专题08三角形的中位线、反证法期末复习讲义（6大核心题型+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题08三角形的中位线、反证法期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟练掌握三角形中位线定理的文字、几何语言表述；理解反证法的原理，熟记反证法的标准证明步骤，明确反证法的适用命题类型。 2.能够灵活运用中位线定理求解线段长度、角度、图形周长与面积，可规范使用反证法证明几何命题，精准写出命题的反面假设，准确推导矛盾结论。 3.规避中位线、反证法常见易错陷阱，熟练应对期末选择、填空、基础证明题型，掌握两类知识点的综合考题解题思路，提升几何推理的严谨性与规范性。 核心题型◆归纳 题型1与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关的证明 题型3三角形中位线的实际应用 题型4反证法证明中的假设 题型5用反证法证明命题 题型6网格中多边形面积比较 题型7进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 如上图，D.E分别为AB.AC的中点，则DE为△ABC的中位线。 一个三角形有三条中位线。 考点二、三角形中位线定理 文字定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言： ∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴ DE ∥ BC，DE =BC 考点三、中位线的拓展知识 三角形三条中位线首尾相连，围成的新小三角形： 周长 = 原三角形周长的 面积 = 原三角形面积的  三条中位线可将原三角形分割为4个全等的小三角形、3个面积相等的平行四边形。 几何解题口诀：遇中点、找中位，多点相连构模型，无完整三角形时，优先补全三角形构造中位线。 考点四、中位线的应用 角度计算：利用中位线平行的性质，转化同位角、内错角相等； 线段、周长计算：利用线段二分之一倍分关系求解； 面积计算：套用四分之一面积结论快速解题； 实际应用：池塘宽度、河道距离、障碍物测距问题（核心构造中位线模型）。 考点五、反证法 定义：反证法是间接几何证明法，不直接证明原命题成立，而是先假设原命题结论不成立，通过严谨推理推出矛盾，从而反向证明原命题正确。 标准三步解题法： 1.反设：假设命题的结论不成立，写出结论的全部反面情况（最关键步骤）； 2.归谬：结合已知条件、定义、公理、定理进行推理，推出矛盾； 3.结论：判定假设错误，最终确定原命题成立。 题型解析◆精准备考 题型1与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 3．如图所示，在中，对角线和相交于点O，点E是边的中点，，求的周长． 题型2与三角形中位线有关的证明 1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 2．如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 3．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证≌； (2)若连接，求的长； (3)若P为的中点，连接，求的值． 题型3三角形中位线的实际应用 1．如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 2．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 3．如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 题型4反证法证明中的假设 1．如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．“有一个角等于的三角形是等边三角形”是真命题 B．“有两条边和一角对应相等的两个三角形全等”是真命题 C．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 D．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题 3．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 题型5用反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 2．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 3．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 题型6网格中多边形面积比较 1．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 2．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 3．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 4．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 二、填空题 5．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为___________． 6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 7．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 8．矩形四边中点的连线构成的四边形是______四边形，矩形四个角的平分线构成的是_______四边形． 三、解答题 9．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 10．如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________． 11．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 12．如图，已知，在中，，点B是的中点，过点D作，，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08三角形的中位线、反证法期末复习讲义 期末复习◆目标 1.熟练掌握三角形中位线定理的文字、几何语言表述；理解反证法的原理，熟记反证法的标准证明步骤，明确反证法的适用命题类型。 2.能够灵活运用中位线定理求解线段长度、角度、图形周长与面积，可规范使用反证法证明几何命题，精准写出命题的反面假设，准确推导矛盾结论。 3.规避中位线、反证法常见易错陷阱，熟练应对期末选择、填空、基础证明题型，掌握两类知识点的综合考题解题思路，提升几何推理的严谨性与规范性。 核心题型◆归纳 题型1与三角形中位线有关的求解问题 题型2与三角形中位线有关的证明 题型3三角形中位线的实际应用 题型4反证法证明中的假设 题型5用反证法证明命题 题型6网格中多边形面积比较 题型7进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、三角形的中位线 1.定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 如上图，D.E分别为AB.AC的中点，则DE为△ABC的中位线。 一个三角形有三条中位线。 考点二、三角形中位线定理 文字定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 几何语言： ∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点 ∴ DE ∥ BC，DE =BC 考点三、中位线的拓展知识 三角形三条中位线首尾相连，围成的新小三角形： 周长 = 原三角形周长的 面积 = 原三角形面积的  三条中位线可将原三角形分割为4个全等的小三角形、3个面积相等的平行四边形。 几何解题口诀：遇中点、找中位，多点相连构模型，无完整三角形时，优先补全三角形构造中位线。 考点四、中位线的应用 角度计算：利用中位线平行的性质，转化同位角、内错角相等； 线段、周长计算：利用线段二分之一倍分关系求解； 面积计算：套用四分之一面积结论快速解题； 实际应用：池塘宽度、河道距离、障碍物测距问题（核心构造中位线模型）。 考点五、反证法 定义：反证法是间接几何证明法，不直接证明原命题成立，而是先假设原命题结论不成立，通过严谨推理推出矛盾，从而反向证明原命题正确。 标准三步解题法： 1.反设：假设命题的结论不成立，写出结论的全部反面情况（最关键步骤）； 2.归谬：结合已知条件、定义、公理、定理进行推理，推出矛盾； 3.结论：判定假设错误，最终确定原命题成立。 题型解析◆精准备考 题型1与三角形中位线有关的求解问题 1．如图，是的中位线，O是上一点，且满足．则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设，根据三角形中位线的性质表示出相关三角形的面积，求出比值即可． 【详解】解：假设， ∵， ∴， ∴， ∵是的中位线， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴． 2．如图，的对角线，交于点，点是的中点，若，则的长是______. 【答案】3 【分析】证明是的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可． 【详解】解：∵的对角线，交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∵， ∴． 3．如图所示，在中，对角线和相交于点O，点E是边的中点，，求的周长． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可知是的中位线，进而得到，再求周长即可． 【详解】解：在中， ， O为中点， 又∵E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的周长． 题型2与三角形中位线有关的证明 1．如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 2．如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：添加条件为：． 如图：、分别是，的中点，， 则， 故四边形是平行四边形； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 3．如图，在中，，垂足为C，且．过点B作，过点E作，交的延长线于点F． (1)求证≌； (2)若连接，求的长； (3)若P为的中点，连接，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由已知证明，结合已知即可证明；（2）求出的长度，即得的长度，可得长度，由，运用勾股定理即可求出的长度； （3）在上截取，连接．证明，可得，得，由，即得． 【详解】（1）证明：如答图1， ∵， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴ （2）解：如答图1，∵， ∴． ∴． 在中，由勾股定理得； （3）解：如答图2，在上截取，连接． ∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线性质，是解题的关键． 题型3三角形中位线的实际应用 1．如图，蔡老师想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出，的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：C． 2．如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得米，则的长是_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：点，分别是，的中点， 是的中位线， 米． 故答案为：． 3．如图，平行四边形的对角线，交于点，为的中点．连接并延长至点，使得．连接，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形为矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中位线的性质与判定，平行四边形的性质，菱形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握特殊四边形的判定定理是解题的关键． （1）证明为的中位线，则，且，又，则，即可得证； （2）根据平行四边形的性质得出，则，根据已知的，可得，则四边形是菱形，可得，结合（1）的结论，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平行四边形的对角线，交于点， ∴， 又， ∴为的中位线， ∴，且， 又为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 题型4反证法证明中的假设 1．如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：假设结论不成立，则成立． 2．下列说法正确的是（    ） A．“有一个角等于的三角形是等边三角形”是真命题 B．“有两条边和一角对应相等的两个三角形全等”是真命题 C．用反证法证明“中，若，则”，第一步应假设 D．“全等三角形的面积相等”的逆命题是真命题 【答案】C 【分析】依据等边三角形判定、全等三角形判定定理、反证法步骤、逆命题的定义及真假判断，逐一分析选项得出正确结论即可． 【详解】解：∵有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，普通三角形有一个角不一定是等边三角形，是假命题，∴A选项错误； ∵有两条边和一角对应相等，若角不是两边的夹角（即），不能判定两个三角形全等，是假命题， ∴B选项错误； ∵反证法第一步需假设原结论不成立，原结论为， ∴应假设，C选项正确； ∵“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题， ∴D选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，反证法，判断逆命题的真假，全等三角形的判定，等边三角形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．反证法证明“的三个内角中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设__________． 【答案】的三个内角都小于 【分析】本题主要考查的是反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 用反证法证明命题的第一步是假设结论不成立，故需先确定命题的结论；分析命题可知其结论为“三角形中至少有一个内角大于或等于”，结合上述分析，只需假设原命题的反命题成立，即假设三个内角都小于． 【详解】解：反证法证明时，首先假设结论不成立，即假设“的三个内角都小于”，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而证明原命题“至少有一个内角大于或等于”成立． 故答案为：的三个内角都小于． 题型5用反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 2．一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）_____，（2）_____（3）_____． 【答案】 提出假设 推出矛盾 肯定结论 【分析】本题考查的是反证法的步骤，根据反证法的步骤要求作答即可． 【详解】解：一般来说，反证法有如下三个步骤：（1）提出假设，（2）推出矛盾（3）肯定结论． 故答案为：提出假设，推出矛盾，肯定结论． 3．反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 题型6网格中多边形面积比较 1．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个∠为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解 【详解】下图所示， 由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线， 则利用勾股定理可得高为：， 边长为a的等边三角形的面积为：， 则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：， 则阴影部分的面积为：， 则有， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键． 2．如图，在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，，正方形、正方形的顶点均在格点上．    利用面积计算线段_____，_____，则，，三条线段的数量关系为_______． 【答案】 【分析】根据网格，计算正方形、正方形的面积，利用面积计算线段，，从而得到，，三条线段的数量关系． 【详解】解：，正方形、正方形的顶点均在格点上， 正方形面的积，正方形的面积，， ，， ， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查了网格图形面积计算，正方形面积与边长关系，算术平方根计算，熟练掌握网格图形面积计算是解题的关键． 3．如图，已知网格中最小的正方形的边长为1． (1)作关于轴对称的． (2)求，，，构成图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查了作轴对称图形、借助网格线计算图形的面积． （1）分别作出点、、关于轴的对称点、、，连接点、、，得到； （2）根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如下图所示，即为所求． （2）解：． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．用反证法证明命题：“在中，若，则．”时，第一步应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法的应用，关键是明确反证法第一步需假设命题结论的反面成立．据此进行判断即可． 【详解】解：∵反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，原命题要证明的结论是， ∴该结论的反面为，即第一步应假设， 故选B． 2．如图，在中，，，，平面上有一点，，连接，，取的中点．连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是（   ） A．7 B．7.5 C． D．14 【答案】A 【分析】取的中点E，连接，则，，当三点共线，且在的延长线上时，最大，即可求得最大值． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵，，， ∴，， ∴； ∵， ∴当三点共线，且在的延长线上时，最大，最大值为； ∵， ∴的最大值为7． 3．如图，，两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为米，则，间的距离为（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．40米 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵点，是，的中点 ∴米， 故选：D． 4．如图，在四边形中，对角线，且平分，连接交于点，且为的中点，在上取一点，连接，使于点，取的中点，连接，延长相交于点．下列四个结论：①；②；③是的中位线；④．其中所有正确的结论为（   ） A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据含角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出，得到，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长，交于点H，然后证明出，得到，然后得到是的中位线，即可判断③；得到，然后结合等边对等角得到，即可判断④． 【详解】∵，但不一定等于， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵中点为F， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴是的中位线，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，所有正确的结论为②③④． 故选：D． 【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键． 二、填空题 5．如图，要测定池塘两侧两点之间的距离，可以在直线外选一点，连接，并分别找出它们的中点，连接．现测得，则两点之间的距离为___________． 【答案】 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中位线的性质．根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是三角形的中位线， ∴． 故答案为：． 6．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积大小关系为：_____（填“＞”“＝”或“＜”）， 【答案】= 【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， 故答案为：=． 【点睛】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键． 7．如图，过的顶点分别作、的平分线的垂线、，垂足分别为，，连接．若，，，则______． 【答案】 【分析】分别延长与直线交于点，证明，所以，，同理可得，，故有是的中位线，然后通过中位线性质定理可得，再求出的长即可求解． 【详解】解：如图，分别延长与直线交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴． 8．矩形四边中点的连线构成的四边形是______四边形，矩形四个角的平分线构成的是_______四边形． 【答案】 菱形 正方形 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与菱形的判定，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先作图，然后根据中位线的判定与性质得，然后证明四边形是平行四边形，因为，所以四边形是菱形；先作图，然后结合矩形的性质，证明四边形是矩形，再得出、是等腰直角三角形，即可作答． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形 ∴ ∵分别是的中点 ∴分别是的中位线 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：菱形， 如图：分别是矩形四个角的平分线 ∴ ∴, ∴, ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∴、是等腰直角三角形 ∴ ∴四边形是正方形． 故答案为：菱形，正方形 三、解答题 9．用反证法证明：在三角形中，大角对大边． 如图，已知：在中，． 求证：． 证明：假设， ________（___________）． 假设________， ________（___________）． （完成以下说理过程） 【答案】见解析 【分析】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 利用等腰三角形的性质和大边对大角进行分析作答． 【详解】证明：假设， （等边对等角）． 假设， （大边对大角）． 上述无论哪种情况，都与已知矛盾，所以假设不成立． ． 10．如图，在网格图中，每个小正方形的边长为1．三角形经过平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)连接，那么与的数量和位置关系是___________；线段扫过的图形面积为__________________． 【答案】(1)见解析 (2)，；10 【分析】本题主要考查了平移作图、平移的性质等知识点，正确作出图形是解答本题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）利用平移变换的性质以及平行四边形的面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：由平移的性质可得：与的数量和位置关系是、． ∵线段扫过的图形的面积即为四边形的面积， ∴四边形的面积． 11．点是的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接，为的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质证明，，由“对边平行且相等的四边形为平行四边形”即可得到结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线相互平分，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为的中位线， ，， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ，， ，， ∴四边形为平行四边形； （2）解：连接， ，， ∴是的中位线， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ． 12．如图，已知，在中，，点B是的中点，过点D作，，连接．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，，点B是的中点，则，即可得到结论； （2）连接交于O，根据四边形是菱形得到，证明是的中位线，则，得到，，则，即可得到菱形的面积． 【详解】（1）证明：∵点B是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点B是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，连接交于O，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵点B是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $