专题3-4 复数的三角形式（高效培优讲义）高一数学湘教版必修第二册

3-4 复数的三角形式 讲义 教学目标 理解复数的三角形式，能利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算. 教学重点 利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算. 教学难点 复数三角形式的几何意义. 知识点01 复数的三角形式的概念 在复平面上，复数与点一一对应。 1.点到原点的距离称为复数的模，表示为; 2.一正实轴为始边，向量为终边所成的角，称为复数的辐角，记作. 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差(). 3.辐角主值()：将满足辐角称为辐角主值，记作. 4.关系：，. 5.复数的三角形式与指数形式：，其中. 【即学即练1-1】(2023高一下·上海·专题练习)的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)若复数(i是虚数单位)，复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是(   ) A． B． C． D． 知识点02 复数的三角形式的运算 公式：若，，则： 1.， 几何意义：相当于将的模伸缩倍，再将逆时针旋转角二得到. 2.， 几何意义：相当于将模相除，再将顺时针旋转角二得到. 3.若，则， 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的倍. 4.，则，(). 几何意义：复数有个不同的次方根，所有根的模相等都是，相邻两个根的辐角相差. 在1复平面上，这个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆周上，构成一个正边形. 5.指数形式运算： ，，，则： ，，，.(). 【即学即练2-1】(22-23高一下·江苏盐城·期末)欧拉公式(为自然对数的底数，为虚数单位)由瑞士数学家(欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是(    ) A． B． C． D． 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·江西·月考)任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为(    ) A． B． C． D． 题型01 复数的三角形式表示 【典例1-1】(24-25高一上·上海·课后作业)的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【典例1-2】(25-26高一下·全国·月考)复数的辐角主值为(   ) A． B． C． D． 【典例1-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)设的辐角主值为，则的辐角可以是(   ) A． B． C． D． 【典例1-4】(25-26高一下·全国·单元测试)若动点对应的复数为，且满足，则的辐角主值的范围为__________，取得最大值时，__________． 【变式1-1】(24-25高一上·湖南衡阳·期末)复数的辐角的主值为(   ) A． B． C． D． 【变式1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)复数化成三角形式，正确的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】(21-22高一下·全国·课后作业)若，则复数(    ) A． B． C． D． 【变式1-4】(25-26高一下·全国·单元测试)复数的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为(   ) A． B． C． D． 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·云南玉溪·月考)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有(    ) A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【变式1-6】(21-22高一下·上海长宁·期末)若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 题型02 三角形式下复数的几何意义 【典例2-1】(20-21高一下·广东惠州·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【典例2-2】(2002·上海·高考真题)如图，与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是(    ) A． B． C． D． 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·河南信阳·期中)下列说法正确的有(    ) A．若，，则 B．已知向量，，则 C．若且，则和在上的投影向量相等 D．若复数，()，其中是虚数单位，则的最大值为    【典例2-4】(20-21高三下·重庆沙坪坝·月考)在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________. 【变式2-1】(20-21高一下·上海·课后作业)已知复数和的辐角主值分别为、，则等于(    ) A． B． C． D．1 【变式2-2】(21-22高一下·福建宁德·期中)欧拉公式(为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-3】(20-21高一·全国·课后作业)设z∈C，且|z|＝1，当|(z﹣1)(z﹣i)|最大时，z＝(    ) A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D． +i 【变式2-4】(20-21高二下·陕西西安·期中)若复数，其中是虚数单位，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．3 【变式2-5】(多选)(21-22高一下·江苏宿迁·期末)年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式(是自然对数的底，是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是(    ) A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 【变式2-6】(22-23高一·全国·课后作业)已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 题型03 复数的乘法与除法 【典例3-1】(2022高一·全国·专题练习)复数的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【典例3-2】(2000·北京·高考真题)设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则(    ) A． B． C． D． 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·湖北武汉·月考)已知为虚数单位，则下列命题正确的是(    ) A．在复平面内，点是原点，若对应的向量为，将绕点按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为 B．虚数满足 C．复数满足，则的最大值为3 D．已知均为实数，是关于的方程的一个解，则 【典例3-4】(19-20高一下·全国·课后作业)已知i为虚数单位，计算：_____. 【变式3-1】(19-20高一·全国·课后作业)若复数z的模为2，辐角主值为，则＝(    ) A．1+i B．1-i C．-i D．+i 【变式3-2】(22-23高一下·河北沧州·期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：(，为虚数单位)，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知(    ) A． B．1 C． D． 【变式3-3】(22-23高一下·全国·课后作业)设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的(    ) A． B． C．   D．   【变式3-4】(19-20高三·北京·强基计划)已知复数z满足，则中不同的数有(    ) A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 【变式3-5】(多选)(21-22高一下·安徽黄山·期末)复数，是虚数单位，则下列结论正确的是(    ) A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为 D．在复平面内的对应点位于第一象限 【变式3-6】(2024高一下·全国·专题练习)计算________. 题型04 复数的乘方与开方 【典例4-1】(21-22高一·全国·课前预习)若，则(    ) A．30° B．60° C．90° D．120° 【典例4-2】(21-22高二下·江苏无锡·期中)棣莫弗公式(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例4-3】(多选)(19-20高一下·山东济南·期末)任何一个复数(其中，)都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(    ) A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【典例4-4】(22-23高一·全国·课后作业)的立方根为____，的三次方根为____，的四次方根为____． 【变式4-1】(20-21高一下·广东惠州·期末)棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667﹣1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】(22-23高一·全国·课后作业)计算：(    )． A．； B．； C．； D．． 【变式4-3】(25-26高三上·湖北·期中)任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(20-21高二下·重庆沙坪坝·月考)已知复数满足且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【变式4-5】(多选)(23-24高三上·广东广州·期中)任何一个复数(其中)都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是(    ) A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【变式4-6】(20-21高一下·上海·单元测试)已知复数，若(，且)，则的最小值为__________． 题型05 复数三角形式的应用 【典例4-1】(22-23高一下·河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(    ) A． B． C． D． 【典例4-2】(22-23高三下·浙江杭州·月考)已知复数满足且有，则(    ) A． B． C． D． 【典例4-3】(多选)(21-22高一下·湖北·期中)任何一个复数(其中，i为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(    ) A． B．当，时， C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【典例4-4】(25-26高一下·全国·课后作业)将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【变式4-1】(22-23高一下·河北沧州·期中)已知(其中i为虚数单位)，那么复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】(21-22高一·全国·课后作业)设，则复数的辐角主值为(    ) A． B． C． D． 【变式4-3】(25-26高一下·全国·课后作业)的结果是(   ) A． B． C． D． 【变式4-4】(2024·陕西商洛·模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为(    ) A． B． C．1 D．0 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·浙江·期中)任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则(    ) A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【变式4-6】(23-24高一下·河南洛阳·期末)已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程(n为正整数)有个不同的复数根． (1)设，则___________；(2)满足方程的复数的值所组成的集合为________． 一、单选题 1.(2024高一下·全国·专题练习)复数化为代数形式为(    ) A．i B． C． D． 2.(25-26高一下·全国·课堂例题)复数的辐角主值为(   ) A． B． C． D． 3.(21-22高一·全国·课后作业)向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是(    ) A．负实数 B．纯虚数 C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0) 4.(20-21高一下·上海浦东新·期末)设复数满足条件，则对应复平面上的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5.(21-22高一下·上海松江·期末)设，则下列命题中的真命题为(    ) A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 6.(23-24高一下·四川达州·期末)若，则(    ) A． B． C． D． 7.(23-24高一下·上海松江·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是(    ) A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 8.(2023·全国·模拟预测)已知复数，则(    ) A．2022 B．2023 C． D． 二、多选题 9.(21-22高一下·辽宁大连·期末)设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是(    ) A． B． C． D． 10.(22-23高二上·内蒙古赤峰·期末)欧拉公式(其中为虚数单位，)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则(     ) A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 11.(24-25高一下·浙江·期中)任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则(    ) A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 三、填空题 12.(23-24高一下·上海·期中)在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 13.(21-22高一·全国·课后作业)如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．    14.(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______． 四、解答题 15.(22-23高一·全国·课后作业)设复数，求证： (1)，，1都是1的立方根；(2)． 16.(22-23高一下·福建三明·月考)在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根. (1)求实数m，n的值；(2)若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求. 17.(23-24高一下·四川成都·期中)我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 18.(24-25高一下·贵州贵阳·期末)形如z=a+bi(a，b∈R)的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r(cosθ+isinθ)()是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 (辐角取主值)； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 (i) ; (ii) 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 19.(22-23高一下·江苏淮安·期中)已知复数的三角形式为. (1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数(用代数形式表示). (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-4复数的三角形式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01复数的三角形式表示 题型02三角形式下复数的几何意义 3-4复数的三角形式 知识点01复数三角形式的概念 题型03复数的乘法与除法 题型04复数的乘方与开方 知识点02复数三角形式的运算 题型05复数三角形式的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解复数的三角形式，能利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算， 教学重点 利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算 教学难点 复数三角形式的几何意义. 知识清单 知识点01复数的三角形式的概念 在复平面上，复数z=a+bi与点Z(a,b)一一对应。 1.点Z(a,b)到原点的距离称为复数的模，表示为r=lzl=√a2+b2: 2.一正实轴为始边，向量0Z为终边所成的角，称为复数的辐角，记作0=Arg(z) 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差2kπ(k∈Z). 3.辐角主值(0)：将满足-π<0≤π或0≤0<2π的辐角称为辐角主值，记作0=arg(z). 4.关系：a=rcos0,b=rsin0. 5.复数的三角形式与指数形式：z=r(cos0+isin8)=rei0,其中r≥0. 【即学即练1-1】(2023高一下·上海.专题练习)-1-√3i的三角形式是() A.-2(cos+isin) B.2[cos(-)+isin(-牙〗 C.(sin+ic) D.cos+isin) 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【详解】a=-1,b=-V3,r=z=√(-1)2+(V③2=2， cos0==号=sim0=9=-号所以0=am06=- 所以z=2[cos(-受)+isin(-受儿，选B. 【即学即练1-2】(25-26高一下.全国.单元测试)若复数2=c0s是+isin是虚数单位)，复数z2的实部、虚 第1页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 部分别为a,b,则下列结论不正确的是() A.ab<0 B.a2+b2≠1 c.8=V3 D.&=V3 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的三角表示 【分析】根据复数的乘方运算可得z?=5+i,即可确定a,b,一一判断各选项即可得答案， 2 【详解】由题意知复数z=cos号+sm受 则2-(o2+n}°=6as2装-sn2资+2in后cos音-oas好+n-9+5 a=兽b-专则ab>0r+b2=1号=V3,名号枚A80不正确，C正确， 故选：ABD 知识点02复数的三角形式的运算 公式：若z1=T1(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin02),则： 1.z1'z2=r1rz[cos(01+02)+isin(01+02)], 几何意义：z1·z2相当于将z1的模伸缩r2倍，再将z1逆时针旋转02角二得到. 2号-号[cos(0,-0,)+isim(01-0,小， 几何意义：二相当于将模相除，再将21顺时针旋转02角二得到， 3.若z=r(cos0+isin),则z”=r"[cos(n)+isin(n0)] 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的n倍 4z=r(cos0+isin0),则=2云=F[cos(色+2）+isin(t》 (k∈Z) 几何意义：复数有n个不同的次方根，所有根的模相等都是V,相邻两个根的辐角相差织 在1复平面上，这n个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以斤为半径的圆周上，构成一个正n边形. 5.指数形式运算： z=r(cose isine)=rei,z1=r1(cose1+isine)=riei01,22=r2(cos02 +isin02)=r2ei2,: a122=ra0+2,兰-兰e0:-0以，2=en,2=zi=Ge0.kez). 72 凰即学即练2-1】(22-23高一下·江苏盐城期末)欧拉公式e识=cos0+isin0(e为自然对数的底数，i为虚数单 位)由瑞士数学家Eulr欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关 系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是()】 A.(cos01+isin01)(cos02 isine2)=cos0cos02-sine sine2 B.(cos01+isin1)(cos02 isine2)=cos(01 02)+isin(0102) C.(cos0+isin)(cos02 isine2)=cos(01+02)+isin(01+02) D.(cos0+isin)(cos02 isin02)=cos0cos02+sinesin2 【答案】c 【难度】0.94 第2页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果 【详解】(cos01+isin01)(cos02+isin02)=ei91,ei02=eia1+82）=cos(01+02)+isin(01+02). 故选：C 【即学即练2-2】（多选）24-25高一下·江西·月考)任何一个复数z都可以表示为re,且可以表示为三角形式 r(cos0+isi8),r代表复数z的模，日是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角.著名数学家棣 莫弗就此进行了深度究，发现[r(cos0+isin8)]m=r"(cosn6+isinne)(n∈W),该公式称为棣莫弗公式. 根据上面的知识，若复数z满足z7=128,则z可能的取值为) A.(cos+isin B.2(cos+isin C.(cos+isin D.2(cos Ox+isin m) 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示 【详解】根据棣莫弗定理可得z的一般形式，求出7θ、r可得答案， 【分析】设z=r(cos0+isin0),其中r>0,则z7=r7(cos70+isin78)=128, 所以r7cos70=128,sin70=0,而c0s70>0,则70=2kmk∈Z, 故r7=128即r=2,故z=2(cos+sim),k∈z,故B,D正确，A,C错误 故选：BD 题型精讲 题型01复数的三角形式表示 【典例1-1】(24-25高一上·上海课后作业)-1-3i的三角形式是() A.-2(cos+isin B.2 cos(+isin( 】c.2(smg+icos9D.2(cos+isim〉 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可 【详解】由题意得-1-V3i=2(-号)=2(cos誓+ism), 故D正确. 故选：D 【典例1-2】(25-26高一下·全国·月考)复数-sin50°+icos50°的辐角主值为() A.50° B.320° C.40° D.140 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】由三角函数诱导公式，将复数整理成标准的三角形式即可 【详解】由题意得-sin50°+icos50°=cos(90°+50)+isin(90°+50)， 第3页共36页 而学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 即复数为cos140°+isin140°，.arg2=140°. 故选：D 《典例1-3】（多选)25-26高一下·全国课后作业)设3+4i的辐角主值为6，则(3+41·i的辐角可以是() A.t日 B.7-0 c.0- 0.-0 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角， 【详解】3+4i=-4+3i=5(-+) 又3+4i=5·(t),0e[0,2m),cos0=子，sin0=10e(0,月 =-sin0,=cos9 ÷5(-sin0+icos6)=5·[os(（G+0）+isim(+o] 六3+01的辐角主值为+0，则(6+41的辐角可以是程+或0-二 故选：AC. 【典例1-4】(25-26高一下·全国·单元测试)若动点P对应的复数为z,且满足|z-41=2,则z的辐角主值的范 围为 z取得最大值时，z= 【答案】 劉 6i 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示 【分析】根据题意，复数z对应的点在以(0,4)为圆心，半径为2的圆上，根据图形即可得解 【详解】如图，复数z对应的点在以(0,4为圆心，半径为2的圆上. 由图可知，≤ag2≤答根据复数模的意义，当2=6i时，1取得最大值。 3 最大辐角 最小辐角 故答案为：售引：6i 【变式1-1】(24-25高一上湖南衡阳期末)复数z=-3-√3i的辐角的主值为) A沿 B. C. D.8 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案 【详解】z=-3-V3i=25(-号-)=2w3(cosg+1sm) 第4页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以辐角的主值为。 凰变式1-2】(25-26高一下.全国课后作业)复数1一V3i化成三角形式，正确的是() A.2(cos号+isim9）B.2(cosg+isin9）c.2(cosg+isin ）D.2(cosg"+isin"） 【答案】c 【难度】0.84 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、复数的三角形式、复数的三角表示 【分析】求出复数1-v1的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数1-3i对应的点为Z(1,-V3,|0z=2. 设复数1-V3i的辐角为0，则tan6=-V3=-tan5 因为点Z在第四象限，所以9的一个值为2m-号=；所以复数1-V3i化成三角形式为2(cos+isim) 故选：C 【变式1-3】(21-22高一下全国课后作业)若z=2V3,arg2=。则复数z=() A.3+3i B.v3+3i C.3-v3i D.V3-3i 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据题意得到z=2V3(cos+isin), 计算得到答案 【详解】z=r(cos6+isim8)=2V3(cosg+isim) =3+V3i, 故选：A 【变式1-4】(25-26高一下·全国单元测试)复数z的辐角主值为z-2的辐角主值为，则复数z为(】 A.V3-2+i B.2-V3+i C.-1+V3i D.1+v3i 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设z=r(cos号+isin),2-2=r(cos号+isin),化简整理后 比较系数即可求得r的值，进而可求得复数z 【详解】由题意设z=r(cos+isin)z-2=r'(cos号+isim) 所以有z=2+r'(cos号+isin)=r(cos营+isin) 2 2 2- 所以 三，即r=r广=2.则2=2-(cos+isn)=1+v5i 3r'_3r 故选：D 【变式1-5】（多选）(24-25高一下云南玉溪月考)欧拉公式：e9=cos0+isin01是虚数单位，e=2.718…, 第5页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 日∈R)是由瑞士数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令0=π可得r+ 1=0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在 起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等.下列关于欧拉公式的叙述正确的有() A.e2025mi-1=0 B.复数e3i对应的点位于第二象限C.le=1D.(e)=eo 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】求出eπ，即可判断A:根据3的范围求出cos3,sin3的符号，再根据复数的几何意义即可判断B: 根据复数的模的计算公式即可判断C:根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A,因为em+1=0,所以e=-1,e2025i-1=(em)2025-1=-1-1=-2,故A错误： 对于B,e31=cos3+isin3,而5<3<元，则cos3<0、sin3>0, 故e3i位于第二象限，故B正确： 对于C,le|=Vcos2x+sin2x=1,故C正确： 对于D,ei6=cos0+isin0,所以(ei0)=cos0-isin0, 又因为eo=ei0=cos0-isin0,所以(e0=e0,故D正确. 故选：BCD. 【变式1-6】(21-22高一下.上海长宁.期末)若i是虚数单位，复数z满足引z=2,则z+4-3的取值范围是 【答案】3,7] 【难度】0.65 【知识点】复数综合、复数的三角表示、求复数的模、辅助角公式 【分析】根据模长，设出z=2cos0+i·2si0,利用模长公式及三角恒等变换得到lz+4-3i= √29+20cos(0+p,由cos(0+p)e[-1,1]求出|z+4-3i的取值范围， 【详解】因为z=2,所以设z=2cos0+i·2sin9, 故lz+4-3i=|2cos0+4+(2sin0-3)i川= (2cos0+4)2+(2sin0-3)2 =V29+16c0s0-12sim0=√29+20c0s(0+项.其中tan9=是 因为cos(0+p)e[-1,1],所以川z+4-3i=√29+20cos(0+p)∈[3,7] 故答案为：[3，刀 题型02三角形式下复数的几何意义 【典例2-1】(20-21高-下.广东惠州期中)已知z=(1-V3)×(-cos5+isin爱)，则agz=) A.君 B.7 c.9 D. 【答案】B 【难度】0.94 第6页共36页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的三角表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】先对z=(1-V3列)×(cos+isin),然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】z=(1-V5到×(cos+sm司=(1-V3×(兰+)-9分i+9xW5i- =2i=2(cos+isin 所以ag2=号 故选：B 〖典例2-2】(2002上海·高考真题)如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是() 0.5 A.{ala=1,g≤agz≤gzec B.{la≤1，g≤ag2≤g,zec} c.{zlzd=1,Imz≥2zec} D.{z|ld≤1，Imz≥3zec} 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及A,B坐标，据此进行计算可得答案 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内（含边界），故|z≤1： 又复数对应点的纵坐标大于等于受故其虚部大于等于号 所以阴影部分含边界)对应的复数集合为{2≤1，Imz≥z∈C, 如图可得A(号)，B(停》，可得∠c0A=∠C0B=青所以g≤ag≤君 所以阴影部分含边界)对应的复数集合是{2≤1mz≥，言≤ag2≤怎，zEC} 故选：D 【典例2-3】（多选)(22-23高一下河南信阳·期中)下列说法正确的有() A.若alb,blc,则aIc B.己知向量石=(1,2)，2a+b=(3,2),则b=(1,2) C.若a·b=d.c且a≠0，则b和c在d上的投影向量相等 D.若复数z1=1+i,z2=cosa+isina(a∈R),其中i是虚数单位，则|z1-z2l的最大值为V2+1 第7页共36页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求投影向量、三角表示下复数的几何意义 【分析】取b=可可判断A:根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B:根据投影向量公式直接求解可判 断C:利用复数的几何意义可判断D. 【详解】选项A,若i=0,满足aIb,万‖c,但与不一定共线，故A错误； 选项B,因为向量a=(1,2),2a+b=(3,2) 所以6=(2a+可-2a=(3,2)-2(1,2)=(1,-2),故B错误： 选项C,因为短-6-日且a≠0，a让的投影向量为一a,在a上的投影向星晋a, 所以票。=d.故c正确 选项D,由题意可得，z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1对应的点为(1,1)， 如图所示，则21-z2lm=V2+1,故D正确. 故选：CD. 【典例2-4(20-21高三下·重庆沙坪坝·月考)在复平面上，一个正方形的四个项点按逆时针方向依次为Z1,Z2, Z3,0(其中0是原点)，己知Z1对应复数z1=1+V31则Z1和Z3对应的复数的乘积z123= 【答案】-23-2i 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据z1=1+V3i判断点Z1与x轴正半轴的夹角，得到点Z3与x轴正半轴的夹角，即得复数z3,再 利用复数的乘法运算计算z1z3即可. 【详解】设Z3对应的复数为z3,可得引z3=z1=2, 复平面上点乙与x轴正半轴的夹角为则点乙，与x轴正半轴的夹角为 所以z=2(cosg+sin)=-V3+i,所以z1=(V3+01+V3列=-2W5-2i 故答案为：-2V3-2i. 第8页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(20-21高一下.上海课后作业)已知复数2+和-3-i的辐角主值分别为a、B,则tan(a+β) 等于() A.V3 B.3 3 C.-1 D.1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的基本概念 【分析】根据题意，得到tana=tanB=子结合两角和的正切公式，即可求解。 1 【详解】由题意，复数2+和-3-的辐角主值分别为a心，B, 则tana=2,tanB=子，所以tan(a+B)=atag 11 ==1 1-tanctanB 1- 故选：D 【变式2-2】(21-22高一下.福建宁德.期中)欧拉公式ei=cosx+isinx(i为虚数单位，xER)是由瑞士著名数 学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉 为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e3i在复平面内对应的点位于()》 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的几何意义、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解 【详解】解：e31i=cos3+isin3,又3rad≈3×57.3°=171.9，为第二象限角，故 cos3<0,sin3>0,故e3i在复平面内对应的点(cos3,sin3)位于第二象限. 故选：B. 【变式2-3】(20-21高一全国·课后作业)设z∈C,且1z=1,当1(2-1z-川最大时，z=() A.-1 B.-i c.-. 22 .竖贤 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的几何意义、求复数的模、利用平方关系求参数 【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解. 特别注意：令sinf+cos6=t,则sin6cos0=(t-1) 【详解】解：lz|=1,设z=cos0+isin0,则|（亿-1(z-i川=2VSin0cos6-sin8-cos6+1 sine+cos0=1,sindcos0-sine-cos+1=(t-1)2+ ÷当=-V2即0=和时，1e-训取最大值，此时，z=.号.马 22 故选：C 【变式2-4】(20-21高二下·陕西西安期中)若复数z1=1+i,z2=cos+isina(a∈R),其中1是虚数单位， 第9页共36页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则21-22的最大值为) A.V2 B.2 C.V2+1 D.3 【答案】c 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的坐标表示 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果 【详解】由题意可得，z2对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z1对应的点为z1(1,1), 如图所示，则z1-z2=√2+1 故选：C 《变式2-5】（多选）(21-22高一下江苏宿迁·期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的 关系，并写出以下公式ex=cosx+isinx(e是自然对数的底，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常 重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，己知复数z1=e1,z2=e2,z3=e在复平面内对应的点分别为Z1, Z2,Z3,且eir的共轭复数为er=eiw,则下列说法正确的是() A.cosx =ekte-e 2 B.e21表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C.eixi +eixz +eir3 =eixi+eix2+eixs D.若Z1,乙2为两个不同的定点，Z3为线段Z1Z2的垂直平分线上的动点，则z1-23|=z2-23 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可 【详解】解：对于A选项，'ex=cosx+isinx,ei=cos(-x)+isin(-x)=cosx-isinx e+e=2cosx则c0sx=,选项A正确： 对于B选项，e4=cos2+isin2,“<2<m,“cos2<0,sin2>0, ·e表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误： 对于C选项，ew1+eiw2+e=(cosx1+cosx2+cosx3)+(sinx1+sinx2+six3)i eix1 eixz eix3 =(cosx1+cosx2 +cosx3)-(sinx1+sinx2 sinx3)i, .eixi +eixz eirs e-ix1 +e-ix2 e-ix3 =(cosx1 cosx2 cosx3)-(sinx1+sinx2 +sinx3)i ewi+eiw2+e3=ewi+ewz+e3,选项C正确： 对于D选项，|z1-z3可转化为Z1与Z3两点间距离，22-z3可转化为22与Z3两点间距离， 第10页共36页丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3-4复数的三角形式讲义 内容概览 教学目标、教学重难点 题型01复数的三角形式表示 题型02三角形式下复数的几何意义 3-4复数的三角形式 知识点01复数三角形式的概念 题型03复数的乘法与除法 题型04复数的乘方与开方 知识点02复数三角形式的运算 题型05复数三角形式的应用 教学目标、教学重难点 教学目标 理解复数的三角形式，能利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算， 教学重点 利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算 教学难点 复数三角形式的几何意义. 知识清单 知识点01复数的三角形式的概念 在复平面上，复数z=a+bi与点Z(a,b)一一对应。 1.点Z(a,b)到原点的距离称为复数的模，表示为r=lzl=√a2+b2: 2.一正实轴为始边，向量0Z为终边所成的角，称为复数的辐角，记作0=Arg(z) 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差2kπ(k∈Z). 3.辐角主值(0)：将满足-π<0≤π或0≤0<2π的辐角称为辐角主值，记作0=arg(z). 4.关系：a=rcos0,b=rsin0. 5.复数的三角形式与指数形式：z=r(cos0+isin8)=rei0,其中r≥0. 【即学即练1-1】(2023高一下.上海.专题练习)-1-V3i的三角形式是() A.-2(cos+isin) B.2[cos(-)+isin(-牙〗 C.2(sinξ+icos2) D.cos+isin) 【即学即练12】(25-26高一下全国：单元测试)若复数z=c0s2+isin1是虚数单位)，复数z2的实部、虚 部分别为a,b,则下列结论不正确的是() A.ab<0 B.a2+b2≠1 C.分=3 知识点02复数的三角形式的运算 公式：若z1=r1(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin62),则： 1.z1'z2=T1r2[cos(01+02)+isin(01+02)], 第1页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 几何意义：z1·z2相当于将z1的模伸缩r2倍，再将z1逆时针旋转02角二得到. 2.4=[cos(01-02)+isim(01-02)] 几何意义：相当于将模相除，再将z1顺时针旋转日2角二得到， 3.z=r(cos0 isine),z=r"[cos(ne)+isin(ne)], 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的倍 4z=r(cos9+isin6).则Va=员=F[os(t）+isin(色t ,(k∈Z) 几何意义：复数有n个不同的m次方根，所有根的模相等都是厅，相邻两个根的辐角相差经 在1复平面上，这n个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以斤为半径的圆周上，构成一个正n边形， 5.指数形式运算： z=r(cos0 isine)=reio,z1=r(cos01+isine)=rei01,22=r2(cos02+isine2)=r2ei2,: 212=rr,e0+o),=2e0),20=e0,2=左=e4.kz. 22 r2 【即学即练2-1】(22-23高一下江苏盐城期末)欧拉公式e9=cos0+isin8(e为自然对数的底数，i为虚数单 位)由瑞士数学家Eler欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关 系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是() A.(cos0+isine)(cos02+isin2)=cos0 cos02-sine sine2 B.(cos01 isin)(cos02 isin2)=cos(0102)+isin(0102) C.(cos01+isin)(cos02+isine2)=cos(01+02)+isin(01+02) D.(cos01+isine)(cos02 isin02)=cos0cos02+sinesin02 【即学即2-2】（多选）24-25高一下·江西·月考)任何一个复数z都可以表示为re,且可以表示为三角形式 r(cos6+isin8),r代表复数z的模，0是以x轴的非负半轴为始边，以0Z所在的射线为终边的角.著名数学家棣 莫弗就此进行了深度探究，发现[r(cos6+isin8)]n=r"(cosn6+isinne)(n∈N),该公式称为棣莫弗公式. 根据上面的知识，若复数z满足z7=128,则z可能的取值为) A.2(cos号+isim ）B.2(cos%+isin9) C.(cos+isin D.2(cos+isin) 题型精讲 题型01复数的三角形式表示 凰典例1-1】(24-25高一上·上海课后作业)-1-V3i的三角形式是() A.-2(co+isin B.2cos+isin C.2(sin+icos D.(cos+isin 【典例1-2】(25-26高一下.全国月考)复数-sin50°+icos50°的辐角主值为) A.509 B.320% C.409 D.1409 第2页共14页 品学科网·上好课 www zxx k com 上好每一堂课 《典例1-3】（多选）25-26高一下·全国课后作业)设3+4i的辐角主值为6，则(3+4i1·i的辐角可以是() A.2t6 B.-日 c.日- 0.-6 〖典例1-4】(25-26高一下.全国.单元测试)若动点P对应的复数为z,且满足引z-41=2,则z的辐角主值的范 围为 ,z取得最大值时，z= 【变式1-1】(24-25高一上湖南衡阳期末)复数z=-3-V3i的辐角的主值为() A号 6.-g c.9 D.8 【变式1-2】(25-26高一下.全国课后作业)复数1-V3i化成三角形式，正确的是() A.2(cosg+isim9） B.2(cosg+isin9） C.(cos isin D.(cos+isin) 【变式1-3】(21-22高一下全国课后作业)若z-2W3,arg-云则复数z=() A.3+3i B.V3+3i C.3-v3i D.V3-3i 【变式1-4】(25-26高一下.全国单元测试)复数z的辐角主值为，z-2的辐角主值为，则复数z为） A.V3-2+i B.2-3+i C.-1+V3i D.1+3i 【变式1-5】（多选）24-25高一下云南玉溪.月考)欧拉公式：e0=cos0+isim0G是虚数单位，e=2.718…, 日∈R)是由瑞士数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令日=π可得n+ 1=0.它又将自然界中的两个重要的无理数π和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一 起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等.下列关于欧拉公式的叙述正确的有() A.e2025mi-1=0B.复数e31对应的点位于第二象限C.le4=1D.(e0町=e 【变式1-6】(21-22高一下…上海长宁.期末)若i是虚数单位，复数z满足|z=2,则z+4-3的取值范围是 题型02三角形式下复数的几何意义 【典例2-1】(20-21高一下，广东惠州期中)已知z=(1-V3)×（-cos号+isin爱)，则argz) A.君 B. C. D. 【典例2-2】(2002上海·高考真题)如图，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是() A.{zlla=1,g≤agz≤g,zeCc} B.{zlz≤1，g≤agz≤g,zec} c.{zlz=1,Imz≥3zec} D.{zlla≤1，mz≥2zec} 第3页共14页 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V本 0.5 【典例2-3】（多选）22-23高一下河南信阳期中)下列说法正确的有() A.若alb,blc,则aIc B.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b=(1,2) C.若a·b=d·c且a≠0，则b和c在a上的投影向量相等 D.若复数z1=1+i,z2=cos+isina(a∈R),其中i是虚数单位，则z1-z2的最大值为V2+1 【典例2-4(20-21高三下.重庆沙坪坝.月考)在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1,Z2, Z3,0(其中0是原点)，己知Z1对应复数z1=1+V3i则Z1和Z3对应的复数的乘积z123= 【变式2-1】(20-21高一下.上海课后作业)已知复数2+和-3-的辐角主值分别为a、B,则tan(@+B) 等于() A.V3 B.、3 C.-1 D.1 3 【变式2-2】(21-22高一下，福建宁德期中)欧拉公式ei=cosx+isinx(i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数 学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉 为“数学中的天桥”，根据此公式可知，e3i在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式2-3】(20-21高一全国课后作业)设z∈C,且1z=1,当1(2-1(z-川最大时，z=() A.-1 B.-i c.9贤 .要号 【变式2-4】(20-21高二下陕西西安期中)若复数z1=1+i,z2=cosa+isin(a∈R),其中i是虚数单位， 则z1-22的最大值为) A.V2 B.2 C.V2+1 D.3 【变式2-5】（多选）21-22高一下江苏宿迁.期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的 关系，并写出以下公式er=cosx+isinx(e是自然对数的底，i是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常 重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，己知复数z1=e1,z2=e2,z3=e在复平面内对应的点分别为Z1, Z2,Z3,且ei的共轭复数为er=e-ir，,则下列说法正确的是() A.COsx ote-ix 2 B.e2i表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 第4页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.eix+eixz +eixs =eix+eixz+eixs D.若Z1,Z2为两个不同的定点，Z3为线段Z1Z2的垂直平分线上的动点，则川z1-z3|=22-23| 【变式26】(22-23高一，全国·课后作业)已知z的辐角主值是”，则它的共轭复数的辐角主值是」 题型03复数的乘法与除法 【典例3-1】(2022高一.全国.专题练习)复数z=(cos25°+isin25)(cos50°+isin50)的三角形式是() A.cos(-25)+isin(-25)B.sin75°+icos75°C.cos15°+isin15°D.cos75°+isin75° 【典例321(2000北京高考真题)设复数1=-1-1在复平面上对应向量0乙，将0Z按顺时针方向旋转 后得到向量0Z2,令0Z2对应的复数为z2的辐角主值为8，则tan0=() A.2-V3 B.-2+V3 C.2+V3 D.-2-V3 【典例3-3】（多选23-24高一下·湖北武汉月考）已知i为虚数单位，则下列命题正确的是() A.在复平面内，点0是原点，若√3+i对应的向量为0Z1,将OZ1绕点0按逆时针方向旋转90°得到OZ2,则 0Z2对应的复数为-V5+i B.虚数z满足z·z=z2 C.复数z满足z-=1,则1z+2的最大值为3 D.已知p,q均为实数，-3-2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个解，则p=6 【典例341(19-20高一下·全国课后作业已知i为虚数单位，计算：（仔+受）÷[2(c0s号-ism引= 〖变式31】(19-20高一，全国课后作业)若复数z的模为2，辐角主值为，则=() A.1+V3i B.1-V3i C.V3-i D.V3+i 《变式32】(22-23高一下河北沧州期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系， 并写出以下公式：eiw=cosx+isinx(x∈R,i为虚数单位)，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位， 被誉为数学中的天桥”根据此公式，可知（停+）=() A.-1 B.1 C.-i D.i 【变式33】(2223高一下.全国课后作业)设复数z=cosx+isin,则函数f()=2+制的图象的一部分是 下列图中的) 第5页共14页 而学科网·上好课 www zxx k co m 上好每一堂课 O 【变式3-4】(19-20高三北京强基计划已知复数z满足-+号1，则么，2乙，2,2020中不同的数有() A.4个 B.6个 C.2019个 D.以上答案都不正确 【变式35】（多选）21-22高一下·安徽黄山期末)复数z=尘，i是虚数单位，则下列结论正确的是() 1-i A2z=月 B。2的共轭复数为号+ C.z的实部与虚部之和为2 D.z在复平面内的对应点位于第一象限 凰变式36】(2024高一下.全国.专题练习)计算2i÷(cos225°+isin225)= 题型04复数的乘方与开方 【典例41】(21-22高一，全国课前预习)若z=cos30°+isi30°，则agz2=(） A.30° B.60° C.90° D.120° 【典例4-2】(21-22高二下·江苏无锡·期中)棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx(其中i为虚数单位) 是由法国数学家棣炎弗167-1754年发现的，根据慷莫弗公式可知，复数(cosg十5in)” 在复平面内所 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【典例43】（多选19-20高一下山东济南·期末）任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R)都可以表示成：z= r(cos0+isin0)的形式.法国数学家棣莫弗发现：zn=[r(cos6+isin0)]”=rn(cosn6+isinn6)(n∈N*),我 们称这个结论为棣莫弗定理根据以上信息，下列说法正确的是() A.221=lz12 B.当r=1,6=时，z3=1 3 6.当=1.0=时，=日 D.当r=1,日=，且n为偶数时，复数z”为纯虚数 【典例44】(22-23高一全国课后作业)-8的立方根为，i的三次方根为，一4的四次方根为· 【变式41】(20-21高一下·广东惠州·期末)棣莫弗公式(cosx+i·sinx)”=cos(nx)+i·sin(nx(其中i为虚数 单位)是由法国数学家棣莫弗1667-1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(c0s5+i·sim在复平面内 所对应的点位于() 第6页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式42】(22-23高一全国课后作业)计算：（-1+V3)”=()。 A.1024-1024V3i: B.-1024+1024v3i: C.512-512W3i: D.-512+512V3i. I变式4-3】(25-26高三上湖北期中)任意一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成三角形式，即a+bi= r(cos0+isin)(0∈R,r≥0)法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数z1=r1(cos01+isin01), 22=r,(cos02+isim0,）则zz2=r1r2cos(01+0)+ism(0:+02小，已知复数2=+i,则 z2025+z=(）】 A月 c.-9 D.-1 【变式44】(20-21高二下·重庆沙坪坝，月考)已知复数z满足z·z=4且z+z+V2z=0,则z1931+2021的值 为) A.-21976 B.-23952 C.21976 D.23952 凰变式45】（多选）(23-24高三上广东广州·期中)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R)都可以表示成：z= r(cos0+isin)的形式.法国数学家棣莫佛发现：z”=[r(cos0+isin8)]”=r"(cosn6+isin8)(n∈N),我们 称这个结论为棣莫佛定理根据以上信息，则下列说法正确的是() A.当r=1,6=时，z=+1 22 B.当r=1,6=时，24=1 C.当r=1,日=且n为偶数时，z”为实数D.2z4=2| 【变式46】(20-21高一下上海.单元测试)已知复数z=sin若-icos云，若z=2n∈N,且n≠1)，则n的最 小值为 题型05复数三角形式的应用 【典例41】(22-23高一下·河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的公式(cosx+isinx)”= cosnx+isimx推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(cos号+isin)'(1-)-() A.-1+i B.1+i C.1-2iD.-2-i 凰典例42】(22-23高三下浙江杭州月考)已知复数z满足引z=1且有z5+z+1=0,则z=() A.社 c.9± 0. 【典例43】（多选）(21-22高一下·湖北·期中)任何一个复数z=Q+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示 成：z=r(cos0+isi)的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：z”=[r(cos6+ 第7页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 isin8)]m=rn(cosn6+isinne8)m∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是() A.z2=z2 B.当r=2,0=时，z=1-V31 61 C.当r=1,0=g时，z3=-1 D.当r=1,6=时，若n为偶数，则复数z为纯虚数 【典例44】(25-26高一下·全国·课后作业)将复数1+V3i所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转0角(0< 6<2π所得的向量对应的复数为-2，则6= 【变式41】(22-23高一下·河北沧州·期中)已知(cosx+isinx)”=cosnx+isinnx(其中i为虚数单位)，那么复 数(os号+isn) ）在复平面内所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【变式42】(21-22高一全国.课后作业)设π<0<子，则复数20+的辐角主值为) cos0-isine A.2π-30 B.30-2π C.30 D.30-π 【变式43】(2526高一下全国课后作业6(cos+isin男÷V3(cos立+isin)的结果是() A.V2(cos写+isin写) D.v(cos-isin) 【变式44】(2024陕西商洛模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数z1= T1(cos01+isin01),z2=T2(cos02+isin02)(r1,r2>0),则z1z2=r1r2[cos(01+02)+isin(01+62)].设z=- 三i,则2024的虚部为) A.、 2 C.1 D.0 【变式45】（多选24-25高一下.浙江·期中）任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z=α+bi= r(cos6+isin),r=|z=Va2+b2≥0,0∈[0,2m).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用 三角函数形式表示为z1=T1(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin02),则z1z2=r1rz[cos(01+02)+ isin(01+02]() A.1+cos+isin B.w0是方程w3=1的虚数根，则w子=① c.1z=1,则z2+z+1的范围为，3] D.满足z2025=(亿+1)6=1的复数z有且只有2个 【变式46】(23-24高一下·河南洛阳期末)己知：①任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos8+isin0) 的形式.其中r是复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线（射线O☑为终边的角，叫做复 数z=a+bi的辐角，r(cos0+isin)叫做复数z=a+bi的三角形式.②er=cosx+isinx被称为欧拉公式， 是复数的指数形式.③方程x”=1(n为正整数)有n个不同的复数根. 第8页共14页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (a设w=-2+县i,则w2024= :(2)满足方程x6=1的复数x的值所组成的集合为 强化训练 一、单选题 1.(2024高一下.全国.专题练习)复数z=V3(sim号+icos)）化为代数形式为) A. B.-+9 C. 0.是i 2.(25-26高一下.全国·课堂例题)复数z=-a-ai(a>0)的辐角主值为() A: B. C. D.4 3.(21-22高一全国课后作业)向量0Z,0Z,分别对应非零复数z1,2,若0Z10乙，则2是() A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a+bia,b∈R,a0) 420-21高一下上海浦东新期末)设复数z满足条件ag2∈（得m)则2对应复平面上的点位于(） A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 5.(21-22高一下.上海松江·期末)设z、21、z2∈C,则下列命题中的真命题为) A.若21>Z2,则z1+2>22+2 B.若z+z=0,则z为纯虚数 C.若2122=0，则z1=0或z2=0 D.若z=z1Z2,则argz=arg21+arg22 6.(23-24高一下.四川达州期末)若sinx=2(e-e),则sin(x+习=) A.ee)B.e-is-el C.(elr-e-i) D.(ei+e-i) 7.(23-24高一下.上海松江·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了欧拉公式：ex=cosx+isix,其中e是自 然对数的底数，1是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联， 在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是() A.e2的虚部为iB.复数e在复平面内对应的点位于第二象限 C.sinx =ohe-te 2 D.若21=e,22=ei在复平面内分别对应点Z1,Z2,则△0Z122面积的最大值为号 8(2023全国模拟预测已知复数z=cos+isim2则(z-1(z2-1)-(么2022-1)=） A.2022 B.2023 C.-2022 D.-2023 第9页共14页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 9.(21-22高一下辽宁大连·期末)设非零复数z1、z2所对应的向量分别为0Z,0Z2,则下列选项能推出0Z11 0Z2的是() A.Z1=iz2 B.Z1=2z2 C.1z1=1z2l D.|z1+z2l=|z1-z2 10.(22-23高二上·内蒙古赤峰·期末)欧拉公式ei=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)将指数函数的定义 域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中 的天桥依据欧拉公式，则) A.eri=0 B.e为实数c= D.复数e21对应的点位于第三象限 11.(24-25高一下.浙江·期中)任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即z=a+bi=r(cos0+isi0),T= |z=Va2+b2≥0,6∈[0,2m).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立.设两个复数用三角函数形式表示为 z1=r(cos01+isin01),z2=r2(cos02+isin62),则z1z2=r1r2[cos(61+62)+isin(01+02)]() A.1+i=cos+isin) B.wo是方程w3=1的虚数根，则w行=0 c.2=1,则22+z+1的范围为层，3 D.满足z2025=(z+1)6=1的复数z有且只有2个 三、填空题 12(23-24高一下.上海：期肿在平面直角坐标系中，设0是坐标原点，向量01-(-3c0s受，3si血)，将0 绕0点顺时针旋转”得到向量OB,则点B的坐标是 13.(21-22高一全国课后作业)如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A,B所表示的复数分别是+气和2， 212 则点C所表示的复数为 B 14.(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知正项数列{an}的前n项和为Sm,满足a1=1,a元+1=S%-Sn+1(n∈ N),则数列{a}的通项公式为 四、解答题 15,2223商一全国课后作业设复数0=-+i,求证： (1)ω，ω2,1都是1的立方根：(2)1+ω+w2=0. 第10页共14页 3-4 复数的三角形式 讲义 教学目标 理解复数的三角形式，能利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算. 教学重点 利用三角形式进行复数的乘、除、乘方、开方运算. 教学难点 复数三角形式的几何意义. 知识点01 复数的三角形式的概念 在复平面上，复数与点一一对应。 1.点到原点的距离称为复数的模，表示为; 2.一正实轴为始边，向量为终边所成的角，称为复数的辐角，记作. 一个非零复数的辐角有无数多个，它们之间相差(). 3.辐角主值()：将满足辐角称为辐角主值，记作. 4.关系：，. 5.复数的三角形式与指数形式：，其中. 【即学即练1-1】(2023高一下·上海·专题练习)的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【详解】，，， ，，所以， 所以，选. 【即学即练1-2】(25-26高一下·全国·单元测试)若复数(i是虚数单位)，复数的实部、虚部分别为，，则下列结论不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方、复数的三角表示 【分析】根据复数的乘方运算可得，即可确定，，一一判断各选项即可得答案. 【详解】由题意知复数， 则， ，．则，故ABD不正确，C正确． 故选：ABD 知识点02 复数的三角形式的运算 公式：若，，则： 1.， 几何意义：相当于将的模伸缩倍，再将逆时针旋转角二得到. 2.， 几何意义：相当于将模相除，再将顺时针旋转角二得到. 3.若，则， 几何意义：复数乘方，把模乘方，辐角变为原来的倍. 4.，则，(). 几何意义：复数有个不同的次方根，所有根的模相等都是，相邻两个根的辐角相差. 在1复平面上，这个不同的根均匀分布在以原点为圆心，以为半径的圆周上，构成一个正边形. 5.指数形式运算： ，，，则： ，，，.(). 【即学即练2-1】(22-23高一下·江苏盐城·期末)欧拉公式(为自然对数的底数，为虚数单位)由瑞士数学家(欧拉)首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【详解】. 故选：C. 【即学即练2-2】(多选)(24-25高一下·江西·月考)任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为(    ) A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故，故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 题型01 复数的三角形式表示 【典例1-1】(24-25高一上·上海·课后作业)的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【分析】合理化简原复数，表示为三角形式即可. 【详解】由题意得，故D正确. 故选：D 【典例1-2】(25-26高一下·全国·月考)复数的辐角主值为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】由三角函数诱导公式，将复数整理成标准的三角形式即可. 【详解】由题意得， 即复数为，． 故选：D. 【典例1-3】(多选)(25-26高一下·全国·课后作业)设的辐角主值为，则的辐角可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示 【分析】根据复数的乘法化简，再应用复数的三角表示结合诱导公式计算求解辐角. 【详解】． 又，，，，， ，， ． 的辐角主值为，则的辐角可以是或． 故选：AC． 【典例1-4】(25-26高一下·全国·单元测试)若动点对应的复数为，且满足，则的辐角主值的范围为__________，取得最大值时，__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数的三角表示 【分析】根据题意，复数对应的点在以为圆心，半径为2的圆上，根据图形即可得解. 【详解】如图，复数对应的点在以为圆心，半径为2的圆上． 由图可知，，根据复数模的意义，当时，取得最大值． 故答案为：； 【变式1-1】(24-25高一上·湖南衡阳·期末)复数的辐角的主值为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 【变式1-2】(25-26高一下·全国·课后作业)复数化成三角形式，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】特殊角的三角函数值、诱导公式二、三、四、复数的三角形式、复数的三角表示 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为；所以复数化成三角形式为. 故选：C. 【变式1-3】(21-22高一下·全国·课后作业)若，则复数(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据题意得到，计算得到答案. 【详解】， 故选：A 【变式1-4】(25-26高一下·全国·单元测试)复数的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数. 【详解】由题意设，， 所以有，即 所以，即，则， 故选：D. 【变式1-5】(多选)(24-25高一下·云南玉溪·月考)欧拉公式：是虚数单位，，是由瑞士数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有(    ) A． B．复数对应的点位于第二象限 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数的三角表示 【分析】求出，即可判断A；根据的范围求出的符号，再根据复数的几何意义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据共轭复数的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，故A错误； 对于B，，而，则、， 故位于第二象限，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，所以， 又因为，所以，故D正确． 故选：BCD． 【变式1-6】(21-22高一下·上海长宁·期末)若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数综合、复数的三角表示、求复数的模、辅助角公式 【分析】根据模长，设出，利用模长公式及三角恒等变换得到，由求出的取值范围. 【详解】因为，所以设， 故 ，其中， 因为，所以. 故答案为：. 题型02 三角形式下复数的几何意义 【典例2-1】(20-21高一下·广东惠州·期中)已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的三角表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】先对，然后再化为复数的三角形式可得答案 【详解】 . 所以 ， 故选：B 【典例2-2】(2002·上海·高考真题)如图，与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】由图可得复数的模长、虚部的大小以及坐标，据此进行计算可得答案. 【详解】由图可知，满足条件的复数在单位圆内(含边界)，故； 又复数对应点的纵坐标大于等于，故其虚部大于等于， 所以阴影部分(含边界)对应的复数集合为， 如图可得，可得，所以， 所以阴影部分(含边界)对应的复数集合是. 故选：D. 【典例2-3】(多选)(22-23高一下·河南信阳·期中)下列说法正确的有(    ) A．若，，则 B．已知向量，，则 C．若且，则和在上的投影向量相等 D．若复数，()，其中是虚数单位，则的最大值为 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、求投影向量、三角表示下复数的几何意义 【分析】取可判断A；根据平面向量的坐标运算直接计算可判断B；根据投影向量公式直接求解可判断C；利用复数的几何意义可判断D. 【详解】选项A，若，满足，，但与不一定共线，故A错误； 选项B，因为向量，， 所以，故B错误； 选项C，因为且，在上的投影向量为，在上的投影向量， 所以．故C正确； 选项D，由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为， 如图所示，则，故D正确． 故选：CD．    【典例2-4】(20-21高三下·重庆沙坪坝·月考)在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为，，，(其中是原点)，已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据判断点与x轴正半轴的夹角，得到点与x轴正半轴的夹角，即得复数，再利用复数的乘法运算计算即可. 【详解】设对应的复数为，可得， 复平面上点与x轴正半轴的夹角为，则点与x轴正半轴的夹角为， 所以，所以. 故答案为：. 【变式2-1】(20-21高一下·上海·课后作业)已知复数和的辐角主值分别为、，则等于(    ) A． B． C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的基本概念 【分析】根据题意，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由题意，复数和的辐角主值分别为， 则，所以 . 故选：D. 【变式2-2】(21-22高一下·福建宁德·期中)欧拉公式(为虚数单位，)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的几何意义、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解. 【详解】解：，又，为第二象限角，故 ，故在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式2-3】(20-21高一·全国·课后作业)设z∈C，且|z|＝1，当|(z﹣1)(z﹣i)|最大时，z＝(    ) A．﹣1 B．﹣i C．﹣﹣i D． +i 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的几何意义、求复数的模、利用平方关系求参数 【分析】可设出复数的三角函数形式，再结合的三角函数知识进行求解． 特别注意：令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ＝ 【详解】解：|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，则|(z﹣1)(z﹣i)|＝2 令sinθ+cosθ＝t，则sinθcosθ﹣sinθ﹣cosθ+1＝ ∴当t＝即θ＝ 时，|(z﹣1)(z﹣i)|取最大值，此时，z＝﹣﹣i． 故选：C 【变式2-4】(20-21高二下·陕西西安·期中)若复数，其中是虚数单位，则的最大值为(    ) A． B．2 C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的坐标表示 【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果. 【详解】由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为， 如图所示，则 故选:C 【变式2-5】(多选)(21-22高一下·江苏宿迁·期末)年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式(是自然对数的底，是虚数单位)，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且的共轭复数为，则下列说法正确的是(    ) A． B．表示的复数对应的点在复平面内位于第一象限 C． D．若，为两个不同的定点，为线段的垂直平分线上的动点，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义，对各选项逐一判断即可. 【详解】解：对于A选项， ， ，则，选项A正确； 对于B选项，， ， ，， 表示的复数对应的点在复平面中位于第二象限，选项B错误； 对于C选项， 则 ， ，选项C正确； 对于D选项，可转化为与两点间距离，可转化为与两点间距离， 由于为线段的垂直平分线上的动点， 根据垂直平分线的性质可知与两点间距离等于与两点间距离，则，选项D正确. 故选：ACD. 【变式2-6】(22-23高一·全国·课后作业)已知的辐角主值是，则它的共轭复数的辐角主值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的三角表示 【分析】根据复数的三角表示可得，从而可得其共轭复数，即可得共轭复数的辐角主值. 【详解】解：的辐角主值是，则，， 所以共轭复数，则共轭复数的辐角主值是. 故答案为：. 题型03 复数的乘法与除法 【典例3-1】(2022高一·全国·专题练习)复数的三角形式是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】由复数三角形式的乘法运算可直接得到结果. 【详解】 . 故选：D. 【典例3-2】(2000·北京·高考真题)设复数在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数为的辐角主值为，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求15°等特殊角的正切、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】将给定的复数化成三角形式，再利用复数乘法的三角形式求出的辐角主值，即可计算作答. 【详解】复数，因按顺时针方向旋转后得到向量， ， 因此复数的辐角主值，所以. 故选：C 【典例3-3】(多选)(23-24高一下·湖北武汉·月考)已知为虚数单位，则下列命题正确的是(    ) A．在复平面内，点是原点，若对应的向量为，将绕点按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为 B．虚数满足 C．复数满足，则的最大值为3 D．已知均为实数，是关于的方程的一个解，则 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数代数形式的乘法运算判断A，根据复数的运算法则及模判断B，根据复数的几何意义判断C，根据虚根成对原理及韦达定理判断D. 【详解】对于A：将绕点按逆时针方向旋转得到，则对应的复数为，故A错误； 对于B：设，则，所以，，所以，故B正确； 对于C：设，由，表示以为圆心，为半径的圆， 又表示圆上的点到点的距离， 又，所以的最大值为，故C错误； 对于D：因为是关于的方程 的一个解， 所以也是关于的方程 的一个解， 所以，即，故D正确； 故选：BD 【典例3-4】(19-20高一下·全国·课后作业)已知i为虚数单位，计算：_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【解析】先把转化为，再利用复数三角形式的除法运算法则即可求出答案. 【详解】原式 . 故答案为：. 【变式3-1】(19-20高一·全国·课后作业)若复数z的模为2，辐角主值为，则＝(    ) A．1+i B．1-i C．-i D．+i 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】复数z的模为2，辐角主值为知，由复数的除运算得 【详解】由复数z的模为2，辐角主值为，知 ∴ 故选：D 【变式3-2】(22-23高一下·河北沧州·期末)1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：(，为虚数单位)，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知(    ) A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的乘方 【分析】根据所给公式，变形整理化简即可. 【详解】由题意可知，. 故选：A 【变式3-3】(22-23高一下·全国·课后作业)设复数，则函数的图象的一部分是下列图中的(    ) A． B． C．   D．   【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数三角形式的运算化简，从而得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以， 易知的图像是的图像保留轴上方的图像，同时将轴下方的图像往上翻折得到， 显然选项A中的图像满足要求. 故选：A. 【变式3-4】(19-20高三·北京·强基计划)已知复数z满足，则中不同的数有(    ) A．4个 B．6个 C．2019个 D．以上答案都不正确 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、单位根及应用、复数与三角及复数与方程、复数的三角表示 【分析】根据复数的三角形式可求，从而可判断出不同的数的个数. 【详解】根据题意，有， 于是中有6个不同的数． 故选：B. 【变式3-5】(多选)(21-22高一下·安徽黄山·期末)复数，是虚数单位，则下列结论正确的是(    ) A． B．的共轭复数为 C．的实部与虚部之和为 D．在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、求复数的实部与虚部、复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据复数的四则运算，整理复数，再逐一分析选项，即得. 【详解】由题得，复数， 可得，则A正确； 的共轭复数为，则B不正确； 的实部与虚部之和为，则C正确； 在复平面内的对应点为，位于第一象限，则D正确. 故选：ACD 【变式3-6】(2024高一下·全国·专题练习)计算________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数的三角表示可得原式，计算可得结果. 【详解】 ， 故答案为： 题型04 复数的乘方与开方 【典例4-1】(21-22高一·全国·课前预习)若，则(    ) A．30° B．60° C．90° D．120° 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据复数乘方的三角运算得到的三角形式，即可确定辐角. 【详解】由，所以60°. 故选：B 【典例4-2】(21-22高二下·江苏无锡·期中)棣莫弗公式(其中i为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据棣莫弗公式及诱导公式计算即可． 【详解】由棣莫弗公式知， ， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． 【典例4-3】(多选)(19-20高一下·山东济南·期末)任何一个复数(其中，)都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(    ) A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的三角表示、共轭复数的概念及计算、求复数的模 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为，所以，选项A正确； 选项B：当，时，由棣莫弗定理得，，所以B错误； 选项C：当，时，由棣莫弗定理得，，所以；所以C正确； 选项D：当，时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误； 故选：AC. 【典例4-4】(22-23高一·全国·课后作业)的立方根为____，的三次方根为____，的四次方根为____． 【答案】 ， ， ， 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】设()，根据复数三角表示下乘方的运算，列出方程组，求出r，，在根据三角函数的周期性即可求解. 【详解】①设()是的立方根， 则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的立方根为，, 则， ， ， 综上所述，的立方根为，； ②设()是的三次方根，则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的三次方根为， 则， ， ， 综上所述，的三次方根为，； ③设()是的四次方根，则， 所以，解得， 根据三角函数的周期性可得，的四次方根为， 则， ， ， , 综上所述，的四次方根为，； 故答案为：①，；②，；③， 【变式4-1】(20-21高一下·广东惠州·期末)棣莫弗公式(其中为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667﹣1754)发现的，根据棣莫弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、判断复数对应的点所在的象限 【分析】由棣莫弗公式对复数化简可得答案 【详解】由已知得， ∴复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限． 故选：C． 【变式4-2】(22-23高一·全国·课后作业)计算：(    )． A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】首先写成复数的三角形式，再利用乘方公式，即可化简求值. 【详解】设， 所以. . 故选：D 【变式4-3】(25-26高三上·湖北·期中)任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故，所以， 故选：C. 【变式4-4】(20-21高二下·重庆沙坪坝·月考)已知复数满足且，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的乘方 【分析】首先根据条件求得复数，再利用三角函数表示复数，以及结合欧拉公式，计算复数的值. 【详解】设， ，即， ，解得： ， 当时，， 则， 当时， 则， 故选：D 【变式4-5】(多选)(23-24高三上·广东广州·期中)任何一个复数(其中)都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫佛发现：，我们称这个结论为棣莫佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是(    ) A．当，时， B．当，时， C．当，且为偶数时，为实数 D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求复数的模、复数的乘方、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则以及复数模的计算公式，逐项进行运算求解. 【详解】对A，由题意知 ，正确； 对B，由题意知 ，错误； 对C，由题意知，令， 则，当时，错误； 对D，， ，所以，正确. 故选：AD 【变式4-6】(20-21高一下·上海·单元测试)已知复数，若(，且)，则的最小值为__________． 【答案】7 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据复数三角表示及三角形式下的乘方求得，根据的范围求得最小值. 【详解】复数， 若 则，则，，且；故的最小值为7， 故答案为：7. 题型05 复数三角形式的应用 【典例4-1】(22-23高一下·河北张家口·月考)法国数学家棣莫弗发现的公式推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】复数的三角形式、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据题中定义化简式子，再根据复数乘法计算即可. 【详解】根据题意可知， 故. 故选：B. 【典例4-2】(22-23高三下·浙江杭州·月考)已知复数满足且有，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的三角形式 【分析】设(为虚数单位)，由棣莫佛公式可知，根据平方关系求出，从而求出，即可得解. 【详解】设(为虚数单位)，由棣莫佛公式可知， 因为， 所以，即， 所以，即，因为， 所以， 即，所以，所以， 所以. 故选：A 【典例4-3】(多选)(21-22高一下·湖北·期中)任何一个复数(其中，i为虚数单位)都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是(    ) A． B．当，时， C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的三角形式、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案. 【详解】对于复数有， ，而，所以选项A正确； 根据复数的三角形式，时，,此时，，选项B错误； 时，;根据棣莫弗定理，， 所以选项C正确； 时，，n为偶数时，设, ， 所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误. 故选：AC. 【典例4-4】(25-26高一下·全国·课后作业)将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 【变式4-1】(22-23高一下·河北沧州·期中)已知(其中i为虚数单位)，那么复数在复平面内所对应的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数的三角形式 【分析】根据题意，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由， 可得， 因为，，所以复数在复平面内所对应的点位于第二象限． 故选：B． 【变式4-2】(21-22高一·全国·课后作业)设，则复数的辐角主值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解． 【详解】解：， 因为，所以，所以，所以该复数的辐角主值为． 故选：B. 【变式4-3】(25-26高一下·全国·课后作业)的结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、复数的三角形式、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算并结合两角和差的正余弦公式化简即可. 【详解】 . 故选：C 【变式4-4】(2024·陕西商洛·模拟预测)法国数学家棣莫弗(1667-1754年)发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为(    ) A． B． C．1 D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的三角形式 【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【详解】， 所以；所以的虚部为. 故选:B. 【变式4-5】(多选)(24-25高一下·浙江·期中)任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则(    ) A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】复数的三角形式、复数的三角表示、复数的平方根与立方根 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为，所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根，不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根：， 所以，这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 【变式4-6】(23-24高一下·河南洛阳·期末)已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程(n为正整数)有个不同的复数根． (1)设，则___________；(2)满足方程的复数的值所组成的集合为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的指数形式、复数的三角形式、复数代数形式的乘法运算 【分析】(1)根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. (2)设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. 【详解】(1)依题意，， 所以. (2)设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 故答案为：；. 一、单选题 1.(2024高一下·全国·专题练习)复数化为代数形式为(    ) A．i B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】复数的三角表示、复数代数形式的乘法运算、特殊角的三角函数值 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 2.(25-26高一下·全国·课堂例题)复数的辐角主值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数辐角定义进行求解即可. 【详解】时，z对应的点在第三象限，，又，． 故选：C 3.(21-22高一·全国·课后作业)向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是(    ) A．负实数 B．纯虚数 C．正实数 D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0) 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】设z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)、z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，由可得， 利用复数除法运算的三角表示即可得出结果. 【详解】由题意得， 设复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)， 由，得或， . 所以为纯虚数． 故选：B. 4.(20-21高一下·上海浦东新·期末)设复数满足条件，则对应复平面上的点位于(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限、三角表示下复数的几何意义 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【详解】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D 5.(21-22高一下·上海松江·期末)设，则下列命题中的真命题为(    ) A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的分类及辨析、复数的基本概念、三角表示下复数的几何意义、由复数模求参数 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 6.(23-24高一下·四川达州·期末)若，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据题意，配方得，进而得，，解得，结合即可． 【详解】由题知，，即， ， ，又时，， ，即， ， 得，即，． 故选：D． 7.(23-24高一下·上海松江·期末)瑞士数学家欧拉于1748年提出了欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是(    ) A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、求复数的实部与虚部 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 8.(2023·全国·模拟预测)已知复数，则(    ) A．2022 B．2023 C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】复数的乘方、复数范围内方程的根 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 二、多选题 9.(21-22高一下·辽宁大连·期末)设非零复数、所对应的向量分别为，，则下列选项能推出的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的向量表示、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】A根据的几何意义判断；B由即可判断；C由即可判断；D由并结合向量数量积的运算律即可判断. 【详解】A：等价于将绕原点逆时针旋转得到，即，符合； B：等价于，即共线，不符合； C：等价于，但不一定有，不符合； D：等价于， 两边平方并应用数量积的运算律可得，即，符合. 故选：AD 10.(22-23高二上·内蒙古赤峰·期末)欧拉公式(其中为虚数单位，)将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则(     ) A．=0 B．为实数 C． D．复数对应的点位于第三象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限、求复数的模、复数的分类及辨析 【分析】根据所给定义及特殊角的三角函数值判断A、B，根据复数模的性质计算判断C，根据复数的几何意义判断D. 【详解】解：对于A：，故A错误； 对于B：，所以为纯虚数，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则复数在复平面内对应的点为， 因为，所以，，所以点位于第二象限， 即复数对应的点位于第二象限，故D错误； 故选：C 11.(24-25高一下·浙江·期中)任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则(    ) A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】复数的平方根与立方根、复数的三角形式、复数的三角表示 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为，所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根，不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根：， 所以，这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 三、填空题 12.(23-24高一下·上海·期中)在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的坐标表示、复数的三角表示、复数的向量表示 【分析】易得对应的复数，再由对应的复数是求解. 【详解】解：设向量对应的复数是，则， 所以对应的复数是： ， 所以的坐标是， 故答案为： 13.(21-22高一·全国·课后作业)如图所示，等边三角形ABC的两个顶点A，B所表示的复数分别是＋i和2，则点C所表示的复数为________．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】复数的几何意义及复平面、复数的三角形式 【分析】向量可由向量逆时针旋转得到，然后由复数的三角形式的乘法运算可得再由向量的加法可得，最后根据复数的几何意义可得. 【详解】∵A，B所表示的复数分别是和2，所表示的复数为，把逆时针旋转60°得到，对应的复数为， +，即点C对应的复数是． 故答案为： 14.(24-25高一下·上海浦东新·期末)已知正项数列的前项和为，满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】复数综合、写出等比数列的通项公式、三角表示下复数的几何意义、利用an与sn关系求通项或项 【分析】构造复数，将已知条件转化为，再利用复数的几何意义与三角形式求解辐角主值的关系，进而利用等比数列求通项，进而求(即). 【详解】由，且数列为正项数列， 定义复数，则， 则有， 又，其对应辐角主值； 如图，设复数对应复平面内的点，复数对应复平面内的点， 则对应复平面内的实轴上的点，且， 由，根据复数加法的几何意义可知， 故四边形为菱形，即复数对应辐角主值； 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，且， 故，则， 当时，又也适合上式. 所以，. 故答案为：. 四、解答题 15.(22-23高一·全国·课后作业)设复数，求证： (1)，，1都是1的立方根；(2)． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】(1)写出复数的三角形式，利用三角形式进行计算即可证明； (2)利用复数的三角运算求出，进而可得的值. 【详解】(1) ， ， ， 所以，，1都是1的立方根； (2)， . 16.(22-23高一下·福建三明·月考)在复平面内，O为坐标原点，复数是关于x的方程的一个根. (1)求实数m，n的值；(2)若复数，，，所对应的点分别为A，B，C，记的面积为，的面积为，求. 【答案】(1)，；(2)2 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、复数乘、除运算的三角表示、根据相等条件求参数 【分析】(1)把代入方程，然后根据复数相等即得；或由题可知也是方程的根，根据韦达定理计算得到答案； (2)根据复数的除法运算结合条件可得，，，进而可得，即得；或根据复数的三角形式及几何意义可得，进而即得. 【详解】(1)解法一：依题意，， 整理得， 于是，有， 解得，； 解法二：依题意，是方程的另一个根， 于是，有， 解得，； (2)由(1)知，因为， 所以， 所以，，， 从而，，， 可知，所以. 解法二：由(1)知，因为， 所以， 可知， 所以. 17.(23-24高一下·四川成都·期中)我们知道，复数可以用的形式来表示，与复平面内的点是一一对应的，复数的模，即是复平面内的点到坐标原点的距离．又复数与平面向量也是一一对应的，所以也可以借助与非负半轴为始边，以向量所在射线(射线OZ)为终边的角来刻画的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算． 如：，，角；，，角，由．即：复数，相当于将复数伸长了倍，同时逆时针旋转角后得到． (1)计算，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义； (2)现将直角坐标平面内任意一点，绕坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍后得到点．请借助以上复数运算的知识，推导点与点伸缩旋转变换的坐标关系； (3)已知反比例函数，现将函数上的点都逆时针旋转后得到点的曲线，求曲线上的点坐标关系式． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【难度】0.65 【知识点】复数的向量表示、复数除法运算、在各象限内点对应复数的特征、三角表示下复数的几何意义 【分析】(1)先由复数的除法运算化简，再结合向量间的关系得出复数除法的几何意义. (2)设出点对应的复数为，坐标原点逆时针旋转角，并将的长度伸长倍，即，从而可得出答案. (3)由(2)知：，解出，代入方程从而得出答案. 【详解】(1)令，，，则，，，，， 复数相当于将复数缩短了倍，顺时针旋转了得到 (2)设点对应的复数为：，设：， 点对应的复数为，则 所以 (3)由(2)知：，， 代入反比例函数得到，化简得：． 18.(24-25高一下·贵州贵阳·期末)形如z=a+bi(a，b∈R)的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线(射线OZ)为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r(cosθ+isinθ)()是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 (辐角取主值)； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 (i) ; (ii) 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)以；(2) (3)存在这样的集合， 【难度】0.4 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】(1)根据复数的三角形式的定义计算可求解； (2)设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； (3)取，验证可得结论. 【详解】(1)由，, 则，, 由，则， 所以； (2)1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； (3)取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 (i) ; (ii) 任意m 都有 . 19.(22-23高一下·江苏淮安·期中)已知复数的三角形式为. (1)若复数对应的向量为，把按逆时针方向旋转15°，得到向量恰好在轴正半轴上，求复数(用代数形式表示). (2)若的实部为，是否存在正整数，使得对于任意实数，只有最小值而无最大值？若存在这样的的值，则求出此时使取得最小值的的值；若不存在这样的的值，请说明理由. 【答案】(1)；(2)存在，时. 【难度】0.15 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数、复数的三角形式、由复数模求参数 【分析】(1)根据复数三角形式的运算及几何意义得出，再由的实部为，即可得出答案. (2)由题表示出，令，分析，进而判断的最值问题，即可得出答案. 【详解】(1)把按逆时针方向旋转15°， 所得向量， 因， ， 因为向量恰好在轴正半轴上， 则， 解得， ， 故复数. (2)存在，时，理由如下： 由题知， ， 因的实部为，则， 令，则， 易得在上单调递减，又为正整数，故在上单调递增， 因，则， 则要使得只有最小值而无最大值， 只需要即可，即，即， 当时，，，不符合只有最小值无最大值； 当时，， 因，则，又为正整数，则， 所以， 此时，当取得最小时，易得， 即，解得. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $