数列：裂项相消法、错位相减法讲义-2026届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，系统整合裂项相消法与错位相减法，按适用类型（分式型通项、等差×等比型）梳理知识点，提炼8大裂项模型与错位相减四步解题流程，通过考点梳理、方法指导、真题例题及变式训练，帮助学生构建系统解题框架。 讲义创新采用“模型归类+步骤固化”教学策略，如裂项相消中“等差分子型”通项拆解训练，错位相减中“乘公比错位、合并等比求和”步骤强化，培养学生数学思维与表达能力。设置分层练习（例题+变式）适配不同学情，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 知识点解析 考点一裂项相消法 一、知识点 1.适用：分式型通项，分子常数、分母为相邻/间隔整数乘积 1 2. 常见形式：产、根式型、对数型 3.核心形式：拆成两个式子相减 二、解题原理 把数列通项拆成两项之差，求和时中间项全部抵消，只剩首尾少数项。 三、解题思路 1.观察通项结构，拆分分式： 2.列出前几项展开； 3.消去中间相同项； 4.化简剩余首尾项得求和结果。 四、裂项相消8大必考模型 1.基础整式型（最常用） =动 n=良（合n点） 2.相邻奇偶型 ana*=(点品) 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 3.三项连乘型 nnin=l南*n] 4.根式裂项（有理化） 成石=a+k 5.等差分子型 =京 6.指数型裂项 =英 7.对数裂项 Ig=lg n+1)-Ign 8.分式一次型 an*brg=t(a点be） 考点二错位相减法 一、知识点 1.适用：等差×等比型数列求和 2.形式：an=等差数列×等比数列 3.必备：熟记等差、等比通项与求和公式 二、解题原理 等式两边同乘等比数列公比，两式错位相减，构造等比数列求和。 三、解题思路 1.写出Sn原式： 2.两边乘公比q; 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 3.两式错位相减： 4.合并右侧等比数列求和； 5.整理化简求出Sn。 考点一 裂项相消法 【例题分析】 例1.(25-26高三上·湖南郴州月考)已知等差数列{an}的前项和为Sn,且a2=5,S4=26. (1)求{an}的通项公式： (2)设6=1 ，求数列6}的前n项和7，并证明T< anan 6 例2.(2026~辽宁铁岭模拟预测)记Sn为等比数列{a,}的前n项和，已知a,a2=(S。+2)2. (I)求{an}的公比； (2)求 n2-2n-1 的前n项和Tn. a 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026-陕西威阳-模拟预测)已知正项数列{a,的前n项积为7，且=1-三 "an T (1)求证：数列T}是等差数列： (2)设b,=(←1)6m+5 Z7求6，的前20项和Sm 例4.(2026天津滨海新区三模)已知Sn是等差数列an}的前项和，{bn}是等比数列，a,=b=1,3a6-a,=2b4 Ss=4bs. (1)求{an}、{bn}的通项公式； 2设c=h2a,求24： i=k 国设d产1证男：41. k1 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(25-26高三下·广东揭阳阶段检测)记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn+nan=4. (I)求{an}的通项公式： 3 (2)记Tn为数列a好 的前n项和，证明：Tn<5, 变式2.(2026河南濮阳模拟预测)已知等比数列{an}的前项和为Sn,且S4=120,2a+a2是a,a的等差中项. (1)求{an}的通项公式： 1 (2)设bn= n2+log;an ,数列bn}的前项和为Tn,证明：Tn<1. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2026河北邯郸三模)已知数列a,}中，a,=4,a+1-an=元n(1为常数，n∈N),且a，a2,a是公 比不为1的等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)求数列 的前n项和Sn a,+4(n-1) 变式4.(2026四川二模)已知数列{an}的首项a=1,且满足a,-an-1=nn≥2，n∈N). (1)求{an}的通项公式： ②证明：+1++1<2. a az an 6 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 考点二 错位相减法 【例题分析】 例1.(2026陕西西安·三模)已知等差数列{an}满足a2=3,a,+a,=16. (I)求{an}的通项公式： (2)设b。=a,·2”,求数列{bn}的前项和Tn. 例2.(2026河北雄安·三模)己知在数列{an}中，a1=2,当n≥2时，an=3a-1+2. (1)证明：{an+1为等比数列； (2)若bn=(a.+1)loga,+1,求数列bn}的前n项和Tn. 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 例3.(2026宁夏银川模拟预测)已知数列{an}为等差数列，a2+a,=20,a4+a=16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)定义数列bn}满足递推公式bn+1=2b,+1,b=1.求数列{an(bn+1}的前n项和Sn; 例4.(25-26高三下·陕西商洛·阶段检测)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2a.-1,n∈N. (I)求数列{an}的通项公式； (②)记b,=”+1 ，求数列b}的前n项和T a. 8 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026四川资阳模拟预测)已知数列an}的前n项和为Sn,a≠0，当n≥2时，Sn(Sm-an+1)=Sm-· (①)证明：数列。}是等差数列， S 2诺架数的前”项和 变式2.(25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中)在数列{an}中，a=1,3ana-1+an-an1=0n≥2，n∈N） 1 (1)求证：数列 是等差数列； (2)令bn= 0n2, 数列bn}的前n项和为Sn,证明：Sn<4. 0 2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 变式3.(2026·重庆模拟预测)已知数列a,}满足a,=1,且am+n=am+an（m,n∈N) (I)求证：数列{an}是等差数列；求数列an}的通项公式； ②设6=2品数列}的前喷和为S,求证：三<2 变式4.(2026云南昆明二模)设数列an}满足4=3，nan+1-(n+1)an=1. (I)证明：{an}为等差数列： (2)设bn=(an+1·2”-，求数列{bn}的前项和T. 102026届高三数学三轮冲刺复习讲义 数列：裂项相消法、错位相减法复习讲义 考点目录 裂项相消法 错位相减法 知识点解析 考点一 裂项相消法 一、知识点 1. 适用：分式型通项，分子常数、分母为相邻/间隔整数乘积 1. 常见形式：、根式型、对数型 1. 核心形式：拆成两个式子相减 二、解题原理 把数列通项拆成两项之差，求和时中间项全部抵消，只剩首尾少数项。 三、解题思路 1. 观察通项结构，拆分分式； 1. 列出前几项展开； 1. 消去中间相同项； 1. 化简剩余首尾项得求和结果。 四、裂项相消 8 大必考模型 1. 基础整式型（最常用） 2. 相邻奇偶型 3. 三项连乘型 4. 根式裂项（有理化） 5. 等差分子型 6. 指数型裂项 7. 对数裂项 8. 分式一次型 考点二 错位相减法 一、知识点 1. 适用：等差×等比型数列求和 1. 形式： 等差数列 等比数列 1. 必备：熟记等差、等比通项与求和公式 二、解题原理 等式两边同乘等比数列公比，两式错位相减，构造等比数列求和。 三、解题思路 1. 写出 原式； 1. 两边乘公比 ； 1. 两式错位相减； 1. 合并右侧等比数列求和； 1. 整理化简求出 。 考点一 裂项相消法 【例题分析】 例1．（25-26高三上·湖南郴州·月考）已知等差数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为d．因为， 所以解得 所以的通项公式为． （2）由（1）知． 因为， 所以 因为，所以． 例2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）通过等比中项进行转化，因式分解得到方程，分类讨论舍去矛盾式，进而求得公比. （2）将数列通项写出代入进行裂项，利用裂项相消求得和. 【详解】（1）由等比数列性质得， 整理得， 若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得， 故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 例3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正项数列的前n项积为，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前200项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用可得即可求证； （2）化简得即可求出. 【详解】（1）由，得，则，                当时，则，得，                      所以数列是以4为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）得，， 则，                 所以         ， 所以． 例4．（2026·天津滨海新区·三模）已知是等差数列的前项和，是等比数列，，，． (1)求的通项公式； (2)设，求； (3)设，证明：． 【答案】(1)； (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据等差、等比数列通项公式列方程解得，即可得数列的通项公式； （2）根据等差数列求和公式可得，利用裂项相消法分析求解； （3）整理可得，利用裂项相消法分析证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，且，则，解得， 所以，. （2）因为， 当时，则； 当时，则； 且，符合上式， 所以， 则 ， 所以. （3）因为， 可得， 且，则，即，可得， 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据的关系式进行求解，结合累乘法求出通项公式； （2）放缩得到时，，从而裂项相消法求和可得结论 【详解】（1）①，当时，，即，所以， 当时，②， 式①-②得，即， 故当时，， 当时，依然成立， 故通项公式为； （2），故， 当时，， 当时，，故， 又，故， 所以， 故 变式2．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，是，的等差中项． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】(1)根据等比数列的通项公式与前n项和的通项公式，可得到与q的值，代入通项公式即可； (2)由(1)得到的的通项公式代入化简的通项公式，根据裂项相消求和法求出，证明即可． 【详解】（1）设等比数列公比为q， 因为是，的等差中项，则，即 因为，故， 解得或；当时，不合题意，故舍去； 故; 因为， 代入q可得：； 故：； 故； （2）证明：由(1)可得：； 故， 因为，则，故． 变式3．（2026·河北邯郸·三模）已知数列中，，（为常数，），且，，是公比不为1的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件得到方程，求出，从而累加法可得通项公式，检验后得到答案； （2）裂项相消法得到，相加可得答案 【详解】（1）， 又，故，， 因为，，成等比数列，所以，解得或. 当时，，不符合题意，舍去；故. 当时，由于，，…，， 相加可得. 又，，故. 当时，上式也成立， 所以. （2）由（1）可得，， 所以数列的前项和 . 变式4．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 考点二 错位相减法 【例题分析】 例1．（2026·陕西西安·三模）已知等差数列满足． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 所以，解得， 所以的通项公式为； （2）因为， 所以， 则， 两式相减得 ， 所以． 例2．（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再利用等比数列定义即可证明； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，故， 则， 故， 则 ， 故. 例3．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式．求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义求解首项，公差，可得通项公式. （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）设数列首项为，公差为，依题有， 即  ，解得． 所以. （2）因为，即，而， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，则， 所以. 而， 则， 两式相减得： . 所以． 例4．（25-26高三下·陕西商洛·阶段检测）已知数列的前n项和满足，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据和与通项的关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果. (2) 求出的通项公式，利用错位相减法，即可求数列前项和． 【详解】（1）当时，，解得， 当时，， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为. （2）由（1）可得，①， ②， ①-②得：， 是首项为，公比为，项数为的等比数列， 根据等比数列求和公式，代入得：， ， . 【变式训练】 变式1．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合前n项和与第n项的关系及等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 变式2．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【详解】（1）由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. （2）由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 变式3．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等差数列；求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）先利用赋值思想，得出数列是首项为1，公差为1的等差数列，即可求解； （2）首先利用数列放缩思想将扩大成，进行错位相减求和即可比较出与的大小关系. 【详解】（1）已知，令，则，因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则. （2），因为，所以， 则. 设 相减得到； 则， 因为，所以，因此，得证. 变式4．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）化简应用裂项及迭代得出通项，再应用等差数列通项公式计算证明； （2）应用错位相减法结合等比数列求和公式计算求解. 【详解】（1）由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 2 学科网（北京）股份有限公司 $