接， 因为平面，故平面平面， 而平面平面，平面，故平面， 而平面，故， 而，故， 又，故， 而， 故 故，当且仅当取等号 . 故到平面的距离最大且最大值为. 故答案为：. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏扬州·月考）已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点面距离、线面角的概念及辨析、由线面角的大小求值 【分析】由题意作出于H，可得，，中勾股定理解得，即为点到平面的距离. 【详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 【变式3-2】（22-23高一下·河南商丘·月考）在矩形ABCD中，，，若平面ABCD，且，则点A到平面PBD的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据题意分析可得平面PAE，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】过点A作于E，连接PE. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又因为，所以平面PAE， 且平面PAE，可得， 由可得，而， 可得， 设点A到平面PBD的距离为h， 由可得，解得. 故选：D. 【变式3-3】（24-25高一下·河北邢台·月考）已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】证明线面垂直、求点面距离 【分析】作出辅助线，证明出平面，找到点到平面的距离即的长，求出答案. 【详解】连接交于点E，    因为四边形为正方形，所以，且为中点， 因为⊥底面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 所以CE的长即为点到平面的距离， 因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得， 所以. 故选：B 【变式3-4】（24-25高一下·河南·期中）如图，长方体中，，E为棱CD的中点，则异面直线与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断面面平行、证明线面垂直、求点面距离、线面垂直证明线线垂直 【分析】如图，做过与的两平行平面，则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 【详解】如图，取AB中点为F，中点为，中点为， 连接. ，则为正方体， 因，四边形为平行四边形， 有，平面，平面，则平面， 同理有平面，，平面， 则平面平面， 则异面直线与之间的距离为两平行平面间距离. 如图连接，由题可得平面ABCD，又平面ABCD， 则DF，又，平面， 则平面，又平面，则 . 又同理可得，结合平面， 则平面，又平面平面，则平面. 则平面间距离，为减去A到平面距离，再减去到平面距离. 设A到平面距离为，到平面距离为 则. 注意到，， 则，同理可得， 又，则平面间距离为， 即异面直线与之间的距离为. 故选：C 【变式3-5】(多选)（24-25高一下·福建莆田·月考）如图，正方体的棱长为1，M，N分别是正方形ABCD，的中心.则下列结论正确的是（   ） A．与是异面直线 B．若P是线段上的动点，则的最小值是 C．到平面的距离是 D．过，M，N三点的平面截该正方体所得的截面是四边形 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、棱台的展开图、异面直线所成的角的概念及辨析、求点面距离 【分析】根据异面直线定义可判断A；将绕着旋转，使得与在同一平面内，然后根据大边对大角可判断B；利用等面积法求解可判断C；利用交线法作出截面可判断D. 【详解】对B，易知，， 将绕着旋转，使得与在同一平面内，如图， 易知，当三点共线时，取得最小值， 因为， 所以，B错误； 对C，记的中点分别为，连接， 由平面，点平面，得平面平面， 又平面平面，在平面内作于， 则平面，则到平面的距离，C正确； 对A，易知是平面的斜线，斜足为， 又平面，且，所以与是异面直线，A正确； 对D，连接，由为正方形的中心，得， 延长与的延长线交于点，过点作直线交分别于， 连接并延长交于，连接，因此四边形是所求截面，D正确. 故选：ACD 【变式3-6】（24-25高一下·广东·期末）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点．如图所示，正方体的一个顶点在平面内，其余顶点在的同侧．正方体上与顶点相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，则正方体其余四个顶点到平面的距离之和为______． 【答案】21 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【分析】由题可得、的中点到平面的距离为3，即、的中点到平面的距离为3，进而可得到平面的距离为6，同理可得、、到平面的距离，即可求解. 【详解】因为、、到平面的距离分别为1、2、4， 所以、的中点到平面的距离为3，即、的中点到平面的距离为3， 所以到平面的距离为6； 同样、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为5； 又、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为3； 所以、的中点到平面的距离为，即、的中点到平面的距离为， 所以到平面的距离为7； 综上，其余四个顶点到平面的距离之和为：. 故答案为：21. 题型04 线面角 【典例4-1】（24-25高一下·广西河池·月考）如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】求线面角 【分析】确定为直线与平面所成的角，在中，解三角形即可. 【详解】因为平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 【典例4-2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则与侧面所成角的正弦值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【详解】如图，取中点，连接， 由题知，又为中点，所以. 又因为侧棱垂直于上下底面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面. 则为与侧面所成的角， 令各棱长为1，则． 【典例4-3】(多选)（25-26高一下·湖南·期中）已知正方体的棱长为1，平面与对角线垂直，则（    ） A．该正方体的每条棱所在直线与平面所成角均相等 B．平面截该正方体所得截面面积的最大值为 C．直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值为 D．当平面与该正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】判断正方体的截面形状、求线面角 【分析】本题需要利用正方体的性质，且当平面位置变化时，平面始终与对角线垂直入手去考虑. 【详解】对于A，因为平面与对角线垂直，又平面， 所以平面与平面平行或重合，而正方体各棱与平面所成角，即为体对角线与正方体各棱所成角的余角， 由正方体的对称性易得体对角线与正方体各棱所成角均相等， 故直线与平面所成角也相等，故A正确； 对于B，当平面沿对角线平行移动时， 只有当平面移动到平面（分别为所在棱的中点）时，面积最大. 又由题易知，六边形为正六边形，可求得， 则平面截此正方体所得截面面积的最大值为，故B错误； 对于C，直线与平面内任一直线所成角的正弦值的最小值， 即为直线与平面所成角的正弦值，不妨取平面为平面，又 ， 故等价于求与平面所成角，设与平面交于点， 因为平面，所以为所求角， ，则，故C正确； 对于D，当平面与正方体各面都有公共点时，截图为六边形，如图阴影部分， ， 同理可得 当平面与正方体各面都有公共点时，其截面多边形的周长为定值，故D正确. 【典例4-4】（25-26高一下·浙江温州·期中）点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求线面角 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 【变式4-1】（24-25高一下·重庆渝北·期中）在长方体中，和与底面所成的角分别为和，则异面直线与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求异面直线所成的角、线面角的概念及辨析 【分析】由题可得，又，则就是异面直线与BD所成角或其补角，利用余弦定理推理求余弦值即可. 【详解】 如图，因为和与底面所成的角分别为和， 所以，又， 则， ， 在长方体中，， 所以就是异面直线与BD所成角或其补角， 又， 由余弦定理，. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）在正方体中是棱的中点，是四边形内一点（包含边），则直线与平面所成角的正弦值取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】因为点到平面的距离是定值，所以线面角的取值范围，转化为求的范围，利用数形结合，即可求解. 【详解】如图，设正方体棱长为2，平面，当点是靠近点的四等分点时，， 则平面，此时直线与平面所成角的正弦值最大为1， 当点与重合时，此时最长，即,点到平面的距离为，此时直线即与平面所成角的正弦值最小，为， 所以直线与平面所成角的正弦值取值范围是.    故选：D 【变式4-3】（24-25高一下·江苏·月考）如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求线面角 【分析】连接交于点，连接，过点作于点，连接，证明平面，推得为直线与平面所成角，解三角形即得答案. 【详解】 如图，在正四棱锥中，连接交于点，连接，则平面， 过点作于点，连接，因平面，则， 因平面，故平面， 故为直线与平面所成角. 因，为棱的中点， 则， 故. 故选：C. 【变式4-4】（23-24高一下·安徽·月考）已知正方体的体对角线垂直于平面，直线与平面所成角为，在正方体绕体对角线旋转的过程中，记BC与直线所成的最小角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求线面角、求异面直线所成的角、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据正方体的几何性质，作出平面，找到线线角的平面角，即可求解. 【详解】如图所示，连接，交平面于点. 设正方体的棱长为a，根据正方体的性质可得，平面， 则平面与平面平行或重合，在线段上取点P，使， 则为满足题意的其中一个直线， 正方体绕体对角线旋转的过程可认为是正方体不动，绕体对角线旋转，， ，所以BC与直线所成的角即与直线所成的角， 可得当P在线段上时，与直线所成的角最小， 由正方体的性质可得，则， 所以. 故选：B. 【变式4-5】(多选)（24-25高一下·广西柳州·期末）在边长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列选项中，正确的是（  ） A．A1C1⊥BD B．B1C与BD所成的角为60° C．A1C与平面ABCD所成的角为45° D．三棱锥A1—ABD的外接球半径为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角 【分析】选项A，由和得到；选项B，由得到为和所成的角，又为等边三角形得到和所成的角为； 选项C，平面得到为与平面所成的角，从而得到，则；选项D，由三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球，利用正方体求得三棱锥A1—ABD的外接球的半径. 【详解】选项A，是正方体，是正方形，， ，，选项A 正确； 选项B，是正方体，，为和所成的角， 又为等边三角形， ， 和所成的角为，选项B正确； 选项C，是正方体，平面， 为与平面所成的角， 正方体的棱长为1，， 在中， ，，选项C错误； 选项D，三棱锥A1—ABD的外接球就是正方体的外接球， 三棱锥A1—ABD的外接球的半径为，选项D正确. 故选：ABD. 【变式4-6】（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，点在侧面内运动（包含边界），且直线与平面所成角的正切值为，则动点的轨迹长度为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求线面角、立体几何中的轨迹问题 【分析】先将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点到平面的距离即可确定点的运动轨迹，进而可得出答案． 【详解】将正三棱台补全为三棱锥， 则三棱锥为棱长为3的正四面体， 如图（一）所示.设点在侧面的射影为点，可得， 取点为的中点，可求得，，， 为的中心， 又直线与平面所成角的正切值为，所以， 在等腰梯形内（含边界），动点的轨迹为到的距离为1的圆弧与圆弧， 为的中心， 由对称性可知为正六边形， ，， 如图（二）所示，所以动点的轨迹长度为．    故答案为：． 一、单选题 1.（22-23高一下·广东汕尾·期末）已知直线，，和平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】线面关系有关命题的判断、判断线面平行、判断线面是否垂直 【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，由此确定正确答案. 【详解】A选项，若，，可能，所以A选项错误. B选项，若，，，，则，所以B选项正确. C选项，若，，，，当时，与不一定垂直，所以C选项错误. D选项，若，，可能，所以D选项错误. 故选：B 2.（24-25高一下·北京朝阳·期末）如图，在四面体中，，，且，D为四面体外一点，要使，需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】取的中点，连接，证明出平面，要使，其中平面，故需平面，只需，又为的中点，故时，满足要求. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以， 因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 要使，其中平面，故需平面， 连接，则平面，故只需， 又为的中点，故时，满足要求. 故选：C. 3.（2025高一·全国·专题练习）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】正棱锥及其有关计算、求线面角 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的结构特征及线面角的定义求解. 【详解】如图，在正三棱锥中，设，则，    顶点在底面上的射影为正的中心，即为侧棱与底面所成的角， 因此，，所以侧棱与底面所成角的余弦值为. 故选：A 4.（24-25高一下·全国·随堂练习）线段AB的端点A，B到平面的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点P到平面的距离为（    ） A．40cm B．10cm C．80cm D．40cm或10cm 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求点面距离 【分析】根据A，B是否在平面的同一侧分类讨论进行求解即可. 【详解】当A，B在平面同侧时，如图所示：设，， 显然，由梯形中位线定理可知：，    当A，B在平面异侧时，如图所示：设，，    则有，且， 由平行线成比例定理可知中： ， ，得， 故选：D. 5.（24-25高一下·广东惠州·月考）已知正方体中，E，F分别为所在线段的中点，则满足的图形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断线面是否垂直 【分析】设，根据正方体的结构特征，应用线面垂直的性质及判定、反证思想判定各项的正误. 【详解】正方体中，设，E，F分别为所在线段的中点， 对于A，因为底面ABCD，又平面ABCD，所以， 若，又且都在平面内，则平面， 又平面，所以，显然不成立， 因而不成立，故A错误； 对于B，同A分析，若，得，所以，显然不成立， 因而不成立，故B错误； 对于C，连接AF，EF，如下图所示： 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 若，因为且都在平面AEF内，所以平面AEF， 由平面AEF，所以，则，显然不成立， 因而不成立，故C错误； 对于D，取BC的中点G，连接AG，EG，如下图所示： 因为平面，平面，所以， 又因为，可得，又因为， 所以且都在平面内，所以平面， 由平面，所以，故D正确． 故选：D 6.（23-24高一下·安徽宿州·期末）在正方体中，E，F，G分别为BC，，的中点，则（    ）    A．直线与直线AF垂直 B．直线与平面AEF平行 C．平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D．点C和点G到平面AEF的距离相等 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】锥体体积的有关计算、判断线面平行、证明线面垂直、求点面距离 【分析】对于A，假设直线与直线垂直，然后进行推理，得出矛盾； 对于B，的中点，连接，利用面面平行的判定可得平面 平面，再由面面平行的性可得结论； 对于C，连接，延长，交于，可得四点共面，从而可得截面判断即可； 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，然后分别利用等体积法求解判断即可. 【详解】对于A，若，因为平面，平面， 所以，因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为 ，所以， 这不成立，所以假设错误，所以A错误. 对于B，的中点，连接，，，因为E，F，G分别为，，的中点， 所以 ， ， ，，所以 ， 因为 ，，所以 ，， 所以四边形为平行四边形，所以 ， 因为平面，平面，所以 平面， 平面， 因为平面，，所以平面 平面， 因为平面，所以 平面，所以B正确． 对于C，如图所示，连接，延长，交于， 由选项可知 ，，因为 ，， 所以 ，，所以四点共面，所以梯形为截面，所以C错误. 对于D，记点C与点G到平面的距离分别为，假设正方体边长为1． 因为， ，所以，所以D错误. 故选：B. 7.（23-24高一下·吉林通化·期末）在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题、由线面角的大小求值 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 8.（2025·河北秦皇岛·三模）已知球是正三棱锥的外接球，是边长为的正三角形，，为边上的一点，且与平面所成角的正切值为.若过点的球的截面面积为，则与该截面所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、求线面角 【分析】作平面，垂足为，由正三棱锥性质求出及外接球的半径，进而求得，利用球的截面性质求解. 【详解】如图，作平面，垂足为，则是正三角形的中心， 因为    ，， 所以，则， 所以为与平面所成角，故，， 设正三棱锥外接球的半径为，则，得， 所以，故， 如图，设过点的球的截面圆的半径为，圆心为，为截面圆上一点， ，则， 所以，则， 所以与该截面所成角为，故， ，即与该截面所成角为. 故选：B. 二、多选题 9.（24-25高一下·云南丽江·月考）在正三棱柱中，为中点，则下列命题错误的是（   ） A． B．平面 C．平面 D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】证明线面平行、判断线面是否垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】对于A，B和D，利用正三棱柱的性质，逐一分析判断，即可求解，对于C，利用线面平行的判定定理，即可求解. 【详解】对于A，由题知，若，又，面， 所以面，又面，则，与相矛盾，所以与不垂直，故A符合题意， 对于选项B，若平面，又面，则， 又，则，显然与不垂直，所以与平面不垂直，故B符合题意， 对于选项C，因为，又面，面，所以平面，故C不合题意， 对于选项D，因为，若，则，显然不正确，故D符合题意，    故选：ABD. 10.（22-23高一下·广西北海·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ）    A．直线与平面所成的角为定值 B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与直线所成的角为定值 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的概念及辨析、判断线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】由分别在或时，直线与平面所成角不同，可判定A错误；利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定B正确；证得平面，得到点到平面的距离为定值，可判定C正确；利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到，可判定D正确. 【详解】对于A中，当分别在或时，显然直线与平面所成角不同，所以A错误； 对于B中，平面即为平面， 又为，且平面，平面，所以平面，所以B正确； 对于C中，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确； 对于D中，在正方形中，可得， 在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以，所以D正确. 故选：BCD.    11.（24-25高一下·江苏扬州·月考）如图，正方体的棱长为2，，，分别为棱，，的中点，则下述结论中正确的是（） A．直线到平面的距离为2 B．直线与直线的夹角的余弦值为 C．点与点到平面的距离之比为 D．平面截正方体所得截面面积为9 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求点面距离、求直线与平面的距离、线面平行的性质 【分析】对于A，由平面与平面的距离可得线面距离，根据正方体的特征即可判定;对于B，利用平行线将异面直线夹角转化为平面中两线夹角，解三角形即可；对于C，利用体积转化计算两点到面的距离之比即可；对于D，利用得出截面图形，根据几何性质计算即可得其面积． 【详解】对于A，平面平面，平面， 直线到平面的距离即平面与平面的距离， 由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确； 对于B，如图，取的中点，取的中点，连接，易证， 或其补角是直线与直线的夹角， ，故B正确； 对于C，记点与点到平面的距离分别为， ，即点与点到平面的距离之比为，故C正确； 对于D，连接，易证，即四点共面， 平面截正方体所得截面为梯形，如图作，垂足为， ，，故D错误． 故答案为：ABC． 三、填空题 12.（22-23高一下·陕西西安·月考）在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求异面直线所成的角、判断线面是否垂直 【分析】取的中点为,连接，利用中位线性质得，则异面直线夹角转化为求，再利用勾股定理求出相关线段长，最后求出即可得到答案. 【详解】由题意可知底面是边长为的正方形,所有侧棱长都为 则四棱锥为正四棱锥,为正方形的中心, 取的中点为,连接，又因为M是PC的中点，则，    则即为所求，因为平面，所以平面,则， ，则， 因为，所以. 故答案为：. 13.（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在棱长为的正方体中，点是平面内的动点，满足，则直线与平面所成角正切值的最大值为__________.    【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求线面角、证明线面垂直 【分析】在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体，连接、，设在平面的射影为，连接，则即为直线与平面所成角，在平面上的射影为，求出点的轨迹，再结合平面几何的性质即可得解． 【详解】如图所示， 在正方体上“堆叠”一个与之全等的正方体， 连接、，易知四边形是菱形， 设在平面的射影为， 由正三棱锥可知，点是△的外心， ，则， 由，得， 所以，再结合，得， 从而的轨迹是（平面上）以为圆心，为半径的圆，记为圆， 同理，在平面（即平面上的射影为的外心， 连接，则在平面上的射影为， 进而即为直线与平面所成角，记， 则，其中为定值， 而对于，由圆的几何知识可知，当运动到线段且与圆相交时， 取得最小值，记相交于Q,易知， 则， 此时取得最大值为． 故答案为：．   14.（23-24高一下·福建漳州·期末）二面角为为线段的三等分点，且，到的距离为.若为平面内一动点，则最大时，的值为__________. 【答案】/ 【难度】0.15 【知识点】正弦定理解三角形、求点面距离、求二面角 【分析】本题可等价于在平面内的一个动点与两个定点间的线段形成的夹角最大时，取得最大值，点一定在在平面内的投影线上，根据正弦定理结合三角形外接圆，计算即可得出结果. 【详解】由题意,到的距离为， 过点作交于，则，, 过点作交于，连接,如图所示， 因为，且，所以， 又因为，且平面,平面, 所以平面, 因为平面, 所以，且， 所以为二面角，则， 在中，由正弦定理得，即, 所以， 在中，， 所以，所以为等腰直角三角形. 因为点在内，要使得最大，则点离的距离越小， 故最大时，点一定在在平面内的投影线上， 且，则即为在平面内的投影线，故点在上. 如图所示，，在中，由正弦定理得, 则，其中为的外接圆半径， 要使得最大，则最小，故外接圆与相切时，半径最小，则, 所以由相似三角形得，则, 所以，故，所以. 故答案为：. 四、解答题 15.（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为的正方形，平面，与平面所成角为，为线段上的点. (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若为线段上靠近的三等分点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【难度】0.85 【知识点】由线面角的大小求值、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据线线平行可证线面垂直； （2）利用转化法可得三棱锥体积. 【详解】（1）连接，连接，则为中点， 又为中点，， 又平面，平面，平面； （2）平面， 与平面所成角得平面角为， ， 所以点到平面的距离， . 16.（24-25高一下·安徽·月考）如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的正方形，且，平面，Q 为棱 的中点. (1)求证: (2)求点 P 到平面 的距离; (3)求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【难度】0.85 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、求线面角 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可. （2）求出平面的法向量，结合点到平面的距离的向量表示即可得解. （3）利用平面的法向量和，再利用向量法求线面角的正弦值即可得解. 【详解】（1）因为平面，底面是正方形，即， 故以点为原点，以向量为轴的方向向量，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 故，， 则，则，则. （2）设平面的法向量为，则， 令，则，故， 因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为. （3）设直线与平面所成角为， 所以，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17.（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 18.（23-24高一下·湖北武汉·期末）（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱中，侧面ABCD为矩形． (1)若面ABCD，，，求证：； (2)若二面角的大小为，，且，设直线BD和平面QCB所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.4 【知识点】半角公式、基本不等式求和的最小值、求线面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）问题转化为证明平面，即证明和，转化为证明平面， 而则只需证明 （2）作出二面角的平面角以及直线与平面所成的角，列出的表达式，最后把问题转化为函数最值问题. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，在中，， 则，，所以，，由，，所以， 所以，又因为，，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2） 在平面中，过点作，因为为矩形，所以， 所以为二面角的平面角，且， 又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成的角，即，，又因为， 所以， 由可得，， 设，， 则，， 所以， 当且仅当时等号，所以的最大值为. 19.（23-24高一下·湖北武汉·期末）如图所示，在三棱锥中，，．    (1)证明：； (2)若是边长为2的等边三角形，点O到平面ABC的距离为．试问直线OB与平面ABC所成夹角是否为定值，若是则求出该夹角的余弦值；若不是请说明理由； (3)在（2）的条件下，取OB中点为P，并取一点Q使得．当直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大时，试求异面直线OQ与PC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）过作平面于点，利用线面垂直的性质和判定定理即可证明； （2）找到线面角即为，再利用勾股定理和余弦性质即可； （3）首先利用线面角定义证明和重合时，直线PQ与平面ABC所成角的正切值最大，再证明该四面体为正四面体，最后利用余弦定理即可. 【详解】（1）过作平面于点，延长交于点， 延长交于点平面， 则，平面， 则平面，平面 ， 同理由可证明为的垂心，， 因为平面，平面,， 又平面，则平面. 平面. （2）平面，则直线与平面所成的角即为， 为等边三角形，边长为2， 则， ， 所以直线OB与平面ABC所成夹角是定值，且， 直线OB与平面ABC所成夹角的余弦值为. （3）取的中点，连和， 为的中点，， 平面平面， 即为直线与平面所成角最大时，即最小. 由题意知，则最小时，和重合时， 取中点，连接，则即为异面直线与所成的角， 在中，， 由余弦定理得， 同（2）中的求法可得，结合底面是为2的等边三角形， 则该四棱锥为正四面体，则， 又中，，则由余弦定理得. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $