微专题03 乘法公式的扩展应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 聚焦乘法公式扩展应用，通过6大题型系统构建“方法提炼-题型突破-实际应用”逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |乘法公式与配方法|6题|配方化为完全平方式求最值|从二次多项式结构到非负性应用| |项的位置变换|6题|识别相同项与相反项|公式结构本质与符号变换| |连续相乘|6题|结合平方差与立方和差公式|多因式分步化简规律| |项数变换|6题|拆项分组转化二项式|复杂结构向基本公式转化| |整体代换|6题|整体视为公式中“a”“b”|代数结构的整体抽象| |实际问题|6题|转化为面积等数学模型|实际情境到数学表达的建模|

微专题03 乘法公式的扩展应用 题型1 乘法公式与配方法 通过配方法将二次多项式化为完全平方式，求其最值（如最小值或最大值）： 1. 配方：将二次多项式化为的形式（完全平方式加常数）； 2. 求最值：若a＞0，则当x＝－h时，多项式取得最小值k；若a＜0，则当x＝－h时，多项式取得最大值k。 1．（24-25七年级下·江西抚州·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题．． 例如：求代数式的最小值． 解：， 当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征以及利用平方非负性解题是关键． （1）观察二次三项式的形式，依据完全平方公式，判断是否符合完全平方式结构来配方． （2）把等式左边的式子通过拆项，凑成两个完全平方式的和，再利用平方的非负性求出、的值，进而计算 ． （3）将代数式通过添项凑成完全平方式，结合平方的非负性确定最小值． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解： 平方数具有非负性，两个非负数的和为，则这两个非负数都为 ， ， （3）解： 当时，代数式的最小值是 2．（25-26八年级上·河南南阳·月考）把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值． 所以当时，有最小值． 根据上述材料，解答下列问题： (1)求的最小值 ； (2)已知，求的值 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查了配方法的应用，完全平方式的应用． （1）仿照题干所给示例作答即可； （2）可化为，根据题意求出a、b的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以当时，取最小值0，有最小值1． 所以当时，有最小值1． 故答案为：1； （2）解： ， ∴，， ∴，， ∴． 3．（25-26九年级上·四川巴中·期末）配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． (1)若能用配方法变形为一个完全平方式，则__________． (2)若一个关于的二次三项式，通过配方法变形后能写成，且，则称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中为“特征点”．若是配方法定形数，且其“特征点”满足，求的值． 【答案】(1)7或 (2)或 【分析】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方的意义是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值； （2）根据“配方法定形数”和“特征点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵是完全平方式， ∴， 解得或； 故答案为：7或； （2）解：∵， 则， ． ， ， 则；     当时，即 （舍去）， 当时，即 （舍去），， 综上所述：或， 即或 4．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式： 原式 ． ②，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值； 请根据以上材料解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)如图1矩形面积为，如图2正方形面积为，根据图中数据比较，大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据文中提供的解题方法解答即可； （2）根据图形的面积公式，作差解答即可． 本题考查了配方法，非负性，求最小值，比较大小，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】（1）解： ∵ ∴ ∴的最小值是． （2）解：根据题意，得矩形面积为， 正方形面积为， 由， 由， 故， 故即． 5．（25-26七年级下·陕西西安·月考）阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量． 例：某快递公司运输一批货物，成本为运输量，利用配方法求的最小值． 解：． ，当时，有最小值2． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)，求的值 (2)求的最小值． (3)如图，线段，点是线段上任意一点，以为边向上作正方形，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可； （2）模仿题干的过程，利用完全平方式的非负性求解即可； （3）设，则，根据得到，再化简，配方求最值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， （2）解： ， ， 当时，有最小值； （3）解：设，则， ∵ ∴ ∵， ∴， ∴当时，面积的最大值为． 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用． 例：求多项式的最小值． 解：． 因为，所以． 所以当时，有最小值，最小值为1． 即的最小值为1． 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式的最小值． 【方法迁移】 (2)已知，．试说明：． 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改造后的种植区面积的最大值为______平方米． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3)225 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）作差，利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 【详解】（1）解：． 因为， 所以． 所以当时，有最小值，最小值为3． 即的最小值为3． （2）解：因为，， ， 因为， 所以， 故， 故． （3）解：设改造后的种植区面积为， 根据题意， ， 因为， 所以， 所以． 所以当时，有最大值，最大值为225． 题型2 乘法公式的项的位置变换 算式中的项位置发生变化（如括号顺序调整、符号变化），但仍符合乘法公式的结构，需识别公式的本质（相同项与相反项）： 1. 确定公式中的“相同项”（a）和“相反项”（b），无论顺序如何，只要满足“两数和乘两数差”的结构，即可应用平方差公式； 2. 注意符号变化，如，相同项是－a，相反项是b。 1．（25-26九年级上·重庆·期中）若一个四位自然数满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为，其中、都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”．例如：四位数5475，因为，73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，所以5475是“八乐数”．按照这个规定，最小的“八乐数”是_____，一个“八乐数”，将放在的左边组成一个新的四位数，将其千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到一个新数，记，，若除以17的余数为3，且为整数，则满足条件的的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算，列代数式，整除，掌握相关知识是解决问题的关键．首先，根据“八乐数”的定义，找出最小的四位自然数满足条件：十位数字相同，个位数字之和为8，且各个数字均不为0．通过计算，当十位数字为3，个位数字分别为1和7时，得到最小“八乐数”．对于第二个空，设 ，，可表达出，即 应是的倍数，且为整数，则 能被整除，实验所有可能性，从而得，，，则． 【详解】解：第一部分：满足条件的最小的“八乐数” 设两位数十位数字为 ，个位数字分别为 和 ，且 ，，， 为四位数，故 ∴a最小取3， 当 时，，最小为 ， 故“八乐数”最小为． 故答案为 ：； 第二部分：满足条件的M 设 ，，其中是 到 的整数，且， 则， 其中 ， 为 放在 左边组成的四位数： 为 的千位与百位交换、十位与个位交换所得： ， ， ， ∵， 代入得： ， ∴， 即， 即 能被 整除， ∵为整数， ∴ 能被整除， 当 到： ：，不能被整除， ：不能被整除， ：，，可以 ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，，可以 ：，不能被整除， ∴或 ． 又 ， ∴为 到 的整数， 情况1当时，     ， 代入 ： ， 余 ， ∴ ， 余 ， ∴， 则， 需要 能被 整除． 当 到 时， ：，不能被整除， ：，能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ：，不能被整除， ∴． 情况 2： ， 代入 ： ， 余， ∴， ， 需要 能被整除， 当 到： ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， ：，不被整除， 综上所述，，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式． 例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，因为，所以是对称式． 又如：交换代数式中字母的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于的代数式为对称式（为常数）． (1)求的值； (2)已知，若，求对称式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，理解新定义的含义是解题的关键． （1）先求出，交换a、b的位置得出，根据对称式的定义得出，得出，求解即可； （2）就，，得出，，把代入即可求解． 【详解】（1）解：， 交换a、b的位置， ∵代数式为对称式， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得：； （2）解：∵，， ∴， 即， ∴，， 把代入得： ． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 _（填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【答案】理解判断：①②④；能力提升：①18；② 【分析】本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式． （理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可； （能力提升）①得到和的式子，把，代入求值即可； ②把值代入，然后运用完全平方式，判断求出最值即可． 【详解】（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ②， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 4．（2025·河北邢台·模拟预测）阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”． (1)和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”） (2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，请找出a，b，c，d之间存在一个等量关系，并说明理由． 【答案】(1)是 (2)；理由见解析 【分析】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算，多项式乘多项式等知识点，理解新定义列出整式是解题的关键． （1）根据“友好数对”的定义解答即可； （2）根据题意可得这两个数分别为、，再由交换位置后的两个数分别为、，然后结合“友好数对”的定义，可得，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， 所以21和36是“友好数对”． 故答案为：是． （2）解：这两个数分别为、， 交换位置后的两个数分别为、， 可得：， 即， 所以， 即， a，b，c，d之间存在一个等量关系为 5．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）阅读以下材料： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新数，且这两个新数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如，所以和是“幸福数对”．解决如下问题： (1)请判断13与62是否是“幸福数对”？并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间满足怎样的数量关系？试说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为，个位数字为；另一个两位数，十位数字为，个位数字为．若这两个数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)13与62是“幸福数对”，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)这两个两位数分别为：24和63 【分析】本题主要考查了新定义运算，多项式乘以多项式，有理数的乘方，理解新定义是解题的关键； （1）分别计算出和的结果，再根据“幸福数对”的定义进行判断即可； （2）分别求出和的结果，再根据“幸福数对”的定义可得，据此求解即可； （3）根据（2）的结论可得，解方程得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：13与62是“幸福数对”，理由： ∵，， ∴， ∴13与62是“幸福数对”； （2）解：，理由如下： 由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解；由（2）可得 ∴ 解得， ∴，，，， 这两个两位数分别为：和． 6．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）阅读下列材料，解决相应问题： 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数对”． 例如：，所以23和96与32和69都是“倒同数对”． (1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； (2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m，个位数字为n，且；另一个数的十位数字为p，个位数字为q，且，请探究m，n，p，q的数量关系，并说明理由； (3)若有一个两位数，十位数字为x，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为，且这两个数为“倒同数对”，则x的值为______． 【答案】(1)43和68是倒同数对，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式和新定义“倒同数对”，根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． （1）根据定义即可得到答案； （2）根据定义得：，化简得； （3）根据定义列等式，化简解方程可得的x值，从而得出答案． 【详解】（1）43和68是“倒同数对”，理由如下： ，， ∴43和68是“倒同数对” （2），理由见解析； ， ， ， 即 （3）由题得： 整理得： ， 解得： 故答案为： 题型3 乘法公式的连续相乘 多个因式连续相乘，需结合平方差公式与立方和/差公式简化计算： 1. 观察因式的结构，将前两个因式与后两个因式分别结合，应用立方和/差公式，再用平方差公式计算最终结果； 2. 注意公式的顺序。 1．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）你能化简吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题． (1)分别化简下列各式： ______； ______； ______； … ______． (2)请你利用上面的结论计算：． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题考查多项式乘法的规律探究，利用多项式乘多项式乘法法则，通过 “从特殊到一般” 的方式，再归纳出通用规律； （1）通过计算低次多项式的乘积，归纳出一般性规律，再推广到高次多项式的化简； （2）利用归纳出的规律进行计算，直接套用结论求解． 【详解】（1）解：； ；     ； … ； （2）． 2．（25-26七年级下·广东佛山·期中）综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积，可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：_． 拓展创新 (2)仿照（1）中面积法的思路，画出图形，并计算． 迁移应用 (3)若式子无论x为多少时恒成立，求m的值． 【答案】(1) (2)图见解析， (3) 【分析】（1）根据大长方形面积的不同计算方法可得等式； （2）画一个长为，宽为的长方形，然后用两种不同的计算方法进行列式，即可得出答案； （3）先计算，再根据题意得出，，先求出p，然后可得m的值． 【详解】（1）解：把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 可得对应的等式为：； （2）解：如图： 把大长方形当成一个整体计算面积为：， 把大长方形分成四个小长方形计算面积为：， 所以； （3）解：， ∵式子无论x为多少时恒成立， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）观察下列各式： 在时， ； ； ； ． (1)根据上面各式的规律可得______；（n为正整数,） (2)利用（1）中的结论，求的值； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式归纳得到规律即可； （2）将所求式子结合规律变形，计算得到结果； （3）利用规律得到，再结合已知条件排除不符合的解，得到x的值． 【详解】（1）解：根据已知各式的规律，可得（n为正整数）． （2）解：由（1）可知，． ∴． （3）解：， 由规律可得， ， 解得或． 把代入原方程左边， 得左边， 不符合题意，舍去． 把代入原方程左边， 得左边， 符合题意． ． 4．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读理解：下面是小明完成的一道作业题． 计算：． 解：原式 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： = = = =． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型4 乘法公式的项数变换 算式中的项数较多（如三项式乘三项式），需拆项或分组，将式子转化为两个二项式相乘，再应用乘法公式： 1. 拆项：将其中一项拆分为两个项，使式子中出现“相同项”和“相反项”； 2. 分组：将式子中的项分成两组，每组形成“相同项+相反项”的结构。 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·贵州铜仁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26七年级下·广东河源·期中）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图所示的长方形． (1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积_______；________． (2)比较两个图中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式：____________（用字母表示）． 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算： ． 【拓展】 (4)计算：． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【分析】（）根据图形解答即可求解； （）根据面积相等，得到乘法公式即可； （）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （）利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：图阴影部分的面积为；图阴影部分的面积为， 故答案为：；； （2）解：∵两个图形阴影部分的面积相等， ∴可以得到乘法公式为， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：原式 ． 4．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式. （2）原式. 5．（25-26七年级下·河北邯郸·期中）计算 (1) (2) (3) (4)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（25-26七年级下·陕西西安·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 题型5 乘法公式的整体代换 算式中没有直接的“相同项”或“相反项”，但通过整体代换（将某部分视为一个整体），可转化为乘法公式的结构： 1. 观察式子的结构，找到可以整体代换的部分； 2. 应用完全平方公式的变形进行计算。 1．（25-26七年级下·山东青岛·期中）【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的． 如：已知，求的值． 解：将和分别看作一个整体， 令，， 则，， 所以，即， 所以． (1)【直接应用】 已知，请仿照上例，求的值． (2)【变式应用】 已知，求的值． (3)【迁移应用】 如图，点是线段上的一点，分别以和为边作正方形和正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （2）根据完全平方公式，模仿题干的过程，求解即可； （3）根据直角三角形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，模仿题干求解即可. 【详解】（1）解：令 ∴，， ∴即：， ∴即：； （2）解：令， ∴，， ∴，即：， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 故答案为：. 2．（24-25七年级下·山西运城·期中） “整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数式得到简化，便于解决问题，例如：已知，求的值． 解：设，则___________ 所以_____________________ ___________； 即___________． (1)请将横线部分补充完整； (2)已知，请运用“整体思想”求的值； (3)如图，已知四边形，四边形，四边形和四边形都是正方形，，长方形的面积为40，则正方形的面积为___________． 【答案】(1) (2) (3)196 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形形式即可求解； （2）根据完全平方公式变形形式即可求解； （3）设，则正方形的边长为，由题意得：，，那么，根据即可求解． 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 即； 故答案为：； （2）解：设，则， ；. 所以； 所以； 即；. （3）解：设，则正方形的边长为， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘法》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等，我们可以利用它解决一些问题． 例如：已知，求的值． 解：令，，则，， ，即． ． 问题1：已知，请你仿照上例，求的值； 问题2：已知x满足，求的值； 问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以、为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？ 【答案】（1）15；（2）10；（3）7 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，通过完全平方公式的变形进行计算，通过题中给出的整体代入思想进行求解是解题关键． （1）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （2）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （3）设正方形的边长，则，，根据长方形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，利用整体代入思想进行求解即可． 【详解】解：（1）令，，则，， 所以，即． 所以． （2）令，，则，． 所以，即． 所以． （3）设正方形的边长，则，， 因为，即， 则， 所以阴影部分面积为：． 4．（24-25八年级下·江西鹰潭·期末）先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解：． 解：将看成整体，令，则原式 再将还原，得到原式 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则式子的值一定是某一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）将看成整体，令，进行分解因式即可； （2）将看成整体，令，解答即可． 本题考查了整体代换法分解因式，熟练掌握整体代换法是解题的关键． 【详解】（1）解：将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式 （2）证明：， 将看成整体，令， 则原式， 再将还原，得到原式， 为正整数，为整数， 故式子的值一定是某一个整数的平方． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）阅读下列材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是整体思想．整体思想是数学解题方法中常见的一种思想，请你运用这种思想解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过设元将式子看成整体，利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出代数式的值； （2）设元后，先求出两个元的差，再利用完全平方公式的变形，结合已知条件求出代数式的值． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：设， 则． ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查完全平方公式的变形与整体思想的应用，掌握通过设元将代数式看成整体，利用完全平方公式的变形求解代数式的值是解题的关键． 6．（23-24七年级下·广东深圳·期末）阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等．我们可以利用它解决一些问题，例如：已知，求的值． 解：令，，则，． 所以，即． 所以． 问题1：已知，请你仿照上例，求的值； 问题2：已知，求的值； 问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？ 【答案】问题1：；问题2：；问题3： 【分析】本题考查了完全平方公式的几何应用，通过完全平方公式的变形进行计算，通过题中给出的整体代入思想进行求解是解题关键． （1）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （2）模仿题干的过程，直接运算作答即可； （3）设正方形的边长，则，，根据长方形，正方形的面积结合图形可得阴影的面积为，利用整体代入思想进行求解即可． 【详解】解：（1）令，，则，， 所以，即． 所以． （2）令，，则，． 所以，即． 所以． （3）设正方形的边长，则，， 因为，即， 则， 所以阴影部分面积为：． 题型6 乘法公式的实际问题 将乘法公式应用于实际问题（如求面积、体积、经济问题），需将实际问题转化为数学模型（如长方形面积、正方形面积）。 1. 读懂题意，明确已知条件和所求问题； 2. 将实际问题转化为数学表达式； 3. 应用乘法公式计算，得出结果。 1．（25-26七年级下·福建宁德·期中） 课题：如何选择文具盒 背景 新学期来临之际，小明准备通过某购物平台购买一个定制文具盒，通过上网浏览后，小明准备在甲、乙、丙三家商铺中选择一款．如图所示，甲、乙、丙三家商铺对应的定制文具盒分别是A款（底面为等腰三角形的三棱柱），B款（底面为正方形的长方体），C款（圆柱），且这三款文具盒的高度都为．（材质的厚度不计）    (1)任务一：选择容积更大的文具盒：若甲、乙、丙三家商铺所提供的文具盒的底面周长是相同的，你会选择_款定制文具盒；（填“A”“B”或“C”） (2)任务二：确定文具盒的底面积：若乙商铺提供的B款定制文具盒的棱长总和为，求B款文具盒的底面积是_；（用含a的代数式表示） (3)任务三：购买文具盒：已知甲商家提供的A款文具盒底面是等腰三角形，它的底边长为，底边上的高为；乙商家提供的B款文具盒底面边长为；丙商家提供的C款文具盒底面积为．如果要购买三款文具盒中容积最大的那款，小明应选择哪款文具盒，请通过计算说明理由． 【答案】(1)C (2) (3)小明应选择B款文具盒，见解析 【分析】（1）根据所有周长相等的封闭图形中，圆的面积最大即可得到答案； （2）根据题意可求出B款定制文具盒的底面的正方形的边长，再根据正方形的面积公式可得答案； （3）分别计算出三款定制文具盒的容积，比较三款定制文具盒的容积的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所有周长相等的封闭图形中，圆的面积最大， ∴三款定制文具盒中，C款定制文具盒的底面积最大， 又∵三款定制文具盒的高都相等， ∴C款定制文具盒的容积最大，故选择C款定制文具盒 （2）解：∵乙商铺提供的B款定制文具盒的棱长总和为， ∴B款定制文具盒的底面的正方形的边长为， ∴B款文具盒的底面积是； （3）解：小明应选择B款文具盒，理由如下： A款文具盒的容积为 ， B款文具盒的容积为 C款文具盒的容积为， ∵， ， ∴B款文具盒的容积比A款文具盒的容积大，且B款文具盒的容积比C款文具盒的容积大， ∴小明应选择B款文具盒． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个长为，宽为的长方形城市广场．为了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域修建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉池的四周为市民活动区域，宽度分别为、（如图所示）． (1)求音乐喷泉池的占地面积；（用含a，b的式子表示） (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖．若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为100元，求市民活动区域铺设地砖的总费用．（用含a，b的式子表示） 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意列出算式，利用多项式乘多项式运算法则，进行计算即可； （2）先求出市民活动区域的面积，然后根据每平方米铺设地砖的费用为100元，求出结果即可． 【详解】（1）解：由题可得音乐喷泉池的占地面积为： ． 答：音乐喷泉池的占地面积为． （2）解：由题可得市民活动区域的面积为： ， ． 答：市民活动区域铺设地砖的总费用为元． 3．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，初一某班级的同学们在一块长为米，宽为米的长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药． (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含a，b的代数式表示）； (2)当时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)61（平方米） 【详解】（1）解：由题意得，郁金香种植面积长方形面积正方形面积， 即郁金香种植面积． （2）解：当时，（平方米）． 4．（25-26七年级下·安徽池州·期中）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)通道的面积是平方米 (2)剩余草坪的面积是平方米 【分析】（1）通道面积为长为米，宽为米的长方形面积加上长为米，宽为米的长方形面积，再减去一个边长为米的正方形面积，据此列式求解即可； （2）用最大的长方形面积减去通道面积即为剩余草坪的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：通道的面积共有： 平方米， 答：通道的面积是平方米； （2）解：剩余草坪的面积为： 平方米， 答：剩余草坪的面积是平方米． 5．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房．客厅用地是长为米，宽为米的长方形，卧室用地是长为米，宽为米的长方形． (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当，时，求厨房的用地面积．（先化简，再求值） 【答案】(1)这块长方形土地的总面积是平方米 (2)平方米，厨房的用地面积为35平方米 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）先用、表示出厨房的用地面积，再代入，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得： 平方米， 答：这块长方形土地的总面积是平方米； （2）解： 平方米， 当，时， 原式 ， 答：厨房的用地面积为35平方米． 6．（25-26七年级下·河北唐山·期中）如图，广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化． (1)求阴影面积（用含有，的式子表示，结果写成最简形式） (2)若，，求出阴影部分的面积是多少平方米． 【答案】(1)绿化的总面积为平方米； (2)绿化的总面积为1700平方米． 【分析】（1）长方形的面积减去2个正方形的面积； （2）计算当，时，代数式的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： ， 绿化的总面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， 绿化的总面积为1700平方米． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题O3乘法公式的扩展应用 乘法公式与配方法 乘法公式的项的位置变换 乘法公式的连续相乘 乘法公式的扩展应用 乘法公式的项数变换 乘法公式的整体代换 乘法公式的实际问题 /oo 德点型破 题型1乘法公式与配方法 煤方法 通过配方法将二次多项式化为完全平方式，求其最值（如最小值或最大值）： 1. 配方：将二次多项式ax2+bx+c(a≠0)化为ax+h)2+k的形式（完全平方式加常数）： 2. 求最值：若a>0,则当x=一h时，多项式取得最小值k;若a<0,则当x=-h时，多项式取得最大 值k。 1.(24-25七年级下·江西抚州期中)阅读材料：把形如a2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全 平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2.利用配 方法可以解决代数式的最值等问题. 例如：求代数式y2+4y+8的最小值 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)+4≥4， :当y=-2时，代数式y2+4y+8的最小值是4. 按要求解答下列问题， (1)配方：x2+6x+9=: (2)已知m2+n2-6m+4n+13=0,求m+n的值. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)用配方法求代数式x2-4x+5的最小值. 2.(25-26八年级上河南南阳·月考)把代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性解决 问题，这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值等都有广泛的应用，如利用配 方法，求a2+6a+8的最小值. 解：a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=(a+3)2-1,因为不论a取何值，(a+3)2总是非负数，即(a+3)2≥0 ,所以当a=-3时，(a+3)2取最小值0，(a+3)2-1有最小值-1. 所以当a=-3时，a2+6a+8有最小值-1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)求x2-4x+5的最小值； (2)已知a2+b2-6a-8b+25=0,求2a-b的值 3.(25-26九年级上·四川巴中.期末)配方法是将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完 全平方式的和的方法。 (1)若x2-(a-1)x+9能用配方法变形为一个完全平方式，则a= (2)若一个关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，通过配方法变形后能写成a(x-h)+k,且h=k,则 称这个二次三项式为“配方法定形数”，其中(h,k)为“特征点”.若2x2+4nx+3(n≠0)是配方法定形数， 且其“特征点”(h,k)满足h>0,求h的值， 4.(25-26九年级上·辽宁葫芦岛·月考)把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算 和解题，这种解题方法叫做配方法。 如：①用配方法分解因式：a2+6a+8 原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1 =(a+32-12=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4(a+2). ②M=a2-2a-1,，利用配方法求M的最小值. 解：a2-2a-1=a2-2a+1-2=(a-12-2. :(a-1)2≥0，·当a=1时，M有最小值-2； 请根据以上材料解决下列问题： 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a+4 a+3 2 图1 图2 (1)若M=2x2-8x+1,求M的最小值； (2)如图1矩形面积为S,如图2正方形面积为S,a>0),根据图中数据比较S,，S2大小. 5.(25-26七年级下陕西西安·月考)阅读理解：把整式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平 方式是非负数这一性质来解决问题，这种方法叫做配方法.配方法不仅在代数式求值、解方程等问题中 都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域用来分析最值、求解未知量， 例：某快递公司运输一批货物，成本P=2a2-8a+10,a为运输量，利用配方法求P的最小值. 解：P=2a2-4a)+10=2(a2-4a+4-4)+10=2[(a-22-4+10=2(a-22+2. (a-22≥0，·当a=2时，P有最小值2. B 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)x2+2y2+6x-8y+17=0,求y的值 (2)求a2-4a+3的最小值. (3)如图，线段AB=6,点C是线段AB上任意一点，以AC、BC为边向上作正方形ACDE、BCGF,求 △ECF面积的最大值 6.(25-26七年级下江苏徐州·期中)【材料阅读】利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为 (x+m)+n的形式，然后由(x+m)的非负性解决问题，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求 值、解方程、最值类等问题中均有广泛应用.配方法的本质是完全平方公式的逆运用. 例：求多项式x2-4x+5的最小值， 解：x2-4x+5=x2-4x+4-4+5=(x-22+1. 因为(x-2)≥0，所以(x-2+1≥1. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以当x=2时，(x-2)+1有最小值，最小值为1. 即x2-4x+5的最小值为1. 根据上述材料，解答下列问题： 【类比探究】 (1)求多项式x2-6x+12的最小值. 【方法迁移】 (2)已知P=(3x+22,0=x+2)(5x-2).试说明：P>Q. 【实际应用】 (3)某种植园计划对一块长20米、宽10米的长方形种植区进行改造，若长减少x米，宽增加x米，则改 造后的种植区面积的最大值为平方米。 题型2乘法公式的项的位置变换 啸方法 算式中的项位置发生变化（如括号顺序调整、符号变化），但仍符合乘法公式的结构，需识别公式的本质（相 同项与相反项)： 1.确定公式中的“相同项”（α）和“相反项”(b),无论顺序如何，只要满足“两数和乘两数差”的结构， 即可应用平方差公式： 注意符号变化，如(-a+b)(-a-b)=(-a2-b2=a2-b2,相同项是-a,相反项是b。 1.(25-26九年级上·重庆期中)若一个四位自然数M满足各个数位上的数字均不为0，且能分解为A×B, 其中A、B都是两位数，且它们的十位数字相同，个位数字之和为8，则称这个数为“八乐数”.例如： 四位数5475，因为5475=73×75,73和75的十位数字相同，个位数字之和为8，所以5475是“八乐数”. 按照这个规定，最小的“八乐数”是，一个“八乐数”M=A×B,将A放在B的左边组成一个新的四 位数N,将其千位数字和百位数字交换位置，十位数字和个位数字交换位置，得到一个新数'，记 F-心1”，G)=。”,若PW+G-15除以17的余数为3.且告为整数：则满足 12 条件的M的值为 2.(24-25七年级下·辽宁沈阳期中)【概念学习】一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的 位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫作对称式， 例如：代数式m+n+p中任意两个字母交换位置，可得到代数式n+m+p,p+n+m,m+p+n,因为 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 n+m+p=p+n+m=m+p+n,所以m+n+p是对称式. 又如：交换代数式m-n中字母m,n的位置，得到代数式n-m,因为m-n≠n-m,所以m-n不是对称 式 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： 若关于a,b的代数式(ka+3)(b-3)为对称式（k为常数). (1)求k的值； (2)已知(x-a(x-b)=x2+px+g,若p=4,q=-3,求对称式(ka+3)(b-3)的值. 3.(2024七年级下·浙江·专题练习)阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样 的代数式叫做对称式.例如：代数式abc中任意两个字母交换位置，可得到代数bac,acb,cba,因为 abc=bac=acb=cba,所以abc是对称式：而代数式a-b中字母a,b交换位置，得到代数式b-a,因 为a-b与b-a不一定相等，所以a-b不是对称式， 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是（填序号即可）； ①ow@oib+aw@2合@ab+bc+ca 【能力提升】 己知(x-a)(x-b)=x2+px+g. ①若p=4,9=-3,求对称式(a-3(b-3)的值； ②若q=片，求对称式0++2的的最小值， ab 4.(2025河北邢台模拟预测)阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位 数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位 数为“友好数对”，例如：43×68=34×86=2924，所以43和68是“友好数对”. (1)21和36“友好数对”.（填“是”或“不是”） (2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为α，个位数字为b,且a≠b≠0； 一个数的十位数字为c,个位数字为d,且c≠d≠0，请找出a,b,c,d之间存在一个等量关系，并说 明理由 5.(25-26八年级上·辽宁鞍山期中)阅读以下材料： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 己知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新数，且这两个新数分别与它 们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两 位数为幸福数对”，例如43×68=34×86=2924，所以43和68是“幸福数对”.解决如下问题： (1)请判断13与62是否是“幸福数对”？并说明理由； (2)为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a,个位数字为b,且a≠b;另一 个数的十位数字为C,个位数字为d,且c≠d,则a,b,C,d之间满足怎样的数量关系？试说明理 由 (3)若有一个两位数，十位数字为x+1,个位数字为x+3):另一个两位数，十位数字为x+5),个位 数字为(x+2).若这两个数为幸福数对”，求出这两个两位数. 6.(24-25八年级上辽宁大连期中)阅读下列材料，解决相应问题： 己知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新 数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“倒同数 对”. 例如：23×96=32×69=2208，所以23和96与32和69都是“倒同数对”. (1)请判断43和68是否是“倒同数对”，并说明理由； (2)为探究“倒同数对”的本质，可设“倒同数对”中一个数的十位数字为m,个位数字为n,且m≠n;另一 个数的十位数字为p,个位数字为q,且p≠9，请探究m,n,p,q的数量关系，并说明理由： (3)若有一个两位数，十位数字为x,个位数字为x+1,另一个两位数，十位数字为x+3,个位数字为 x+1,且这两个数为“倒同数对”，则x的值为 题型3乘法公式的连续相乘 赋方法 多个因式连续相乘，需结合平方差公式与立方和/差公式简化计算： 1.观察因式的结构，将前两个因式与后两个因式分别结合，应用立方和/差公式，再用平方差公式计算最 终结果 23 注意公式的顺序。 1.（25-26七年级下广东揭阳·期中)你能化简(x-1)(x9+x8+…+…+x+1吗？遇到这样的复杂问题时， 我们可以先从简单的情形入手，找出规律，归纳出一些方法来解决问题 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)分别化简下列各式： (x-10(x+1=: (x-10(x2+x+1= (x-10(x2+x2+x+1= … (x-10(x9+x8+…+x+1= (2)请你利用上面的结论计算：22025+22024+…+2+1. 2.(25-26七年级下·广东佛山期中)综合与实践 活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系 初步应用 (1)如图，一个大长方形被分割为4个大小不同的小长方形，通过用两种不同方法计算大长方形的面积， 可推导出整式乘法的运算规律，请用图中标注的字母写出对应的等式：一· a ac ad b be bd d 拓展创新 (2)仿照(1)中面积法的思路，画出图形，并计算(2a+b)(a+b+c). 迁移应用 (3)若式子(2x+p)(x+p+1)=2x2+8x+m无论x为多少时恒成立，求m的值. 3.(25-26七年级下·陕西渭南·期中)观察下列各式： 在x≠1时， （x-1÷x-1=1; (x2-1÷x-1=x+1; (x3-1÷(x-1)=x2+x+1; (x-1÷(x-)=x2+x2+x+1. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据上面各式的规律可得(x”-1÷(x-1)= ;(n为正整数，x≠1) (2)利用(1)中的结论，求20++2003+…+2+1的值； (3)若1+x+x2+…+x2023=0,求x的值. 4.(25-26七年级下·江苏盐城期中)阅读理解：下面是小明完成的一道作业题. 计算：（-4)×0.257. 解：原式=(-4×0.25) =(-1)7 =-1 知识迁移：请你参考小明的方法解答下面的问题： (1)82026×(-0.1252026, 5.(25-26七年级下·江苏无锡期中)计算： (22x2-x2x4; (3)5x(x+2y-3): (4(a-2b)(a+2b)(a2-4h2） 6.(25-26七年级下·江苏徐州期中)计算： (1)(2x-1)2x+1)4x2+1: (2)(2m+3n)2(3n-2m)2. 题型4乘法公式的项数变换 / 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 算式中的项数较多（如三项式乘三项式），需拆项或分组，将式子转化为两个二项式相乘，再应用乘法公式： 1. 拆项：将其中一项拆分为两个项，使式子中出现“相同项”和“相反项”； 2.分组：将式子中的项分成两组，每组形成“相同项+相反项”的结构。 1.(25-26七年级下江苏扬州期中)计算： (1)1+aj1-a+aa-2 (2)x+y+2)x+y-2 2.(25-26七年级下·贵州铜仁阶段检测)计算： (1(a-b+c2; (2)x+2-3y(x-2+3y. 3.(25-26七年级下·广东河源·期中)【探究】如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方 形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成如图2所示的长方形. a b b 图1 图2 ()请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积 (2)比较两个图中的阴影部分的面积，可以得到乘法公式： (用字母表示) 【应用】 (3)请应用这个公式完成计算：(2a+b-c(2a-b+c. 【拓展】 (4)计算：2002-1992+1982-1972+…+42-32+22-12. 4.(25-26七年级下·江苏泰州期中)计算： (1)3x+12(3x-12; (2)x+y+1(x+y-1. 5.(25-26七年级下河北邯郸期中)计算 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 00y+(y2)°÷y-(-y2)月 O-ns-2 (3)2a-b+c(2a-b-c (4)1232-124×122(简便运算) 6.(25-26七年级下陕西西安期中)计算： (1)-1)2026-32 (2a'+a÷a (3)5m-n)5m+n (4a+b+3(a+b-3 题型5乘法公式的整体代换 啸方法 算式中没有直接的“相同项”或“相反项”，但通过整体代换（将某部分视为一个整体），可转化为乘法公 式的结构： 1. 观察式子的结构，找到可以整体代换的部分； 2.应用完全平方公式的变形进行计算。 1.(25-26七年级下山东青岛期中)【阅读材料】 整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它 们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题、解决问题的目的 如：已知(x+3)(x-2)=1,求(x+3)2+(x-2)2的值. 解：将x+3和x-2分别看作一个整体， 令a=x+3,b=x-2, 则ab=x+3)(x-2)=1,a-b=（x+3-(x-2)=5, 所以(a-b)2=25,即a2+b2-2ab=25, 所以(x+3)2+(x-2=a2+b2=25+2ab=27. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)【直接应用】 已知(x+1)(x-5)=3,请仿照上例，求(x+1)2+(x-5)2的值， (2)【变式应用】 已知2026-m-2019+m-号.求12026-m+-2019+m的值 (3)【迁移应用】 如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC和BC为边作正方形ACDE和正方形BCFG,设AB=8,两 正方形的面积和S,+S2=48,则图中阴影部分的面积为 E D S B 2.(24-25七年级下山西运城期中)“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简 求值中应用广泛，把一个比较复杂的代数式的一部分看作一个整体，用一个字母代替这个整体，使代数 式得到简化，便于解决问题，例如：已知(5-x)(x-4)=-3,求(5-x)+(x-4)的值. 解：设5-x=a,x-4=b,则5-x)(x-4)=ab=-3,a+b=5-x+x-4= 所以a'+b2= -2ab= 即(5-x)2+(x-4)2= D E H F G (1)请将横线部分补充完整； (2)已知(50-x)2+(x-30=420,请运用“整体思想”求(50-x)(x-30)的值； (3)如图，己知四边形ABCD,四边形EFGH,四边形IEKD和四边形LBJE都是正方形， KH=8,JF=2,长方形EJCK的面积为40，则正方形ABCD的面积为 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(24-25七年级上·湖南株洲期末)阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问 题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从 而达到简化问题，解决问题的目的.在《整式的乘法》一章中，我们学习了完全平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2,它可以恒等变换为：a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等，我们可以 利用它解决一些问题， 例如：己知(x+3)(x-2)=1,求(x+3)+(x-2)的值. H G D B 解：令a=x+3,b=x-2,则ab=1,a-b=5, (a-b)2=25,即a2+b2-2ab=25 ∴.(x+3)2+(x-2)2=ad2+b2=25+2ab=27. 问题1：已知(x+2)(x-)=3,请你仿照上例，求(x+2)+(x-1)的值； 问题2：己知x满足(2024-x)}2+(x-2010)2=176,求(2024-x)x-2010)的值； 问题3：如图，已知长方形ABCD的面积为3，延长BC到点P,使得BP=5,以CP为边向上作正方形 CPMN,再分别以BC、CD为边作正方形BCGH、正方形CDEF,若DN=1,则阴影部分的面积是多 少？ 4.(24-25八年级下·江西鹰潭·期末)先阅读材料，再解答下列问题：材料：因式分解： (x+y)2+2(x+y)+1. 解：将x+y看成整体，令x+y=A,则原式=A+2A+1=(A+1) 再将A还原，得到原式=(x+y+) 上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法，请根据上面的方法解答下面的问题： (1)因式分解：(a+b)(a+b-2)+1; (2)证明：若n为正整数，则式子n(n+1)(n+2)(n+3)+1的值一定是某一个整数的平方. 5.(25-26八年级上·全国.单元测试)阅读下列材料： 若x满足(80-x)(x-60)=30,求(80-x)2+(x-60)2的值. 解：设80-x=a,x-60=b,则(80-x)(x-60)=ab=30,a+b=(80-x)+(x-60)=20, 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (80-x)2+(x-60)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340, 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是整 体思想.整体思想是数学解题方法中常见的一种思想，请你运用这种思想解答下列问题： (1)若x满足(30-x)(x-20)=-10,求(30-x)2+(x-20)2的值. (2)若x满足(2024-x)2+(2026-x)2=4042,求(2024-x)2026-x)的值. 6.(23-24七年级下·广东深圳·期末)阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问 题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从 而达到简化问题，解决问题的目的.在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式： (a±b)=a2±2ab+b2,它可以恒等变换为：a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab等.我们可 以利用它解决一些问题，例如：已知(x+3)(x-2)=1,求(x+3)2+(x-2)的值. 解：令a=x+3,b=x-2,则ab=1,a-b=5. 所以(a-b)2=25,即a2+b2-2ab=25 所以(x+32+(x-2)2=a2+b2=25+2ab=27. 问题1：己知x+2)(x-1)=3,请你仿照上例，求(x+2)2+x-1)的值： 间题2：已知2024-m-2017+侧-号g2024-m+-2017+的值： 问题3：如图，已知长方形ABCD的面积为3，延长BC到点P,使得BP=5,以CP为边向上作正方形 CPMN,再分别以BC、CD为边作正方形BCGH、正方形CDEF,若DN=1,则阴影部分的面积是多少？ G M D 题型6乘法公式的实际问题 啸方法 将乘法公式应用于实际问题（如求面积、体积、经济问题），需将实际问题转化为数学模型（如长方形面积、 正方形面积)。 1. 读懂题意，明确已知条件和所求问题； 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2. 将实际问题转化为数学表达式： 3. 应用乘法公式计算，得出结果。 1.(25-26七年级下.福建宁德期中) 课题：如何选择文具盒 新学期来临之际，小明准备通过某购物平台购买一个定制文具盒，通过上网浏览后，小明准备在甲 乙、丙三家商铺中选择一款.如图所示，甲、乙、丙三家商铺对应的定制文具盒分别是A款（底面 为等腰三角形的三棱柱)，B款（底面为正方形的长方体），C款（圆柱），且这三款文具盒的高度都 为20cm.(材质的厚度不计) 背 景 B (I)任务一：选择容积更大的文具盒：若甲、乙、丙三家商铺所提供的文具盒的底面周长是相同的，你会 选择款定制文具盒；（填“AB或“C) (2)任务二：确定文具盒的底面积：若乙商铺提供的B款定制文具盒的棱长总和为aCm,求B款文具盒 的底面积是cm2;(用含a的代数式表示) (3)任务三：购买文具盒：已知甲商家提供的A款文具盒底面是等腰三角形，它的底边长为(3m-2)cm, 底边上的高为(6m+8)cm;乙商家提供的B款文具盒底面边长为3m+1)cm;丙商家提供的C款文具盒 底面积为8m2+6m-1)cm2.如果要购买三款文具盒中容积最大的那款，小明应选择哪款文具盒，请通 过计算说明理由. 2.(25-26七年级下陕西咸阳期中)如图是一个长为4a+3b)m,宽为3a+4b)m的长方形城市广场.为 了丰富市民文化生活，政府计划在中间区域修建一个长方形的音乐喷泉池（图中阴影部分），音乐喷泉 池的四周为市民活动区域，宽度分别为m、bm(如图所示). 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4a+3b b 3a+4b a b (1)求音乐喷泉池的占地面积；（用含a,b的式子表示》 (2)音乐喷泉池建成后，需给市民活动区域铺上地砖.若市民活动区域每平方米铺设地砖的费用为100元， 求市民活动区域铺设地砖的总费用.（用含α，b的式子表示） 3.(25-26七年级下·江苏盐城期中)如图，初一某班级的同学们在一块长为4a-b)米，宽为(a+2b)米的 长方形花圃里种植花朵，在阴影部分的区域内种植郁金香，在中间边长为米的正方形区域内种植芍药. Aa-b a+2b (1)求种植郁金香区域的面积是多少平方米？（用含α，b的代数式表示）： (2)当a=3,b=2时，种植郁金香区域的面积为多少平方米？ 4.(25-26七年级下·安微池州期中)在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一 个长为(6a+5b)米，宽为(5b-a米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为a米的通道. -5b-a 6a+5b (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 5.(25-26七年级下河南平顶山期中)如图，小明家有一块长方形土地用来建造卧室、客厅和厨房.客厅 用地是长为(4a+2b)米，宽为3a+2b)米的长方形，卧室用地是长为2a+b)米，宽为(3a-b)米的长方 形. / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4a+2b 3a-b 卧室 2a+b 3a+2b 客厅 厨房 (1)求这块长方形土地的总面积是多少平方米？（结果化为最简） (2)当a=3,b=2时，求厨房的用地面积.（先化简，再求值） 6.(25-26七年级下·河北唐山期中)如图，广场有一块长为(4a+2b)米、宽(3a+b)米的长方形空地，角上 有两块边长均为(a-b)米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化. ta-b 3a+b 4a+2b (1)求阴影面积（用含有Q,b的式子表示，结果写成最简形式） (2)若a=10,b=5,求出阴影部分的面积是多少平方米。