专题10菱形期末复习讲义（10大核心题型精讲+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题10菱形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟练掌握菱形的定义、性质与三种判定方法，厘清菱形与平行四边形、矩形的区别与联系，熟练掌握周长、面积两类计算公式； 2.能够利用菱形性质完成边长、对角线、角度、面积的计算；熟练书写规范几何证明过程；能结合勾股定理、全等三角形解决菱形综合问题。 3.掌握“对角线拆分直角三角形”核心几何模型，提升数形结合、逻辑推理与几何转化能力。 核心题型◆归纳 题型1利用菱形的性质求角度 题型2利用菱形的性质求线段长 题型3利用菱形的性质求面积 题型4利用菱形的性质证明 题型5证明四边形是菱形 题型6添一个条件使四边形是菱形 题型7根据的菱形的性质与判定求角度 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 题型9根据菱形的性质与判定求面积 题型10中点四边形 题型11进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、菱形的定义 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=BC ∴ 四边形 ABCD 为菱形 知识点二、菱形的性质 设菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 边的性质：四条边长度全部相等，即AB=BC=CD=DA。 对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC⊥BD，AC 平分∠DAB、∠BCD，BD 平分∠ABC、∠ ADC。 平行四边形通性：对边平行、对角相等、对角线互相平分。 对称性：轴对称图形：2条对称轴（两条对角线所在直线）； 中心对称图形：对称中心为对角线交点 O。 核心模型：菱形对角线将图形分割为四个全等的直角三角形，是计算与证明的核心考点。 知识点三、周长与面积公式 1.周长公式： C=4×边长 2.面积双公式：S=底×高(通用公式) 专属公式：S=AC·BD（即对角线乘积的一半） 知识点四、菱形的判定定理 1.定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 四边判定法：四条边相等的四边形是菱形。 易错提示： 对角线互相垂直的任意四边形不一定是菱形，必须先证平行四边形； 仅有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，必须先证平行四边形。 知识点五、菱形与矩形 知识点对比 图形 边的特征 角的特征 对角线特征 菱形 四条边相等 对角相等，无直角 互相垂直 矩形 仅对边相等 四个角均为直角 长度相等 知识点六、易错点汇总 混淆特殊四边形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等； 判定菱形遗漏“平行四边形”前提，导致证明步骤扣分； 只会底乘高求面积，遗忘对角线乘积一半的专属公式； 错误记忆对称轴数量：菱形仅有2条对称轴； 忽略对角线平分内角的性质，导致角度计算失误。 题型解析◆精准备考 题型1利用菱形的性质求角度 1．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 3．按要求解题： (1)已知的补角比它的余角的倍还多，求的大小； (2)如图，是菱形的对角线． ①作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】本题考查了余角与补角的定义、尺规作线段的垂直平分线、菱形的性质以及等腰三角形的性质，熟练运用相关定义和性质是解答本题的关键． （1）根据余角和补角的定义，设未知数建立方程求解的大小； （2）①利用尺规作图的方法作出边的垂直平分线，确定与、的交点； ②结合菱形的性质求出相关角的度数，再利用线段垂直平分线的性质得到等腰三角形，进而计算的度数． 【详解】（1）解：设， 的补角为，的余角为， ， 解得：， ； （2）解：①如图，即为所求； ② ，四边形为菱形， ， 是菱形的对角线， 平分， ， 又是的垂直平分线， ，， 为等腰三角形， ， 在菱形中，， ． 题型2利用菱形的性质求线段长 1．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，O为的中点，进而根据中位线定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，O为的中点， ∵点是的中点， ∴． 2．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边长为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个边长为，面积为的菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质结合勾股定理确定即可； （2）根据菱形的性质确定即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 显然，，； 为斜边长为的直角三角形； （2）解：如图所示，菱形即为所求． ， 四边形为菱形，边长为，面积为． 题型3利用菱形的性质求面积 1．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（    ） A．60 B．80 C．48 D．24 【答案】D 【详解】本题考查菱形面积的计算，利用菱形面积等于对角线乘积一半的性质，代入数据计算即可． ∵菱形的面积等于对角线乘积的一半，该菱形两条对角线长分别为和， ∴． 2．如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 【答案】48 【分析】根据菱形的面积等于对角线的长度的乘积的一半计算即可． 【详解】解：∵菱形的对角线，， ∴这个菱形的面积为． 3．如图，是菱形的对角线，已知，求菱形的面积． 【答案】 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质，勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形， ， ∴在中，， ， ． 题型4利用菱形的性质证明 1．下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 【答案】D 【分析】本题考查矩形与菱形的性质，矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比两者的特有性质，找出符合要求的选项即可． 【详解】解：∵矩形和菱形都是特殊的平行四边形，平行四边形具有对角相等、对边平行且相等的性质， ∴A，C选项是矩形和菱形都具有的性质，排除； ∵对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形不具有该性质， ∴B选项不符合要求，排除； ∵矩形的对角线相等，一般菱形的对角线不相等， 因此对角线相等是矩形有而菱形没有的性质， 故选D． 2．在菱形中，、、、分别是边、、、的中点．新四边形是______．（填写最特殊的形状名称） 【答案】矩形 【分析】本题考查中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的性质及矩形的判定，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．利用三角形中位线定理证明四边形是平行四边形；再根据菱形的对角线互相垂直，得出中点四边形的邻边垂直，即可得出是矩形． 【详解】解：如图所示， ∵在菱形中，、、、分别是边、、、的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形 3．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）由菱形的性质，得，由，，先证四边形为平行四边形，结合，即可证出四边形是矩形； （2）由菱形的性质，得，，由勾股定理得，结合矩形的性质，得，可得出的长． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形，、为对角线， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形． （2）解：∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 故的长为． 题型5证明四边形是菱形 1．下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，因此A错误． B选项，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，因此B错误． C选项，四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，即四个角都是直角，因此该四边形是矩形，因此C正确． D选项，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此D错误． 2．如图，在菱形中，，．点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． ①四边形是___________；②当的值为___________时，四边形是矩形；③当的值为___________时，四边形AMDN是菱形． 【答案】 平行四边形 【分析】①利用菱形的性质和已知条件可证明四边形的对边平行且相等即可； ②由①可知四边形是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即，所以时即可； ③当平行四边形的邻边时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形是等边三角形即可． 【详解】解：①∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ②当的值为时，四边形是矩形．理由如下： ∵四边形是平行四边形； ∴，而，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ③当的值为时，四边形是菱形．理由如下： ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形． 3．如图，点是矩形的边上一点，且． (1)尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）在的延长线上截取线段，使得，连接即可．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接，证明是等边三角形，得出，根据可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求， 理由：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，周长为32， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型6添一个条件使四边形是菱形 1．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：如图所示， 当时，可以判定为矩形，不能判定为菱形，选项A符合要求； 当时，由平行四边形对边平行得与平行，可得，因此，推出，可判定为菱形，B不符合要求； 当时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定为菱形，C不符合要求； 当，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定为菱形，D不符合要求． 2．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 3．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，则，证明，得，，即可推出，则，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接，由或得是菱形，则、互相垂直平分，由得，则、互相垂直平分，根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当或时，四边形是菱形，理由如下： 如图，连接， ∵四边形是平行四边形，（或）， ∴四边形是菱形， ∴、互相垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴、互相垂直平分， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 题型7根据的菱形的性质与判定求角度 1．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图，得到，得到四边形为菱形，再根据菱形的性质，进行求解即可. 【详解】解：由作图可知：， ∴四边形为菱形，， ∴， ∴. 2．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】/66度 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）把向右平移5格得到点，即可得到； （2）取中点，连接延长交于，此时由可得；由可得是菱形，根据菱形的对称性可得，连接与交于点，由对顶角相等可得，即可得到； （3）如图3，连接与交于点，则由矩形性质可得，连接与左边2格的格线交于点，连接延长交右边2格的格线于，延长交于点，根据与到点左右距离都是1格可得，即可证明，得到，则． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图（1），点Q、点E即为所求； （3）解：如图，． 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析作图过程，证明是菱形，再利用菱形的性质得到，，最后用勾股定理计算． 【详解】解：如图所示，连接， 根据题意可得， 四边形是菱形， ，，， ， ． 2．在中，于点O，点M是中点，连接，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】首先证明出四边形是菱形，得到，点O是中点，然后证明出是的中位线，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵在中，于点O， ∴四边形是菱形 ∴，点O是中点 ∵点M是中点 ∴是的中位线 ∴ ∴的周长是． 3．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据“对角线互相平分”证明四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到，从而得出结论； （2）根据矩形的面积求出，由菱形的性质得到、，利用求解即可． 【详解】（1）证明：、， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为4， ， 由（1）知，四边形是菱形， 、， ． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 【答案】D 【分析】证明四边形为菱形，根据菱形的面积公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，，点到和的距离相等，均等于纸条的宽， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积纸条的宽纸条的宽， ∴， ∴四边形为菱形， ∵，， ∴四边形的面积为. 2．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 【答案】 12 【分析】（1）首先由矩形得到，，，然后求出，然后根据平行四边形的性质求解； （2）如图，连接交于点G，得到，当时，取得最小值，此时取得最小值，如图，得到四边形是菱形，利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴平行四边形的面积； （2）如图，连接交于点G， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴当时，取得最小值，此时取得最小值，如图， ∴四边形是菱形 ∴ ∵四边形是矩形 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴菱形的周长为． 3．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明即可； （2）证明为的中位线，求出，由（1）知，四边形是菱形，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， 又， 四边形是平行四边形．     是直角三角形，，点是的中点， 是斜边上的中线， ． 四边形是菱形． （2）解：∵点D，O分别是，的中点， ∴为的中位线，     ∴， 由（1）知，四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积． 题型10中点四边形 1．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理可得且，且，且，且，易证四边形为平行四边形，再由矩形的判定，即可求解． 【详解】解：、、、分别是线段、、、的中点， ∴在中，为的中位线， 且；同理且，且，且， 则且，且， ∴四边形为平行四边形， 要使四边形是矩形，则需，即， ，， 当时，，此时四边形是矩形． 2．若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 【答案】 互相垂直 【分析】根据三角形中位线定理得到中点四边形的边与原四边形对角线的位置关系，再结合矩形的内角特征推导原四边形对角线的关系即可. 【详解】解：设原四边形为，四边中点依次为，，，，顺次连接，，，得到四边形， 根据三角形中位线定理可得：，， 因为四边形是矩形， 所以，即， 因此， 即这个四边形的对角线互相垂直. 3．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的对角线相等和三角形中位线的性质即可证得结论； （2）根据菱形的性质和矩形的性质可推出，然后根据勾股定理得到，最后利用矩形的周长，根据完全平方公式即可解答． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵E，H分别是，的中点， 且， 同理可得：且，且， 且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，连接，， ∵四边形的面积为24，且四边形是菱形， ， ∵E，F，G，H分别是矩形四边的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ， 同理可得：， ， ， ∵E，H分别是矩形边，的中点，， ， ， ， ∴矩形的周长 ， ∴矩形的周长为． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 【答案】A 【详解】解：A．邻边相等的平行四边形为菱形，故符合题意； B．菱形和矩形都具有对角线相等的性质，故不符合题意； C．平行四边形的对边平行且相等，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对边平行且相等的性质，故不符合题意； D．平行四边形的对角线互相平分，由于菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具有对角线互相平分的性质，故不符合题意． 2．新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质和菱形的判定定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形为准菱形（四边形一组对边平行且有一组邻边相等）， ∴或或或， ∴平行四边形一定是菱形． 3．已知四边形是菱形，其中对角线，则菱形的面积为（   ） A．120 B．100 C．80 D．60 【答案】D 【分析】根据菱形的面积计算公式，菱形面积等于两条对角线乘积的一半，直接代入计算求解即可． 【详解】解，由题意可得，菱形的面积． 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，易得垂直平分，进而得到，根据菱形的性质，得到，进而得到，得到即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵菱形， ∴，垂直平分， ∴， ∵点在上， ∴， ∵为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 5．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】先由菱形性质得到对角线相互垂直平分，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由菱形面积公式列式求出，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， 在中，，则， 菱形的面积为， ，即，解得， 在中，，则由勾股定理可得． 二、填空题 6．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 【答案】30 【分析】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 连接，根据矩形的性质及中点的定义得出 的长度及互相垂直的关系，利用对角线互相垂直的四边形面积公式进行计算. 【详解】解：连接 ∵ 四边形为矩形， ∴， ∵分别为边的中点 ∴   ∴ 故答案为：30. 7．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 8．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 【答案】/72度 【分析】根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形， 则， 又∵， ． 9．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 【答案】 【分析】连接，利用三角形的中位线定理，先证明四边形为平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，有一个角是直角的平行四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接， ∵分别为四边形各边的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ∵， ∴当时，四边形为菱形， 当，即时，四边形为矩形， ∵， ∴当时，四边形为矩形． 10．如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，根据勾股定理求出的长，证明四边形为菱形，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 由勾股定理得， 由题意可知，，且， ∴四边形为平行四边形， 在和中， ∴， ∴， ∴为菱形， ∴四边形的周长为． 三、解答题 11．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明得，可证四边形是菱形； （2）直接根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由： 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴． 12．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，得到，可知平行四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据垂线的定义得到，求出四边形内角和，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，内角和为， ∴． 13．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析；（2）菱形，理由见解析 【分析】（1）连接AC，根据三角形中位线定理即可证得； （2）连接BD ，由（1）得，四边形EFGH是平行四边形，再由三角形中位线定理，证得邻边相等，即可证得菱形． 【详解】（1）四边形EFGH为平行四边形，理由如下： 连接AC，如图， 在△ABC和△ADC中， ∵EF、GH分别为其中位线， ∴EF∥AC,且EF=AC; GH∥AC且GH=AC ， ∴EF=GH，EF∥GH， ∴四边形EFGH为平行四边形； （2）若AC=BD, 则四边形EFGH为菱形， 连接BD ，如图， 在△BCD中， ∵GF为其中位线， ∴GF=BD ， ∵EF=AC（已证），且AC=BD， ∴EF=GF ， 又∵四边形EFGH为平行四边形（已证）， ∴四边形EFGH为菱形． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理．连接三角形两边中点的线段，平行且等于第三边的一半． 14．如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2)27， 【分析】（1）从菱形的定义入手证明，先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得到结论； （2）由矩形和菱形的性质可知，的周长等于，的面积等于的面积． 【详解】（1）四边形是菱形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，平分、， 即， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴的周长， ， 设底边上的高为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 15．如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为36，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程可得：，平分，即，根据平行四边形的性质得到，得到，进而得到，根据等角对等边得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，进而根据证明四边形为菱形即可； （2）设，可知，分别根据菱形的性质和平行四边形的性质得到，，根据平行四边形与菱形同高可知，进而得到，根据菱形面积公式求出，根据菱形的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：由作图过程可得：，平分，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：设，由可知， ∵四边形为菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形与菱形同高， ∴， ∵平行四边形的面积为36， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10菱形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟练掌握菱形的定义、性质与三种判定方法，厘清菱形与平行四边形、矩形的区别与联系，熟练掌握周长、面积两类计算公式； 2.能够利用菱形性质完成边长、对角线、角度、面积的计算；熟练书写规范几何证明过程；能结合勾股定理、全等三角形解决菱形综合问题。 3.掌握“对角线拆分直角三角形”核心几何模型，提升数形结合、逻辑推理与几何转化能力。 核心题型◆归纳 题型1利用菱形的性质求角度 题型2利用菱形的性质求线段长 题型3利用菱形的性质求面积 题型4利用菱形的性质证明 题型5证明四边形是菱形 题型6添一个条件使四边形是菱形 题型7根据的菱形的性质与判定求角度 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 题型9根据菱形的性质与判定求面积 题型10中点四边形 题型11进阶练习 重点知识◆梳理 知识点一、菱形的定义 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 几何语言: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB=BC ∴ 四边形 ABCD 为菱形 知识点二、菱形的性质 设菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O。 边的性质：四条边长度全部相等，即AB=BC=CD=DA。 对角线性质：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，即 AC⊥BD，AC 平分∠DAB、∠BCD，BD 平分∠ABC、∠ ADC。 平行四边形通性：对边平行、对角相等、对角线互相平分。 对称性：轴对称图形：2条对称轴（两条对角线所在直线）； 中心对称图形：对称中心为对角线交点 O。 核心模型：菱形对角线将图形分割为四个全等的直角三角形，是计算与证明的核心考点。 知识点三、周长与面积公式 1.周长公式： C=4×边长 2.面积双公式：S=底×高(通用公式) 专属公式：S=AC·BD（即对角线乘积的一半） 知识点四、菱形的判定定理 1.定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 2.对角线法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 3. 四边判定法：四条边相等的四边形是菱形。 易错提示： 对角线互相垂直的任意四边形不一定是菱形，必须先证平行四边形； 仅有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，必须先证平行四边形。 知识点五、菱形与矩形 知识点对比 图形 边的特征 角的特征 对角线特征 菱形 四条边相等 对角相等，无直角 互相垂直 矩形 仅对边相等 四个角均为直角 长度相等 知识点六、易错点汇总 混淆特殊四边形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等； 判定菱形遗漏“平行四边形”前提，导致证明步骤扣分； 只会底乘高求面积，遗忘对角线乘积一半的专属公式； 错误记忆对称轴数量：菱形仅有2条对称轴； 忽略对角线平分内角的性质，导致角度计算失误。 题型解析◆精准备考 题型1利用菱形的性质求角度 1．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 3．按要求解题： (1)已知的补角比它的余角的倍还多，求的大小； (2)如图，是菱形的对角线． ①作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，连接，若，求的度数． 题型2利用菱形的性质求线段长 1．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 3．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点． (1)在图1中以格点为顶点画一个斜边长为的直角三角形； (2)在图2中以格点为顶点画一个边长为，面积为的菱形． 题型3利用菱形的性质求面积 1．菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的面积是（    ） A．60 B．80 C．48 D．24 2．如图是一款利用菱形四连杆伸缩结构实现折叠收纳的壁挂式挂架，也常被称为伸缩衣帽架或魔术挂架．这个挂架可以看作是由三个菱形组成，我们将其中一个记为菱形，测得这个菱形的对角线，，则这个菱形的面积为________． 3．如图，是菱形的对角线，已知，求菱形的面积． 题型4利用菱形的性质证明 1．下列性质中矩形有而菱形没有的是（    ） A．对角相等 B．对角线互相垂直 C．对边平行且相等 D．对角线相等 2．在菱形中，、、、分别是边、、、的中点．新四边形是______．（填写最特殊的形状名称） 3．如图，点是菱形的对角线和的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 题型5证明四边形是菱形 1．下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 2．如图，在菱形中，，．点是边的中点，点是边上一动点（不与点重合），延长交射线于点，连接，． ①四边形是___________；②当的值为___________时，四边形是矩形；③当的值为___________时，四边形AMDN是菱形． 3．如图，点是矩形的边上一点，且． (1)尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 题型6添一个条件使四边形是菱形 1．下列条件中，不能判定为菱形的是（   ） A． B．C． D． 2．如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 3．如图，在中，点E，F在对角线上，，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)请添加一个与线段有关的条件，使四边形是菱形．（不需要说明理由．） 题型7根据的菱形的性质与判定求角度 1．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C；④连接，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 3．如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．点A，B，C，D都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中依次完成如下三个画图任务，每个任务的画线不得超过四条． (1)在图（1）中，画； (2)在图（1）中，点P在上，在上画点Q，使；在上画点E，连接，，使； (3)在图（2）中，点G在四边形的对角线上，在上画点H，使． 题型8根据菱形的性质与判定求线段长 1．如图，，分别以点为圆心，长为半径画弧，在两侧交于点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．在中，于点O，点M是中点，连接，，则的周长是_______． 3．如图，矩形的对角线，交于点，延长到点，使，延长到点，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若矩形的面积为4，求菱形的面积． 题型9根据菱形的性质与判定求面积 1．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（　　） A．5 B． C． D．4 2．如图，点E是矩形的边上一动点（不与B，C重合），以，为一组邻边作平行四边形，已知，． （1）平行四边形的面积为__________； （2）连接，当最小时四边形的周长为________． 3．如图，是直角三角形，且，点D，O分别是，的中点，连接并延长至点E，使，连接，，． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求四边形的面积S． 题型10中点四边形 1．如图，在四边形中，、、、分别是线段、、、的中点，要使四边形是矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．若顺次连接一个四边形的四边中点，得到的四边形是矩形，那么这个四边形的对角线_________； 3．如图，E，F，G，H分别是矩形四边的中点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若四边形的面积为24，，求矩形的周长． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．菱形一定具有而矩形不一定具有的性质是（     ） A．邻边相等 B．对角相等 C．对边平行且相等 D．对角线互相平分 2．新定义：若四边形一组对边平行且有一组邻边相等，称为“准菱形”．已知平行四边形为准菱形，则该四边形一定是（　　） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．无法确定 3．已知四边形是菱形，其中对角线，则菱形的面积为（   ） A．120 B．100 C．80 D．60 4．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点是的中点，过点作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 二、填空题 6．如图，已知矩形各边中点为E，F，G，H，若，，则四边形的面积为___________． 7．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 8．按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交、于点B、D；③分别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点C；④连接、、．若，则的度数是______． 9．如图，分别为四边形各边的中点，当四边形满足条件_________时，四边形是菱形；当四边形满足条件________时，四边形是矩形．（请填上你认为正确的一个条件即可） 10．如图，两条宽为1cm的长纸条倾斜地重叠成一个四边形．如果，那么这个四边形的周长为______cm． 三、解答题 11．已知点D在的边上，且，过点D作交于点E，作交于点F． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 12．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 13．如图，四边形ABCD的四边中点分别为E、F、G、H，顺次连接E、F、G、H． （1）判断四边形EFGH形状，并说明理由； （2）若AC＝BD，判断四边形EFGH形状，并说明理由． 14．如图，为矩形对角线的交点，，，和相交于点． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积和周长． 15．如图，在平行四边形中，以为圆心，的长为半径画弧，与交于点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，与交于点，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)已知平行四边形的面积为36，，，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $