精品解析：贵州黔南布依族苗族自治州都匀市都匀湘才学校2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

都匀湘才学校2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生请先将自己的学部、姓名等信息填写清楚． 2．本试卷共4页（分为试题和答题卡两部分）． 3．本试卷考试时量120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类计数原理求解即可. 【详解】选择课程的方法有2类：从类课程中选一门有3种不同的方法， 从类课程中选1门有4种不同的方法，∴共有不同选法（种）． 故选：C. 4. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 5. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种. A. 48 B. 64 C. 72 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】利用插空法和分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意，分两步进行： 第一步：安排3名同学站成一排合影，不同的站法共种； 第二步：安排2名老师，采用插空法，不同的站法共种； 由分步乘法计数原理可得：不同的站法共种. 故选：C 6. 如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 64种 D. 256种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法原理求解即可 【详解】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法， C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法； 由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色， 则D有2种颜色花卉摆放方法. 故共有种绿化方案. 故选：A 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简即可一一判断. 【详解】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得， 则，故C项错误； 对于D项，当时，代入（*）可得， 则，故D项正确. 故选：D. 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出将5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的社区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率． 【详解】将甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者安排到三个社区做志愿服务工作，每个社区的人数分别为3、1、1或2、2、1， 所以不同的分法种数为 种； 现在考虑甲、乙安排在同一个社区， 若甲、乙所在社区有人，需从另外人中选人与甲、乙同组， 再将此人组和另外两个人组安排到三个社区，分法种数为 种； 若甲、乙所在社区只有他们两人，需将剩余人分为一个人组和一个人组， 再将这三组（甲、乙组，人组，人组）安排到三个社区，分法种数为 种． 综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ） A. 可以组成18个不同的数 B. 可以组成8个奇数 C. 可以组成12个偶数 D. 若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数 【答案】ABD 【解析】 【分析】A先排千位，再排其它三位；B、C分步分类计数求出奇数个数，即可得偶数个数即可判断；D分千位为3、千位、百位为1和2两种情况求个数，结合排列、组合数求四位数的个数. 【详解】A：千位的选法有，其它三位任意排有，故组成不同的数有个，正确； B：奇数个数：先把1或3安排到个位有种，则千位有种，其它数位有种，共有个，正确； C：由B知：偶数有个，错误； D：当千位为3，将1和2全排有种，作为整体与0全排有种，则有个； 当千位、百位为1和2有种，再将0和3作全排有种，则有个； 所以可以组成8个不同的数，正确. 故选：ABD 10. 甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（ ） A. 共有36种不同的安排方法 B. 若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法 C. 若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法 D. 若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【详解】先将四人分为三组，人数为2,1,1，有种分法，分配到三家公司，有种分法，所以共有种不同的安排方法，故A正确； 若C公司需要两名大学生，先选2人去C公司，有种；剩余2人必须分别去A和B，有种，共  种，故B正确； 若甲不能安排在C公司，分类计算： 第一类：C公司安排1人，甲不能去C，因此从剩余3人中选1人去C，共种选法； 剩余3人分到A，B公司（每家至少1人），共有种安排，这类总方法：. 第二类：C公司安排2人，甲不能去C，因此从剩余3人中选2人去C，共种选法； 剩余2人全排列到A，B公司，共种安排，这类总方法：. 总安排方法为种，因此C选项说法正确； 甲，乙在同一家公司的安排方法有种，所以甲，乙不能在同一家公司的安排方法有种，故D错误. 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】移项可得，，根据函数的单调性可得，再根据指对幂函数的单调性即可判断各选项的真假． 【详解】由题可得，，设，，所以， 即函数在上递增，所以由可得：． 对于A，由函数在上递减，所以当时，，A错误； 对于B，易知函数在上递增，所以当时，，即 ，B正确； 对于C，当时，若，则，C错误； 对于D，因为函数在上递增，所以当时，，D正确． 故选：BD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点(0，1)处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程． 【详解】解：， 切线的斜率为 则切线方程为，即 故答案为： 13. 校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种． 【答案】 【解析】 【分析】先安排铅球工作，再安排其他两项工作进而求解. 【详解】依题意，分两步：①在甲乙之外人中任选人，承担铅球记录工作，有种情况；②在剩下的人中任选人，承担跳高和跳远记录工作，有种情况，则不同的安排方法有种 故答案为： 14. 函数的单调递增区间是_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式． （1）； （2）； （3）解方程：. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由排列数的定义即可算得； （2）由排列数的定义即可算得，注意提取公因式约分； （3）组合数的性质可知可知或，由此解得. 【小问1详解】 由排列数的定义可得； 【小问2详解】 由排列数的定义可得； 【小问3详解】 由组合数的性质可知或，解得或， 验证发现其满足，故原方程的解为或. 16. 已知二项式. （1）求展开式的第4项； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中的常数项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. 【小问1详解】 的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. 【小问2详解】 由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . 【小问3详解】 由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 17. 现在4本不同的书，按以下方式进行分配． （1）分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； （2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； （3）分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； （4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据题意，结合分组、分配的解法，结合排列组合数的计算公式，即可求解． （1）由平均分组计算； （2）由不平均分组计算； （3）由平均分组分配计算 （4）由不平均分组分配计算 【小问1详解】 先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆有2本书，第2堆有2本书，则有种情况，由于这两堆书数量相同并无实际的顺序，因此需要除以个来去序， 综上所述，不同分法的种数为． 【小问2详解】 先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于这两堆书数量不同因此确实有顺序．综上所述，不同分法的种数为． 【小问3详解】 先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为2本书，第2堆为2本书，则有种情况， 由于是4本不同的书，因此无需去序．综上所述，不同分法的种数为． 【小问4详解】 先将4本书分成有顺序的2堆，其中第1堆为3本书，第2堆为1本书，则有种情况， 由于甲、乙一个拿3本书、一个拿1本书，因此甲和乙有差异，同时也有顺序差异，于是需要乘．综上所述，不同分法的种数为． 18. （1）用0，1，2，3，4五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数； （2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法； （3）有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程，从中选出4门安排在上午的四节课中，其中物理不安排在第一节和第四节，上午的课程共有多少种安排方法． 【答案】（1）36（2）150（3）240 【解析】 【详解】（1）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步： 第一步从1，3中任取一个排在个位上，有2种方法； 第二步，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个数中任取一个排千位，有3种方法； 第三步，从剩下的3个数字中任取一个排百位，有3种方法； 第四步，从剩下2个数字中任取一个排十位，有2种方法， 由分步乘法计数原理可知用0，1，2，3，4可以排出个无重复数字的四位奇数． （2）先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为种， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同的游玩方法有种． （3）优先考虑物理，分以下两类， 第一类：物理没有安排在上午，有种安排方法； 第二类：物理安排在上午，可优先考虑物理安排在第二节或第三节，然后安排其他课程，有种安排方法． 由分类加法计数原理可知，共有种安排方法． 19. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值． （3）若时，单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为-1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可； （3）分离参数，构建辅助函数，通过辅助函数的单调性可求． 【小问1详解】 ，求导可得， 所以切线的斜率为， 则函数在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 ， 令，解得或， 所以当时，在，上单调递增， 当时，在上单调递减， 因为， 所以函数在区间的最大值为，最小值为-1． 【小问3详解】 ，求导可得， 因为当时，单调递增， 所以当时， 恒成立， 即在时恒成立， 设，求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取极小值， 所以，即， 所以当单调递增时，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 都匀湘才学校2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生请先将自己的学部、姓名等信息填写清楚． 2．本试卷共4页（分为试题和答题卡两部分）． 3．本试卷考试时量120分钟，满分150分． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 某校开设类选修课3门，类选修课4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选法共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种 4. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ） A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种 5. 2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（决赛）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武汉市武钢三中举行，赛后来自某所学校的3名同学和2名老师站成一排合影，若两名老师之间至少有一名同学，则不同的站法有（ ）种. A. 48 B. 64 C. 72 D. 120 6. 如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（ ） A. 48种 B. 72种 C. 64种 D. 256种 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排1人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（ ） A. 可以组成18个不同的数 B. 可以组成8个奇数 C. 可以组成12个偶数 D. 若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数 10. 甲、乙、丙、丁四名大学生到A，B，C三家公司参加实习工作，每名大学生仅去一家公司实习，每家公司至少安排一名大学生，则下列说法正确的是（ ） A. 共有36种不同的安排方法 B. 若C公司需要两名大学生，则有12种不同的安排方法 C. 若甲不能安排在C公司，则有24种不同的安排方法 D. 若甲、乙不能在同一家公司，则有27种不同的安排方法 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点(0，1)处的切线方程为________． 13. 校运会期间，需要学生志愿者辅助裁判老师进行记录工作，学生会将从6名志愿者中任意选派3名同学分别承担铅球记录、跳高记录、跳远记录工作，其中甲、乙2人不承担铅球记录工作，则不同的安排方法共有______种． 14. 函数的单调递增区间是_____________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式． （1）； （2）； （3）解方程：. 16. 已知二项式. （1）求展开式的第4项； （2）求展开式中的有理项； （3）求展开式中的常数项. 17. 现在4本不同的书，按以下方式进行分配． （1）分成两堆，每堆2本，则有多少种分法； （2）分成两堆，一堆3本、一堆1本，则有多少种分法； （3）分给甲、乙两人，每人2本，则有多少种分法； （4）分给甲、乙两人，一个3本、一人1本，则有多少种分法． 18. （1）用0，1，2，3，4五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数； （2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法； （3）有物理、化学、生物、政治、历史、地理6门课程，从中选出4门安排在上午的四节课中，其中物理不安排在第一节和第四节，上午的课程共有多少种安排方法． 19. 已知函数 ． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求函数在区间的最大值和最小值． （3）若时，单调递增，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $