微专题04 一元一次不等式与一次函数的综合应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

微专题04 一元一次不等式与一次函数的综合应用 题型1 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 给出一次函数的图象（或与坐标轴的交点），要求解关于x的不等式（如、）： 1. 从图象中读取函数与x轴的交点横坐标（记为）； 2. 根据函数的增减性（时递增，时递减），确定解集： (1) 若，则的解集为，的解集为； (2) 若，则的解集为，的解集为。 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，直线与直线交于点，不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原不等式变形为 ，即转化为求直线 在直线 上方（包括交点）时 的取值范围，结合图象与交点坐标即可求解． 【详解】原不等式可移项变形为， ∵直线与直线交于点， ∴当 时，两直线函数值相等 观察图象可知，当时，直线的图象在直线 的图象上方或重合 ， ∴ 不等式的解集是． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）的图象过点，则关于的不等式的解集是(      ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象可知，直线与轴交于点，要求的解集，即寻找函数图象在轴下方部分对应的的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且函数值随自变量的增大而增大． 当时，函数图象位于轴下方， 此时，即． 关于的不等式的解集是． 3．（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）已知不等式的解集是，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的解集确定 的符号以及直线与 轴的交点坐标，进而判断函数图象． 【详解】解：∵不等式， ∴， ∵不等式的解集是， ∴，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 4．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，一次函数的图象与轴相交于点，则不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】图象法求出不等式的解集即可. 【详解】解：由图象可知，的解集为. 5．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】确定图象在直线的下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得：不等式的解集是． 6．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【详解】解：当时，函数的图象在x轴下方， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴时，函数的图象在x轴下方， ∴不等式的解集为． 题型2 由两直线的交点求不等式的解集 给出两条直线的交点坐标，要求解关于x的不等式： 1. 两直线的交点坐标是方程组的解； 2. 不等式的解集是直线在直线上方的部分对应的x取值范围； 3. 不等式的解集是直线在直线下方的部分对应的x取值范围。 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图象可知一次函数的图象经过一、二、四象限，则， 由图象可知一次函数的图象经过一、二、三象限，则， ∴，，故A、B正确； 由函数图象可知：一次函数与的图象交于点P，且点P的横坐标为1， ∴，故C正确； 根据图象可知，当时，，故D错误． 2．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图直线（）经过点，则不等式的解集是_________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象的性质，当时，；由此即可求解． 【详解】解：根据题意可知，直线，且经过点， ∵， ∴， 由图象可知，当时，； ∴不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了．甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．设甲行走的时间为，甲、乙行走的路程分别为、，、与之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： (1)乙比甲晚出发_s，乙提速前的速度是每秒_，_，_； (2)当为_时，乙追上了甲； (3)何时乙在甲的前面？ 【答案】(1)15；15；31；45 (2)24 (3)时，乙在甲的前面 【分析】（1）根据图像时，可知：乙比甲晚；由时，可求得提速前速度；根据时间等于路程除以速度可求提速后所用时间，即可得到m值，进而得出n的值； （2）先分别求得段、段对应的函数关系式，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）先根据（2）得结论得到和的交点横坐标，再根据函数图像即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，可知乙比甲晚； 当时，；当时，； 故乙提速前的速度是； ∵乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴乙提速后速度为， 故提速后乙行走所用时间为：， ∴， ∵甲的速度是； ∴． （2）解：设段对应的函数关系式为， ∵在上， ∴，解得， ∴y=10x． 设段对应的函数关系式为， ∵在BC上， ∴，解得：， ∴， 由乙追上了甲，得，解得． 答：当x为24秒时，乙追上了甲． （3）解：由（2）可知：当x为24秒时，乙追上了甲，即和的交点横坐标为24， 由函数图像可知：当时乙在甲的前面． 4．（25-26八年级下·广东梅州·期中）如图，已知直线交x轴于点，交y轴于点B，直线交x轴于点D，与直线相交于点． (1)求m的值与直线的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)5 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）根据（1）可知，结合图象即可求解； （3）根据题意可以将，的坐标求出来，四边形的面积为和的面积之差，据此即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 则， 将，代入得， ， 解得， 则； （2）解：由（1）得，， 有图象可知，当时，； （3）解：将代入得，则， 将代入得，则， ∵，， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用描点法画出一次函数图象即可； （2）利用待定系数法求出一次函数解析式，求出与轴的交点坐标，即可得出不等式的解集； （3）求出该一次函数图象与直线的交点坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵，， ∴一次函数的图象如图所示： （2）解：∵，， ∴， 解得：， ∴该一次函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴该一次函数与轴的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． （3）解：联立该一次函数解析式与得，， 解得：， ∴两直线的交点坐标为， ∴由图象可知，不等式的解集为． 6．（25-26八年级下·福建宁德·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质———运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】 探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 根据下表格中的信息可得_______． x … 0 1 2 3 4 … y … 2 0 b 0 … (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【解决问题】 (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①写出函数的一条性质____________： ②求关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①当时，y随x增大而减小（答案不唯一）；② 【分析】（1）把代入得，，即可得出结果； （2）根据表格画出函数图象即可； （3）①根据函数图象即可得出性质；②在中，当时，，当时，，联立方程组或，解得或，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴． （2）解：如图所示即为所求； （3）解：①由函数图象可得，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大． ②在中，当时，，当时，， 联立，解得； 联立，解得； 如图， ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； 题型3 根据不等式的解集求交点 给出关于x的不等式的解集，要求求两条直线的交点坐标或直线与坐标轴的交点： 1. 将不等式解集转化为方程； 2. 代入方程求出参数； 3. 根据其他条件（如函数过某点）求出剩余参数，进而得到交点坐标。 1．（2026·陕西西安·二模）下列关于直线（为常数）与直线的交点情况，判断正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点，且交点在第一象限 C．有一个交点，且交点在第二象限 D．有一个交点，且交点不在第四象限 【答案】D 【分析】先根据一次函数比例系数不相等，可知两直线一定相交，再联立方程求出交点坐标，结合各象限点的坐标特征排除错误选项，即可得到答案． 【详解】解：直线中，直线中，， 两直线一定相交，有且只有一个交点， 故A选项错误； 解方程组， 可得：， 整理得：， 解得： 将代入， 可得：， 交点坐标为， 当时，交点坐标为，在第二象限， 当时，交点坐标为，在第一象限， 交点可能在第二象限，也可能在第一象限， 故B选项和C选项错误； 若交点在第四象限，需满足横坐标为正，纵坐标为负， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组无解， 交点不可能在第四象限， 故选项正确． 2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程组的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解， 先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线与x轴的交点解答D． 【详解】解：∵直线与x轴交于点， ∴方程的解是，， 解得，即， 则A不正确，不符合题意； ∵一次函数与交点为， ∴， 即， ∴方程组的解是， 则B不正确，不符合题意； 关于x的不等式的解集是， 则C正确，符合题意； ∵直线与x轴交于点， ∴的解集是， 则D不正确，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．（22-23八年级上·江苏泰州·月考）［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是_ （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则_ （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 5．（24-25八年级下·山东日照·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，且与正比例函数的图象交于点. (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)求方程组的解； (3)观察图象，不等式组的解集是_. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）两直线的交点的横纵坐标，即为两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案； （3）根据正比例函数的图象在轴的上方，在函数的图象的下方即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ， ，即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：∵一次函数的图象，与正比例函数的图象交于点， ∴方程组的解为； （3）解：由图象可得不等式组的解集为：． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，是常数，）的图象与轴的交点为点，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值； (2)若是轴上一点，且的面积为9，求点的坐标； (3)观察图象，直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）先得出点C的坐标，然后再根据待定系数法可进行求解； （2）由（1）可知，设点的坐标为，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）根据一次函数的图象可进行求解． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数得：，解得：， ∴， 把，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为， ∴； （2）解：由（1）可知：一次函数的解析式为， 令时，则， ∴， 设点的坐标为，则有， ∴， 解得：或8， ∴点的坐标为或； （3）解：由图象可知：一次函数与正比例函数的图象交于点，且在点C的左侧一次函数的图象在正比例函数图象的上方， ∴关于的不等式组的解集为． 题型4 一元一次不等式组与一次函数的综合 给出一个一元一次不等式组，要求结合一次函数的图象求解集或整数解： 1. 分别解出每个不等式的解集（或根据图象确定解集）； 2. 在数轴上表示两个解集，找出它们的公共部分（交集）； 3. 若要求整数解，在交集中找出所有整数。 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 2．（25-26八年级下·江西抚州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值及一次函数的表达式； (2)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出的值，进而得到点的坐标，再用待定系数法把两点坐标代入一次函数中，计算出的值，进而得到一次函数解析式； （2）根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数图象上， ， ，        即点坐标为， ∵一次函数经过、点， ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：； （2）解：由图象可得不等式的解为：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数图象经过点和． (1)画出这个一次函数图象； (2)当______时，； (3)试求该函数的关系式； (4)若图象与轴的交点为，与轴的交点为，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)6 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象的性质． （1）描出点和，再连线即可， （2）图象即可解答； （3）用待定系数法即可求解， （4）求出、点坐标，再求面积即可． 【详解】（1）解：图象如图所示； （2）解：由图象可知，当时，； 故答案为：； （3）解：一次函数图象经过点和， ，且， ， 该函数的关系式为； （4）解：令，则，解得， 则点的坐标为，得， 令，则，则点的坐标为，得， ． 4．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式： (2)求的面积： (3)不解关于x的不等式 ，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）将不等变形为 ，再根据两函数图象的交点横坐标即可解答． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数，得 ， ， ． 一次函数图象经过点，， ， 解得 一次函数解析式是； （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得， 解得， ， ， ， 的面积为：； （3）解： ，则 ， 由图象可知，当时，正比例函数的图象与一次函数的图象的下方， ∴不等式 的解集为． 5．（23-24八年级上·江苏南京·期末）若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当时，；当时，，可以记作分段函数． (1)若时，画出与之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质．    (2)正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为，当时，的取值范围是______； (3)已知点，函数的图像与线段的交点个数随的值的变化而变化，直接写出交点个数及对应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)当时，没有交点；当时，1个交点；当时，2个交点 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，解题的关键是掌握描点法画函数解析式，利用数形结合的思想解决不等式以及图像的交点问题． （1）列表，描点，连线画出函数图像，根据图像写出函数的两条性质即可； （2）利用交点求出的值，进而求出两个函数图像的另一个交点，图像法求不等式的解集即可； （3）求出函数图像经过两点时的值，画出图像，利用数形结合的思想，进行求解即可． 【详解】（1）当时，， 列表如下： 0 1 2 3 作图如下：    由图可知：性质1：当时，随的增大而增大； 性质2：当时，函数有最小值2． （2）∵正比例函数的图像与函数的图像的一个交点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴正比例函数的图像与函数的图像交点为，，    由图可知：时，或； （3）∵， ∴当时，， ∴函数图像一点过点， 如图，当与交于点时，，解得：， 当与交于点时，，解得：，    由图可知：当时，与没有交点， 当时，与有1个交点， 当时，与有2个交点． 6．（25-26八年级下·北京海淀·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为点B，且与正比例函数的图象交于点． (1)求m的值及一次函数的表达式； (2)若点P是y轴上一点，且的面积为6，请写出点P的坐标． (3)结合图象直接写出：的解集． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）代入点到，求出的值，再代入点的坐标到，利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）利用一次函数的性质求出，设点P的坐标为，根据三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】（1）解：代入点到，得， 解得， ∴， 代入，到， 则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：对于，令，则， ∴， 设点P的坐标为， ∵的面积为6， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：由图象得，当时，， ∴的解集为． 题型5 根据函数图象求最值 给出多个一次函数的图象，要求求“y取各函数最小值”或“y取各函数最大值”时的最大值或最小值。 1. 求出任意两条直线的交点坐标； 2. 根据交点坐标划分区间，确定每个区间内的最小值或最大值函数； 3. 计算每个区间内的最值，比较得到全局最值。 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质．小明想应用这个方法来探究函数的性质．下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： x … 0 1 … y … 3 2 1 0 1 2 k … 直接填空： ______； (2)描点并画出该函数的图并结合图象回答下列问题． 根据图象，下列关于该函数性质的说法正确的有______；（填序号） ①该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值2；②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线 (3)请结合图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)3 (2)图象见解析；③ (3)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象，并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把代入函数关系式进行计算即可； （2）描点、连线画出函数图象即可；观察图象可从该图象的最值，增减性，对称性解答即可； （3）根据题意画出图象，再观察图象即可解答． 【详解】（1）解：当时，， 即， 故答案为：3 （2）解：描点、连线画出该函数图象如图： 观察图象得：该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值0，故①错误； 当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故②错误； 该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，故③正确． 故答案为：③ （3）解：如图， 当时，， 解得：或2， 观察图象得：当或时，函数的图象位于直线的上方， 不等式的解集为或． 3．（24-25八年级下·甘肃临夏·月考）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题，他们确定以函数为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： … 0 1 2 … … 3 1 0 1 2 3 … 其中，表格中的值为_． ②描点，连线： 根据平面直角坐标系中描出的对应值的坐标点，请你依次连接画出该函数的图象． (2)观察函数|的图象，回答下列问题： ①当_时，函数有最小值，最小值为_； ②当_时（填自变量x的取值范围），随的增大而增大． (3)已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是_． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①，；② (3) 【分析】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． （1）根据解析式即可求出的值，描点、连线即可画出图象； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，， 故的值为， 故答案为：； ②函数图象如图所示： （2）解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； （3）解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和， 故当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·吉林长春·期末）数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其他函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． (1)作出函数的图象． ①列表： x 0 1 2 y 3 a 1 0 1 2 3 其中，表格中a的值为________； ②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． (2)观察函数的图象，回答下列问题． ①当________时，函数有最小值，最小值为________， ②当________时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； (3)已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是________． 【答案】(1)①；②见解析 (2)①，；② (3) 【分析】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． （1）根据解析式即可求出的值； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①当时， 故的值为， 故答案为：2； ②函数图象如图所示： （2）解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； （3）解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示： 交点坐标为和 故当时，， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·北京·期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． (1)已知、，则_______，_______； (2)已知、，若，则t的取值范围是_______； (3)已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【答案】(1)3，1 (2)或； (3)作图见解析，2 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为，根据题意代入表示出，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． 【详解】（1）解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； （2）∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； （3）设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ∴如图所示，正方形即所有满足条件的点P所构成的图形， ，， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 6．（23-24八年级下·浙江台州·期中）一般地，对于一次函数，（其中a，b，c，d为常数，且，，定义一个新函数，称y是与的“平均中项”，y是关于x的“平均中项函数”．如：一次函数，，若y是与的“平均中项”，则y是关于x的“平均中项函数”，即． (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出的大致图象； x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 y 2.5 1 0.5    (2)观察图象，当_时，y有最小值；当时，x的取值范围是_； (3)对于三个数a，b，c，用表示这三个数中的最大数， 例如：，对于，，，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）先根据求出y的值，然后进行描点，连线，画出图象即可； （2）根据图象求出y最小值；根据图象得出当时，求出x的取值范围即可； （3）根据函数图象分三种情况：当时，当时，当时，分别求出的最小值，即可求出结果。 【详解】（1）解：填表如下： x 0 1 2 y 2 1.5 1 0 1 函数图象，如图所示：    （2）解：根据函数图象可知：当时，y有最小值； ， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， ∵时，， ∴此时函数解析式为：， 联立， 解得：， ∴与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与y的交点坐标为； 联立， 解得：， 与的交点坐标为； 根据函数图象可知：当时，． （3）解：根据函数图象可知：当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， ∵当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； 当时，的函数值最大， ∴， 当时，的最小值为， ∴此时的最小值为； ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，新定义运算，画函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解题意． 题型6 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题 给出多个关于一次函数的结论，要求判断哪些结论正确。 1. 根据函数解析式判断增减性（时递增，时递减）； 2. 根据截距判断图象与y轴的交点（交于正半轴，交于负半轴）； 3. 结合图象验证不等式的解集是否正确； 4. 总结正确结论的数量。 1．（21-22八年级下·北京西城·期中）如图，一次函数与的图象交于点P．下列结论：①；②；③当时，；④；⑤．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由一次函数图象及其性质可知的符号情况，从而可判断①②的正确与否，由两函数图象的交点情况可判断③④正确与否，由与轴交点情况可判断⑤正确与否，作出选择即可． 【详解】解：由一次函数图象可知：，由一次函数图象可知：，所以①错误， ∴，故②正确， 观察图象交点情况，交点的横坐标为1，自变量时，图像位于图象上方，即当时，，故当时，，故③错误； 因为交点横坐标为1，代入两解析式可得，故④正确； 由当时一次函数图象上的对应点在第三象限，即时，代入得：，即，故⑤正确； 正确的结论有3个． 2．（24-25七年级下·山东烟台·期末）一次函数与的图象位置如图，下列结论： ①随x的增大而减小； ②当时，； ③； ④当是以为底边的等腰三角形时，． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，等腰三角形的性质．根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；如图，过作于，证明，求解，，结合当时，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、四象限， ∴， ∴随x的增大而减小；所以①正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， 结合图象可得：当时，，故②错误； ∴时，， 整理得，所以③正确； 如图，过作于， ∵， ∴， 当时，，， ∴，， ∵当时， ∴ ∴即．故④正确； 故选：D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，给出下面四个结论：①当时，；②当时，；③当时，；④当时，．上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①② 【分析】根据一次函数的增减性可判断①和②，把代入，求出与的关系，解不等式可判断③与④． 【详解】解：∵点在第一象限且满足， ∴点在线段(不包括端点)上， ∴一次函数图象经过， 随的增大而增大， 结论①：当时，，当时，；①正确； 结论②：当时，，时，同理，随增大而增大，因此时，，②正确； 结论③：当时，，由，时，，因此，即，与结论矛盾，③错误； 结论④：当时，， 题目规定在第一象限，因此，，不存在满足的符合条件的一次函数，该结论不成立，④错误； 综上，正确结论的序号是． 4．（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数 （，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点，则下列结论： ①关于x的方程的解为； ②直线图象上任意不同两点和满足； ③若，且，则当时，． 其中正确的结论有 ________ （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，绝对值的性质等知识．根据两直线的交点即为其解析式所组成的方程组的解，即可判断①；利用待定系数法求出两个函数的解析式即可判断后面两个． 【详解】解：∵一次函数 （，k、b是常数）与（，m是常数）的图象交于点， ∴联立的解为， 即方程的解为，故①正确； 将代入，得：， 解得：， ∴． 由题意可得：y的值随x的增大而减小， ∴当时，；当时，， ∴无论何时与都为异号， ∴，故②正确； 将代入，得：， ∴． ∵，且， ∴，且， ∴，且， ∴当时，画出图象如图所示． 当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，， 当时，画出图象如图所示． 当时，一次函数的图象位于一次函数的图象上方， ∴当时，，故③正确． 故答案为：①②③． 5．（24-25八年级下·北京延庆·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 6．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数的图象交轴于点，且与直线都经过点．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，； ③关于的一元一次方程的解为； ④方程组的解为 上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一元一次方程和不等式之间的关系，求出当时，，再结合函数图象即可判断①；根据函数图象即可判断②；根据一次函数与一元一次方程之间的关系即可判断③；据一次函数与二元一次方程组之间的关系即可判断④． 【详解】解：在中，当时，， ∴由函数图象可知，当时，，故①说法错误； 由函数图象可知，当时，，故②说法正确； ∵一次函数经过， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数的图象交轴于点， ∴关于的一元一次方程的解为，故③说法正确； ∵直线和都经过点， ∴方程组的解为，故④正确； ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 题型7 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究 结合不等式、方程（组）与一次函数，要求探究函数图象的性质（如对称性、单调性）或解决实际问题（如求点的坐标、面积）： 1. 求出函数的解析式（如通过交点坐标用待定系数法）； 2. 画出函数的图象（标注关键点：与坐标轴的交点、两直线的交点）； 3. 结合图象探究性质（如对称性）； 4. 解决实际问题（如求三角形面积）。 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）【了解概念】已知函数是自变量的函数，当，称函数为函数的“倍差函数”． 在平面直角坐标系中，对于函数图象上一点，称点为点关于函数的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． 【理解运用】例如：函数．当时，称函数是函数的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数图象上任意一点，点为点关于的“倍差点”，点在函数的“倍差函数”的图象上． （1）求函数的“倍差函数”的表达式； （2）点在函数的图象上，点关于函数的“倍差点”为点，若点与点的纵坐标的和为，求点的坐标； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，的“倍差函数”，直线交轴于点，已知点，，．若直线与有交点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）点的坐标为（2，0）；（3） 【分析】本题主要考查了新定义、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点问题等内容，正确理解题意是解题的关键． （1）根据“倍差函数”的定义解答即可； （2）先确定点、的坐标，再根据互为相反数的定义解答即可； （3）先确定、的坐标，进而画出，结合函数图象求出临界值，即可得出答案． 【详解】解：（1）， ； （2）点在函数的图象上， 点的坐标为， 点的坐标为， 与点的纵坐标的和为， ， 解得：， 点的坐标为； （3）由（2）可得：点的坐标为， 直线的表达式为：， 当时，， 点的坐标为：， ，， 设直线的表达式为， ， 解得：， 直线的表达式为：， 直线与有交点，结合图形可得直线与线段有交点即可， ， 解得， 即的取值范围为． 2．（2026·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）根据平移得到，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ∴， ∵函数经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：函数中，当时，，当时，， 函数的图象如下， ∵当时，的图象平行于， 又∵当时，函数的值既小于函数的值，也大于函数的值， ∴且 ∴在成立 ∴ 解得：， ∴，且． 3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）请问读下面材料：我们称函数为函数的分函数（其中为常数）．例：关于的一次函数的3分函数为． 根据材料完成下列题目： (1)在平面直角坐标系中直接画出的4分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当时，随的增大而增大，则的取值范围为________； ②当时，，则的值为________； ③若与一次函数的图象有且只有一个交点，则的取值范围为________； (2)若点在关于的正比例函数的2分函数图形上，，，连接． ①请求出的值； ②若点为图形上一点，当时，请直接写出点坐标________； (3)若点，，连接，当关于的一次函数的分函数，与线段有两个交点，请直接写出的取值范围________． 【答案】(1)或或 (2)①；②或或 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的交点，求一次函数关系式，画一次函数图象， 对于（1）①，根据一次函数图象的性质解答； ②，先写出函数关系式，可知有最大值为5，再代入关系式求出，可得答案； ③，先确定一次函数经过点，再分情况讨论与一次函数有一个交点，进而得出答案； 对于（2）①，将代入关系式可得答案； ②，先求出直线的关系式，分两种情况表示，根据得出方程求出解； 对于（3），先求出函数，再求出直线的关系式，然后联立求出解即可得出范围． 【详解】（1）解：如图所示， ①当时，函数值随着x的增大而增大， 所以a的取值范围是； ②函数关系式为：， 当时，的最大值为5． 当时，或， ∴， ∴， 则； ③一次函数， ∴一次函数经过点． 当直线经过点时，符合题意，此时， 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数无交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有一个交点； 当时，与一次函数有两个交点． 所以与一次函数有一个交点，k的取值范围是或或； 故答案为：①；②3；③或或； （2）解：如图所示， ①点在函数， ∴当时，； ② 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为， 当点Q在上，设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得，则点或； 当点Q在上，设点，直线上的点， 可得． ∵， ∴， 解得，则点． 综上所述点Q的坐标为或或； 故答案为：或或； （3）解：根据题意，函数， 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， ∴直线的关系式为. 当直线交于点E时，， 解得； 当直线交于点F时，， 解得． 当时，该函数与线段有两个交点． 故答案为：. 4．（25-26八年级下·北京·期中）在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式． (1)他选择通过描点法画函数的图象． 自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 0 … 其中，________； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象．    根据函数图象，直接写出不等式的解集为________； (2)若关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个，则的取值范围为________； 【答案】(1)；图见解析；或 (2) 【分析】（1）代入到求出的值，利用描点法画函数图象，根据函数图象即可求出不等式的解集； （2）由题意得，方程有2个解，方程也有2个解，结合函数图象列出关于的不等式即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ； 描点，画出函数图象如下： 根据函数图象，当或时，， 不等式的解集为或； （2）解：关于的函数的图象上到轴的距离等于1的点恰好有4个， ∴方程有2个解，方程也有2个解， 即方程和都有2个解， 由（1）中的函数图象可得， ， 解得． 5．（23-24八年级下·北京西城·期末）对于函数（为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质．请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， (1)当时，函数为；当时，函数为．用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示，观察函数图象可知：函数的图象关于______对称：对于函数，当______时，； (2)当时，函数为，对于函数，当时，的取值范围是______； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质． ①若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式； ②若点和都在函数的图象上，且，直接写出的取值范围（用含的式子表示）． 【答案】(1)y轴，或； (2)； (3)①向左平移个单位长度；②． 【分析】本题主要考查一次函数图象性质、解不等式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合图象可得，求解即可； （2）分别求出当时，的函数值，在结合图象即可得出答案； （3）①由再结合图象即可得出答案； ②由可得，的图象关于对称，点关于的对称点为再根据进而得出答案． 【详解】（1）解：由题意，结合图象可得，函数的图象关于y轴对称， 又令 ， 或， 故答案为：y轴，或； （2）解：函数的图象如图： 当时，， 当时，， 当时，， 结合图象可知，当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解： 结合图象可得，若，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； ∴的图象关于对称， ∴点关于的对称点为， ∵若点和都在函数的图象上，且 解得：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，二元一次方程组，一元一次不等式的求值，理解“星辰函数”的定义，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． （1）根据“星辰函数”的定义可得，由此列二元一次方程组求解即可； （2）根据题意，函数与的图象相交于点，联立方程组可得，设函数、的“星辰函数”为，对于①则有，由此化简即可求解；对于②则有点的横坐标为，纵坐标为，根据点在点的上方，可得，由此化简即可求值． 【详解】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题04一元一次不等式与一次函数的综合应 用 利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 由两直线的交点求不等式的解集 根据不等式的解集求交点 一元一次不等式与一次函数的综合应用 一元一次不等式组与一次函数的综合 根据函数图象求最值 一元一次不等式（组）与函数的多结论问题 不等式（组）、方程（组）与函数的综合探究 /00 常点型破 题型1利用一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集 啸方法 给出一次函数的图象（或与坐标轴的交点），要求解关于x的不等式（如x+b>0、x+b<0): 1.从图象中读取函数与×轴的交点横坐标（记为x): 2. 根据函数的增减性(k>0时递增，k<0时递减)，确定解集： (1)若k>0,则kx+b>0的解集为x>,kx+b<0的解集为x<; (2)若k<0,则kx+b>0的解集为x<x,kr+b<0的解集为x>。 1.(25-26八年级下广东深圳期中)如图，直线：y=多x+6与直线4：y= 2x-2交于点P(-2,3),不等 2+6 +2x+2≥0的解集是() 1:y=x+6 2:y=- 2x-2 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.x>-2 B.x2-2 C.x<-2 D.x≤-2 2.(25-26八年级下·辽宁大连期中)y=kx+b(k≠0)的图象过点(-1,0)，则关于x的不等式kx+b<0的解 集是() /y=+b 21O A.x>-1 B.x<-1 C.x<0 D.x>0 3.(25-26八年级下·贵州贵阳期中)己知不等式kx+b>0的解集是x<2,则一次函数y=x+b的图象可能 是() 2 A. B. D 3-1Q孔 123就 3-2-1@3 子四B酚 -3 2 3-2101广2 4.(25-26八年级下·广东佛山期中)如图，一次函数y=x+b的图象与x轴相交于点A2.5,0),则不等式 kx+b>0的解集为· A 5.(25-26八年级下·甘肃白银期中)直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式 kx+b≤1的解集是 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2-9 12 6.(25-26八年级下·河南平顶山期中)如图，一次函数y=c+b的图象与x轴交于点(-2,0)，则关于x的 不等式kx+b<0的解集为 题型2由两直线的交点求不等式的解集 啸方法 给出两条直线的交点坐标，要求解关于x的不等式： y=kx+b 1. 两直线的交点坐标是方程组 y2=kax+b 的解； 2. 不等式片>y2的解集是直线y在直线上方的部分对应的x取值范围； 3.不等式y<y2的解集是直线片在直线下方的部分对应的x取值范围。 1.(2026湖南长沙模拟预测)如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论不正确的 是() y=ax+b v=cx+d A.ac<0 B.cd0 C. D.当x>1时，ax+b>cx+d 2.(25-26八年级下·福建宁德期中)如图直线y=x+b（k≠0)经过点(-1,3)，则不等式kx+b-3≥0的 解集是 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =kx+b 43210十234 3.(25-26八年级下·全国课后作业)甲、乙两台智能机器人从同一地点出发，沿着笔直的路线行走了 450cm,甲比乙先出发，并且匀速走完全程，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍.设甲行走的时 间为x(s),甲、乙行走的路程分别为(cm)、y,(cm),片、与x之间的函数图像如图所示，根据图 像所提供的信息解答下列问题： y(cm) 450----------- 310- 30<2---- B 0 1517 m n x(s) (1)乙比甲晚出发s,乙提速前的速度是每秒_cm,m=_,n=_; (2)当x为时，乙追上了甲： (3)何时乙在甲的前面？ 4.(25-26八年级下广东梅州期中)如图，已知直线y=x+b交x轴于点A(-4,0),交y轴于点B,直线 y=-2x-2交x轴于点D,与直线AB相交于点C(m,2). yA y=kx+b B =-2x-2 (I)求m的值与直线AB的函数解析式； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式-2x-2≤kx+b的解集； (3)求四边形OBCD的面积. / 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下陕西汉中.期中)己知一次函数y=x+b的图象经过点A(0,3)和B(2,-1). 味 -6 5 4 3 654321@123456x 2 -3 6 (1)在平面直角坐标系中画出该一次函数的图像； (2)直接写出不等式kx+b>0的解集； (3)直接写出不等式kx+b≤x+1的解集。 6.(25-26八年级下·福建宁德期中)在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究 xx≥0 其性质 运用函数解决问题的学习过程.同时，我们也学习了绝对值的意义： 0= -xx<0 【尝试】 探究函数y=2x-2-4的图象与性质 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究 过程，请你补充完整. (1)列表： 根据下表格中的信息可得b= -1 0 1 2 3 2 0 -2 b -2 0 (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 3 2 6-54-3-2-10 123456789x 【解决问题】 (3)结合画出的函数图象，解决问题： ①写出函数y=2x-2-4的一条性质 ②求关于x的不等式2x-2-4<- 3x的解集。 题型3根据不等式的解集求交点 嫦方法 给出关于x的不等式的解集，要求求两条直线的交点坐标或直线与坐标轴的交点： 1. 将不等式解集转化为方程； 2. 代入方程求出参数； 3. 根据其他条件（如函数过某点）求出剩余参数，进而得到交点坐标。 3 1.(2026陕西西安：二模)下列关于直线y=-x+b(b为常数)与直线y=三x+5的交点情况，判断正确的 是() A.没有交点 B.有一个交点，且交点在第一象限 C.有一个交点，且交点在第二象限 D.有一个交点，且交点不在第四象限 2.(25-26八年级上黑龙江大庆期中)已知一次函数y=ax+3与y=bx-1的图象如下图所示，其交点B的 坐标为-3，m),直线y=bx-1与x轴的交点坐标为-1,0)，则下列说法正确的是() 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A y=x+3 y=bx-1 B A.方程bx-1=0的解是x=-3 x=3 B.方程组 a-y+3=0 (br-y+1=0的解是 y=m C.关于x的不等式ax+3≥bx-1的解集是x2-3 D.bx-1>0的解集为x>-1 3.(25-26八年级上·安徽合肥阶段检测)如图，已知一次函数y=x+3与y=bx-1的图象如图所示，其交 点B的坐标为(-3，m),直线y=bx-1与x轴的交点坐标为-1,0)，请你观察图象并结合一元一次方程、 一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是() v=ax+3 y=bx-1 B A.方程bx-1=0的解是x=-3 ax-y+3=0 x=-3 B.方程 (br-y+1=0的解是 y=m C.关于x的不等式ax+3≥bx-1的解集是x≥-3 D.bx-1>0的解集为x>-1 4.(22-23八年级上江苏泰州月考)[了解概念] kx+b(x≥0 对于给定的一次函数y=x+b(其中k、b是常数，且k≠0)，则称函数y= -kx-b(x<0)1 为一次函数 y=x+b(其中k、b是常数，且k≠0)的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为G. [理解运用] 己知一次函数y=x+1, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)这个一次函数的相关函数是 (2)若点P(m,4)在这个一次函数的相关函数图像G上，则= (3)若过点(0，t)且平行于x轴的直线与图像G有两个交点P、Q,当PQ≤5时，求t的取值范围. [拓展提升] 在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别是(-2,3、(3,2)，连接MN,我们发现：线段MN与一次 函数y=x+b的相关函数的图像G的交点个数随着b的值的改变而改变，请你探究线段MN与图像G有 不同的交点个数时，相应的b的取值范围. 5.(24-25八年级下山东日照·月考)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与x轴的交点 为A(-3,0),与y轴的交点为B,且与正比例函数y= x的图象交于点Cm,4. 3 (I)求m的值及一次函数y=x+b的表达式； v=kx+b (2)求方程组 4 的解； y-3x 4 (3)观察图象，不等式组0<。x<x+b的解集是 3 6.(25-26八年级上·安徽阜阳·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b(k,b是常数， K≠0)的图象与X的交点为点A-3.0,与少轴的交点为点B,日与正比物函数y{大的图像交于点 Cm,4. V 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求k+b-m的值； (2)若P是y轴上一点，且△BPC的面积为9，求点P的坐标； (3)观察图象，直接写出关于x的不等式组+b≥x>0的解集. 题型4一元一次不等式组与一次函数的综合 嫩方法 给出一个一元一次不等式组，要求结合一次函数的图象求解集或整数解： 1. 分别解出每个不等式的解集（或根据图象确定解集）： 2. 在数轴上表示两个解集，找出它们的公共部分（交集）： 3.若要求整数解，在交集中找出所有整数。 1.(25-26八年级下·黑龙江绥化开学考试)已知，直线y=2x+3与直线y=-2x-1. (I)求两直线与y轴交点A,B的坐标： (2)求两直线交点C的坐标； (3)求ABC的面积， (4)根据图象，写出关于x的不等式2x+3>-2x-1的解集 2.(25-26八年级下江西抚州期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与x轴的交点 为A-3,0),与y轴的交点为点B,且与正比例函数y=4x的图象交于点Cm,4. 3 4 B A -3 (I)求m的值及一次函数y=kc+b的表达式： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)结合图象直接写出：kx+b≥二x的解集 3.(25-26八年级上·全国·课后作业)一次函数y=x+b图象经过点(0,3)和(4,6). (1)画出这个一次函数图象： (2)当x时，y>0: (3)试求该函数的关系式： (4)若图象与x轴的交点为A,与y轴的交点为B,求AOB的面积. 4.(25-26八年级下·河北保定·期中)如图，正比例函数y=-3x的图象与一次函数y=x+b的图象交于点 P(m,3),一次函数图象经过点B(1,),与y轴的交点为D,与x轴的交点为C. 3 (1)求一次函数表达式： (2)求aCOP的面积： (3)不解关于x的不等式k+3)x+b>0,直接写出不等式的解集. 5.(23-24八年级上·江苏南京·期末)若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式， 则这样的函数称为“分段函数”. 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 kx+2(x≥0 当x≥0时，y=kx+2;当x<0时，乃=x-2,可以记作分段函数y= x-2(x<0) ()若k=1时，画出与x之间的函数图像，并写出该函数两条不同类型的性质. S -5-4-31-2-1i0 123i45 (2)正比例函数2=2x的图像与函数片的图像的一个交点坐标为(-2，-4)，当y>y,时，x的取值范围 是 (3)已知点A(2,1),B(-1,-1),函数片的图像与线段AB的交点个数随k的值的变化而变化，直接写出交点 个数及对应的k的取值范围 -2 -1 0 y -4 -3 2 3 6.(25-26八年级下·北京海淀·阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+b的图象与x轴的 交点为A-3,0),与y轴的交点为点B,且与正比例函数y=。x的图象交于点Cm,4) (I)求m的值及一次函数y=c+b的表达式： (2)若点P是y轴上一点，且△BPC的面积为6，请写出点P的坐标. (③)结合图象直接写出：c+b≥号≥0的解华。 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型5根据函数图象求最值 啸方法 给出多个一次函数的图象，要求求“y取各函数最小值”或“y取各函数最大值”时的最大值或最小值。 1.求出任意两条直线的交点坐标： 2. 根据交点坐标划分区间，确定每个区间内的最小值或最大值函数； 3.计算每个区间内的最值，比较得到全局最值。 1.(25-26八年级上江苏镇江·期末)己知直线y=-x、y2=-。x+1、=2x-1的图象如图所示，无论x取 3 何值，y总取2中的最大值，则y的最小值是() A.3 4 C. D. 2.(24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测)通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法 来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质.小明想应用这个方法来探究函数y=x+2的性质.下面 是他的探究过程，请你补充完整： (1)列表： -3 直接填空：k= (2)描点并画出该函数的图并结合图象回答下列问题. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 3 -5-4-3-2-10 12345x -2 -3 =4 5 根据图象，下列关于该函数性质的说法正确的有 ；(填序号) ①该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x=0时有最小值2；②当x<-2时，y随x的增大而增大， 当x>-2时，y随x的增大而减小；③该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线x=-2 (3)请结合图象直接写出不等式x+2>4的解集。 3.(24-25八年级下.甘肃临夏·月考)数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一 元一次不等式与其它函数”的关系问题，他们确定以函数y=x+为研究对象，通过作图，观察图象，归 纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系. 请根据以下探究过程，回答问题. (①)作出函数y=x+1的图象。 ①列表： -3 0 3 3 其中，表格中a的值为_， ②描点，连线： 根据平面直角坐标系中描出的对应值的坐标点，请你依次连接画出该函数的图象。 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -7 3 2 5-4-3-2-10 12345 (2)观察函数y=x+的图象，回答下列问题： ①当x=时，函数y=x+有最小值，最小值为； ②当时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大. ③)已知直线y=x+1,请结合图象，直接写出不等式x+1>k+1的解架是， 31 4.(24-25八年级下·吉林长春期末)数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一 元一次不等式与其他函数”的关系问题.他们确定以函数y=x+为研究对象，通过作图、观察图象、归 纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系. 请根据以下探究过程，回答问题. (I)作出函数y=x+1的图象. ①列表： 其中，表格中a的值为 ②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象. (2)观察函数y=x+1的图象，回答下列问题. y 5 3 2 1 -5-4-3-2-1Q 12345 -2 ①当x= 时，函数y=x+有最小值，最小值为 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当 时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大： (3)已知直线y=一 +1，诗结合图象，直接写出不等式写+1>+的解集是 5.(24-25八年级上北京期中)对于平面直角坐标系内的任意两点P(x,y),Q2,y2),定义它们之间的“直 角距离为d(P,Q)=k-x,+y,-y2.对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N,给出如下定义：P 为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P,Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个 最小值为图形M、N间的直角距离”，记作D(M,N). A 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1012345x -1 -2 3 -4 -5 (1)已知A1,0)、B(0,2,则d(A,B)=,D(0,AB)= (2)已知A1,0)、B(0,),若D(0,AB)=1,则t的取值范围是 (3)已知A1,0),若坐标平面内的点P满足d(P,A)=1,则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形， 该图形的面积是· 6.(23-24八年级下浙江台州·期中)一般地，对于一次函数y=ax+b,y2=cx+d(其中a,b,c,d为常 数，且a≠0，c≠0，定义一个新函数y= ax+b+cx+d 2 ,称y是片与的“平均中项”，y是关于x的平 均中项函数”，如：一次函数y,=-x-3,2=2x+4,若y是与的“平均中项”，则y是关于x的平 均中项函数”，即y= -x-3+2x+4 2 -x-3+2x+4 (1)根据函数研究的途径与方法，填写下表，并在图①中画出y= 的大致图象： 2 x -6 5-4 -3 -2-1 2 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.5 0.5 7 2=2x+4 5 3 -8-7-6-5-4-32-10 123 片=-X-3 图① (2)观察图象，当x=时，y有最小值；当y>y>y2时，x的取值范围是_； (3)对于三个数a,b,c,用max{a,b,c表示这三个数中的最大数， -x-3+2x+4 例如：max{-2,1,0=1,对于y=-x-3,y2=2x+4,y= 求max{,y2,y的最小值 6 2.5 0.5 0 0.5 5 题型6一元一次不等式（组)与函数的多结论问题 啸方法 给出多个关于一次函数的结论，要求判断哪些结论正确。 1. 根据函数解析式判断增减性(k>0时递增，k<0时递减)： 2. 根据截距判断图象与y轴的交点(b>0交于正半轴，b<0交于负半轴)： 3. 结合图象验证不等式的解集是否正确： 4.总结正确结论的数量。 1.(21-22八年级下·北京西城期中)如图，一次函数y=x+b与y=cx+d的图象交于点P.下列结论：① b<0;②ac<0;③当x>11时，ax+b>cx+d;④ ;⑤c>d.其中正确结论的个数是() 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=ax+b l y=cx+d A.1 B.2 C.3 D.4 2.(24-25七年级下山东烟台期末)一次函数y=kx+m与y2=k2x+n的图象位置如图，下列结论： y,=kx+n 3 B y=kx+m ①片随x的增大而减小： ②当x<3时，y<y2; ③m-n=3(k2-k,): ④当ABC是以AB为底边的等腰三角形时，k+k,=0. 其中所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ 3.(25-26八年级下·北京·期中)如图，在“探索一次函数y=x+b中kb与图象的关系”活动中，已知点 A3,3),点P(m,n)在第一象限内且满足m+n=3,若一次函数y=x+b图象经过A,P,给出下面四个 述结论中，正确结论的序号有 6 5 4 3 0123456x 4.(24-25八年级下·山东日照期末)一次函数y,=kx+b(k≠0，k、b是常数)与2=x+3(m≠0，m 是常数)的图象交于点D(-1,4,则下列结论： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①关于x的方程+b=mx+3的解为x=-1: ②直线2=mx+3(m≠0)图象上任意不同两点Ax,y)和B(x,)满足(x。-x)(y。-y)<0; ③若b>3,且b≠4，则当x>-1时，》>y2. 其中正确的结论有 (填写所有正确结论的序号). 5.(24-25八年级下·北京延庆期末)一次函数y=ax+ba≠0)中变量y与x的部分对应值如下表所示. 2 1.5 0.5 0 给出下面四个结论： ①a>0; ②一次函数y=ax+b的图象不经过第三象限； ③关于x的方程ax+b=0的解是x=1; ④关于x的不等式ax+b>2的解集是x<-2; 上述结论中，所有正确结论的序号是· 6.(24-25九年级上·吉林长春·开学考试)数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数 y=kx+bk>0)的图象交y轴于点(0,5)，且与直线y=-2x-1都经过点A(-2,3).给出下面四个结论： ①当x>-1时，-2x-1>0: ②当x>-2时，kx+b>-2x-1; ③关于x的一元一次方程x+b=0的解为x=-5: y=kx+b ④方程组 x=-2 y=-2x-1 的解为 y=3 上述结论中，正确结论的序号有。 y=kx+b 题型7不等式（组)、方程（组）与函数的综合探究 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 结合不等式、方程（组）与一次函数，要求探究函数图象的性质（如对称性、单调性）或解决实际问题（如 求点的坐标、面积)： 1. 求出函数的解析式（如通过交点坐标用待定系数法）： 2. 画出函数的图象（标注关键点：与坐标轴的交点、两直线的交点）； 3. 结合图象探究性质（如对称性）： 4. 解决实际问题（如求三角形面积）。 1.(24-25八年级上浙江杭州期末)【了解概念】己知函数y是自变量x的函数，当y2=2y,-x,称函数2 为函数的倍差函数”. 在平面直角坐标系中，对于函数y图象上一点A(m,n),称点B(m,2n-m)为点A关于函数y的“倍差点”， 点B在函数的倍差函数”的图象上 【理解运用】例如：函数y,=2x,当2=2y-x=4x-x=3x时，称函数y2=3x是函数片的“倍差函数”. 在平面直角坐标系中，函数y=2x图象上任意一点A(m,n,点B(m,2n-m)为点A关于y的“倍差点”， 点B在函数y,=2x的“倍差函数”y2=3x的图象上. (1)求函数y,=x-2的倍差函数”的表达式： (2)点P(m,n在函数y,=2-x的图象上，点P关于函数y的倍差点”为点Q,若点Q与点P的纵坐标 的和为-2，求点P的坐标： 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下，的“倍差函数”2，直线2交y轴于点T,已知点A(,t),B(t+1,t+2).若 直线AB与△PQT有交点，求t的取值范围. 2.(2026北京模拟预测)在平面直角坐标系x0y中，函数y=kx+b(k≠0)的图象是由函数y=2x的图象平 移得到，且经过点(1,3) (I)求函数y=x+b的解析式： (2)当x≥1时，对于x的每一个值，函数y=mx-1m≠0)的值既小于函数y=x+b的值，也大于函数 y=-kx的值，直接写出m的取值范围. yx≤m 3.(25-26九年级上·辽宁沈阳期中)请问读下面材料：我们称函数y= 为函数y的m分函数（其 -y(x>m) 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x+4(x≤3) 中m为常数).例：关于x的一次函数y=x+4的3分函数为y= -x-4(x>3)1 5 3 432012.345.67文432o12.34支67 3 45 8 根据材料完成下列题目： (1)在平面直角坐标系中直接画出y=2x-3的4分函数图象，并结合图象回答下面问题： ①已知当x<a时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为 ； ②当m≤x≤n时，-7≤y'≤5，则m+n的值为 ③若y与一次函数y=c-k-5的图象有且只有一个交点，则k的取值范围为 (2)若点P(2,m)在关于x的正比例函数y=3x的2分函数图形N上，A6,0),B(0,-3),连接AB. ①请求出m的值； ②若点Q为图形N上一点，当S40=18时，请直接写出点Q坐标 (3)若点M(-2,-1,N(4,1,连接MN,当关于x的一次函数y=-x+2的p分函数，与线段MN有两个 交点，请直接写出P的取值范围 4.(25-26八年级下·北京期中)在学习了函数相关的知识后，小明同学想要借助函数图象求解不等式 x-1-3≥0. (I)他选择通过描点法画函数y=x-1-3的图象. 自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： 0 其中，m= 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 t- 3 -4-3-2-1 2 根据函数图象，直接写出不等式x-1-3≥0的解集为 (2)若关于x的函数y=x--3+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，则b的取值范围为 5.（23-24八年级下·北京西城期末)对于函数y=2x+m(m为常数)，小明用特殊到一般的方法，探究了 它的图象及部分性质.请将小明的探究过程补充完整，并解决问题， 5 y=2x y=2x+7 3 2 7-3-2-1 2 345x -2 (1)当m=0时，函数为y=2x；当m=7时，函数为y=2x+7.用描点法画出了这两个函数的图象，如 图所示，观察函数图象可知：函数y=2x的图象关于对称：对于函数y=2x+7，当x= 时，y=3: (2)当m=-4时，函数为y=2x-4,对于函数y=2x-4,当1<x<3时，y的取值范围是 ； (3)结合函数y=2x,y=2x+7和y=2x-4的图象，可知函数y=2x+m《m≠0)的图象可由函数 y=2x的图象平移得到，它们具有类似的性质， ①若m>0,写出由函数y=2x的图象得到函数y=2x+m的图象的平移方式： 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若点(t,y)和t+1,y2)都在函数y=2x+m的图象上，且>y2,直接写出t的取值范围（用含m的式 子表示). 6.(24-25八年级上·安徽合肥期中)定义：对于一次函数y=ax+b、y2=cx+d,我们称函数 y=m(ax+b)-n(cx+d)(ma≠nc为函数片、2的“星辰函数”. (1)已知函数y=-x+3为函数y=x+1、y2=3x-1的“星辰函数”，求m,的值； (2)在平面直角坐标系中，函数y=x+2与y2=-x+2t的图象相交于点P.过点P作x轴的垂线1，交函 数片、的“星辰函数”的图象于点Q. ①若t≠-1，函数片、的“星辰函数”图象经过点P,求m-n的值： ②若m>n+1,点P在点Q的上方，求t的取值范围.