专题4-1 空间几何体（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

4-1 空间几何体 讲义 教学目标 掌握基本立体图形的结构特征，斜二测画法. 教学重点 基本立体图形的结构特征，斜二测画法. 教学难点 台体，球. 知识点01 多面体 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台； 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱. (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的多面体叫棱锥. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥. 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台. 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体的六个面中，与平面平行的面有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断图形中的面面关系 【分析】先明确平面在长方体中的位置，再根据长方体相对面平行的性质，找出与它相对的面. 【详解】根据长方体的结构性质，长方体中相对的两个不同平面互相平行，共三组平行对面， 平面是长方体的一个侧面，仅它的对面与它平行， 余四个面都和平面相交(存在公共交线)，不平行. 符合要求的面只有1个. 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一下·全国·课堂例题)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(    ) A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【详解】选项A，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确； 选项B，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确； 选项C，每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥(四面体)，C正确； 选项D，如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误． 知识点02 旋转体 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球. 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱. (1)轴：旋转轴叫圆柱的轴； (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面. (4)母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线. 2.圆锥：以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥. 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台， 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球. (1)半圆的圆心叫球的球心. (2)连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径. (3)连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 【即学即练2-1】(24-25高一下·天津河西·月考)如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是(    )cm．(结果保留根式) A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·新疆伊犁·期中)下列说法中正确的是(   ) A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱和正四棱柱的概念判断B；根据棱台的概念判断C；根据球的概念判断D． 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，正四棱柱的底面是正方形，所以正四棱柱是平行六面体，故B正确； 对于C，根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点． 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD. 知识点03 直观图 1.斜二测画法： (1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点.  (2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的′轴和′轴, 两轴相交于点′，且使或，它们确定的平面表示水平面.  (3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于′轴，长度保持不变. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于′轴, 且长度为原来一半. 2.斜二测画法的直观图与原图面积的关系： 【即学即练3-1】(23-24高一下·天津武清·月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为(   )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法的面积性质即可求解. 【详解】由斜二测画法可知。，又因为， 所以直角的面积为， 根据面积关系，可知原图形的面积为， 故选：A. 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长． 【详解】对于A选项，过点作垂直于轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，故A错误； 对于B选项，由斜二测法可知，故B正确； 对于C选项，作出原图形，可知，，，， 故四边形的面积为，故C正确； 对于D选项，过点作于点， 则，由勾股定理得， 四边形的周长为，故D错误． 题型01 棱柱 【典例1-1】(24-25高一下·四川成都·期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为(   ) A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红色，问题得以解决. 【详解】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有个. 故选：C. 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有(   ) A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】作出图形，在五棱柱中，找出一个端点为的对角线，即可得解. 【详解】如下图所示： 在五棱柱中， 若对角线的一个端点为，则满足条件的对角线为、， 同理可知，有一个端点分别为、、、的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有条. 故选：D. 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·陕西榆林·期中)正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点(含端点)，则的取值可以为(   ) A． B． C． D．5 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将绕翻折至与共平面，当、、共线时，最小，与(或)重合时最大，可得结论. 【详解】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将左图中绕翻折至与共平面(如右图)， 因为，， 所以当、、共线时最小， 此时为中点，，， 此时，， 则最小值为； 当与(或)重合时最大，最大值为. 故选：ABC. 【典例1-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将书展开可，根据已知结合勾股定理，即可得出答案. 【详解】将书展开可得如图(蚂蚁在处，饼干在处)最短路线为，， 由已知可得，，，则. 又，由勾股定理可得， 所以，. 故答案为：. 【变式1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，长方体被截去一小部分，其中 ，则截去的几何体是(    )      A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解. 【详解】在长方体中，由 可得四边形为平行四边形， 所以,所以四边形为平行四边形， 所以， 则几何体为三棱柱. 故选：B. 【变式1-2】(24-25高一下·吉林白山·期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是(   ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体 【分析】由几何体的结构特征逐一判断各个命题即可求解. 【详解】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故①错误； 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误； 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误； 故命题①②③都是假命题. 故选：D. 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题中，正确的是(    ) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】用棱柱的特点判断AD，利用举例法判断BC. 【详解】对于A，不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误； 对于B选项，如图(1)，构造四棱柱，令四边形是梯形， 可知平面平面，但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图(2)，底面可以是平行四边形，故C错误； 对于D，说明了棱柱的特点，故D正确. 故选：D． 【变式1-4】(24-25高一下·四川成都·期末)在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为(    ) A． B． C．3 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲(折)为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 【变式1-5】(多选)(22-23高一下·广东汕头·期中)如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则取值可能为(    )    A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、棱柱的结构特征和分类、余弦定理解三角形 【分析】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，再根据两点之间线段最短及最大值求解即可. 【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，    设点的新位置为，连接，则有，如图，    当三点共线时，则即为的最小值. 在三角形ABC中，，， 由余弦定理得：, 所以，即, 在三角形中，，， 由勾股定理可得：,且.    同理可求：，因为， 所以为等边三角形，所以， 所以在三角形中，,, 由余弦定理得：. 则即为的最小值,A选项错误，B选项正确. 当 在中点，C选项正确; 当在点处时， 的最大值为D选项错误. 故选：BC. 【变式1-6】(24-25高一下·河北·期中)如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断正方体的截面形状 【分析】根据题意在正方体中找到截面，算出各边长再求周长即可. 【详解】在正方体中，设直线与直线，分别交于，，连接，分别与，交于点，，连接，，则五边形是过、、的正方体的截面. 由为中点，为中点，得， ，则，同理. ，即，，同理，. ，，， 所以截面的周长为. 故答案为：. 题型02 棱锥 【典例2-1】(24-25高一下·北京延庆·期末)已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】根据正六棱锥的结构特征，借助于易求得其高线长. 【详解】如图，因为正六棱锥的底面边长为1，由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，.所以正六棱锥的高为. 故选：C. 【典例2-2】(25-26高一下·全国·课后作业)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上(   ) A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【详解】将图形沿折痕折起后，成一个四棱锥形的"走马灯" 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样， 可知顺序为②年①③， 则在①、②、③处可依次写上快、新、乐 【典例2-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是(   ) A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【详解】如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，则这个棱锥的各侧棱都相等，因此是正棱锥. A，B，C三个选项均可成立. 但是，若正六棱锥六个侧面均为等边三角形，则其顶点处六个内角的和为， 在一个平面上，这显然不可能成立，所以D选项不成立. 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其有关计算 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再利用侧棱、外接圆半径和高构成的直角三角形，通过勾股定理求出正三棱锥的高. 【详解】设底面正三角形的边长为，正三角形的外接圆半径(中心到顶点的距离)公式为 ， 代入得：， 正三棱锥的高、侧棱长与底面外接圆半径构成直角三角形(侧棱为斜边)， 根据勾股定理：， 综上，该正三棱锥的高为. 【变式2-1】(24-25高一下·山东淄博·期中)给出下列四个命题，正确的是(   )． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可. 【详解】解：对于A，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A错误； 对于B，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B错误； 对于C，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C错误； 对于D，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直， 所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D正确. 故选：D. 【变式2-2】(2026高一·全国·专题练习)已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为(    ) A．6 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 【变式2-3】(24-25高一下·广东佛山·月考)已知四棱锥有条棱，个顶点，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】由四棱锥的结构特征可得. 【详解】四棱锥有8条棱，5个顶点，所以. 故选：B. 【变式2-4】(24-25高一下·河南·月考)如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、正棱锥及其有关计算 【分析】将与展开至位于同一平面内，利用余弦定理求解即可. 【详解】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧，连接，与交于点， 则此时最小. 在中，由余弦定理可得， 所以，故的最小值为. 故选：B. 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·重庆渝中·期中)满足下列条件的四面体存在的是(    ) A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】棱锥的结构特征和分类 【分析】对于选项A和B，作图，设棱，取其对棱的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围，从而判断四面体是否存在.对于选项C和D，分两种情况讨论，①当长为的两条棱为相对棱时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；②当长为的两条棱有公共顶点时，取的中点，在中利用三边关系列式子，求出的范围；从而判断四面体是否存在. 【详解】选项A：设四面体有1条棱长为，5条棱长为1， 如图1，四面体满足，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，，所以，即，故A错误； 选项B：与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为，5条棱长为时，因为，所以B正确； 选项C：设四面体有2条棱长为，4条棱长为1，分两种情况： ①当长为的两条棱为相对棱时，如图2，不妨设为，， 取的中点，连接，，则， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得，不符合题意； ②当长为的两条棱有公共顶点时，如图3，不妨设， 取的中点，连接，， 则，， 由三角形的三边关系知，， 所以，解得； 综上可知，.因为，所以C正确； 选项D：与选项C同理可得，当四面体有2条棱长为，4条棱长为时，， 因为，所以D正确. 故选：BCD. 【变式2-6】(23-24高一下·河北石家庄·期中)如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、棱锥的展开图 【分析】将图形展成平面图形，进而解三角形即可求得答案. 【详解】如图，将侧面展开在一个平面， 由题意， 在中，， 所以在中，， 由余弦定理得，所以， 即细绳的最短长度为. 故答案为：. 题型03 棱台 【典例3-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有(    ) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【详解】对于①，由五个面围成的多面体可能是三棱柱,①错误； 对于②，仅有两个面互相平行的五面体可以是三棱柱，②错误； 对于③④，棱台的侧棱延长线必须交于一点，③④错误. 所以下列关于棱锥、棱台的说法正确的有0个. 【典例3-2】(24-25高一下·北京延庆·期末)如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类 【分析】结合图形，取正三棱台的上下底面中心为，连接并延长交于点，连接并延长交于点，分别计算的长，利用直角梯形即可求得答案. 【详解】    如图，取正三棱台的上下底面中心为，则即为棱台的高. 连接并延长交于点，连接并延长交于点. 依题意，，， 在直角梯形中，，即棱台的高为. 故选：D. 【典例3-3】(多选)(22-23高一下·河北承德·期末)甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则(    )    A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为，则由题意可知，，.再根据正四棱台的结构分别计算即可判断各选项. 【详解】令正四棱台的底面边长，高为，侧棱长为，等腰梯形的高为， 则由题意可知，，，即. 对于A，当正四棱台的底面周长为时，，不满足，A错； 对于B，当正四棱台的底面面积为时，，满足，B对； 对于C，当正四棱台的高为时，则， 记正四棱台的上下底面的中心分别为，取的中点,连接，过点作于点， 则， 所以，解得，则， 满足，C对；    对于D，当正四棱台的侧棱长为时，则， 过点作于点，则， 所以，即， 解得，则，满足，D对. 故选：BCD 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法正确的是___________(填序号)． ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的那部分几何体是棱台； ③存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形． 【答案】③ 【难度】0.53 【知识点】棱锥的结构特征和分类、判断几何体是否为棱锥、判断几何体是否为棱台 【分析】根据棱锥、棱台的结构特征逐一判断即可. 【详解】对于①，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故①不正确； 对于②，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故②不正确； 对于③，如图所示，在正方体中，四棱锥的四个侧面均为直角三角形，故③正确． 故答案为：③. 【变式3-1】(25-26高一·全国·假期作业)在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是(    ) A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】由棱台和棱锥的结构特征判断即可. 【详解】如图所示，在三棱台中，截去三棱锥后得到的是四棱锥. 故选：C. 【变式3-2】(24-25高一下·全国·课后作业)一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是(    ) A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的顶点个数，结合选项得出答案即可. 【详解】对于A，四棱柱是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于B，四棱台是上下两个四边形，有8个顶点，不满足题意； 对于C，五棱锥有6个顶点，不满足题意； 对于D，五棱台是上下底面均为五边形，有10个顶点，满足题意. 故选：D. 【变式3-3】(23-24高一下·福建龙岩·期中)在正四棱台中，，点为棱上的动点(含端点)，则的最小值是(    ) A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】棱台的展开图、棱台的结构特征和分类 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B 【变式3-4】(23-24高一下·江苏无锡·期中)半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】组合体表面两点间的最短路径、棱锥的展开图 【分析】将几何体展开为平面图形，利用两点之间线段最短求的最小值. 【详解】将该半正多面体展开为平面，且在线段两侧(两线段在两点之间)，如下图所示，      由半正多面体中，棱长为2，得，，且，故， 所以，当且仅当在展开图中共线时等号成立. 故选：D. 【点睛】方法点睛：空间图形表面上折线段之和最小值，关键是弄清几何体中的有关点、线在展开图中的相应位置关系，解决的方法就是把各侧面展开铺在平面上，根据“平面内连结两点的线段最短”的方法来解决. 【变式3-5】(多选)(23-24高一下·湖北武汉·期末)在正方体中，，，过E，F的平面将正方体 截成两部分，则所得几何体可能是(   ) A．直三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．三棱台 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、判断正方体的截面形状、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类 【分析】根据正方体的结构特征，结合平面图形的性质分别分析截面形状即可求出结果. 【详解】如图， 连接，，则平面可截得三棱锥， 如图，过作，过作， 则过，的平面可截得直三棱柱和直五棱柱 如图，延长至，连接，分别与交于两点，，则可得平面截得三棱台 将四边形分成一个三角形和一个五边形，所以不可能得到四棱柱. 故选：ACD 【变式3-6】(25-26高一下·全国·随堂练习)已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】根据几何图形，利用勾股定理求出下底面的边长. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则，解得. 故答案为：4. 题型04 圆柱 【典例4-1】(24-25高一下·河北·期中)如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是(    ) A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】圆柱的结构特征辨析 【分析】根据题意，结合圆柱的几何结构特征，即可作出判断，得到答案. 【详解】如图所示，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时， 可得分别为圆柱的母线，所以且， 又因为圆柱的母线与底面垂直，且在底面内，所以，所以截面为矩形. 故选：B. 【典例4-2】(24-25高一下·河北雄安·月考)如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】将圆柱侧面展开，结合余弦定理可知为钝角，结合图形可得出点到点的距离的最小值. 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·山东滨州·月考)下面关于空间几何体的叙述正确的是(    ) A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．长方体是平行六面体 C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】通过对空间几何体的结构特征辨析可以判断ABD选项，对圆柱轴截面理解判断C选项. 【详解】对于A，将两个下底面一样的三棱台的下底面重合在一起，组成一个新的多面体， 此时满足有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形，但它不是棱台，故A错误； 对于B，长方体是平行六面体的特殊情况之一，所以长方体是平行六面体，故B正确； 对于C，当平面与圆柱的母线平行或者垂直时，截得的截面才是矩形或圆， 否则为椭圆或椭圆的一部分，故C错误； 对于D，在正方体中的四面体， 它的四个面都是直角三角形，故D正确. 故选：BD. 【典例4-4】(2026高一·全国·专题练习)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】将三角形展开到与三角形共面，分析可知，当共线时取等号，结合余弦定理运算求解. 【详解】由题意知，且，则. 将三角形展开到与三角形共面，记为三角形， 可知共线，则. 可得，当共线时取等号. 又因为， 所以在中，由余弦定理得， 即，所以的最小值为. 【变式4-1】(25-26高一上·北京·开学考试)如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是(    )  A．   B．   C．   D．     【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由平面图形旋转得旋转体 【分析】根据矩形绕一边旋转一周得到圆柱体即可解答． 【详解】四边形是矩形，， ，是长边， 则该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是选项中较高的圆柱体． 故选：B． 【变式4-2】(25-26高一上·甘肃定西·开学考试)如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为(   )(取3) A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即 故选：A. 【变式4-3】(23-24高一下·河南新乡·期中)一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为(    ) A．32 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆柱轴截面的有关计算、圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，分4为底面周长和2为底面周长两种情况讨论求解. 【详解】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为； 若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，故圆柱的轴截面的面积为. 故选：D. 【变式4-4】(19-20高一·全国·课后作业)圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】计算圆柱的底面半径为，展开得到从到的最短路径长即线段的长，利用勾股定理计算得到答案. 【详解】如图(1)所示，正方形是圆柱的轴截面，且其边长为， 设圆柱的底面半径为，则，底面周长为， 将圆柱沿母线剪开，展开图如图(2)所示， 则从到的最短路径长即线段的长， ∵，，∴， 即从到的圆柱侧面上的最短距离为. 故选：B. 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广西·期中)下列命题是真命题的是(    ) A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】棱锥结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、棱台的结构特征和分类 【分析】根据棱柱、正棱锥和棱台的定义，可判定A正确，B错误，C正确，结合圆柱的几何结构特征，可得判定D错误. 【详解】对于A中，根据棱柱的定义，可得棱柱的侧面一定是平行四边形，所以A正确； 对于B中，底面是等边三角形，且顶点在底面的射影是底面的中心的三棱锥是正三棱锥，所以B不正确； 对于C中，根据棱台的定义，可得棱台的所有侧棱所在直线必交于同一点，所以C正确； 对于D中，用一个平行于底面的平面去截圆柱，截面一定是圆，若不平行于底面的平面截圆柱，得到得截面可能是椭圆面，所以D不正确. 故选：AC. 【变式4-6】(24-25高一上·上海·期末)如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    题型05 圆锥 【典例5-1】(25-26高一上·陕西·开学考试)用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是(    ) A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】圆锥的结构特征辨析、判断正方体的截面形状、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据几何体的特征，做出其截面即可. 【详解】对于A：一个平面只能截出三角形，圆与圆锥曲线，所以一个平面截圆锥，截面不可能为长方形，故A是； 对于B：作一个轴截面，如图，截面即为长方形，故B不是；    对于C：做一个直五棱柱，做出如图的截面，截面即为长方形，故C不是； 对于D：做出如图的体对角面，截面即为长方形，故D不是.    故选：A 【典例5-2】(2026高一·全国·专题练习)已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的结构特征辨析、圆锥的展开图及最短距离问题 【详解】由题意得圆锥的母线长，即侧面展开图扇形的半径为， ∵底面半径为， ∴底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， ∴扇形圆心角的弧度， 母线上的点展开后为扇形上的，为该质点运动的最短路径，且， 由余弦定理得， 解得． 【典例5-3】(多选)(24-25高一下·广东·期中)下列命题正确的是(    ) A．一个棱柱至少有六个面 B．棱台的各侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【答案】BCD 【难度】0.85 【知识点】棱柱结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故B项正确； 对于C项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故C项正确； 对于D项，圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面圆的直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D项正确. 故选：BCD. 【典例5-4】(2026高一·全国·专题练习)已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 【变式5-1】(25-26高一上·江西南昌·开学考试)如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是(    ) A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】利用圆锥侧面展开图特征判断即可. 【详解】将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是扇形. 故选：C 【变式5-2】(25-26高一下·全国·课后作业)一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为(    ) A．10 B．12 C．20 D．15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆锥的结构特征辨析、圆锥中截面的有关计算 【分析】根据圆锥的轴截面等腰三角形性质求解即可. 【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4， 所以轴截面面积 . 【变式5-3】(24-25高一下·山东青岛·期末)已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(   ) A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】圆锥中截面的有关计算、圆锥表面积的有关计算 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 【变式5-4】(24-25高一下·福建南平·期末)已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】圆锥中截面的有关计算 【分析】先确定截面的顶角和母线的夹角，再利用三角形面积公式得到，结合轴截面的性质得到，进而建立不等式，求解的取值范围即可. 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 【变式5-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】圆柱的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析 【分析】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案. 【详解】一个圆柱被挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的截面轮廓是矩形去掉上侧一条边， 而圆锥截面的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物线顶点不可能在矩形下侧底边上，排除B,C. 故选：AD. 【变式5-6】(23-24高一下·福建福州·期末)如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】由已知，可求得圆锥侧面展开图扇形的圆心角是，由质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，可得点到的距离小于，再由，即可得到的取值范围. 【详解】如图，圆锥侧面展开图中，， 所以，质点在上运动， 是母线上一点，作，垂足为， 则质点从到的运动过程中，质点到的距离减小，质点在运动时上升， 质点从到的运动过程中，质点到的距离增大，质点在运动时下降， 当时，质点在运动时上升，此时，即是的中点， 当时，质点在运动时一直上升， 所以，即时，质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降， 由，可得，则，得. 故答案为：. 题型06 圆台 【典例6-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据空间几何体的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，根据母线定义可知，通过圆台侧面一点，有且仅有一条母线，故A错误； 对于B，棱柱包括三棱柱、四棱柱等，其中三棱柱底面是三角形，四棱柱底面是四边形即可，故B错误； 对于C，圆锥的轴截面都是等腰三角形，故C正确； 对于D，由棱台的定义可知，需用平行于底面的平面截棱锥可得棱台，不是任意平面都可以，故D错误. 故选：C. 【典例6-2】(24-25高一下·浙江·月考)圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥中截面的有关计算、圆台的结构特征辨析 【分析】延长、交于点，求出将圆台补成的圆锥的母线长，结合余弦定理可知，圆锥轴截面的顶角为钝角，可知当时，取最大值，再由可求得结果. 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得，则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·广西南宁·月考)下面关于空间几何体叙述正确的是(   ) A．正四棱柱都是长方体 B．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析 【分析】由正四棱柱、长方体、棱柱、棱台、圆台的定义和性质，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于选项，正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，而长方体是底面为矩形的直棱柱. 因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱满足长方体的定义，正四棱柱都是长方体，选项正确. 对于选项，两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱. 比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，选项错误. 对于选项，棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分. 棱台的各侧棱延长后交于一点，所以棱台的侧面都是梯形，选项正确. 对于选项，若以等腰梯形的一条斜腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体不是圆台，是一个圆锥和一个圆台并挖去一个圆锥的组合体.选项错误. 故选：AC. 【典例6-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【难度】0.65 【知识点】圆台的展开图、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 【变式6-1】(24-25高一下·福建福州·期中)下列命题中正确的是(   ) A．直四棱柱是长方体 B．正六棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、圆台的结构特征辨析 【分析】由正棱柱、正棱锥的概念判断A、B；由旋转体的结构特征判断C、D． 【详解】对于A，长方体是底面为矩形的直四棱柱，故A不正确； 对于B，正棱锥的侧面都是等腰三角形，所以正六棱锥的侧面都是等腰三角形，故B不正确； 对于C，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台,故C正确； 对于D，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥，故D不正确. 故选：C. 【变式6-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)以下说法正确的是(    ) A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】结合基本立体几何图形的性质即可判断． 【详解】对于A，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积，故A正确； 对于B，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱，故B错误； 对于C，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体，故C错误； 对于D，圆台的上、下底面一定平行，故D错误． 故选：A． 【变式6-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(    ) ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】根据圆锥、圆柱的结构特征分别判断. 【详解】①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误； 根据圆锥的结构特征，显然②说法正确， 根据圆柱的定义可得③说法正确，故说法正确的有2个． 故选：C 【变式6-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(    ) ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形(不是正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【分析】考虑将直角三角形以直角三角形的斜边为轴旋转一周，即可判断命题①，考虑将直角梯形以直角梯形的底边或不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周即可判断命题②，根据圆锥、圆台的结构特征判断命题③，分别考虑两圆柱的底面半径和高即可判断. 【详解】若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故①说法正确； 必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故②说法错误； 圆锥、圆台的底面都是圆，故③说法正确； 设矩形的长为，宽为， 以矩形的长所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为， 以矩形的宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的圆柱的底面为半径为的圆，圆柱的高为， 故它们是两个不同的圆柱，故④说法正确； 故说法正确的是①③④，正确的说法的个数为， 故选：C. 【变式6-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)给出下列命题，正确的是(    ) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 【详解】对于A，由圆柱的定义可知：圆柱的母线与它的轴都平行，故A错误； 对于B，由圆锥的定义可知：圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形，故B正确； 对于C，由圆台母线定义可知：在圆台的上、下两底面圆周上各取一点， 则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C正确； 对于D，由圆柱的定义可知：圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的，故D错误. 【变式6-6】(24-25高一下·黑龙江·期末)如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    【答案】12 【难度】0.85 【知识点】由平面图形旋转得旋转体、圆台的展开图、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据已知几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分，将其补为圆锥并将侧面展开，即可求蚂蚁爬行的最短路程. 【详解】由题意，几何体是母线长为6，上下底面半径分别为的圆台，其侧面展开图为圆环的一部分， 所以，可将几何体补为母线长为12，底面半径为2的圆锥，再将其侧面展开如下图示，    所以圆环的一部分，即为圆台的侧面展开图，而， 所以为等边三角形，故蚂蚁爬行的最短路程为线段. 故答案为：12 题型07 球 【典例7-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】由球的结构特征分析判断即可. 【详解】由球的结构特征知，②③正确，①④错误. 所以正确命题的个数有2个. 【典例7-2】(24-25高一下·四川成都·期末)棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(   ) A．1 B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】根据正方体的外接球的直径是体对角线计算计算求解. 【详解】因正方体的对角线长， 所以正方体的外接球的直径，则. 故选：C． 【典例7-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)给出下列命题，其中正确的是(    ) A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【详解】A 选项：球面上四个不同的点一定不在同一平面内.这个说法是错误的. 例如，球的一个大圆上可以有无数个点，这些点都在同一个平面内.故A错误； B 选项：因为球心在球的任意大圆所在平面上，所以球心是任意两个两个大圆所在平面的公共点， 而两个平面的交点都在一条直线上，所以球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径.故B正确； 因为两个大圆都经过球心，所以它们的交点必然是球的一条直径的两个端点，其连线就是球的直径. C 选项：用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面.故C正确； D 选项：球的半径是球面上任意一点和球心的连线段，故D正确. 【典例7-4】(22-23高一下·全国·课后作业)有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是_________. 【答案】①④ 【难度】0.94 【知识点】球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】由球的定义和截面性质可逐项判断得可得答案. 【详解】由球的定义可得①是正确的；因为直径一定过球心，故②不对； 用平面截球，得到的是一个圆面，而不是一个圆，③不对. 由球的定义可得过球心的截面的最大的截面，且截面的半径就是球的半径, 则不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆，故④正确. 故答案为：①④. 【变式7-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(   ) ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】球的结构特征辨析 【分析】根据球的概念判断即可. 【详解】由概念知，①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，故③错误； 若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误， 所以说法正确的有1个. 【变式7-2】(25-26高一下·全国·单元测试)用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是(   ) A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】棱柱结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆柱的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据几何体的特征排除选项A，B，D. 【详解】选项A，B截面不能是圆，不正确； 选项D截面不能是长方形，不正确；选项C截面可以是长方形，也可以是圆. 故选：C. 【变式7-3】(24-25高一下·广东惠州·期中)下列正确的是(    ) A．过球面上两点与球心有且只有一个平面 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱锥及其计算、棱台的结构特征和分类、判断几何体是否为圆台、球的截面的性质及计算 【分析】对于A选项，举反例：球面上两点与球心在一条直线上；对于B选项：举反倒，平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台；对于C选项：由正棱锥的定义与性质知正确；对于D选项，举反例 ，侧棱的延长线不交于一点. 【详解】对于A选项：当球面上两点与球心在一条直线上时，这样的平面有无数多个，如下图： 对于B选项： 若平面与圆锥底面不平行，则此时截出来的不是圆台,如下图: 对于C选项：由正棱锥的定义与性质知，正棱锥的所有侧棱均相等，底面是正多边形，所以侧面是全等的等腰三角形； 对于D选项：棱台要求侧棱的延长线交于一点,反例如下： 故选：C. 【变式7-4】(24-25高一下·重庆·期末)已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为(   ) A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、多面体与球体内切外接问题 【分析】将三棱锥转化为正三棱柱，根据题意结合正三棱柱的性质求外接球的半径. 【详解】将三棱锥转化为正三棱柱， 可知三棱锥的外接球即为正三棱柱的外接球， 设的外接圆圆心为，半径为r，则，可得， 设三棱锥的外接球球心为O，连接OA，， 则，因为，解得，所以该三棱锥外接球的半径长为2. 故选：A． 【变式7-5】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)下列立体图形中，一定有内切球的是(    ) A．正四面体 B．直三棱柱 C．正三棱台 D．正四棱锥 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、多面体与球体内切外接问题 【分析】任意正棱锥均有内切球，即可判断A、D，再根据内切球的直径与直三棱柱的高的关系判断B，根据正三棱锥的内切球与正三棱台的高的关系判断C. 【详解】对于A、D：任意正棱锥均有内切球，正四面体也一定有内切球，故A、D正确； 对于B：若直三棱柱有内切球，则其高等于内切球的直径，底面内切圆的半径等于内切球的半径， 即底面内切圆的半径需为直三棱柱高的一半，所以不是所有直三棱柱都符合，故B错误； 对于C：正三棱锥有内切球， 正三棱台想要有内切球，则其高应为相应的正三棱台的内切球的直径，故C错误； 故选：AD 【变式7-6】(24-25高一下·山东日照·月考)已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度(用表示)为_____. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】计算北纬所在圆的半径，根据圆的周长公式计算即可. 【详解】地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬， 则城市哈尔滨所在圆的半径为，故北纬纬线圈的长度为. 故答案为：. 题型08 直观图 【典例8-1】(24-25高一下·安徽合肥·期末)用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、斜二测画法中有关量的计算 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 【典例8-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据题意，结合斜二测画法，得出的形状，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积是. 【典例8-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】由斜二测画法的规则复原为原图形，求解相关量逐项判断即可. 【详解】在中，作交于点， 因为，所以，， 又 ，所以，，， 利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，，，故A、B、D正确，C错误. 【典例8-4】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为原图，进而求出原四边形各边的长度，从而找出最长的长度． 【详解】矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，， 将直观图还原为原图，如图， 在直观图中，，则， 所以在原图中，可得，，所以 因为，所以原四边形中最长边的长度为6． 【变式8-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为(    )    A．12 B．24 C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法的规则，即可还原三角形为直角三角形，从而可求三角形面积. 【详解】由斜二测画法的规则，可知原图是直角三角形， 且，，故原图的面积为：， 故选：A. 【变式8-2】(25-26高一下·全国·课后作业)如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形(见图1)的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法辨析、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据斜二测画法的规则，即可得出结论. 【详解】斜二测画直观图时，平行或与x轴重合的线段长度不变，则长度不变， 平行或与y轴重合的线段长度减半，则减掉一半，线段对应线段也会缩小， 所以的对应点画对了，的对应点画错了. 【变式8-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 易知且为的中点，所以，且， 又的周长为，所以，即， 则，则. 【变式8-4】(25-26高一下·全国·课后作业)水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知轴，则中边上的中线的长度为(    ) A． B． C．5 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】由斜二测画法规则知，即为直角三角形，其中， 所以，边上的中线长度为． 故选：A 【变式8-5】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是( ) A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】斜二测法画平面图形的直观图、由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】斜二测画法对应的平行关系、长度关系还原平面图，然后逐一验算各个选项即可得解. 【详解】对于AB：还原平面图如下图， 则，，，故A错误，B正确； 对于C：过作交于点，则，， 由勾股定理得，， 故四边形的周长为：，即C正确； 对于D：四边形的面积为：，即D正确. 故选：BCD． 【变式8-6】(25-26高一下·全国·课后作业)如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】将直观图还原为原来的图形，然后根据斜二测画法横等纵半计算即可. 【详解】将直观图还原为原来的图形，则四边形如下图： 所以，，则， 所以平面图形的周长为. 一、单选题 1.(24-25高一下·甘肃武威·期中)下列立体图形为平行六面体的是(   ). A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】平行六面体是一种底面为平行四边形的四棱柱‌，属于特殊的四棱柱结构，其六个面均由平行四边形组成，即可依次判断ABCD. 【详解】由平行六面体的定义，选项A,C,D底面不为平行四边形，故A,C,D错误； 选项B满足平行六面体的特征. 故选：B. 2.(2022高一·全国·专题练习)如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】棱锥的展开图 【分析】将正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，，找到三角形的周长的最小值的线段，根据勾股定理逆定理求出，从而求出答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于，则线段就是的最小周长，即，    又，根据勾股定理，，所以是等腰直角三角形， ，所以侧棱的夹角为. 故选：A. 3.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是( ) A． B． C． D．12 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 4.(24-25高一下·山西·期中)下列说法正确的是(    ) A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、圆锥的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】根据正棱锥概念判断A，根据棱台概念判断B，根据圆锥概念判断C，根据球截面形状判断D. 【详解】各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误； 有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台， 只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，B错误； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，C错误； 用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，D正确. 故选：D 5.(24-25高一下·北京东城·期末)如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为(    ) A．15 B． C．25 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】由题可知四棱台为正棱台，设上底边长为，在侧面中可得斜高，再由正四棱台的特性可知就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角，得到，解方程即可得到上底边长. 【详解】根据题意，四棱台为正棱台，设中点为，上底边长为， 在侧面中，为斜高，又，所以， 在正棱台中，，所以就是下底面所在平面与侧面所在平面夹角的平面角， 在四边形中，，则， 过作交于， 所以，解得，即上底边长为25. 故选：C. 6.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为，圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，所以， 在中，由余弦定理是可得， 所以，因为， 所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 故选：A. 7.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 由正方体可知：， 所以. 故选：A 8.(23-24高二上·四川南充·月考)在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】考虑将直棱柱的侧面按不同方式展开，使得点在一个平面内，再利用勾股定理求得EF的长度，比较大小，即得答案. 【详解】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中，  由勾股定理得； ②若把面和面展开在同一个平面内，则线段在直角三角形中， 此时. ③若把面和面展开在同一个平面内，设的中点为， 在直角三角形中，由勾股定理得． ④若把面和面展开在同一个面内， 过作与行的直线，过作与平行的直线， 所作两直线交于点，则在直角三角形中， 由勾股定理得． 由于，可得从到两点的最短路径的长度为, 故选：B 二、多选题 9.(23-24高一下·新疆·期中)如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则(    ) A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】棱锥的结构特征和分类、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据平面的定义，结合柱体和锥体的性质、线线平行传递性逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，有面BCGF，面EFG，面，面，面，面，面共7个，故A正确； 对于C，有顶点B，C，G，F，E，，，D共8个，故C错误； 对于B，有棱BF，FG，GC，CB，FE，EG，BD，，，，，，共13条棱，故B正确； 对于D，取AB中点H，连接CH，，则可得，， 因为，则F为AH中点，且E为中点，则，所以直线直线BD，故D正确； 故选：ABD 10.(25-26高一下·全国·课后作业)如图，是水平放置的直观图，，则在原平面图形中，有( ) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【详解】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 如图所示，在直观图中，过作于 ,,, 又,,, 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有,,,故选项B正确； 又因为,,故选项A、C错误； 而,故选项D正确. 11.(24-25高一下·新疆克拉玛依·期中)下列关于空间几何体的说法正确的有(    ) A．正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B．一个四面体最多有3个面为直角三角形 C．各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D．为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】棱锥的结构特征和分类、圆台的结构特征辨析、多面体的性质探究 【分析】A由正五棱锥底面为正五边形，根据正五边形半径与边长的比，结合该棱锥侧棱长，即可判断；B在长方体中找到一个四个面都是直角三角形的四棱锥判断；C利用八面体的结构特征判断；D根据圆台的结构特征直接判断. 【详解】A：对于如下正五边形，，则， 所以，则，又， 所以，对于正五棱锥的侧棱长，则，故成立，对； B：如图长方体中，棱锥的四个面都是直角三角形，错； C：如下图示的八面体，各面都是三角形，不止4个面，错； D：由为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且不重合， 由于圆台侧面是一个曲面，线段在圆台内部，即直线穿过圆台内部，对. 故选：AD 三、填空题 12.(24-25高一下·上海奉贤·期中)如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型(如图2)、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       【答案】 【难度】0.65 【知识点】正棱台及其有关计算 【分析】连接，，由正四棱台的性质得和的长，过作，过作，得，，最后在直角三角形中，由勾股定理得到结果. 【详解】由为正四棱台，，，， 连接，得，， 过作，过作，所以，， 在直角三角形中，，所以正四棱台的高. 故答案为：. 13.(25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试)有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】圆锥的结构特征辨析、余弦定理解三角形、弧长的有关计算 【分析】连接，由题设条件结合余弦定理依次求出和，再由弧长公式结合圆的周长公式即可计算求解. 【详解】由题可得，所以为正三角形， 连接，则由题， 所以O为的外心也是内心， 所以， 所以， 所以， 所以由. 故答案为： 14.(23-24高一下·四川成都·期末)已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥中截面的有关计算 【分析】将四面体还原至长方体，可知点，分别为，中点，即可得当经过中点时，截面面积最大，再根据长方体的性质可得解. 【详解】由，，， 可知四面体的各个棱为长方体各面的对角线， 设长方体的长宽高分别，，，则，解得， 如图所示， 由， ，可得点，分别为，中点，所以长方体以为对角线的平面， 又，所以与长方体以为对角线的平面平行，易知当经过中点时，截面面积最大， 此时与长方体的截面如图所示，其中四边形即为与四面体相交所得截面， 此时、、、分别为各边中点，则， 故答案为：. 四、解答题 15.(22-23高一下·全国·课后作业)已知长方体中.    (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. 【答案】(1)；(2) 【难度】0.85 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】(1)(2)将长方体的面展开到同一平面，求出线段的长，分三种情况，求出结果，比较大小，确定最短路线长. 【详解】(1)如图，    ①将长方形与平面展开到同一平面，如图1所示， 连接，此时， ②将长方形与长方形展开到同一平面，如图2， 连接，此时， ③将长方形与长方形展开到同一平面，如图3， 连接，此时， 因为，所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. (2)当，，且，由上可得 或或， 由可得，即， 所以， 所以，即， 所以从点A出发沿着表面运动到的最短路线长是. 16.(2024高一下·全国·专题练习)(1)已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． (2)如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． (3)若(2)中的，，则中AB的长度是多少？ (4)若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 【答案】(1)；(2)为直角三角形；(3)10；(4) 【难度】0.65 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】(1)根据直观图求出原面积的表达式即可得出结果； (2)由直观图可知，即为直角三角形； (3)由直观图中线段长并利用勾股定理即可求得结果； (4)利用直观图与原图面积表达式的关系即可求得结果. 【详解】(1)由直观图与原图之间的关系可得 ； (2)由斜二测画法规则知，故原为直角三角形； (3)由已知可得在中，，，故； (4)原三角形面积为，画直观图后，，， ． 17.(24-25高一下·全国·课堂例题)已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 【答案】(1)；(2) 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】(1)由三棱柱的侧面展开图即可求解； (2)将三棱柱的侧面都沿剪开，再拼接一次即可求解 【详解】(1)将三棱柱侧面沿侧棱剪开，展成平面图形如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． (2)将三棱柱的侧面都沿剪开，然后展开并拼接成如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． 18.(24-25高一下·广东广州·期中)多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题： (1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数； (2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数； (3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 【答案】(1)20；(2)证明见解析；(3)答案见解析 【难度】0.4 【知识点】立体几何新定义、多面体的性质探究 【分析】(1)由已知，正五边形的个数为，正六边形的个数为，则，解出即可； (2)设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号，得到多面体的顶点数，进而得所有多边形内角之和，算出总曲率为常数，即可证明； (3)由题意得，代入，可得，因此，又，列出分别说明，即得答案. 【详解】(1)由题意可知，，由可得， 设正五边形的个数为，正六边形的个数为，则， 因为一条棱连着两个面，所以足球烯表面的棱数， 联立，解得，即32个面中正六边形面的个数是20. (2)设多面体有个面，给组成多面体的多边形编号，分别为号， 设第号 多边形有 条边，多面体有条棱， 由题意，多面体共有个顶点， 号多边形内角之和，所有多边形内角之和， 故总曲率为 . 则任何简单多面体的总曲率是常数； (3)由某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，可知， 于是，将其代入， 所以，所以， 因此，又， 故所有五组正整数解为：， 当时，，则，此时正多面体为正四面体， 当时，，则，此时正多面体为正六面体， 当时，，则，此时正多面体为正十二面体， 当时，，则，此时正多面体为正八面体， 当时，，则，此时正多面体为正二十面体， 所以正多面体仅有正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种. 19.(23-24高一下·浙江杭州·期中)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3) 【难度】0.15 【知识点】多面体的性质探究、棱锥的结构特征和分类 【分析】(1)设此足球有个正五边形，分别得顶点与棱数，再利用欧拉公式解得的值. (2)当凸多面体每个面均为三角形时，棱数最多，此时棱数与面数有关系. (3)设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，根据欧拉公式列出表达式，再由得不等式，分类取值即可. 【详解】(1)设足球有个正五边形，则有个正六边形， 足球的顶点，棱数， 由欧拉公式得， 解得，即此足球中有个面为正五边形， 所以此足球的棱数. (2)由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形， 当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即， 又，即，解得， 故个顶点的凸多面体，至多有条棱. (3)设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形， 则此多面体棱数，，即， 由欧拉公式，得， 所以，即，即， 所以， 当时，，所以，，； 当时，，所以，，； 当时，，所以，，； 综上：棱数可能为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，讨研得点与棱、点与面、棱与面的数量之间的关系，从而得解. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-1空间几何体讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01棱柱 题型02棱锥 知识点01多面体 题型03棱台 4-1空间几何体 题型04圆柱 题型05圆锥 知识点02旋转体 题型06圆台 题型07球 知识点03直观图 题型08直观图 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握基本立体图形的结构特征，斜二测画法， 教学重点 基本立体图形的结构特征，斜二测画法 教学难点 台体，球 知识清单 知识点01多面体 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台： 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫做棱柱。 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥。 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥。 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与平面AA1D1D平行 的面有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【即学即练1-2】（多选）25-26高一下.全国·课堂例题（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是() A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 B.棱锥的侧面只能是三角形 C.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 第1页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 知识点02旋转体 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱， (1)轴：旋转轴叫圆柱的轴： (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面 (4)母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线。 2.圆锥：以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥， 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台， 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体， 简称球 ()半圆的圆心叫球的球心. (2)连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径 (3)连接球面上两，点并且经过球心的线段叫做球的直径 【即学即练2-1】(24-25高一下·天津河西·月考)如图，已知圆柱体底面圆的半径为2cm,高为2cm,AB,CD 分别是两底面的直径，AD,BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线 的长度是()cm.(结果保留根式) A.2 B.2V3 C.2W2 D.4 3 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下，新疆伊犁期中)下列说法中正确的是() A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 知识点03直观图 1.斜二测画法： (1)建立平面直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点0 (2)画出斜坐标系：在画直观图的纸上（平面上）画出对应的x轴和y轴，两轴相交于点0'，且使∠x0'y'=45 或135°，它们确定的平面表示水平面， (3)画对应图形：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度保持不变.在已知图形平 行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半. 2斜二测画法的直观图与原图面积的关系：S省我图-号5数用形S数用影=2V2西省 第2页共22页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【即学即练3-1】(23-24高一下·天津武清·月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角△0AB,其 中AB=√5，则原图形的面积为) A.5V2 B.5V5 C.10V5 D.10V2 【即学即练1-2】（多选25-26高一下·全国课后作业）如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 AB'CD',已知A'B'=4,CD'=2,则下列说法正确的是() A.A'D'=2V2 B.AB=4 C.四边形ABCD的面积为6vW2 D.四边形ABCD的周长为6+V6+√2 y D 0A) B' 题型精讲 题型01棱柱 凰典例1-1】(24-25高一下.四川成都期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成 棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为) A.8 B.16 C.24 D.32 〖典例1-2】(25-26高一下·全国课后作业)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线 称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有() A.20条 B.15条 C.12条 D.10条 【典例1-3】（多选24-25高一下·陕西榆林期中）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M是棱B1C上的一个 动点（含端点），则MA+MC1的取值可以为() A.V+√2 B.2V5 C.2W2+2 D.5 【典例1-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干. 蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm,书脊的长度是20cm,蚂蚁爬 行的最短距离 第3页共22页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 I变式1-1】(24-25高一下新疆乌鲁木齐期末)如图，长方体ABCD-A'B'C'D被截去一小部分，其中EH/ AD'IFG,则截去的几何体EFB'-HGC是() A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.五棱柱 D H G D B 【变式1-2】(24-25高一下·吉林白山期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆 锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 【变式1-3】(25-26高一下全国·课堂例题)下列命题中，正确的是() A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【变式1-4】(24-25高一下.四川成都·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,P、Q分别为棱AA1,BC 的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点的最短路径的长度为) A.V11 B.V10 C.3 D.2V2 《变式1-5】（多选(22-23高一下广东汕头·期中）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱的侧面均为 矩形，AA1=1,AB=BC=V3,cOs∠ABC=子P是线段A1B上的一动点，则AP+PC取值可能为) A.V6 B.7 C.1+3 D.2+V5 A B 【变式1-6I(24-25高一下·河北期中)如图，在边长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC 第4页共22页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 中点，过M、N、D作与正方体的截面为a,则截面a的周长为 D 题型02棱锥 《典例2-1】(24-25高一下.北京延庆期末)己知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为() A.1 B.V2 C./3 D.2 【典例2-2】(25-26高一下·全国课后作业)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”， 正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在 ①、②、③处可依次写上() A.乐、新、快 B.快、新、乐 C.新、乐、快D.乐、快、新 ① 年 ③ 【典例2-3】（多选(25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这 个棱锥可能是() A.正三棱锥 B.正四棱锥 C.正五棱锥 D.正六棱锥 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为 【变式2-1】(24-25高一下山东淄博期中)给出下列四个命题，正确的是(). A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【变式2-2】(2026高一，全国.专题练习)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4，且∠APB=30°，若一只蚂蚁 从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A,则蚂蚁爬行的最短距离为() A.6 B.3V5 c.4v3 D.3W10 【变式2-3】(24-25高一下广东佛山月考)已知四棱锥有m条棱，n个顶点，则m-n=() 第5页共22页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.3 C.4 D.5 【变式2-4】(24-25高一下·河南·月考)如图，正四面体P-ABC的棱长均为2，M是棱PA的中点，N是棱AC 上一动点，则MN+BN的最小值为) A.3 B.7 C.v6 D.5 B 【变式2-5】（多选）(23-24高一下·重庆渝中.期中)满足下列条件的四面体存在的是(） A.1条棱长为V3,其余5条棱长均为1 B.1条棱长为1，其余5条棱长均为V C.2条棱长为V5,其余4条棱长均为1 D.2条棱长为1，其余4条棱长均为V3 【变式2-6】(23-24高一下·河北石家庄·期中)如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=2V10,AB=4.从A拉 一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 题型03棱台 【典例3-1】(25-26高一下·全国课堂例题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有() ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台：③两个底面平行且相 似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台， A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【典例3-2】(24-25高一下，北京延庆期末)如图，ABC-A1B1C1是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上 底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为) A. 4W6 3 B.3v6 C.v6 0.9 【典例3-3】（多选）22-23高一下河北承德.期末)甲工程师计划将一块边长为6m的正方形ABCD铁片加工成 一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形EFGH和正方形ABCD的中心重合， L,J,K,L,MN,O,P分别是边AB,BC,CD,DA上的三等分点，且EF II AB,IU<EF<AB,将图中的四块阴影部分 第6页共22页 丽学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形EFGH加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则() A.甲工程师可以加工出一个底面周长为8m的正四棱台 B.甲工程师可以加工出一个底面面积为8m的正四棱台 C.甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台 D.甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5m的正四棱台 NO) L(0 I(P) 图1 图2 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法正确的是 (填序号) ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥： ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的那部分几何体是棱台： ③存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形. 【变式31】(25-26高一全国假期作业)在三棱台ABC-AB'C中，截去三棱锥A一A'B'C',则剩余部分是() A.三棱锥 B.三棱台 C.四棱锥 D.三棱柱 【变式32】(24-25高一下·全国课后作业)一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是() A.四棱柱 B.四棱台 C.五棱锥 D.五棱台 【变式33】(23-24高一下，福建龙岩·期中)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=3A1B1=6,AA1=4,点 P为棱BB1上的动点（含端点），则AP+PC的最小值是() A.6 B.6V3 C.8 D.8V3 【变式3-4】(23-24高一下…江苏无锡期中)半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不 全相同的正多边形为面的多面体某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割 而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M,N分别在线段DE,BC上，则FM+MN+AN的最 小值为) A.3V2 B.V19 C.6V2 D.2V19 【变式35】（多选23-24高一下.湖北武汉·期末）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=ED1,C1F=2FD1, 第7页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 过E,F的平面将正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则所得几何体可能是() A.直三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.三棱台 【变式36】(25-26高一下·全国随堂练习)已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为V3,高为1，则该正 四棱台的下底面边长为 题型04圆柱 【典例41】(24-25高一下河北期中)如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形 状是() A.圆 B.矩形 C.椭圆 D.梯形 【典例42】(24-25高一下河北雄安月考)如图，四边形ABCD是圆柱0102的轴截面，AB=6,圆01的周长 为4，E是线段CD的中点，曲线BE在圆柱01O2的侧面上，且曲线BE的长度等于在圆柱01O2的侧面上从B到E 的最短距离，若P为曲线BE上的动点，则点A到点P的距离的最小值是() A.5V13 B.123 C.√13 D.2V13 13 13 【典例43】（多选23-24高一下山东滨州月考）下面关于空间几何体的叙述正确的是(） A.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B.长方体是平行六面体 C.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D.存在每个面都是直角三角形的四面体 【典例44】(2026高一全国.专题练习)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形ABCD,点E在下底 面圆周上，且CE=V√3BE,点F在母线AB上，点G是线段AC上靠近点A的四等分点，则EF+FG的最小值为 【变式41】(25-26高一上北京·开学考试)如图，在矩形ABCD中，AB>AD,将该矩形绕直线CD旋转一周 可得到的立体图形是() 第8页共22页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 0 【变式42】(25-26高一上.甘肃定西·开学考试)如图，圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程为π取3) A.10cm B.14cm C.20cm D.无法确定 Bc 【变式43】(23-24高一下河南新乡期中)一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴 截面的面积为() A.32 B.32 C.16 0.9 【变式44】(19-20高一，全国·课后作业)圆柱的轴截面是一个边长为5cm的正方形ABCD,则从A到C的圆柱 侧面上的最短距离为) A.10cm B.4cm C.5v√2cm D.5Vπ2+1cm 【变式45】（多选）(24-25高一下广西期中)下列命题是真命题的是() A.棱柱的侧面一定是平行四边形 B.底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C.棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D.用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【变式46】(24-25高一上·上海期末)如图，A,B是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分 别为A,B,若AA=a,BB'-b,弧AB-,则沿圆柱侧面从A到B的最短距离是 题型05圆锥 【典例51】(25-26高一上·陕西开学考试)用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这 第9页共22页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 个几何体不可能是() A.圆锥 B.圆柱 C.五棱柱 D.正方体 【典例5-2】(2026高一.全国.专题练习)已知圆锥的底面半径为2，高为4W2.点M是该圆锥某条母线的中点， 若一质点从点M出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点M,则该质点运动的最短路径长为() A.π B.2π C.3V3 D.6 【典例5-3】（多选24-25高一下广东期中）下列命题正确的是() A.一个棱柱至少有六个面 B.棱台的各侧棱延长后交于一点 C.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D.圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【典例5-4】(2026高一全国专题练习)已知在圆锥50中，底面圆0的直径AB=2,圆锥S0的体积为22， 3， 点M在母线SB上，且SM-SB,一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距 离为 【变式51】(25-26高一上江西南昌·开学考试)如图，沿线段0A将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的 侧面展开图是() A.三角形 B.正方形 C.扇形 D.圆 【变式52】(25-26高一下·全国·课后作业)一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面 积为() A.10 B.12 C.20 D.15 【变式53】(24-25高一下山东青岛·期末)已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80m,则过该圆锥顶点的 平面截此圆锥所得截面面积的最大值为) A.2 B.48 C.50 D.96 【变式5-4】(24-25高一下福建南平.期末)已知圆锥的母线长为2，过圆锥的项点作圆锥的截面，若截面面 第10页共22页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4-19 空间几何体讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01棱柱 题型02棱锥 知识点01多面体 题型03棱台 4-1空间几何体 题型04圆柱 题型05圆锥 知识点02旋转体 题型06圆台 题型07球 知识点03直观图 题型08直观图 教学目标、教学重难点 教学目标 掌握基本立体图形的结构特征，斜二测画法， 教学重点 基本立体图形的结构特征，斜二测画法 教学难点 台体，球 知识清单 知识点01多面体 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台； 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些 面所围成的多面体叫做棱柱。 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱 (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱 (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱锥。 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥。 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中，与平面AA1D1D平行 的面有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断图形中的面面关系 【分析】先明确平面AA1D1D在长方体中的位置，再根据长方体相对面平行的性质，找出与它相对的面. 【详解】根据长方体的结构性质，长方体中相对的两个不同平面互相平行，共三组平行对面， 平面AA1D1D是长方体的一个侧面，仅它的对面BB1C1C与它平行， 第1页共62页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 余四个面都和平面AA1D1D相交（存在公共交线），不平行. 符合要求的面只有1个。 《即学即练1-2】（多选）25-26高一下·全国·课堂例题)（多选题）下列关于棱锥、棱台的说法正确的是() A.棱台的侧面一定不会是平行四边形 B.棱锥的侧面只能是三角形 C.由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱台的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类 【详解】选项A,棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，A正确： 选项B,由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，B正确： 选项C,每个面都是三角形，且有一个公共顶点，这是三棱锥（四面体），C正确： 选项D,如下图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，D错误. 知识点02旋转体 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旅转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱。 (1)轴：旋转轴叫圆柱的轴； (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面. (4)母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线。 2.圆锥：以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥. 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台， 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体， 简称球。 ()半圆的圆心叫球的球心 (2)连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径 (③)连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 【即学即练2-1】(24-25高一下·天津河西·月考)如图，已知圆柱体底面圆的半径为二cm,高为2cm,AB,CD 分别是两底面的直径，AD,BC是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线 的长度是()cm.(结果保留根式) 第2页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B-- A.23 B.2W3 C.2W2 D.4 3 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】圆柱的展开图及最短距离问题 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段AC1的长度即为所求， 在Rt△AB1C1中，AB1=元·2=2cm,B1C1=2cm,AC1=2V2cm. 故选；C 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·新疆伊犁·期中)下列说法中正确的是() A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C.有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、棱锥的结构特征和分类、棱台的结构特征和分类、球的结构特征辨析 【分析】根据正棱锥的概念判断A;根据直四棱柱和正四棱柱的概念判断B;根据棱台的概念判断C;根据 球的概念判断D. 【详解】对于A,各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误： 对于B,易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，正四棱柱的底面是正方形，所以正四棱柱是平行 六面体，故B正确： 对于C,根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体 不一定是棱台，故C错误； 对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确. 故选：BD 知识点03直观图 1.斜二测画法： (1)建立平面直角坐标系：在已知平面图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴相交于点O 第3页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)画出斜坐标系：在画直观图的纸上（平面上）画出对应的x轴和y轴，两轴相交于点0'，且使∠x0'y=45° 或135°，它们确定的平面表示水平面， (3)画对应图形：在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变.在已知图形平 行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半， 2.斜二测画法的直观图与原图面积的关系：S省表m=号5限形5原形=2V2西直刻图 【即学即练3-1】(23-24高一下·天津武清·月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角△0AB,其 中AB'=√5，则原图形的面积为() A.5V2 B.5V5 c.10v5 D.10v2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】利用斜二测画法的面积性质即可求解 【详解】由斜二测画法可知。∠A0B=是又因为AB=5, 所以直角△0AB的面积为左×V5×V5- 根据面积关系，可知原图形的面积为×2√2=5V2, 故选：A 【即学即练1-2】（多选）(25-26高一下·全国·课后作业)如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形 A'B'CD,已知A'B'=4,CD'=2,则下列说法正确的是() 0A) B A.A'D'=2V2 B.AB=4 C.四边形ABCD的面积为6V2 D.四边形ABCD的周长为6+V6+√2 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合LDAM=45°，求出A'D'=√2；B选项，由斜二测法可知 AB=A'B'=4:C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确：D选项，在C基础上，求出 各边长，得到周长 第4页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A选项，过点C',D'作CN,D'M垂直于x轴于点N,M, 因为等腰梯形A'B'C'D中A'B'=4,CD'=2, 所以MN=2,A'M=BN=1, 又∠D'AM=45°，所以AD'=V2,故A错误： D2 C A了 /1M2N1B文 对于B选项，由斜二测法可知AB=A'B'=4,故B正确： 对于C选项，作出原图形，可知AD=2A'D'=2V2,AB=4,CD=2,AD1AB, 故四边形ABCD的面积为CD+4B)AP=6√2，故C正确： 2 22 A2H2B 对于D选项，过点C作CH⊥AB于点H, 则AH=CD=2,BH=4-2=2,CH=AD=22,由勾股定理得BC=√BH2+CH产=2V5, 四边形ABCD的周长为AB+CD+AD+BC=4+2+2V2+2V3=6+2V2+2V3,故D错误. 题型精讲 题型01棱柱 【典例1-1】(24-25高一下.四川成都期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成 棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为) A.8 B.16 C.24 D.32 【答案】c 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了顶点处的小正方体外，其它的小正方体有2面涂有红 色，问题得以解决， 【详解】位于大正方体的12条棱处的小正方体，除了项点处的小正方体外， 其它的小正方体有2面涂有红色，总共有2×12=24个. 故选：C 【典例1-2】(25-26高一下，全国课后作业)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线 第5页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有() A.20条 B.15条 C.12条 D.10条 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱及其有关计算 【分析】作出图形，在五棱柱ABCDE-A1BC1D1E1中，找出一个端点为A1的对角线，即可得解。 【详解】如下图所示： 在五棱柱中ABCDE-A1B1C1D1E1 若对角线的一个端点为A1,则满足条件的对角线为A1C、A1D, 同理可知，有一个端点分别为B1、C1、D1、E1的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有2×5=10条. 故选：D. 【典例1-3】（多选24-25高一下陕西榆林.期中）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M是棱B1C上的一个 动点（含端点），则MA+MC1的取值可以为) A.V6+V2 B.2W5 C.22+2 D.5 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将△ACB1绕CB1翻折至与△CB1C1共平面，当A、M、C1共线时，MA+MC1最小，M与B1(或C)重 合时MA+MC1最大，可得结论 【详解】由正方体的性质可得△ACB1为等边三角形，边长为2W2, △CB1C1为等腰直角三角形，其直角边长为2， 将左图中△ACB1绕CB1翻折至与△CB1C1共平面（如右图）， 因为CA=CB1=AB1=2W2,CC1=B1C1=2, 所以当A、M、C1共线时MA+MC1最小， 此时M为CB1中点，AM⊥B1C,C1M⊥B1C, 此时AM= AB-B M2=8-2=6,MC1=BC=2. 则MA+MC1最小值为√2+√： 当M与B1(或C)重合时MA+MC1最大，最大值为2W2+2. 第6页共62页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：ABC D A 【典例1-4】(25-26高一下·全国课堂例题)如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干. 蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm,书脊的长度是20cm,蚂蚁爬 行的最短距离 【答案】√449 【难度】0.85 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将书展开可，根据己知结合勾股定理，即可得出答案 【详解】将书展开可得如图（蚂蚁在B处，饼干在A处）最短路线为AB,BE/CD, E D 由已知可得，DE=BC=4,AD=3,则AE=7. 又BE=20,由勾股定理可得AB2=BE2+AE2=202+72=449, 所以，AB=√449 故答案为：√449. 【变式1-1】(24-25高一下新疆乌鲁木齐期末)如图，长方体ABCD-A'B'CD被截去一小部分，其中EH/∥ A'D'/IFG,则截去的几何体EFB'-HGC是() D E B A.三棱锥 B.三棱柱 C.三棱台 D.五棱柱 【答案】B 第7页共62页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【难度】0.94 【知识点】棱柱的结构特征和分类 【分析】由正方体的几何特征结合三棱柱的定义即可求解， 【详解】在长方体ABCD-A'B'CD中，由EH/IA'D'/FG可得四边形B'FGC,BEHC为平行四边形， 所以EH=FG,所以四边形EFGH为平行四边形， 所以△BEF兰△C'HG, 则几何体EFB'-HGC为三棱柱. 故选：B 【变式1-2】(24-25高一下·吉林白山·期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆 锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】棱柱的结构特征和分类、由平面图形旋转得旋转体 【分析】由几何体的结构特征逐一判断各个命题即可求解。 【详解】对于①，若直角三角形绕斜边旋转一周，则形成的几何体是两个同底面圆的圆锥的组合体，故① 错误： 对于②，棱长都相等的直四棱柱是也可能是上下底面是菱形，四个侧面是正方形的直四棱柱，故②错误： 对于③，四棱柱所有的侧面都是平行四边形，但上下底面可能为梯形，故③错误： 故命题①②③都是假命题. 故选：D 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题中，正确的是() A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的结构特征和分类、判断几何体是否为棱柱 【分析】用棱柱的特点判断AD,利用举例法判断BC 【详解】对于A,不符合棱柱的侧棱平行的特点，故A错误： 对于B选项，如图(1)，构造四棱柱ABCD-A1B1C1D1,令四边形ABCD是梯形， 可知平面ABB1A1/平面DCC1D1,但这两个面不能作为棱柱的底面，故B错误； 选项C中，如图(2)，底面ABCD可以是平行四边形，故C错误 对于D,说明了棱柱的特点，故D正确 第8页共62页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D. D D D以 3 图(1) 图(2) I变式1-4】(24-25高一下.四川成都·期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,P、Q分别为棱AA1,BC 的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为) A.V11 B.V10 C.3 D.2V2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得。 【详解】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别为棱AA1,BC的中点， 按照下列方式展开，PQ=,12+(2+1)2=√10 B C B Q 按照下列方式展开，PQ=12+(2+1)2=V10 D 按照下列方式展开，PQ=√22+2严=2V2. A A 综上所述，最短路径PQ=2√2. 故选：D. 第9页共62页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 《变式1-5】（多选22-23高一下广东汕头期中）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，棱柱的侧面均为 矩形，AA1=1,AB=BC=V3,c0s∠ABC=子P是线段A1B上的一动点，则AP+PC,取值可能为() C D B A.V6 B.√7 C.1+3 D.2+V5 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、棱柱的结构特征和分类、余弦定理解三角形 【分析】连接BC1,得△A1BC1,以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1,设点C1 的新位置为C,连接AC,再根据两点之间线段最短及最大值求解即可 【详解】连接BC1,得△A1BC1,以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1, C B 设点C1的新位置为C,连接AC,则有AP+PC1=AP+PC'≥AC,如图， 4 B 当A,P,C'三点共线时，则AC即为AP+PC1的最小值 在三角形ABC中，AB=BC=V3,c0 sLABC=-京 由余弦定理得：AC=√AB2+BC2-2AB·BCcosB 3+3-2×3×=2， 所以A1C1=2,即A1C'=2, 在三角形A1AB中，AA1=1,AB=V3, 由勾股定理可得：A1B= AA12+AB2=V1+3=2,且∠AA1B=60° 第10页共62页 4-1 空间几何体 讲义 教学目标 掌握基本立体图形的结构特征，斜二测画法. 教学重点 基本立体图形的结构特征，斜二测画法. 教学难点 台体，球. 知识点01 多面体 常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台； 1.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱. (2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱. (3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. (4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体. 2.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的多面体叫棱锥. 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥. 3.棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台. 【即学即练1-1】(25-26高一下·全国·课后作业)在长方体的六个面中，与平面平行的面有(   ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一下·全国·课堂例题)(多选题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的是(    ) A．棱台的侧面一定不会是平行四边形 B．棱锥的侧面只能是三角形 C．由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥 D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 知识点02 旋转体 常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球. 1.圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱. (1)轴：旋转轴叫圆柱的轴； (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面. (4)母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线. 2.圆锥：以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥. 3.圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台， 4.球：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球. (1)半圆的圆心叫球的球心. (2)连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径. (3)连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径. 【即学即练2-1】(24-25高一下·天津河西·月考)如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是(    )cm．(结果保留根式) A． B． C． D．4 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·新疆伊犁·期中)下列说法中正确的是(   ) A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱；正四棱柱是平行六面体 C．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面 知识点03 直观图 1.斜二测画法： (1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点.  (2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的′轴和′轴, 两轴相交于点′，且使或，它们确定的平面表示水平面.  (3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于′轴，长度保持不变. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于′轴, 且长度为原来一半. 2.斜二测画法的直观图与原图面积的关系： 【即学即练3-1】(23-24高一下·天津武清·月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为(   ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是(    ) A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 题型01 棱柱 【典例1-1】(24-25高一下·四川成都·期末)如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其分割成棱长为1cm的小立体，则两面是红色的小立方体的个数为(   ) A．8 B．16 C．24 D．32 【典例1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有(   ) A．条 B．条 C．条 D．条 【典例1-3】(多选)(24-25高一下·陕西榆林·期中)正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点(含端点)，则的取值可以为(   ) A． B． C． D．5 【典例1-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，在一本打开的书封面上有一只蚂蚁，在封底有一小块饼干.蚂蚁想爬过书脊到达饼干处.若蚂蚁和饼干离书脊的距离分别为4cm和3cm，书脊的长度是20cm，蚂蚁爬行的最短距离_______. 【变式1-1】(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)如图，长方体被截去一小部分，其中 ，则截去的几何体是(    ) A．三棱锥 B．三棱柱 C．三棱台 D．五棱柱 【变式1-2】(24-25高一下·吉林白山·期末)设有三个命题：①直角三角形绕一边旋转一周形成的几何体是圆锥；②棱长都相等的直四棱柱是正方体；③四棱柱所有的面都是平行四边形；其中真命题的个数是(   ) A．3 B．2 C．1 D．0 【变式1-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列命题中，正确的是(    ) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形 【变式1-4】(24-25高一下·四川成都·期末)在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为(    ) A． B． C．3 D． 【变式1-5】(多选)(22-23高一下·广东汕头·期中)如图所示，在直三棱柱中，棱柱的侧面均为矩形，，，，是线段上的一动点，则取值可能为(    ) A． B． C． D． 【变式1-6】(24-25高一下·河北·期中)如图，在边长为3的正方体中，为中点，为中点，过、、作与正方体的截面为，则截面的周长为________. 题型02 棱锥 【典例2-1】(24-25高一下·北京延庆·期末)已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为(    ) A．1 B． C． D．2 【典例2-2】(25-26高一下·全国·课后作业)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上(   ) A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【典例2-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能是(   ) A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥 【典例2-4】(25-26高一下·全国·课后作业)一个正三棱锥的侧棱和底面边长都是4，则该正三棱锥的高为________． 【变式2-1】(24-25高一下·山东淄博·期中)给出下列四个命题，正确的是(   )． A．有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 【变式2-2】(2026高一·全国·专题练习)已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为(    ) A．6 B． C． D． 【变式2-3】(24-25高一下·广东佛山·月考)已知四棱锥有条棱，个顶点，则(    ) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-4】(24-25高一下·河南·月考)如图，正四面体的棱长均为2，是棱的中点，是棱上一动点，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式2-5】(多选)(23-24高一下·重庆渝中·期中)满足下列条件的四面体存在的是(    ) A．1条棱长为，其余5条棱长均为1 B．1条棱长为1，其余5条棱长均为 C．2条棱长为，其余4条棱长均为1 D．2条棱长为1，其余4条棱长均为 【变式2-6】(23-24高一下·河北石家庄·期中)如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为________． 题型03 棱台 【典例3-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列关于棱锥、棱台的说法正确的有(    ) ①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【典例3-2】(24-25高一下·北京延庆·期末)如图，是一个正三棱台，而且下底面边长为4，上底面边长和侧棱长都为2，则棱台的高为(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(22-23高一下·河北承德·期末)甲工程师计划将一块边长为的正方形铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形和正方形的中心重合，分别是边上的三等分点，且，将图中的四块阴影部分裁下来，用余下的四个全等的等腰梯形和正方形加工成一个无盖正四棱台，如图2所示，则(    ) A．甲工程师可以加工出一个底面周长为的正四棱台 B．甲工程师可以加工出一个底面面积为的正四棱台 C．甲工程师可以加工出一个高为的正四棱台 D．甲工程师可以加工出一个侧棱长为的正四棱台 【典例3-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法正确的是___________(填序号)． ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ②用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的那部分几何体是棱台； ③存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形． 【变式3-1】(25-26高一·全国·假期作业)在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是(    ) A．三棱锥 B．三棱台 C．四棱锥 D．三棱柱 【变式3-2】(24-25高一下·全国·课后作业)一个几何体恰有10个顶点，则这个几何体可能是(    ) A．四棱柱 B．四棱台 C．五棱锥 D．五棱台 【变式3-3】(23-24高一下·福建龙岩·期中)在正四棱台中，，点为棱上的动点(含端点)，则的最小值是(    ) A．6 B． C．8 D． 【变式3-4】(23-24高一下·江苏无锡·期中)半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【变式3-5】(多选)(23-24高一下·湖北武汉·期末)在正方体中，，，过E，F的平面将正方体 截成两部分，则所得几何体可能是(   ) A．直三棱柱 B．四棱柱 C．五棱柱 D．三棱台 【变式3-6】(25-26高一下·全国·随堂练习)已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________． 题型04 圆柱 【典例4-1】(24-25高一下·河北·期中)如图，在一密闭的圆柱形容器中装一半的水，水平放置时，水面的形状是(    ) A．圆 B．矩形 C．椭圆 D．梯形 【典例4-2】(24-25高一下·河北雄安·月考)如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(23-24高一下·山东滨州·月考)下面关于空间几何体的叙述正确的是(    ) A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 B．长方体是平行六面体 C．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形 D．存在每个面都是直角三角形的四面体 【典例4-4】(2026高一·全国·专题练习)如图，某圆柱的一个轴截面是边长为3的正方形，点在下底面圆周上，且，点在母线上，点是线段上靠近点A的四等分点，则的最小值为______. 【变式4-1】(25-26高一上·北京·开学考试)如图，在矩形中，，将该矩形绕直线旋转一周可得到的立体图形是(    )  A．   B．   C．   D．     【变式4-2】(25-26高一上·甘肃定西·开学考试)如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为(   )(取3) A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【变式4-3】(23-24高一下·河南新乡·期中)一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为(    ) A．32 B． C． D． 【变式4-4】(19-20高一·全国·课后作业)圆柱的轴截面是一个边长为的正方形，则从到的圆柱侧面上的最短距离为(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·广西·期中)下列命题是真命题的是(    ) A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．底面是等边三角形的三棱锥是正三棱锥 C．棱台的所有侧棱所在直线一定交于同一点 D．用一个平面去截圆柱，截面一定是圆 【变式4-6】(24-25高一上·上海·期末)如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.      题型05 圆锥 【典例5-1】(25-26高一上·陕西·开学考试)用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是(    ) A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 【典例5-2】(2026高一·全国·专题练习)已知圆锥的底面半径为，高为．点是该圆锥某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆锥的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为( ) A． B． C． D． 【典例5-3】(多选)(24-25高一下·广东·期中)下列命题正确的是(    ) A．一个棱柱至少有六个面 B．棱台的各侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【典例5-4】(2026高一·全国·专题练习)已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【变式5-1】(25-26高一上·江西南昌·开学考试)如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是(    ) A．三角形 B．正方形 C．扇形 D．圆 【变式5-2】(25-26高一下·全国·课后作业)一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为(    ) A．10 B．12 C．20 D．15 【变式5-3】(24-25高一下·山东青岛·期末)已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为(   ) A．2 B．48 C．50 D．96 【变式5-4】(24-25高一下·福建南平·期末)已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【变式5-5】(多选)(24-25高一下·全国·课后作业)如图所示的空间图形是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的复杂空间图形，现用一个竖直的平面去截这个复杂空间图形，则截面图形可能是(    ) A． B． C． D． 【变式5-6】(23-24高一下·福建福州·期末)如图，圆锥底半径长为1，母线的长为6，是母线上一点，且． 一个质点从出发沿圆锥侧面图示路线到达． 若该质点走过的路程最短且质点在运动时先上升，后下降，则 的取值范围为_____________． 题型06 圆台 【典例6-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期末）下列说法正确的是（    ） A．通过圆台侧面一点，有无数条母线 B．棱柱的底面一定是平行四边形 C．圆锥的轴截面都是等腰三角形 D．用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 【典例6-2】(24-25高一下·浙江·月考)圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为(    ) A． B． C． D． 【典例6-3】(多选)(24-25高一下·广西南宁·月考)下面关于空间几何体叙述正确的是(   ) A．正四棱柱都是长方体 B．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 C．棱台的侧面都是梯形 D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台 【典例6-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【变式6-1】(24-25高一下·福建福州·期中)下列命题中正确的是(   ) A．直四棱柱是长方体 B．正六棱锥的侧面都是正三角形 C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥 【变式6-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)以下说法正确的是(    ) A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 【变式6-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(    ) ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-4】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(    ) ①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形(不是正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-5】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)给出下列命题，正确的是(    ) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 【变式6-6】(24-25高一下·黑龙江·期末)如图，在直角梯形中，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体．一只蚂蚁在形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为_____．    题型07 球 【典例7-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是(   ) A．4 B．3 C．2 D．1 【典例7-2】(24-25高一下·四川成都·期末)棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为(   ) A．1 B． C． D．2 【典例7-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)(多选题)给出下列命题，其中正确的是(    ) A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 【典例7-4】(22-23高一下·全国·课后作业)有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；②球的直径是球面上任意两点间的连线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.则正确命题的序号是_________. 【变式7-1】(25-26高一下·全国·课堂例题)下列说法中正确的个数是(   ) ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】(25-26高一下·全国·单元测试)用一个平面去截一个几何体，可以使截面是长方形，也可以使截面是圆，则这个几何体可以是(   ) A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．球 【变式7-3】(24-25高一下·广东惠州·期中)下列正确的是(    ) A．过球面上两点与球心有且只有一个平面 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【变式7-4】(24-25高一下·重庆·期末)已知三棱锥底面边长均为3，侧棱，且平面ABC，则该三棱锥外接球的半径长为(   ) A．2 B． C．3 D． 【变式7-5】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)下列立体图形中，一定有内切球的是(    ) A．正四面体 B．直三棱柱 C．正三棱台 D．正四棱锥 【变式7-6】(24-25高一下·山东日照·月考)已知地球的半径为，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬，东经，则北纬纬线圈的长度(用表示)为_____. 题型08 直观图 【典例8-1】(24-25高一下·安徽合肥·期末)用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是(    ) A． B． C． D． 【典例8-2】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是( ) A．1 B．2 C．4 D．8 【典例8-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)如图，是的斜二测画法的直观图，，则在原平面图形中，有(    ) A． B． C． D． 【典例8-4】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为____． 【变式8-1】(24-25高一下·浙江杭州·期中)如图，是水平放置的的直观图，则的面积为(    ) A．12 B．24 C． D． 【变式8-2】(25-26高一下·全国·课后作业)如下图，已知图2为甲同学用斜二测画法作出的在平面直角坐标系中正五边形(见图1)的直观图即五边形，且保持坐标轴上的单位长度不变，其中各点的做法可能正确的为( ) A． B． C． D． 【变式8-3】(25-26高一下·全国·课堂例题)用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则(    ) A． B． C． D． 【变式8-4】(25-26高一下·全国·课后作业)水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知轴，则中边上的中线的长度为(    ) A． B． C．5 D． 【变式8-5】(多选)(25-26高一·全国·假期作业)如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是( ) A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【变式8-6】(25-26高一下·全国·课后作业)如图是斜二测画法下水平放置的平面图形的直观图，若是边长为2的正方形，则平面图形的周长为______． 一、单选题 1.(24-25高一下·甘肃武威·期中)下列立体图形为平行六面体的是(   ). A． B． C． D． 2.(2022高一·全国·专题练习)如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为(    )    A． B． C． D． 3.(25-26高一下·全国·课堂例题)如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是( ) A． B． C． D．12 4.(24-25高一下·山西·期中)下列说法正确的是(    ) A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 5.(24-25高一下·北京东城·期末)如图，四棱台的两底面是正方形，侧面是全等的等腰梯形.若该棱台的侧棱，下底面的边长为5，下底面所在平面与侧面所在平面的夹角的正弦值为，则上底面的边长为(    ) A．15 B． C．25 D． 6.(24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考)已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为(   ) A． B． C． D． 7.(25-26高二上·上海松江·月考)如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是(    ) A． B． C． D． 8.(23-24高二上·四川南充·月考)在直三棱柱中分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为(    ) A． B． C． D． 二、多选题 9.(23-24高一下·新疆·期中)如图，在直三棱柱中，D，G，E分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，则(    ) A．有7个面 B．有13条棱 C．有7个顶点 D．直线直线EF 10.(25-26高一下·全国·课后作业)如图，是水平放置的直观图，，则在原平面图形中，有( ) A． B． C． D． 11.(24-25高一下·新疆克拉玛依·期中)下列关于空间几何体的说法正确的有(    ) A．正五棱锥侧棱长与底面多边形的边长之比为，则 B．一个四面体最多有3个面为直角三角形 C．各个面都是三角形的多面体最多有4个面 D．为圆台的一条母线，点C和点B在圆台的同一底面圆的圆周上，且两点不重合，则直线一定穿过圆台内部 三、填空题 12.(24-25高一下·上海奉贤·期中)如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型(如图2)、下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，则该模型的高为_________．       13.(25-26高一上·黑龙江大庆·开学考试)有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径________. 14.(23-24高一下·四川成都·期末)已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为________. 四、解答题 15.(22-23高一下·全国·课后作业)已知长方体中. (1)若，，，试求在长方体表面上从到的最短路线； (2)若，，且，试求在长方体表面上从到的最短距离. 16.(2024高一下·全国·专题练习)(1)已知的直观图是边长为a的正三角形，求原的面积． (2)如图，是水平放置的斜二测画法的直观图，试判断的形状． (3)若(2)中的，，则中AB的长度是多少？ (4)若已知一个三角形的面积为S，则它的直观图的面积是多少？ 17.(24-25高一下·全国·课堂例题)已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 18.(24-25高一下·广东广州·期中)多面体的欧拉定理：简单多面体的顶点数、棱数与面数满足的数学关系.请运用欧拉定理解决以下问题： (1)碳的分子结构是一个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体，60个碳原子处于多面体的60个顶点位置，求32个面中正六边形面的个数； (2)规定：多面体在顶点处的曲率等于与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.证明：任何简单多面体的总曲率是常数； (3)如果一个正多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这个多面体叫做正多面体.设某个正多面体每个顶点聚集的棱的条数为，每个面的边数为，求满足的关系式；并据此说明正多面体仅有以下五种：正四面体、正方体、正八面体、正十二面体和正二十面体. 19.(23-24高一下·浙江杭州·期中)由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数.我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点､棱､面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，，可以得到顶点数. (1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数； (2)证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱； (3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $