微专题01 变量之间关系的综合应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 以“概念识别-多元表征-实际应用”为主线，系统构建变量关系的方法体系，通过四阶题型实现从抽象到具象的思维进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |自变量与因变量识别|6题|“主动变-被动变”核心逻辑+答题模板+情境限制分析|从常量变量概念切入，建立变量关系认知基础| |表格法表示变量关系|6题|“纵向看变化趋势+横向找差值/比值规律”策略|通过数据规律探究，培养数据意识与推理能力| |关系式法表示变量关系|6题|“审题意-列等量-代值算”三步法+实际意义检验|强化代数建模，发展模型观念与应用意识| |图象法表示变量关系|6题|“三点突破法”（起点/转折点/终点）+走势分析|结合几何直观，实现数形结合思维的转化应用|

微专题01 变量之间关系的综合应用 题型01 自变量与因变量的识别 命题考向：给定一个描述现实情境的句子或简单的等式，判断哪个量是自变量，哪个量是因变量；或在具体的变化过程中，指出变量的增减趋势。 解题方法： 1. 通用思路：牢牢抓住“自变量是主动变化的量，因变量是随着自变量的变化而被动变化的量”这一核心逻辑。 2. 关键步骤： (1) 先找出题目中明确说明“随时间/长度/数量变化”的那个量，通常为自变量（用x表示）。 (2) 再找出“随之发生变化的量”，即为因变量（用y表示）。 (3) 用通俗的逻辑验证：“主动变”引发“被动变”。 3. 答题模板：“在……的变化过程中，……是自发变化的，所以它是自变量；……依赖于……的变化而变化，所以它是因变量。” 4. 避坑要点：并不是所有的量都能成为自变量，要看题目给定的具体情境限制（如三角形底边长固定时，面积随高的变化而变化；高固定时，面积随底边长变化）。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 2．（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 3．（24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0．3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 5．（25-26六年级下·全国·单元测试）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是__________ ． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 题型02 表格法表示的变量关系及其应用 命题考向：提供一个记录变量数据的表格，要求找出自变量与因变量之间的对应规律，进而完成表格填空、进行数据估算或解决简单的实际最大/最小值问题。 解题方法： 1. 通用思路：采用“纵向看变化，横向找对应”的策略，将表格数据转化为有效的数学信息。 2. 关键步骤： (1) 看增减：观察同一行或同一列数据的变化趋势，判断因变量随自变量增大是变大还是变小。 (2) 找差值/比值：测试相邻数据的差或比是否恒定。若差恒定，多为一次函数关系（如弹簧长度）；若比值恒定，多为正比例函数或反比关系。 (3) 补全预测：利用发现的规律，代入自变量求出对应的因变量。 3. 答题模板： (1) 规律探寻：“观察表格可知，当自变量每增加a时，因变量增加/减少b……” (2) 求值计算：“根据规律，当x＝……时，对应的y＝……” 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 题型03 关系式（解析式）法表示的变量关系及其应用 命题考向：以实际问题（如行程问题、销售利润问题、几何图形周长面积问题）为背景，列出含有两个变量的等式，并给定其中一个变量的值，求另一个变量的值。 解题方法： 1. 通用思路：“找关键量，列等量关系，代入求解”。这是代数思维的核心体现。 2. 关键步骤： (1) 审题意：圈出题目中的不变的量（常量）和变化的量（变量）。 (2) 列式子：根据公式（如路程＝速度×时间，总电费＝单价×用电量）或题目给出的等量关系，写出y关于x的关系式。 (3) 代值算：将给出的自变量（或因变量）的具体数值代入关系式，通过解一元一次方程求出未知量。 3. 核心公式/注意点： (1) 书写规范：必须写成“y＝关于x的代数式”的形式。 (2) 实际意义检验：求得的结果必须符合实际情况（如时间不能为负，人数必须为整数等）。 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 6．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是_比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为_． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 题型04 图象法表示的变量关系及其应用 命题考向：​考查折线图、曲线图或分段函数图象在实际生活中的应用。常见情境包括“加油过程中的油量与剩油时间”、“行程问题中的速度与时间”、“植物高度与生长时间”等。要求判断图象走势代表的现实意义，或从图象中提取特定点的数据进行计算。 解题方法： 1. 通用思路：紧扣平面直角坐标系中横、纵坐标的实际意义，实行“三点突破法”（起点、转折点、终点）。 2. 关键步骤： (1) 看横轴：明确横坐标代表什么量（通常是时间t），横坐标的增长代表过程的推进。 (2) 看纵轴：明确纵坐标代表什么量（通常是距离s、高度h、油量v等）。 (3) 析走势： 1 线上升：因变量随自变量增大而增大（向好的方向发展的过程）。 2 线下降：因变量随自变量增大而减小（消耗、衰减的过程）。 3 线水平：因变量保持不变（暂停、匀速、维持现状的过程）。 (4) 抓特殊点：折线的转折点往往代表着状态的改变（如从加速变为减速，从行驶变为停止）。 3. 答题模板： (1) 描述过程：“由图象可知，在到时间段内，图象呈（上升/下降/水平）趋势，说明……在（增加/减少/不变）。” (2) 计算问题：“观察图象得当x＝a时，y＝b，故……” 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·河南洛阳·阶段检测）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 变量之间关系的综合应用 题型01 自变量与因变量的识别 命题考向：给定一个描述现实情境的句子或简单的等式，判断哪个量是自变量，哪个量是因变量；或在具体的变化过程中，指出变量的增减趋势。 解题方法： 1. 通用思路：牢牢抓住“自变量是主动变化的量，因变量是随着自变量的变化而被动变化的量”这一核心逻辑。 2. 关键步骤： (1) 先找出题目中明确说明“随时间/长度/数量变化”的那个量，通常为自变量（用x表示）。 (2) 再找出“随之发生变化的量”，即为因变量（用y表示）。 (3) 用通俗的逻辑验证：“主动变”引发“被动变”。 3. 答题模板：“在……的变化过程中，……是自发变化的，所以它是自变量；……依赖于……的变化而变化，所以它是因变量。” 4. 避坑要点：并不是所有的量都能成为自变量，要看题目给定的具体情境限制（如三角形底边长固定时，面积随高的变化而变化；高固定时，面积随底边长变化）。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）刘老师到加油站加油，如图，这是他所用的加油机上某一时刻的数据显示牌，则其中的常量是（ ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】B 【分析】本题考查常量和变量，正确理解常量与变量的定义是解题的关键．常量是固定不变的量，变量是变化的量． 【详解】解：∵常量是固定不变的量，变量是变化的量， ∴单价是不变的量，而金额随着数量的变化而变化， ∴常量是单价． 故选B． 2．（25-26八年级上·全国·寒假作业）某居民小区电费标准为元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电量x（千瓦时）之间的关系式为，则下列说法正确的是（    ） A．x是自变量，是函数 B．是自变量，x是函数 C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是函数 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可． 【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，元/千瓦时是常数． 故选：C． 3．（24-25七年级下·全国·期中）要画一个面积为的长方形，其长为，宽为，在这一变化过程中，常量与变量分别是（   ） A．常量为；变量为x，y B．常量为，y；变量为x C．常量为，x；变量为y D．常量为x，y；变量为 【答案】A 【分析】本题主要考查了常量与变量的概念，熟练掌握在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量是解题的关键．先根据长方形面积公式确定等式，再依据常量与变量的定义，判断在变化过程中数值不变的量和数值变化的量． 【详解】解：∵长方形面积为， ∴是固定不变的量， ∵长为，宽为， ∴，是可以变化的量， ∴常量为；变量为，， 故选：A． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0．3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 5．（25-26六年级下·全国·单元测试）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，在这个变化过程中，自变量是__________ ． 【答案】销售量 【分析】本题考查了变量与函数，根据函数的定义，自变量是主动变化的量，因变量是随之变化的量．本题中，销售收入随销售量的变化而变化，因此销售量是自变量． 【详解】解：在变化过程中，销售收入随销售量的变化而变化， 所以销售量是自变量． 故答案为：销售量． 6．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）正方形的周长与边长之间的关系为，则常量为_________． 【答案】4 【分析】本题考查了变量和常量：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．在关系式中，4是固定不变的常数，与a是变量，因此常量为4． 【详解】解：正方形的周长与边长之间的关系为，其中4是常数，与a是变量， 故答案为：4． 题型02 表格法表示的变量关系及其应用 命题考向：提供一个记录变量数据的表格，要求找出自变量与因变量之间的对应规律，进而完成表格填空、进行数据估算或解决简单的实际最大/最小值问题。 解题方法： 1. 通用思路：采用“纵向看变化，横向找对应”的策略，将表格数据转化为有效的数学信息。 2. 关键步骤： (1) 看增减：观察同一行或同一列数据的变化趋势，判断因变量随自变量增大是变大还是变小。 (2) 找差值/比值：测试相邻数据的差或比是否恒定。若差恒定，多为一次函数关系（如弹簧长度）；若比值恒定，多为正比例函数或反比关系。 (3) 补全预测：利用发现的规律，代入自变量求出对应的因变量。 3. 答题模板： (1) 规律探寻：“观察表格可知，当自变量每增加a时，因变量增加/减少b……” (2) 求值计算：“根据规律，当x＝……时，对应的y＝……” 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的李红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度（），李红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，将温度计固定在锅中，用煤气灶均匀加热，并每隔记录一次锅中油温，得到的数据如下表： 时间 0 10 20 30 40 油温 10 30 50 70 90 则下列说法不正确的是（    ） A．没有加热时，油的温度是 B．加热，油的温度是 C．时间t是自变量，油温y是因变量 D．每隔，油温上升 【答案】D 【分析】本题考查函数的表示方法，能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 由表格可得，时间t每增加，油温y增加，据此逐一判断即可． 【详解】解： A：当时，即没有加热时，油的温度是，不符合题意； B：由表格可得，时间t每增加，油温y增加， ∴加热，温度升高了， ∵初始， ∴，不符合题意； C：由题意可得，时间t是自变量，油温y是因变量，不符合题意； D：每油温上升，而非，符合题意． 故选D． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）下表表示的是一年内某城市月份与平均气温的函数关系．由表可知，当时，的函数值为（　　） 月份m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平均气温 3.8 5.1 9.3 15.4 20.2 24.3 28.6 28.0 23.3 17.1 12.2 6.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用表格表示变量间的关系，从表格中获取信息是关键．观察表格可知，第一行表示月份，第二行表示对应的平均气温，由表格可直接读出时对应的的值，对比各选项，即可得到答案． 【详解】解：当时，的函数值为． 故选：． 3．（25-26七年级上·湖南娄底·期末）完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）小涵爸爸为了了解新买的轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到下表中的数据： 行驶的路程S/km 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量Q/L 50 42 34 26 18 … （1）该轿车油箱的容量为________L． （2）行驶________km时，油箱剩余油量为42 L；行驶150 km时，油箱剩余油量为________L． 【答案】 50 100 38 【分析】本题考查了从表格数据中提取信息及行程耗油量的计算，掌握利用初始数据确定总量，通过单位路程耗油量计算剩余油量是解题的关键． （1）从表格初始数据确定油箱容量； （2）通过表格直接匹配行驶路程与剩余油量的对应关系，再计算单位路程耗油量，进而求出指定行驶路程的剩余油量． 【详解】解：（1）当行驶路程时，油箱处于加满状态，此时剩余油量为，故该轿车油箱的容量为． 故答案为：. （2）由表格可知，行驶时，油箱剩余油量为，每行驶，油量减少， 所以行驶时，油箱剩余油量为． 故答案为：，． 5．（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 6．（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 题型03 关系式（解析式）法表示的变量关系及其应用 命题考向：以实际问题（如行程问题、销售利润问题、几何图形周长面积问题）为背景，列出含有两个变量的等式，并给定其中一个变量的值，求另一个变量的值。 解题方法： 1. 通用思路：“找关键量，列等量关系，代入求解”。这是代数思维的核心体现。 2. 关键步骤： (1) 审题意：圈出题目中的不变的量（常量）和变化的量（变量）。 (2) 列式子：根据公式（如路程＝速度×时间，总电费＝单价×用电量）或题目给出的等量关系，写出y关于x的关系式。 (3) 代值算：将给出的自变量（或因变量）的具体数值代入关系式，通过解一元一次方程求出未知量。 3. 核心公式/注意点： (1) 书写规范：必须写成“y＝关于x的代数式”的形式。 (2) 实际意义检验：求得的结果必须符合实际情况（如时间不能为负，人数必须为整数等）。 1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）电解水是一个重要的化学反应，可以生成氢气和氧气，且生成的氧气体积是氢气体积的函数，下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（    ） 氢气的体积 1 2 3 10 氧气的体积 0.5 1 1.5 5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据表格给出的对应数据，探究y与x的数量关系，即可确定函数关系式． 【详解】解：对表格中每组对应数据计算可得：，，，， ∴所有数据均满足，整理得． 2．（25-26八年级下·山东聊城·期中）如图①，一种圆环的外圆直径是，环宽．如图②，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，如图③，把个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为，则与之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】先分析单个圆环、两个圆环扣在一起时的长度，找出每增加一个圆环长度的变化规律，再据此列出个圆环扣紧时总长度与的关系式． 【详解】解：∵单个圆环的外圆直径为，环宽为， ∴每增加一个圆环，长度增加， ∵个圆环扣在一起时，第一个圆环长度为，后面还有个圆环， ∴总长度， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）一个长方形的周长是10，一边长是，则它的另一条边长与的关系式是________．（不需要写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】利用长方形周长公式列出等式，再整理变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：根据长方形周长公式可得：， 等式两边同时除以得：， 移项得：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 【答案】 【分析】根据长方形的周长公式列出等式，整理即可得到与的关系式． 【详解】解：∵长方形的周长为， ∴ 整理得：． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，正方形边长，点在边上，且，点从点出发，以的速度在、之间往返匀速运动，同时，点从点出发，以的速度沿路径匀速运动，当点运动到点时，两点都停止运动，设运动时间为（单位：s）．在运动过程中的面积（单位：）随运动时间的变化而变化． (1)当点第一次运动到点时，则_____________，_____________； (2)在整个运动过程中，求与的关系式； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）点第一次运动到点时，路程为，即可得到时间；再根据三角形面积公式进行计算即可． （2）由题意可知，点运动的总时间为，点在、之间往返一次的时间为，点在上运动的时间为，分为当时，当时，当时，当时，当时几种情况进行分类讨论即可； （3）根据（2）得出的取值范围进行计算即可． 【详解】（1）解：； 点走的距离为， ， ； （2）解：由题意可知，点运动的总时间为， 点在、之间往返一次的时间为， 点在上运动的时间为， ①当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， 点到的距离为， ； ④当时，， 点到的距离为， ； ⑤当时，， 点到的距离为， ； 综上所述，； （3）解：当时，点到的距离为， 若，则， 解得，不符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 若，则， 解得，符合题意； 故当时，的值为或． 6．（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·期中）某次茶艺比赛中指定使用的饮水机工作流程为：先将的饮用水加热到，然后马上停止加热，水温开始下降．已知整个过程中水温与通电时间的关系如下表所示： 0 1 2 3 4 8 10 20 … 20 40 60 m 100 50 40 20 … (1)在水温下降过程中，x与y满足某种比例关系，这种比例关系是_比例关系；用式子表示x与y之间的这种关系为_． (2)比赛组织方要求，参赛选手必须把组织方提供的的饮用水用该款饮水机加热到，然后降温到方可使用．求从饮水机加热开始到可以使用需要等待多长时间？ 【答案】(1)反比例， (2) 【分析】（1）观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400，据此可得答案； （2）根据（1）所求求出当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：观察表格可知，在水温下降过程中，x与y的乘积等于400， ∴x与y满足反比例关系，且， 故答案为：反比例，； （2）解：在中，当时，， ∴从饮水机加热开始到可以使用需要等待． 题型04 图象法表示的变量关系及其应用 命题考向：​考查折线图、曲线图或分段函数图象在实际生活中的应用。常见情境包括“加油过程中的油量与剩油时间”、“行程问题中的速度与时间”、“植物高度与生长时间”等。要求判断图象走势代表的现实意义，或从图象中提取特定点的数据进行计算。 解题方法： 1. 通用思路：紧扣平面直角坐标系中横、纵坐标的实际意义，实行“三点突破法”（起点、转折点、终点）。 2. 关键步骤： (1) 看横轴：明确横坐标代表什么量（通常是时间t），横坐标的增长代表过程的推进。 (2) 看纵轴：明确纵坐标代表什么量（通常是距离s、高度h、油量v等）。 (3) 析走势： 1 线上升：因变量随自变量增大而增大（向好的方向发展的过程）。 2 线下降：因变量随自变量增大而减小（消耗、衰减的过程）。 3 线水平：因变量保持不变（暂停、匀速、维持现状的过程）。 (4) 抓特殊点：折线的转折点往往代表着状态的改变（如从加速变为减速，从行驶变为停止）。 3. 答题模板： (1) 描述过程：“由图象可知，在到时间段内，图象呈（上升/下降/水平）趋势，说明……在（增加/减少/不变）。” (2) 计算问题：“观察图象得当x＝a时，y＝b，故……” 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 3．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，用一根管子向图中空容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面上升的高度与注水时间的图象大致为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据容器的形状可知，容器下部横截面积大，上部横截面积小；在单位时间内注水量保持不变的情况下，水面高度上升的速度会随着横截面积的减小而变快，即函数图象逐渐增大． 【详解】解：∵容器形状为下宽上窄， ∴随着注水时间的增加，容器内水面的横截面积逐渐减小， ∵单位时间内注水量保持不变， ∴水面高度随时间的变化率（即上升速度）会逐渐增大， ∴在函数图象上，表现为图象越来越陡，观察选项，只有选项的图象符合题意． 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图是甲、乙、丙三种物质的溶解度曲线，当甲、乙、丙三种物质在的饱和溶液降低温度到时，得到的溶液的溶质质量分数的关系表示正确的是（   ） A．甲乙丙 B．甲乙丙 C．丙甲乙 D．甲乙丙 【答案】D 【详解】解：溶解度越大，对应饱和溶液的溶质质量分数越大， 甲、乙溶解度随温度降低而减小，的饱和溶液降温到后，析出晶体，仍为饱和溶液； 从曲线可知，时甲、乙溶解度相等，因此降温后溶质质量分数：甲乙； 丙溶解度随温度降低而增大，的饱和溶液降温到后，变为不饱和溶液，溶质没有析出，溶质质量分数不变，仍等于时丙饱和溶液的溶质质量分数，时丙的溶解度小于时甲、乙的溶解度， 因此，溶液的溶质质量分数的关系为甲乙丙． 5．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 6．（22-23八年级下·河南洛阳·阶段检测）小峰骑车从学校回家，中途在十字路口等红灯用了1分钟，然后继续骑车回家．若小峰骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小峰离家的距离（单位：）与时间（单位：）的对应关系如图所示，则该十字路口与小峰家的距离为___________ ． 【答案】720 【分析】根据图像可知，小峰的学校与家之间的距离为，实际骑车的时间为，由此即可求出骑车的速度；再利用速度乘以时间即可得该十字路口与小峰家的距离． 【详解】解：根据题意，小峰骑车的速度为， 所以，该十字路口与小峰家的距离为． / 学科网（北京）股份有限公司 $