精品解析：贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学等六校2024-2025学年高二下学期教学质量监测考试Ⅰ数学试题

2024∼2025学年度第二学期教学质量监测考试Ⅰ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，a，b，，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，则有（ ）种不同的安排方法 A. 120 B. 150 C. 180 D. 240 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，m是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 若，，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则或 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 某同学记录了3月11日到18日每天的最高气温（单位：℃），分别为12，11，9，10，8，9，13，10，则该组数据的第70百分位数为11 B. 两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C. 一组样本数据的经验回归方程为，若，则 D. 已知随机变量，若，则 11. 已知椭圆，双曲线，双曲线，若三条曲线有相同的焦点，，且，设三条曲线的离心率分别为，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 曲线图象和上述三条曲线的图象都是轴对称图形 C. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆E的四个交点及椭圆E的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则 D. 若点P是椭圆E与双曲线M的一个交点，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为______． 13. 若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______． 14. 若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为4，是公比大于0的等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 数学文化在教育中的应用非常重要．通过将数学文化融入教学，可以增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解数学知识和实际应用．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分）作为样本，按照，，…，分成5组，制成了频数分布表．（假设每名学生的成绩均不低于50分） 成绩分组 频数 5 15 13 12 5 （1）在样本中随机抽取一人，在已知该学生的成绩在区间内的条件下，求该学生成绩在区间内的概率； （2）用样本估计总体，以频率估计概率，从该校高三年级所有学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于70分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，，，E为线段的中点，F为线段上的任意一点． （1）若平面，判断平面与平面是否互相垂直，并说明理由； （2）若底面为矩形，当平面与平面夹角为时，求点F的位置． 18. 二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （1）利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； （2）如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024∼2025学年度第二学期教学质量监测考试Ⅰ 高二数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知i为虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算即可求解. 【详解】. 故选：C． 2. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解. 【详解】解不等式，得或，则，而， 所以. 故选：A 3. 已知函数，a，b，，且，，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，则，且是奇函数，利用奇函数的性质及题中条件即可求解. 【详解】设，则，且， ∴是奇函数，∴. 又，， ∴，解得. 故选：C. 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明，证明，求出. 【详解】由正弦定理有， 所以， 在中， 即， 又，，故， 所以. 故选：B． 5. 今年春晚中合唱节目《玉盘》至今令人印象深刻，银幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若将“月亮”的平面形象看作圆，当动点在圆C上运动时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，则直线与圆有交点，所以圆心到直线的距离，解不等式即可. 【详解】设，则，因点在圆上运动，且在直线上， 则直线与圆有交点， 则圆心到直线的距离，解得或， 故的取值范围是. 故选：D． 6. 如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 7. 已知函数在区间上存在唯一极大值点，则a的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用整体法，结合正弦函数的性质，结合极值点的定义即可求解. 【详解】令，， 所以，解得，即a的最大值为. 故选：A． 8. 在贵州“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每个村各有一组来调研，则有（ ）种不同的安排方法 A. 120 B. 150 C. 180 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】求出5个人可分成几组，分类讨论即可. 【详解】由题意可知5个人分成三组， 所以可以分成1，2，2或1，1，3两类， 当5人分成1，2，2三组有种分法， 当5人分成1，1，3三组有种分法， 所以不同的安排方法种数为种. 故选：B． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，m是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项中为假命题的是（ ） A. 若，，，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，则或 【答案】ACD 【解析】 【分析】在正方体中，通过举反例即可判断选项A，C，D；对于选项B，利用根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】如图所示，在正方体中， 直线平面，直线平面，且平面，平面，但平面平面，故选项A错误； 因为，，则根据线面垂直的性质可知：垂直于同一平面的两直线平行，故选项B正确； 平面平面，平面，平面，但，故选项C错误； 平面平面，平面平面，但平面与平面相交求不垂直，故选项D错误. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 某同学记录了3月11日到18日每天的最高气温（单位：℃），分别为12，11，9，10，8，9，13，10，则该组数据的第70百分位数为11 B. 两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C. 一组样本数据的经验回归方程为，若，则 D. 已知随机变量，若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由百分位数的计算方法可得A正确；由相关系数的意义可得B错误；由样本中心点的计算可得C正确；由正态分布的对称性可得D错误. 【详解】A选项，根据题意将数据从小到大排列有8，9，9，10，10，11，12，13，共8项数据，又，故第70百分数为11，选项A正确： B选项，两个变量相关性越强，则相关系数越接近1，选项B错误； C选项，由得，，所以，选项C正确； D选项，，选项D错误. 故选：AC． 11. 已知椭圆，双曲线，双曲线，若三条曲线有相同的焦点，，且，设三条曲线的离心率分别为，，，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 曲线图象和上述三条曲线的图象都是轴对称图形 C. 若双曲线N的两条渐近线与椭圆E的四个交点及椭圆E的两个焦点恰为一个正六边形的六个顶点，则 D. 若点P是椭圆E与双曲线M的一个交点，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用曲线有相同的焦点，，计算可判断A；曲线方程中的x换为，计算可判断B；由题意可得双曲线N中一条渐近线的倾斜角为，计算可判断C；设，，利用椭圆与双曲线的定义可得，计算可判断D. 【详解】因为三条曲线有相同的焦点，，且，所以，故A错误； 将曲线方程中的x换为，方程不变，所以该图象关于y轴对称，故B正确； 由正六边形性质知，双曲线N中一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为，即， 可得双曲线的离心率为，故C正确； 不妨设在右支上，，， 由椭圆和双曲线定义可得，又， 所以，故D正确. 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 一物体在力的作用下，由点移动到点，已知，则对该物体所做的功为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的数量积的意义计算可求解. 【详解】由题意可得，，可得， 力对物体做的功． 故答案为：. 13. 若在二项式的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定的值，然后写出的展开式的通项，令，求解即可. 【详解】由题意知，则的展开式通项为，令，则， 所以展开式中的系数为． 故答案为：60 14. 若函数（且）是增函数，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求导可得，利用单调递增可得，分类讨论可求的取值范围. 【详解】由题意可知在上，， 因为且，所以，则， 由此有：（1）； （2）． 当时，为常函数，所以， 综上所求：． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的公差为4，是公比大于0的等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设数列的公比为，由题意可求得，可求和的通项公式； （2）分别利用等差数列与等比数列的前和公式可求数列的前n项和． 【小问1详解】 由题意，设数列的公比为，则，， 所以，解得或（舍）， 所以，． 【小问2详解】 记和的前n项和分别为和， 又，， 所以． 16. 数学文化在教育中的应用非常重要．通过将数学文化融入教学，可以增加学生的学习兴趣，帮助他们更好地理解数学知识和实际应用．为了加强对数学文化的学习，某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高三年级的学生进行了测试．现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩（单位：分）作为样本，按照，，…，分成5组，制成了频数分布表．（假设每名学生的成绩均不低于50分） 成绩分组 频数 5 15 13 12 5 （1）在样本中随机抽取一人，在已知该学生的成绩在区间内的条件下，求该学生成绩在区间内的概率； （2）用样本估计总体，以频率估计概率，从该校高三年级所有学生中随机抽取3人，记这3人中成绩不低于70分的人数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）X的分布列如下表 X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式计算即可； （2）的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，利用期望公式计算即可答案. 【小问1详解】 记事件“所抽取学生成绩在区间内”，记事件“所抽取学生成绩在区间内”， 则． 【小问2详解】 由题意，从该校高三年级所有学生中随机抽取1人， 该学生成绩不低于70分的概率为， X的可能取值为0，1，2，3，则 ；； ；； X的分布列如下表 X 0 1 2 3 P 因为，X的数学期望． 17. 如图，在四棱锥中，，，E为线段的中点，F为线段上的任意一点． （1）若平面，判断平面与平面是否互相垂直，并说明理由； （2）若底面为矩形，当平面与平面夹角为时，求点F的位置． 【答案】（1）垂直，理由如下： 由，， 则， ，而平面， 故平面，而平面，故， 平面，而平面，. 又，为中点，， ，平面，平面， 又平面平面平面． （2）点F为的中点 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可得，，由线面垂直的判定定理可得平面，从而得到，又平面，可得，结合等腰三角形三线合一的性质，可得，从而平面，最后由线面垂直的性质定理即可证明； （2）以A为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，计算得到平面与平面的法向量，由二面角的坐标计算得到点F的坐标，从而得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以A为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， 设，平面的法向量为，平面的法向量为， ，，，， 则， 令，则，，所以， ，令，则，，所以， ∴， ∴，∴点F为的中点． 18. 二次函数与抛物线有着千丝万缕的联系，可以用图象“平移”的方式求解二次函数对应的焦点坐标与准线方程，例如：二次函数的图象可以由的图象向上平移2个单位长度得到；而即是抛物线，其焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为． （1）利用上述方法求二次函数的焦点F的坐标和准线方程； （2）如图，已知抛物线的焦点在二次函数上，过抛物线上的动点P作二次函数的两条切线、，切点分别为M、N，若直线与直线的斜率乘积为，且，O为坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1）焦点坐标为，准线方程为 （2） 【解析】 【分析】（1）可以由抛物线向上平移个单位长度得到，求出的焦点坐标和准线方程，从而得到的焦点坐标和准线方程； （2）求出抛物线的焦点，代入，得到方程，求出，得到的方程，设点，设切线方程为，联立，由根的判别式得到方程，求出，因为，所以，表达出，换元后由函数单调性求出，则，得到答案. 【小问1详解】 二次函数，它的图象可以由抛物线向上平移个单位长度得到； 抛物线，即的焦点坐标为，准线方程为； 所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为． 【小问2详解】 抛物线的焦点为，所以，解得，故的方程为． 任取点，设过点P的的切线方程为， 将其代入得， 由，化简得， 记、斜率分别为，，则， 因为，即，所以， 设，， 因为在上单调递增，所以， 则，所以的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）利用三角恒等变换，分别求函数在，4，6时的取值范围； （3）请结合（2）的结果猜想函数的取值范围，然后证明你的猜想，并求方程有解时n的最小值． 【答案】（1）为偶函数，理由如下： 当时，，定义域为， 则，所以为偶函数． （2） 当时，； 当时，； 当时，． （3），证明如下： 因为n为偶数，所以， 故是周期为的周期函数， 那么不妨只讨论时函数的取值范围， 因为此范围即为函数在定义域上的取值范围； 因为n为偶数，则，， 此时，， 令，解得，或， 易知，当时，， 此时单调递减， 当时，， 此时单调递增， 因为，， 所以此时的最大值为1，最小值为，即；， 所以要使方程有解，只需不等式成立， 当时，，当时，，所以． 【解析】 【分析】（1）由奇偶性的定义判断即可； （2）由二倍角公式化简函数解析式，然后在，4，6时分别求解即可； （3）猜想，当，时，，然后利用导数分析函数的单调性证明该结论，要使方程有解，只需不等式成立，，然后解不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则，所以为偶函数． 【小问2详解】 当时，； 当时，， 此时有； 当时，， 此时有． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $