河南郑州市外国语学校2025-2026学年高一下学期5月期中数学试卷

郑州外国语学校2025-2026学年高一下期期中试卷 数学 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1.如图，某四边形ABCD的直观图是正方形！B'CD',且C=2,则原四 边形ABCD的面积等于() A.45 B.4W2 C.4 D.2N2 2.已知复数z满足z(1-i)=2i,则=() A.2 B.2 C.1 D.5 3.已知向量ā，6满足ā=（-1,3)，6=(-2,1)，则ā在6上的投影向量为() A.（-2,1) B.（-2,3) c D.（-1,3) 4.将一个半径为2的铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的铁锭，若这个铁锭的上、下底面 边长分别为1和2，则它的高为() A. B.I6s C.32 7 D.4 5.已知等边三角形ABC的边长为2，AM=1AB+(1-1)AC,则MAMC的最小值为() A司 B D.0 D G C 6.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E,F,G分别为AB,BC, CD,的中点，点P在平面ABCD内，若直线DP与平面EFG无公共点，则线段 DP长的最小值是() P E A.32 B.2√2 C.25 D.6 2 7.已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC上一点，满足|PA-|PB=4, 1 1PA-P丽10， PA.PC PB.PC IPAl PBI 且面-丽+磊品，，则可要常位为 34 () A.2 B.4 C.3 D.5 8.如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，D、E分别是AB和AC的中点，将△ADE沿 着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCED,则下列说法中，正确的个数为() ①翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为9. ②取线段AD中点F,则翻折过程中，三棱锥B-CEF与四棱锥P-BCED体积比为定值. ③翻折过程中，直线BC始终与平面PDE平行， ④当PB=√0时，该四棱锥的五个顶点所在球的 衣面积为号。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目（要求：全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）. 9（多选)已知复数名，22，且名是非零复数，乙，z2分别是乙，22的共轭复数，则下列结论 正确的是() A.若1+22=0，则名=2 B.Za∈R C.若2=乙22，则3=22 D.(+z2)2=+z2 10（多选)下列说法错误的是（) A,有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的多面体是棱柱 B.如果棱柱有一侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形 C.有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱合 D.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体不一定是棱锥 2 11(多选)如图，正方体ABCD-AB,CD的梭长为1，P为BC的中点，Q为线段CC上的动 点，过点A,P,2的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是( A.当0<C2<号时，S为四边形 D B。当C2=号时，S为等腰梯形 B C.当C2=子时，S与CD的交点R,满足CR=月 D D.当C2<1时，9为四边形 B 三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分 12.若OA=（1,1),OB=(3,k),0C=(-2,5),且A,B,C三点共线，则实数k的值 13.在△MBC中，C=于，在边AC(包括端点)上存在一点D,满足AD=DB,作DELAB, E为垂足，若A为△4BC的最小内角，则DE的取值范围是 BC 14.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都 只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶 点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等).数学家已经证明世界 上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面 体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球 的表面积的比为 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcosA=c. (1)求B: (2)若如A=V5s血C,点D在边CA的延长线上，∠BDC=牙，且BD=6,求△BC的面 积。 3 16.(15分)如图，在等边△4BC中，AB=3,点O在边BC上，且OC=2B0.过点O的直线分 别交射线AB,AC于不同的两点M,N. (1)设B=a,AC=b,试用a,6表示A0: (②)设=m,C=n,求”++名的最小值。 m n 17.(15分)在△ABC中，角A,B,℃的对边分别为a,b,c,b=3,且asin B+btan BcosA=2 bsin C. (I)求角B的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围. 18.(17分)如图，在三棱柱ABC-AB,C中，侧楼A4⊥底面ABC,M为棱AC中点.AB=BC, AC=2,A4=2】 （I)求证：B,C/1平面ABM: (Ⅱ)求证：AC⊥平面ABM: (Ⅲ)在棱BB的上是否存在点N,使得平面 ACNL平面A4CC?如果存在，求此时B趴的值： BB 如果不存在，说明理由， 19.(17分)如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯 形，BC=4,AB=AD=CD=2,EFII平面ABCD,AE=DE,EF=1,EF到平面ABCD 的距离为√. (1)求直线BD与EF所成的角的大小： (2)求五面体ABCDEF的体积： (3)若二面角E-AD-B的正切值为2， 求CE与平面ADEF所成角的正弦值，郑州外国语学校2025-2026学年高一下期期中试卷 数学答案 1.B.2.B3.A4.C5.B6.D.7.C.8.C9.BC10ABC11.ABC 9 14.3:1 15【解答】解：(1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=c, 根据余弦定理可得b b2+c2-a2 =c,所以b2+c2-a2=2c2,所以b2=a2+c2, 2bc 所以osB=。+c-方-0，又Be0,放B= 2ac 2 -5分 (2)若sinA=5sinC,则根据正弦定理a,=C=2R可得a=V3c, sinA sinC 所以tanA=a=V5,又Ae(0,),所以A=亚， --8分 c 3 在△ABD中，由正弦定理，得，BD AB sin∠BAD sin∠BDC' 即6 =-c -,所以c=2, -10分 sin 3 则a=5c=25, ---11分 故△48c的面积为8度方c-25。 -13分 16.【答1040-524 【详解】(1)由0C=2B0,得AC-A0=2(40-AB）, 所以0-2B+Ac-2a+五 -5分 31 3 3 (2)由(1)知，A0=2AB+4C,而AB=mAM,AC=nN, 因此40=2”AM+不，而M,0,N共线，则2+=1， 3 33 -9分 又m>0,n>0,于是”+1+2-3-2m+12-4+22, m n m n m n 由于4+2=4+22m+0-104”+m≥104x mn(n人3333m X +×2 n m -13分 33 当且仅当”-”，即m=1=1时取等号， m n 所以”+1+2的最小值是4 -15分 m n 17. 【答案】（①）B= (2)35+3,9] 【详解】(1)由asin B+btan BcosA=2 bsin C及正弦定理得sin Asin B+sin Btan Bcos A=2 sin BsinC. 因为Be(0,π)，所以sinB>0. 所以sinA+sinB.。 -.cos A=2sin C,sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos B. cos B 所以sin(A+B)=2 sin Ccos B,即sinC=2 sin Ccos B. 因为C∈(0，π)，所以sinC>0, 所以cosB)因为B∈0，，所以B=刀 -6分 2)由正弦定期行4C兰后店25，所以a=255n4:G=2W5snC, a 所以a+c=2V3sinA+2V3sinC=235inA+sinC）.--------------8分 又m4nC=m4+m(k48上m4+m(A sinA+sin 2cos4-cos 2ind 3 3 所以a+e=23(sin4+snC)=6sm4+ ----11分 0<A<π 因为△ABC为锐角三角形，所以 D2匹4元’角解得合元 2 --13分 6 3 2 所以3√3<a+c≤6，则3V3+3<a+b+c≤9， 所以△ABC周长的取值范围为(3W5+3,9。 -15分 18.【解答】解：(I)连结AB交AB于O,连结OM.在△BAC中，因为M,O分别为AC,AB中点， 所以OM/B,C.又因为OMc平面ABM,B,C丈平面ABM,所以B.C/平面ABM..(4分) (IⅡ)因为侧棱AA⊥底面ABC,BMC平面ABC,所以AA⊥BM. 又因为M为棱AC中点，AB=BC,所以BM⊥AC. 因为AA∩AC=A,所以BM⊥平面ACC,A· B 所以BM L AC.------------6分 因为M为棱AC中点，AC=2,所以AM=1. 又因为AA=V2,所以在Rt△ACC和Rt△AAM中，tan∠ACC=tan∠AMA=V2. 所以∠ACC=∠AMA,即∠AC,C+∠C,AC=∠AMA+∠C,AC=90°.所以AM⊥AC.---8分 因为BM∩AM=M,所以AC⊥平面ABM..(10分) ()当点N为BB中点时，即N=,平面ACN⊥平面AACC.-1分 BB 2 设AC中点为D,连结DM,DN. B 因为D,M分别为AC,AC中点， A 所以DM/1CC,且DM=二CC: 2 又因为N为BB,中点， 所以DM//BN,且DM=BN. M 所以BM/DN, -15分 因为BM⊥平面ACCA,所以DN⊥平面ACC,A· 又因为DNc平面ACN,所以平面AC,N⊥平面ACCA· .(17分) I9.【解答】解：(I)因为EF//平面ABCD,EFC平面ADEF,平面ADEF⌒平面ABCD=AD, 由线面平行性质得EF/AD, 因此异面直线BD与EF所成角等于BD与AD所成角∠ADB, 在等腰梯形ABCD中，BC=4,AB=AD=CD=2,如图： 设两腰BA,CD相交于M,因为BC=2AD,所以A,D分别是BM,CM的中点， 所以BM=CM=4,故△BMC是边长为4的正三角形，∠ABC=60°，因此∠BAD=120°， 又在△BAD中，∠BAD=120°，AB=AD=2, 所以∠ADB=∠ABD=30°所以直线BD与EF所成的角为30°；----- -5分 (2)设O为AD的中点，连接EO,BO,如图： 由(1)知BD是边长为4的等边△BMC的一边上的高线，所以BD=2√5， E 所以3m-w-分行4n6w-2,及ew. 2 A- 1 _v3 又因为0为AD的中点，所以SM0=SD0=)S.4BD 2 2 B 由(1)知EF/1AD,且EF=1,AD=2,所以EF/1AO且EF=AO, 所以四边形AOEF是平行四边形， 所以Va-AEr=VB-AOE=B-ODE’所以V-BFAD=3Yg-E0D=3E-o8D, 且EF到平面ABCD的距离为√3， 所以-D=3n=3x}x5x5=3x×55 3 32 3 面am=北w-5w×5-25x5=2, 3+2= 所以五面体ABCDEF的体积V=VA-AD+'B-CDE= -11分 (3)过E点作EH⊥平面ABCD,垂足为H,所以EH=V3,连接OH,HC,如图： 因为AE=DE,O为AD的中点，所以OE⊥AD, F 又因为EH⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以EH⊥AD, 因为OE⊥AD,EH⊥AD,OE∩HE=E,OE,HEc平面EOH, 所以AD⊥平面EOH, H OHc平面EOH,故AD⊥OH, 所以∠EOH就是二面角E-AD-B的平面角，故tan∠EOH=2,----------l3分 在直角三角形EOH中，tan∠EOH=2,EH=√5， na5、oe 得OH= 2 所以H点在等腰梯形ABCD上下底的中点的连线上，且为中点， 所以CH=44 2+9-5,CE=3+3=6, 设C到平面ADE的距离为h, 由Vg-ACD=c-EMD,即V5.SACn=h~SED’ 圆为525-6,8w5商以=后 22 所以CE与平面ADEF所成角的正弦值为 h 10 -17分 CE 5