微专题03 一元一次不等式（组）的实际应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 以六大实际应用题型为框架，系统提炼“关键词转化—模型构建—最优解确定”方法体系，实现从实际问题到不等式组的逻辑转化，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分配问题|6题|“不空不满”转化为1≤剩余量≤n-1|资源分配情境→不等关系提取→整数解确定| |方案选择问题|6题|临界点比较法|优惠方案对比→费用函数构建→最优区间判断| |销售利润问题|6题|利润公式：(售价-进价)×销量|成本销量关系→利润不等式→最值求解| |行程问题|6题|路程=速度×时间，单位统一|行程情境→时间/速度限制→不等式组建立| |工程问题|6题|工作量=效率×时间|工程任务分配→进度限制→整数解方案| |阶梯收费问题|6题|分段计费，临界值处理|收费标准→分段函数→总费用不等式|

微专题03 一元一次不等式（组）的实际应用 题型1 分配问题 分配问题（“不空不满”型）： 将资源（如宿舍、车辆、物品）分配给不同对象时，出现“剩余但不够分”的情况（即“不空也不满”），需通过不等式确定分配数量的范围。 题目中出现“不空也不满”“剩余不足”“不够分”等表述，需转化为“剩余量≥1且≤n－1”（n为每对象分配量）。 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 2．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 【答案】(1)①A产品23件，B产品17件；②A产品24件，B产品16件；③A产品25件，B产品15件 (2)方案③利润最大 【分析】（1）设生产A产品x件，B产品件，然后列出不等式组并求出它的解集，由此可确定出具体方案； （2）根据题意得到利润的表达式，再根据一次函数的性质得到最值即可． 【详解】（1）解：设生产A产品x件，B产品件，根据题意得： ， 解得 ， 方案：①A产品23件，B产品17件； ②A产品24件，B产品16件； ③A产品25件，B产品15件； （2）设利润为，则， ， 随的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，利润最大；即方案③利润最大． 4．（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 5．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 【答案】(1)14；72； (2)小明的说法是正确的，理由见解析 (3)有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼 【分析】（1）根据两种系列中，大月饼与小月饼的个数列式计算即可； （2）根据共计领取月饼453个建立一元一次方程，解方程即可； （3）根据礼盒数量不少于80盒建立一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵若“长长久久”系列的月饼有盒，需要从制作车间领取大月饼个， ∴“八方来福”系列的月饼的盒数为（盒）， ∴需要从制作车间领取小月饼的个数为（个）． （2）解：小明的说法是正确的，理由如下： 设领货单中包装“长长久久”系列月饼盒，则“八方来福”系列的月饼盒， 由题意得：， 解得，这与领货单上的月饼50盒矛盾， 所以小明的说法是正确的． （3）解：设安排名月饼制作师制作大月饼，则安排名月饼制作师制作小月饼， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴的取值为4或5， 当时，； 当时，； 综上，有两种用工方案：①安排4名月饼制作师制作大月饼，6名月饼制作师制作小月饼；②安排5名月饼制作师制作大月饼，5名月饼制作师制作小月饼． 6．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 【答案】(1)篮球和足球的单价分别为元和元 (2) (3)花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个 【分析】（1）设一个篮球价格元，一个足球价格元，根据素材一列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据素材一的结论、素材二，利用总价单价数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求和即可列出与的函数关系式； （3）根据素材三可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设一个篮球价格为元，一个足球价格为元， 依题意得， 解得， 答：篮球和足球的单价分别为元和元． （2）解：购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍，购买篮球个， 气排球个数是个，足球个数是个， 依题意得： ． （3）解：由素材三得， 解得， ，， 随的增大而减小， 当时，最小，此时，， 花费最少的购买方案为篮球个，足球个，气排球个． 题型2 方案选择问题 方案选择问题（优惠/套餐决策）： 给出两种或多种方案，需通过比较费用或收益，选择最优方案。 题目中出现“更划算”“最优方案”“选择哪种”等表述，需找到“费用相等的临界点”，再判断区间。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) 辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨 (2) 共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 【详解】（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 2．（25-26八年级下·重庆合川·期中）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】(1)A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； (2)共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 【答案】(1)购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元 (2)①共有三种购买方案：方案一：购买跳绳26根，毽子28个；方案二：购买跳绳27根，毽子27个；方案三：购买跳绳28根，毽子26个；②方案一更省钱：购买跳绳26根，毽子28个 【分析】（1）设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）①设购买跳绳m根，则购买毽子个，根据题意解不等式组，求得整数解，即可求解； ②分别求得各方案的费用，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，由题意得： 解得： 答：购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元． （2）解：①设购买跳绳m根，则购买毽子个， 由题意得： 解得：． 为正整数， ∴，，． 共有三种购买方案：方案一：购买跳绳根，毽子个； 方案二：购买跳绳根，毽子个； 方案三：购买跳绳根，毽子个． ②方案一的费用为：元， 方案二的费用为：元， 方案三的费用为：元． ， 方案一更省钱：购买跳绳根，毽子个． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长，宽． 素材2 1.制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼装成无盖长方体盒身，盒身底面长，宽． 2.制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身＋1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 (1)任务（1）求出盒身的高度． (2)任务（2）若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． (3)任务（3）在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 【答案】(1)盒身的高度为 (2)共有3种方案如下：①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖；②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖；③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖 (3)67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元 【分析】（1）设盒身高度，根据卡纸长为，盒身底面长为，列出方程即可求解； （2）设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，由题意列出不等式组即可求解； （3）设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，利润为w元，由题意列出w与x的关系式即可求解． 【详解】（1）解：设盒身高度， 依题意得：， ∴， ∵卡纸宽为，则，符合题意． 答：盒身的高度为． （2）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖， 依题意得：， 解得， ∴x的整数解有：67，68，69， ∴共有3种方案如下： ①67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖； ②68张卡纸制作盒身，32张卡纸制作盒盖； ③69张卡纸制作盒身，31张卡纸制作盒盖． （3）解：设x张卡纸制作盒身，则张制作盒盖，利润为w元， 则， ∵x的值有：67，68，69， 当x＝67时，利润为：－29×67＋2700＝757； 当x＝68时，利润为：－29×68＋2700＝728； 当x＝69时，利润为：－29×69＋2700＝699； ∴当x＝67时， 即67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元． 答：67张卡纸制作盒身，33张卡纸制作盒盖时，利润最大为757元． 5．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 【答案】(1)x的值为11，y的值为9 (2)该公司有两种方案，购买A型设备1台，B型设备9台最省钱 【分析】（1）由“购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元”列出方程组，即可求解； （2）设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，由资金不超过95万元，月处理污水量不低于2024吨，列出不等式组，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，得 ， 解得， 答：x的值为11，y的值为9； （2）解：设治污公司决定购买A型设备a台，则购买B型设备台，由题意，得 ， 解得 ， ∵a为整数， ∴或2， ∴该公司有以下两种方案： 方案一：当时，，即A型设备1台，B型设备为9台； 买设备所需资金为：万元； 方案二：当时，，即A型设备2台，B型设备为8台； 买设备所需资金为：万元； ∵， ∴购买A型设备1台，B型设备9台最省钱． 6．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 题型3 销售利润问题 销售利润问题： 涉及商品的成本、售价、销量及利润（或利润率），要求利润不低于某一值或售价不超过某一范围。 利润＝（售价－进价）×销量；利润率＝利润÷进价×100%。 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 2．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1) (2)共有种进货方案，理由见解析 (3)该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元 【分析】（1）根据“购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双，然后根据“总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双”，列不等式求解，再根据鞋的数量是正整数解答即可； （3）设专卖店获得的利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：共有种进货方案．理由如下： 由（1）得，， 设购进甲种运动鞋双，则购进乙种运动鞋双， 根据题意，得， 解得， 为正整数， 共有种进货方案． （3）解：设专卖店获得的利润为， 根据题意，得， ，， 随的增大而减小，当时，取得最大值为元，此时（双）． 答：在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润，应购进甲种运动鞋进货双，购进乙种运动鞋双，可获得最大利润元． 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 【答案】25个 【分析】根据题目中的两个不等关系列出不等式组，求解后取x的最大值即可得到结果． 【详解】解：设购买A品牌足球的数量为，则购买B品牌足球的数量为 个， 根据题意列不等式组 ， 解第①个不等式得：， 解第②个不等式得：， 因此不等式组的解集为：， 所以的最大值为． 答：学校最多买25个A品牌的足球． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． (1)求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． (2)若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） (3)在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 【答案】(1)每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； (2)种制作方案； (3)此次义卖获得的总利润最高为元． 【分析】（）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元，由题意得，然后解方程组即可； （）设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套．由题意得，然后解不等式组即可； （）解：设总利润为元，由题意得，然后通过一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元， 由题意，得， 解得， 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为元； （2）解：设制作创意版手工钥匙扣m套，则简约版手工钥匙扣套． 由题意，得， 解得， ∵为正整数， ∴社区志愿者团队有种制作方案； （3）解：设总利润为元， 由题意，得， ∵， ∴总利润随的增大而增大， ∴当时，总利润取得最大值，最大利润为（元）， 答：此次义卖获得的总利润最高为元． 5．（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元 (2)应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元 【分析】（1）根据题干给出的两个总花费条件，设未知数列二元一次方程组求解即可得到两种吉祥物的单价． （2）设购买冰墩墩的数量，根据资金范围列一元一次不等式组得到数量的取值范围，再列出总资金的一次函数表达式，利用一次函数的增减性即可求出最小资金和对应购买方案． 【详解】（1）解：设购买一个“冰墩墩”需要元，一个“马墩墩”需要元． 根据题意得 ， 解得 ， 答：购买一个“冰墩墩”需要68元，一个“马墩墩”需要88元． （2）解：设购买个“冰墩墩”，则购买个“马墩墩”，总投入资金为元． 根据题意得， 由投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得， 解得， ， 随的增大而减小， 当时，取得最小值，， 此时， 答：应购买24个“冰墩墩”和6个“马墩墩”，最少资金是2160元． 题型4 行程问题 行程问题： 涉及速度、时间、路程的关系，要求速度或时间满足“至少”“不超过”等条件。 路程＝速度×时间（需注意单位统一，如分钟转小时）。 1．（2026·湖南长沙·一模）在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 【答案】(1)图见解析 (2)甲车刚到路口D的时间为 (3)想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间 【分析】（1）根据路口D绿灯亮起的时刻，以及红绿灯的持续时间，进行作图即可； （2）分别计算甲车到路口B和C的时间，结合红绿灯的示意图判断是否需要等待，最后计算路口C到路口D的时间，再求和即可； （3）设乙车的速度为，先分析路口B的情况，根据题意，估算乙车到路口B的时间为，结合路灯图可知，绿灯时段为，因此．再分析路口C的情况，同理估算乙车到路口C的时间为，确定绿灯时段为，最后求出． 【详解】（1）解：∵路口D在开始亮起绿灯， 又∵红灯与绿灯均持续， ∴路口D在，和期间亮起绿灯，其余时间为红灯， 红绿灯情况如图所示： （2）解：根据题意， 路口B和C，在亮绿灯，在亮红灯， 甲车到路口B的时间为， ∵， ∴此时路口B为绿灯，甲车可正常通行， 甲车到路口C的时间为， ∵， ∴此时路口C为红灯，甲车需等待到时，才可通行， ∴甲车到路口D的时间为； （3）解：设乙车的速度为， 由题意可得，， 先分析绿灯通过路口B： 乙车到路口B的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口B在亮绿灯，在亮红灯， ∴想要绿灯通过路口B需满足，对应的速度范围为， ∴； 再分析绿灯通过路口C： 乙车到路口C的时间， ∵， ∴， 根据题意，路口C在亮红灯，在亮绿灯， ∴想要绿灯通过路口C需满足，对应的速度范围为； 综上所述，． 答：想要连续绿灯通过两个路口，乙车的速度需在到之间． 5．（25-26九年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②， (2) 【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答； ②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①A到B的时间：， A路口秒绿灯，秒红灯． 汽车36秒到达B路口，遇到红灯， 因此不能全程绿灯通过； 在B路口等待红灯时间：， B到C的时间：， 总时间： 答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒． ②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至． 汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯， ∴，解得， ∵， ∴x的取值范围是：， C路口绿灯每次都延迟，因此： 第1次绿灯：， 第2次绿灯：， 汽车到达C路口的时间：， 由题意，100秒在第二次绿灯内， ∴， 解得， ∵， ∴y的取值范围是； （2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：， 对B路口：， 解得， C比A晚15秒绿灯， 因此： C路口的第1次绿灯：， C路口的第2次绿灯：，即 A到C总路程：， 对C路口： ， 解得， ∵， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 【答案】(1)不能，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查从函数图象中获取信息以及不等式组的求解，关键是通过计算汽车到达各路口的时间，结合绿灯亮灯时间段判断能否通过，并通过不等式组求解速度范围． （1）先计算汽车到达、路口的时间，再结合各路口绿灯的亮起和熄灭时间，判断对应时间是否处于绿灯区间； （2）根据、路口的绿灯时间段，列出汽车到达时间的不等式组，求解不等式组的交集得到速度的取值范围． 【详解】（1）解：汽车速度为，到路口的时间，到路口的时间． 从图2的路段的交通信号示意图可以看出，时路口为绿灯，可通过， 时路口处于红灯，不可通过； 综上，汽车不能一路绿灯通过路口和路口； （2）解：汽车速度为()，则到路口的时间，到路口的时间，且，， 路口的绿灯时间段为，路口的绿灯时间段为、等． 要一路绿灯通过，需在的绿灯区间且在的绿灯区间， 因此列不等式组：或， 解不等式①得，解不等式②得； ∴第一个不等式组①无解； 解不等式③得，解不等式④得， ∴第二个不等式组的解集为． 答：若想一路绿灯匀速通过、两个路口，速度的取值范围为． 题型5 工程问题 工程问题： 涉及工程任务的分配与进度，通常给出总工作量、工作效率及时间限制，要求在“提前完成”“超额完成”等条件下，求每天至少完成的工作量或所需的最少时间。 工作量＝工作效率×工作时间；总工作量＝已完成工作量＋未完成工作量。 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)700元 (2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，为原方程的根， ∴甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得， 解得， ∵为正整数， ∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案， 设总费用为元， 则， ∵，∴随的增大而增大． ∴越小，总费用越低， ∴ 当时，总费用越低， 即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低， 最低费用为元． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 【答案】(1)120天 (2)当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天；当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用； （1）设这项工程的规定工期是t天，根据甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，再建立分式方程求解即可； （2）由（1）求解甲队工作效率，乙队工作效率，设缩短后总工期t天，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t天， 根据题意得：， 解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：这项工程的规定工期是120天； （2）解：由（1）得甲队工作效率，乙队工作效率， 设缩短后总工期t天， 根据题意得：， 解得：， ∵，均为正整数且由实际可知， ∴， 得 故当，具体施工方案甲、乙两队先合做80天，剩余的由乙队单独施工20天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做84天，剿余的由乙队单独施工11天； 当，具体施工方案甲、乙两队先合做88天，剩余的由乙队单独施工2天． 4．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100、50 (2) (3)安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元 【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到，整理得：，再根据甲、乙两队施工的总天数不超过26天求出自变量取值范围即可解答． （3）由（2）可得，设施工总费用为元，得出与x的关系式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是， 根据题意．得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、； （2）根据题意，得：， 整理得：， ∵甲、乙两队施工的总天数不超过26天， ∴，即 解得 ∴y与x的函数解析式为：． （3）设施工总费用为w万元，根据题意得： ∵， ∴w随x减小而减小， ∵ ∴当时，w有最小值，最小值为， 此时． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低为10万元． 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 【答案】(1)甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品 (2)方案一：购买A种产品34件，B种产品46件；方案二：购买A种产品33件，B种产品47件；方案三：购买A种产品32件，B种产品48件；方案四：购买A种产品31件，B种产品49件 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据等关系列出方程，根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据等量关系：甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件．根据青扬公司按出厂价购买 A、B 两种产品的费用超过15000元而不超过15080元，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产件A种产品，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品． （2）解：设青扬公司购买B种产品m件，购买A种产品件，根据题意得： ， 解得：， ∵m取整数， ∴或47或48或49， ∴青扬公司设计购买方案为： 方案一：购买A种产品34件，B种产品46件； 方案二：购买A种产品33件，B种产品47件； 方案三：购买A种产品32件，B种产品48件； 方案四：购买A种产品31件，B种产品49件． 6．（2025八年级下·全国·专题练习）某工厂计划生产两种产品共60件，需要购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需要甲种材料，乙种材料；生产一件B产品需要甲、乙两种材料各．已知乙种材料每千克的价格比甲种材料每千克的价格贵10元，且用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多． (1)求甲、乙两种材料每千克的价格； (2)现在工厂要求用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，求有哪几种符合条件的生产方案； (3)在（2）的条件下，若生产一件A产品需要加工费40元，生产一件B产品需要加工费50元，则选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案． 【答案】(1)甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元 (2)四种方案，具体见解析 (3)生产A产品21件，B产品39件时成本最低 【分析】此题考查了分式方程、一元一次不等式组、一次函数的应用，正确列出函数解析式和方程是关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克元．用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多．据此列出分式方程并解方程即可； （2）设生产B产品a件，生产A产品件．用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，据此列出不等式组并解不等式组即可； （3）设生产成本为W元，列出W与a之间的一次函数关系式，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克元． 根据题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，． 答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元． （2）设生产B产品a件，生产A产品件．根据题意，得 解得． 的值为非负整数， ， 则共有如下四种方案： A（件） 21 20 19 18 B（件） 39 40 41 42 （3）生产A产品21件，B产品39件成本最低．理由如下： 设生产成本为W元， 则W与a之间的函数关系式为 ． 随a的增大而增大， ∴当时，总成本最低． 即生产A产品21件，B产品39件时成本最低． 题型6 阶梯收费问题 阶梯收费问题（分段计费）： 费用随数量增加而分段递增，要求根据总费用或数量范围，求某一区间的最大值或最小值。 题目中出现“阶梯电价”“分段收费”“不超过a部分…超过a部分…”等表述，需分段建立不等式，并注意各区间的临界值。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1．8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是______立方米． 【答案】13 【分析】先根据小颖家得的水费，判断是否超过5立方米，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴小颖家每月用水量超过了5立方米， 设小颖家每月用水量为x立方米， ， 解得：， ∴小颖家每月用水量至少是立方米． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找出题目中的不等关系是解题的关键． 3．（22-23七年级下·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程． （1）由题意列出不等式组即可求解； （2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可； （3）分和分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为， 由题意得，， 解得， 答：x的取值范围为． （2）解：∵， ∴7月份的水费， ∵， ∴随增大而增大， ∴当时，7月份的水费最多为（元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元． （3）解：当时，该居民6月份用水量超过了， ∴ 解得，不符合题意，舍去； 当时，该居民6月份用水量未超过， ∴， 解得， 答：该居民7月份的用水量为． 5．（2026·江苏南通·一模）如图是某种新能源汽车在一次充电过程中，先慢充，再快充，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像．已知慢充收费元，快充收费元，且该汽车电池在同一种模式下的充电功率不变． （充电功率充电电量） (1)该汽车电池的慢充功率为________，快充功率为________； (2)若该汽车电池现有电量，准备先慢充，再快充，使得总电量达到，且充电时间不超过小时．设总共收费元，求关于的函数关系式以及的最小值． 【答案】(1)； (2)，的最小值为元 【分析】（1）根据充电功率的意义求解即可； （2）根据“总收费慢充收费快充收费”列出关于的函数关系式，根据“充电时间不超过小时”列出关于的不等式组并求出解集，然后根据一次函数的性质及的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴该汽车电池的慢充功率为，快充功率为； （2）解：∵慢充功率为，慢充收费元，快充功率为，快充收费元， 且先慢充，再快充， ∴慢充电量，慢充电费为：（元）， ∴快充电量，快充电费：（元）， ∴， ∵慢充时间是x小时， ∴快充时间为小时， 又∵充电总时间不超过小时， ∴， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴关于的函数关系式为，的最小值为元． 6．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ 【答案】(1)该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元/度，第二阶梯电费单价为0.6元/度． (2)他家最大用电量为300度． 【分析】（1）设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度，根据刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设刘先生6月份用电量为度，根据刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设该市规定的第一阶梯电费单价为元度，第二阶梯电费单价为元度， 依题意得：， 解得：． 答：该市规定的第一阶梯电费单价为0.5元度，第二阶梯电费单价为0.6元度． （2）解：设刘先生6月份用电量为度， 依题意得：， 解得：． 答：他家最大用电量为300度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 一元一次不等式（组）的实际应用 题型1 分配问题 分配问题（“不空不满”型）： 将资源（如宿舍、车辆、物品）分配给不同对象时，出现“剩余但不够分”的情况（即“不空也不满”），需通过不等式确定分配数量的范围。 题目中出现“不空也不满”“剩余不足”“不够分”等表述，需转化为“剩余量≥1且≤n－1”（n为每对象分配量）。 1．（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 2．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）某公司有甲种原料260，乙种原料270，计划用这两种原料生产A，B两种产品共40件，生产每件A种产品需甲种原料8，乙种原料5，可获利润900元；生产每件B种产品需要甲种原料4，乙种原料9，可获利润1100元． (1)按此要求安排生产A、B两种产品的件数共有哪几种方案？请你设计出来． (2)请说明第（1）题的方案中，哪种方案的利润最大？ 4．（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 5．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 月饼的制作和包装问题 【项目背景】中秋的月饼寓意着团圆和美满．某校九年级学生在老师的带领下到某食品厂参加社会实践．实践中，发现包装车间包装月饼有两种方案（如图）：方案1：“长长久久”系列，用圆柱体盒子包装1大8小共9个月饼；方案2：“八方来福”系列，用长方体盒子包装2大6小共8个月饼． 【项目分析】 (1)若要包装10盒月饼，则需要从制作车间领取的月饼数见下表： “长长久久”盒数 1 2 3 4 5 6 ．．． “八方来福”盒数 9 8 7 6 5 4 ．．． 大月饼/个 19 18 17 16 15 ．．． 小月饼/个 62 64 66 68 70 ．．． 表格中___________，___________．若“长长久久”系列的月饼有盒，则需要从制作车间领取大月饼个，小月饼___________个（用含的式子表示）． (2)小明从地上捡到一张污损的领货单，如图： 小明看完这张领货单，对周围的同学说：“这张领货单上的数据有误”．你认为小明的说法正确吗？请说明理由． 【项目决策】 (3)生产车间共有10名月饼制作师，每人每天能制作大月饼20个或小月饼150个（每人每天只制作一种月饼）．现要求一天内制作出的月饼只组装成“长长久久”系列礼盒（允许月饼有剩余）且不少于80盒，请你给出所有的用工方案． 6．（2026·湖北十堰·一模）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 买一个气排球元，买个篮球和一个足球价钱为元，购买个篮球的价格比购买一个足球多花费元． 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共个，且气排球的个数是篮球个数的倍． 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于个，总花费不超过元． 请完成下列任务： (1)求出篮球和足球的单价． (2)求购买篮球，足球，气排球共花费（元）与购买篮球（个）的函数关系式． (3)制定花费最少的购买方案． 题型2 方案选择问题 方案选择问题（优惠/套餐决策）： 给出两种或多种方案，需通过比较费用或收益，选择最优方案。 题目中出现“更划算”“最优方案”“选择哪种”等表述，需找到“费用相等的临界点”，再判断区间。 1．（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． (1)求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ (2)该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 2．（25-26八年级下·重庆合川·期中）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． (1)求A，B两类物品的单价； (2)学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期中）为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元． (1)求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元； (2)某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根， ①求共有哪几种购买方案； ②比较哪一种购买方案更省钱． 4．（25-26七年级下·福建泉州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 【材料准备】 素材1 端午将至，某中学手工社团制作国风纸质礼盒开展公益义卖，助力非遗文化推广．同学们以每张12元的价格买了100张长方形硬质卡纸，每张卡纸长，宽． 素材2 1.制作盒身 现将部分卡纸按图①虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个长方形拼装成无盖长方体盒身，盒身底面长，宽． 2.制作盒盖 其余每块卡纸按图②虚线裁剪出2个盒盖（阴影是余料）． 素材3 配套与售价：1个盒身＋1个盒盖＝1套礼盒，售价28元一套；多余未配套的盒身可做成简易收纳盒，售价10元一个． 【问题解决】 (1)任务（1）求出盒身的高度． (2)任务（2）若简易收纳盒数量少于10个，卡纸该如何分配？请给出分配方案． (3)任务（3）在方案1的基础上，为了提高利润，同学们打算把图②裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张长方形余料可以制成一个书签，并以3元/个的价格销售．请确定卡纸分配方案，使销售后获得最大利润． 5．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）为改善河流水质，某治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格与月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） x y 处理污水量（/月） 240 200 经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少5万元． (1)求x，y的值； (2)如果治污公司购买污水处理设备的资金不超过95万元，且月处理污水量不低于2024吨，为了节约资金，请问该公司有几种购买方案，并找出哪种最省钱？ 6．（25-26七年级下·湖南株洲·期中）小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 题型3 销售利润问题 销售利润问题： 涉及商品的成本、售价、销量及利润（或利润率），要求利润不低于某一值或售价不超过某一范围。 利润＝（售价－进价）×销量；利润率＝利润÷进价×100%。 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 2．（25-26九年级下·湖北恩施·期中）随着全民健身意识的增强和体育产业的快速发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店抓住这一市场机遇，购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表．已知购进双甲种运动鞋与双乙种运动鞋共需元． 甲 乙 进价/（元/双） 售价/（元/双） (1)求的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共双的总进价不超过元，甲种运动鞋不少于双，问该专卖店有几种进货方案？说明理由． (3)在（2）的条件下，该专卖店要获得最大利润应如何进货？ 3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）为了响应“足球进校园”的号召，育才中学开设了“足球大课间活动”，为此学校准备购买A，B两种品牌的足球共40个，已知A品牌足球每个80元，B品牌足球每个60元，其中购买A品牌足球的数量不少于B品牌足球的数量，且总费用不超过2900元，学校最多买多少个A品牌的足球？ 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动“，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．简约版每套的成本比创意版每套的成本低元，且套简约版的成本与套创意版的成本共元． (1)求每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价． (2)若计划制作简约版和创意版的手工钥匙扣共套，投入资金不多于元，且创意版手工钥匙扣的数量不少于简约版手工钥匙扣的数量的一半，问社区志愿者团队有几种制作方案？（不用写出具体方案） (3)在（）的条件下，现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为元和元，且所有钥匙扣均已卖出，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 5．（2026·湖北随州·一模）国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 6．（25-26八年级下·广东佛山·期中）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”特别纪念版——“马墩墩”于2025年11月28日正式发售．为鼓励学生积极参加体育活动，阳光中学准备购买“冰墩墩”和“马墩墩”奖励在运动会中表现优秀的学生．已知购买1个“冰墩墩”和3个“马墩墩”共需花费332元，购买3个“冰墩墩”和2个“马墩墩”共需380元． (1)购买一个“冰墩墩”和一个“马墩墩”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元且不多于2200元，要使投入资金最少，应如何设计购买方案？最少资金是多少元？ 题型4 行程问题 行程问题： 涉及速度、时间、路程的关系，要求速度或时间满足“至少”“不超过”等条件。 路程＝速度×时间（需注意单位统一，如分钟转小时）。 1．（2026·湖南长沙·一模）在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 2．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 3．（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 4．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）当汽车以特定速度驶入“绿波路段”时，可以连续绿灯通过多个路口，其间汽车安全行驶速度在到之间． 某兴趣小组在一条“绿波路段”上进行观测，发现道路上依次有，，，4个路口．已知这个路口的绿灯和红灯均分别持续．其余因素忽略不计．路口的绿灯亮起后，路口、的绿灯亮起；路口的绿灯亮起后，路口的绿灯亮起．路口、、到路口的距离分别为，，．兴趣小组将收集到的信息绘制成如图所示的交通信号示意图，其中横轴表示时间（），纵轴表示各个路口到路口的距离（）． (1)请在图中画出路口在 的红绿灯； (2)若甲车在时，从路口以的速度向路口行驶，求该车刚到达路口时所用的时间； (3)若乙车在时到达路口，向路口匀速行驶．求该车可以连续绿灯通过路口、的速度范围． 5．（25-26九年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”． 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯． 为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题： (1)假设汽车以的速度匀速行驶： ①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间． ②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围． (2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围． 6．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图1，在一段道路上依次有三个路口，已知各路口红灯、绿灯均每隔交替一次，其余因素忽略不计． 已知路口的绿灯亮起后路口的绿灯亮起：亮起后路口的绿灯亮起．路口到路口的距离分别为．图2为该路段的交通信号示意图，图中横轴表示时间，纵轴表示各个路口的位置． (1)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，它能一路绿灯通过路口和路口吗？请说明理由； (2)当路口的绿灯刚亮起时，一辆汽车经过路口，以的速度匀速向路口行驶，若想一路绿灯匀速通过两个路口，则需要优化通行速度，求速度的取值范围．(可借助给出的图象加以分析) 题型5 工程问题 工程问题： 涉及工程任务的分配与进度，通常给出总工作量、工作效率及时间限制，要求在“提前完成”“超额完成”等条件下，求每天至少完成的工作量或所需的最少时间。 工作量＝工作效率×工作时间；总工作量＝已完成工作量＋未完成工作量。 1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？ 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）2024年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40天；若由乙队单独施工则会超过规定工期80天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成． (1)求这项工程的规定工期是多少天？ (2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不超过100天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a和总工期均为正整数） 4．（2023·广西河池·一模）某社区计划对面积为1800的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天绿化的面积是乙队的2倍，并且在独立完成400的绿化时，甲队比乙队少用4天． (1)分别求出甲队、乙队每天完成的绿化面积； (2)设甲队施工x天，乙队施工y天，刚好完成绿化任务，且甲、乙两队施工的总天数不超过26天，写出y与x的函数解析式和自变量x的取值范围； (3)在（2）条件下，若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，如何安排甲、乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 5．（25-26八年级上·重庆·月考）君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同． (1)求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？ (2)君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案？ 6．（2025八年级下·全国·专题练习）某工厂计划生产两种产品共60件，需要购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需要甲种材料，乙种材料；生产一件B产品需要甲、乙两种材料各．已知乙种材料每千克的价格比甲种材料每千克的价格贵10元，且用100元购买的甲种材料与用140元购买的乙种材料一样多． (1)求甲、乙两种材料每千克的价格； (2)现在工厂要求用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，求有哪几种符合条件的生产方案； (3)在（2）的条件下，若生产一件A产品需要加工费40元，生产一件B产品需要加工费50元，则选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案． A（件） 21 20 19 18 B（件） 39 40 41 42 题型6 阶梯收费问题 阶梯收费问题（分段计费）： 费用随数量增加而分段递增，要求根据总费用或数量范围，求某一区间的最大值或最小值。 题目中出现“阶梯电价”“分段收费”“不超过a部分…超过a部分…”等表述，需分段建立不等式，并注意各区间的临界值。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）某自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费1．8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元．小颖家每月水费都不少于25元，则小颖家每月用水量至少是______立方米． 3．（22-23七年级下·湖北·期末）甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 4．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 5．（2026·江苏南通·一模）如图是某种新能源汽车在一次充电过程中，先慢充，再快充，其电池电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图像．已知慢充收费元，快充收费元，且该汽车电池在同一种模式下的充电功率不变． （充电功率充电电量） (1)该汽车电池的慢充功率为________，快充功率为________； (2)若该汽车电池现有电量，准备先慢充，再快充，使得总电量达到，且充电时间不超过小时．设总共收费元，求关于的函数关系式以及的最小值． 6．（21-22七年级下·福建龙岩·期末）为鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行“阶梯收费”（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定．用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费，用电度数均取整数． 下表是刘先生家2022年4月和5月所交电费的清单． 户名 电表号 月份 用电量（度） 金额（元） 刘×× 1205 4 220 112 刘×× 1205 5 265 139 (1)该市规定的第一阶梯电费和第二阶梯电费单价分别为多少元/度? (2)刘先生家6月份家庭支出计划中电费不超过160元，他家最大用电量为多少度？ / 学科网（北京）股份有限公司 $