圆锥曲线与数列综合问题复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺复习

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线与数列综合问题，整合椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线基础与等差、等比数列核心知识，围绕曲线上点坐标、焦半径、弦长构成数列等常考结合点构建知识体系。通过知识点解析、解题原理归纳、标准思路提炼、题型套路总结及例题变式训练，帮助学生系统突破几何与代数综合难点。 讲义创新采用“几何量化-数列转化”教学策略，如通过焦半径公式推导数列通项培养数学思维，结合高考真题设计分层训练（例题分析到实战演练）发展数学眼光与语言表达。设置“设点设线-判定数列类型”标准化解题流程，助力学生高效掌握综合题解法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线与数列综合问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 圆锥曲线基础 椭圆、双曲线、抛物线定义、标准方程、几何性质；弦长公式、焦点弦、焦半径、定点定值、联立韦达定理。 1. 数列核心知识 等差/等比通项、前n项和、递推关系、裂项求和、错位相减、数列单调性与最值。 1. 常考结合点 · 曲线上点的横/纵坐标成等差、等比数列 · 焦半径、弦长、距离、线段长构成数列 · 连续n条弦长、n个距离依次成数列 · 点横坐标/纵坐标依次取值构成数列通项 二、解题原理 利用圆锥曲线几何性质与坐标关系，推导出线段长度、坐标数值的递推或通项规律，将几何长度转化为数列项，再用数列公式完成求和、求通项、求最值、证明不等式。 三、标准解题思路 1. 设点设线 设曲线上动点坐标、直线方程，联立曲线方程，借助韦达得到坐标关系。 1. 几何量化 用坐标表示焦半径、弦长、点距、截距等几何线段长度。 1. 判定数列类型 找出相邻两项关系，判断是等差、等比还是递推数列，写出通项。 1. 数列运算 代入等差等比公式，进行求和、求项数、求最值、证明数列不等式。 1. 结合曲线限制 利用曲线范围、离心率、定义域，确定数列项的取值范围。 四、常见题型套路 1. 焦半径成数列 用焦半径公式写出第项长度，直接判定等差等比。 1. 连续弦长成数列 依次求出第1、2、3…条弦长，找公差/公比，求通项求和。 1. 横坐标/纵坐标成数列 利用曲线方程把坐标关系转化为线段数列关系。 1. 证明数列不等式 先表示出数列通项，结合放缩、求和证明大小关系。 例题分析 例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），以为直径作圆（圆心为点）． (1)证明：圆与轴相切． (2)若轴，过点作直线轴，过点作，垂足为，线段交劣弧于点，按照如下方式依次构造点和：过作，垂足为，线段交劣弧于点． （i）设，证明：数列为等差数列； （ii）设劣弧的长为，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）设得到圆心坐标，根据抛物线定义得到圆心到轴的距离等于圆的半径，进而得证； （2）（i）先确定，坐标，及圆的方程，设，结合直线与圆的交点为，通过的递推关系，证明为常数即可； （ii）由（i）可知，得，利用扇形与三角形面积关系，得到，再利用裂项相消法对放缩，代入证明即可. 【详解】（1）设，由，知， 则圆心为的中点． 由抛物线的定义可知， 又点到轴的距离， 所以圆与轴相切． （2）（i）由题可知，，圆， 直线，直线与圆相切于点． 过作，垂足为， 设，，，，，则． 得到， 代入圆的方程，得， 由题意，点满足该方程，所以． 整理可得． 根据题设，，所以，又， 所以是首项为1，公差为1的等差数列． （ii）由（i）可知，可得， 因为，所以，即， 所以， ， 当时，． 由，得，即， 所以，当时，， ， 当时，． 综上，． 例2．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过轴上点的直线为，与抛物线方程联立，得，因为直线经过点，所以，因为直线经过点，所以，得，即可求解； （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆，所以，即可求解． 【详解】（1）由题知，所以， 不妨设点在第一象限, 由抛物线定义知到准线的距离为，所以， 由，解得， 所以的方程为. （2）（i）设经过轴上点的直线为， 与抛物线的两交点记为， 联立得，则， 因为直线经过点，所以， 因为直线经过点，所以， 因为直线和经过点， 所以， 所以， 因为，所以， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 综上． （ii）设直线与的交点为，因为四点共圆， 所以， 设直线为，联立得 ，所以， ， 设直线为， 同理可得， 又且，所以， 所以， 则的重心纵坐标为0，即的重心在轴上， ， 同理所以， 联立直线与得， 所以， 所以的重心在的右侧.    例3．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． (1)求椭圆的方程； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据已知条件求出，由等腰三角形求出，进而根据椭圆定义求出椭圆方程.（2）先根据等比数列的通项公式列出，进而得到，最后得出.（3）根据的通项公式进行转化，利用裂项求和法求出，计算，转化为三角函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 因为是等腰三角形，且， 所以必有，即， 则， 因此， 所以椭圆的方程为. （2）点，设， 因为为等腰三角形， 所以，， 因此， 由题意知，所以， 所以， 所以，所以. （3）因为，， 所以 ， ， 因此 ， 因为， 所以， 所以的最大值为1，的最小值为2， 的最小值为1． 例4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过原点作斜率为1的直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设． ①令，求证：数列是等比数列； ②数列的前项和为，试比较与的大小． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②答案见解析． 【分析】（1）方法1：根据抛物线的定义求解轨迹方程； 方法2：直接法，设点的坐标，结合两点距离公式，利用两圆的位置关系列式化简求解轨迹方程. （2）①根据题意得到有，结合等比数列定义进行证明； ②结合①的结论，转化为比较与的大小，分别研究，，的情形，当时，使用二项式定理进行比较. 【详解】（1）方法1：由题意知，点到原点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线定义知，点轨迹是以原点为焦点，直线为准线的抛物线， 其轨迹方程为． 方法2：设，动圆的半径为， 由题意知：， 所以， 由题意知，∴，即 所以动圆圆心的轨迹的方程为. （2）①设，则， 又因为直线的斜率为，有， 所以，即， 所以， 所以数列是以为公比的等比数列； ②由①知，， 所以，下面只要比较与的大小； 当时，，有； 当时，，有； 当时，，有； 猜测当时，时，． 利用二项式定理，得 ， 所以时，，即：， 所以． 综上：当时，； 当时，； 当且时，. 变式训练 变式1．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆C：经过点． (1)求C的离心率． (2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 【答案】(1) (2)① 证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题意，将点代入椭圆方程得，进而求得离心率； （2）①由题可知直线的斜率不可能为0，设的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数关系，结合，解得，进而得证；②根据题意，可得是等比数列，求得，得，分n为偶数和奇数分别证明. 【详解】（1）因为椭圆C经过点，所以，故， 所以C的离心率. （2）①由（1）知C的方程为，，. 由对称性可知直线的斜率不可能为0，设，，设的方程为． 由，可得， 所以，即， 且，．所以． 则 ， 解得，则的方程为， 即直线过x轴上的定点. ②由①可知，，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. 所以，. 当n为偶数时，， 所以. 当为奇数时，因为， 所以. 综上可得：. 变式2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)求的标准方程； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，求的面积. 提示：在中，设，则. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意列出关于的等式求解即可； （2）法一：构造数列法：设，得到，再结合等比数列的定义即可求证；法二：设直线为，直接联立法，构建与之间的代数关系. 法三：由点差法+分比性质求解：法四：由点差法求解即可； （3）由（2）求得，进而得到，，再结合面积公式即可求解； 【详解】（1）由题意可知 所以. （2）法一：设，则 令，则 于是 所以数列是公比的等比数列. 法二：（设直线，直接联立法，核心在构建与之间的代数关系.） 设，则 设直线为 由 可得 所以，即是 所以数列是公比的等比数列. 法三：（点差法+分比性质）： 设，则 因为 由合分比性质可得 所以，所以是公比的等比数列. 法四：（点差法）： 设，则 所以 所以 即数列是公比的等比数列. （3）当时，由（2）知，数列的公比 因为，所以① 所以② 由①②得 所以 因为 所以 变式3．（2025·宁夏吴忠·一模）已知直线且与相交于点.按照如下方式依次构造点：设直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点.记的横坐标为. (1)求点的坐标； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)比较与的大小. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）联立求解点的坐标； （2）由的横坐标为结合题意表示出的坐标，再由，得到的递推关系，再去证明数列是公比为的等比数列； （3）结合（2）求出的坐标，再去表示出与，再去比较大小即可. 【小题1】由有，即， 由，知，得， 有，故 【小题2】证明：因为轴，的横坐标为，所以， 又因为轴，所以， 又，有， 得，显然，有， 故数列是公比为的等比数列. 【小题3】在中，令， 有，得， 由（2），知， 由，知，有 令，有， 有，进而. 当,即，也即，即且时， ， 而， 有； 当即也即时，， ，有； 当也即，也即，即或时， ， ，有. 综上所述，且时，恒有. 变式4．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 【答案】(1)或； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可； （2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证； （3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可. 【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为； 当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为， 综上，C的方程为或； （2）因为在上，所以，可得， 依题意，则， 所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列， 所以，则， ， 所以， 显然关于单调递减，则； （3）由（2）得， 所以，而， 所以 . 实战演练 1．（2025·湖南长沙·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，过点分别作平行于轴的直线，与直线分别交于两点，直线与轴的交点为． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为的面积记为，求数列的所有项的和的最小值（结果用或表示）． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）设两渐近线的倾斜角为，，从而得到方程组，求出，从而得到渐近线方程，得到离心率； （2）双曲线的方程为，设直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，令，则，因此直线恒过定点，又直线与轴的交点为，于是，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）由对称性知，直线也恒过定点，表达出，从而，则是等比数列，求和得到，换元得到，则，由函数单调性得到． 【详解】（1）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为，另一条渐近线的倾斜角为， 依题意，解得， 则双曲线的渐近线方程为，即， 所以双曲线的离心率为． （2）由（1）知，，双曲线的方程为， 设，则， 过的直线斜率不为0， 设直线的方程为， 由消去并整理得， ， 则， 直线的斜率，直线的方程为， 令，则 ， 因此直线恒过定点， 又直线与轴的交点为，于是，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （3）由对称性知，直线也恒过定点， 则， 故 , ，则是以为首项，为公比的等比数列， 数列的所有项和， 设，则，由过的直线与双曲线的右支交于两点， 得，即，则， 又函数在上单调递减，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递减， 则． 所以数列的所有项和的最小值为． 变式2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得； （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证； （3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算，即可得. 【详解】（1）由题知，所以双曲线， 又过点斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为， 即， 由，解得或， 当时，， 所以，所以； （2） 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立， 消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上， 即有，所以， 因为， 则 ， 由（1）知， 所以数列是以3为首项，为公比的等比数列； （3）由（2）知，由， 即， 即， 则， ， 故，， ，， 从而， ， 即，则， 则，， 从而. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 圆锥曲线与数列综合问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 圆锥曲线基础 椭圆、双曲线、抛物线定义、标准方程、几何性质；弦长公式、焦点弦、焦半径、定点定值、联立韦达定理。 1. 数列核心知识 等差/等比通项、前n项和、递推关系、裂项求和、错位相减、数列单调性与最值。 1. 常考结合点 · 曲线上点的横/纵坐标成等差、等比数列 · 焦半径、弦长、距离、线段长构成数列 · 连续n条弦长、n个距离依次成数列 · 点横坐标/纵坐标依次取值构成数列通项 二、解题原理 利用圆锥曲线几何性质与坐标关系，推导出线段长度、坐标数值的递推或通项规律，将几何长度转化为数列项，再用数列公式完成求和、求通项、求最值、证明不等式。 三、标准解题思路 1. 设点设线 设曲线上动点坐标、直线方程，联立曲线方程，借助韦达得到坐标关系。 1. 几何量化 用坐标表示焦半径、弦长、点距、截距等几何线段长度。 1. 判定数列类型 找出相邻两项关系，判断是等差、等比还是递推数列，写出通项。 1. 数列运算 代入等差等比公式，进行求和、求项数、求最值、证明数列不等式。 1. 结合曲线限制 利用曲线范围、离心率、定义域，确定数列项的取值范围。 四、常见题型套路 1. 焦半径成数列 用焦半径公式写出第项长度，直接判定等差等比。 1. 连续弦长成数列 依次求出第1、2、3…条弦长，找公差/公比，求通项求和。 1. 横坐标/纵坐标成数列 利用曲线方程把坐标关系转化为线段数列关系。 1. 证明数列不等式 先表示出数列通项，结合放缩、求和证明大小关系。 例题分析 例1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点（在轴上方），以为直径作圆（圆心为点）． (1)证明：圆与轴相切． (2)若轴，过点作直线轴，过点作，垂足为，线段交劣弧于点，按照如下方式依次构造点和：过作，垂足为，线段交劣弧于点． （i）设，证明：数列为等差数列； （ii）设劣弧的长为，数列的前项和为，证明：． 例2．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 例3．（2026·江西南昌·二模）已知一系列椭圆：的右焦点为，上顶点为，，是等腰三角形，． (1)求椭圆的方程； (2)求数列的通项公式； (3)若数列的前项和为，若对任意的，都有（，），求的最小值． 例4．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过原点作斜率为1的直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设． ①令，求证：数列是等比数列； ②数列的前项和为，试比较与的大小． 变式训练 变式1．（2025·山东·模拟预测）已知椭圆C：经过点． (1)求C的离心率． (2)设A，B分别为C的左、右顶点，P，Q为C上异于A，B的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的5倍． ①当b的值确定时，证明：直线过x轴上的定点； ②按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：． 变式2．（2025·贵州铜仁·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，点在上，为常数，，按照如下方式依次构造点，过作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为. (1)求的标准方程； (2)证明：数列是等比数列； (3)若，求的面积. 提示：在中，设，则. 变式3．（2025·宁夏吴忠·一模）已知直线且与相交于点.按照如下方式依次构造点：设直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点.记的横坐标为. (1)求点的坐标； (2)证明：数列是公比为的等比数列； (3)比较与的大小. 变式4．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设． (1)求C的方程； (2)设数列的前n项和为，证明：； (3)求的面积． 实战演练 1．（2025·湖南长沙·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线的倾斜角的2倍，为双曲线的右焦点，过的直线与双曲线的右支交于两点，过点分别作平行于轴的直线，与直线分别交于两点，直线与轴的交点为． (1)求双曲线的离心率； (2)证明：数列是等比数列； (3)定义：无穷等比递减数列的所有项和，其中为的首项，为的公比，且．设直线与直线的交点为的面积记为，求数列的所有项的和的最小值（结果用或表示）． 变式2．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）已知双曲线，点在上.按如下方式构造点：过点作斜率为的直线与的下支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为. (1)求点，的坐标； (2)记，证明：数列为等比数列； (3)为坐标原点，，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，，求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $